线性代数练习题2及答案

线性代数练习题

一 选择题

1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ）

(A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B ==

2设1011,1101a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则a b c d ⎛⎫

= ⎪⎝⎭（ ）

(A)01.

11⎛⎫ ⎪-⎝⎭

(B)11.

10-⎛⎫

⎪⎝⎭

(C)11.

11-⎛⎫

⎪⎝⎭

(D)11.

01⎛⎫

⎪-⎝⎭

3若 A 为n m ⨯矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立.

（A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛000r

E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量.

（B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关.

（C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ）

s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示.

5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解.

（B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解.

（C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时,

21γγ+ 是0AX =的解.

6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )

(A) B AX =一定无解。 (B) θ=AX 只有零解。

(C) θ=AX 必有非零解。 (D) B AX =一定有无穷多组解。 7线性方程组⎩⎨

⎧=+=-0

1

ay bx by ax ， 若 b a ≠,则方程组 ( )

(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解 (D)其解需要讨论多种情况 8 设A 、B 都是n 阶矩阵，且0=AB , 则A 和B 的秩（ ）

()A 必有一个为0, ()B 必定都小于n ,

()C 必有一个小于n ， ()D 必定都等于n

二 填空题

1方程组1231

23202470x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩的通解为_____.

2设5阶方阵A 的行列式为A =-2 ，则

2A =__________.

3已知 20521134X ⎛⎫⎛⎫

=

⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

，求X =

三 计算题

1 2531

131

301151423

D --=-

---- 2 2223

3

3

111113

42

13421342D =

解：(31)(41)(21)(43)(23)(24)12D =------= 3 002

200020

002x x D x x

=

解：144

0020

202(1)021602002

x x D x x x x x +=+-=-

4 a x x x x a x x

D x x a x x x x a

=、

()()()()3

11111111000333000000x a x x a x D x a x a x a a x x x a x a x x x x a a x

-=+=+=+---

5设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=432432864A , 求矩阵A 的秩。解：234A 010000⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()2R A = 6设1222123,136A B A -⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

, 求B 解：222

1232136

A ==， 111

2

B A A -===

7 解矩阵方程:⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01132364

1302X 解: 1

203146323-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭

1205

51109921127

5125⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪

⎪

⎪

⎝⎭

1

1205

5203111114

61019932300211275125X -⎛

⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪=--=--- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪

⎪

⎝⎭15

1917135⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪

⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

8 解矩阵方程:20

3182146036323005X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

9 解: 1

203146323-⎛⎫ ⎪

- ⎪

⎪--⎝⎭

1205

511099211275125⎛

⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪

⎪

⎪

⎝⎭

1

1205

518220318211036146036099005323005211275125X -⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪=--=-=-

- ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪

⎪

⎝⎭

20164275135761795451011

27

27⎛⎫--

⎪

⎪ ⎪

= ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

10

求线性方程组⎩⎨⎧=++-=+++1

5

43243214321x x x x x x x x 的通解

解: 1

23451

1

1

1

1B ⎛⎫=

⎪-⎝⎭

57102332401

1

3

3⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

知()()24R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解,

同解方程组为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧=

=+--=+--=443

34

32431

34

323

7235x x x x x x x x x x ，43,x x 为自由未知量,