中考数学阅读理解专题训练

阅读理解专题训练

1、若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，，

x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．

（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

（1）不是，解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．

|x1|+|x2|=3+4=7=2×．∵不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：

∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，

∴假设c=mb2+n，当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．

∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0时，m=﹣，∴c=﹣b2．

∵是偶系二次方程，当b=3时，c=﹣×32．

∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时，

△=b2﹣4c=4b2．x=，∴x1=b，x2=b．

∴|x1|+|x2|=2b，∵b是整数，

∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．

2、阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．

证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．

∴a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．

举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+的最小值．

解：y=2x+≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．

当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．

问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之

间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里

的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．

（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．

考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用．

分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；

（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．

解答：解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（

+）升． ∴y=x×（

+）=

（70≤x≤110）； （2）根据材料得：当

时有最小值，

解得：x=90

∴该汽车的经济时速为90千米/小时； 当x=90时百公里耗油量为100×（

+

）≈升，

点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料．

3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），

（-2，-2），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

（1）若点P （2，m ）是反比例函数n

y x =

（n 为常数，n ≠0）的图像上的“梦之点”，求这

个反比例函数的解析式；

（2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数2

1y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ，

B

22(,)

x x ,且满足-2＜

1

x ＜2，

12

x x -=2，令

2157

48t b b =-+

，试求t 的取值范围。

解：（1）∵点P （2，m ）是“梦之点”，∴m=2，

∵点P （2，2）在反比例函数y=（n 为常数，n≠0）的图象上， ∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；

（2）假设函数y=3kx+s ﹣1（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”（x ，x ）， 则有x=3kx+s ﹣1，整理，得（3k ﹣1）x=1﹣s ， 当3k ﹣1≠0，即k≠时，解得x=

；

当3k ﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x 有无穷多解； 当3k ﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x 无解；

综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；

（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A （x1，x1），B（x2，x2），

∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，

∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，

∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，

∴x1+x2=，x1•x2=，

∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4•==4，

∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，

∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．

∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴﹣4＜x2＜4，

∴﹣8＜x1•x2＜8，∴﹣8＜＜8，∵a＞0，∴a＞

∴（2a+1）2+＞+=，∴t ＞．

4、对x，y定义一种新运算T，规定T(x，y)=

y

x

by

ax

+

+

2，（其中a，b均为非零常数），

这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)=

b

b

a

=

+

⨯

⨯

+

⨯

1

2

1

．

（1）已知T(1，-1)= -2，T(4，2)=1．①求a，b的值；

②若关于m的不等式组

(2,54)4

(,32)

T m m

T m m p

-≤

⎧

⎨

->

⎩恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；

（2）若T(x，y)= T(y，x)对于任意实数x，y都成立，（这里T(x，y)和T(y，x)均有意义），则a，b应满足怎样的关系式