石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(6)

2011—2012学年第一学期

《高等数学》期末试卷

专业班级

姓名

学号

开课系室基础数学系

考试日期 2012年1月3日

页号一二三四五六

总分本页满分30 18 12 18 15 7

本页得分

阅卷人

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共五道大题，满分100分；

4．试卷本请勿撕开，否则作废；

5．本试卷正文共6页。

一、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1．函数

2342

2+--=x x x y 的可去间断点是_________. 2．曲线2

1x

y e -=-的下凸区间是_________________________.

3．设(ln )ln f x x x '=，则()f x =____________C +. 4.

21

1d 1x

x +∞

+⎰=____________.

5.221

cos y y x x x '-

=的通解是_________________________．

二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2

x x x

x x f ，则()f x 在点0x =处（ ）． A ．极限不存在；B ．极限存在但不连续；C.连续但不可导；D ．可导. 2. 已知0x →时，

30

()3sin cos d x

f x x t t

=-⎰与k

cx 是等价无穷小，则（ ）．

A ．1,4k c ==；

B ．1,4k c ==-； C. 3,4k c ==； D ．3,4k c ==-.

3．设)(x f '连续，(0)0,(0)2f f '==，则20(1)

lim x x f e x x →--=（ ）．

A ．2；

B ．∞； C. 1； D ．1

2.

4．函数()y f x =在1x =处有连续导数，2

1)('lim 1=-→x x f x ，则1x =处取得（ ）. A. 拐点； B. 极大值； C. 极小值； D. 都不是.

5．微分方程x x

y y e e -''-=+的特解形式为（ ）．

A ．()x x a e e -+；

B ．()x x ax e e -+；

C ．2()x x

x ae be -+； D ．

()x x x ae be -+.

三、计算题（共5小题，每小题6分，共30分）

1. 求极限4

1

cos 0

ln d lim

1

x

x x t t t

e →-⎰.

2．方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=⎰t t y du u t u t x t arctan )(102确定y 为x 的函数，求dy dx 及22

d y dx .

3．求极限40[sin sin(sin )]sin lim

x x x x

x →-.

4

．求定积分10

x ⎰

.

5．设0

sin ()x t f x dt t π=-⎰

, 求0()f x dx π

⎰.

四、应用题（共3小题，共24分）

1．（本题6分）求曲线1

()ln(1)

x f x e x =++的渐近线.

2．（本题12分）设由曲线x

y e =与过点(1,)e 的切线及y 轴所围平面图形为D .

（1）．求D 的面积A ； （2）．求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V .

3．（本题6分）有半径为 R 的半球形容器如图， 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功 最少应为多少 ?

五、证明题（16分）

1．（本题9分）设0>x ，证明：x

x x x

<+<+)1ln(1. 2．（本题7分）设函数()f x 在[0,5]上连续，在(0,5)内存在二

阶导数，且2

()d 2(3)(4)(5)

f x x f f f ==+⎰，证明：

（1）存在[0,3)η∈，使()(3);f f η= （2）存在(0,5)ξ∈，使()0f ξ''=.

答案

一、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）

1． x =2 ； 2．

(； 3． ()f x =x x xe e -C +；4． 4π 5． 21

(sin )

2y x x C =+

二、填空题共（5小题，每小题3分，共计15分） 1．（ D ）；2．（ C ）； 3．（ C ）；4．（ C ）；5．（ D ）.

三、计算题（本题共5小题，每小题6分，共30分）

1．求极限4

1

cos 0ln d lim

1

x

x x t t t

e →-⎰

解：

原式1

cos 40

ln d lim x x t t t x →=⎰30cos ln(cos )(sin )lim 4x x x x x →--=20ln(cos )lim 4x x x →=0sin 1cos lim

88x x

x x →-==- 2．方程20d 1()arctan t t u x u t u y t t -⎧=⎪+-⎨⎪=-⎩⎰确定y 为x 的函数，求dy dx 及22

d y dx 。 解：令t u v -=，则

02

20(-d )d 11t t

v v

x v v v v ==++⎰

⎰， 2

1dx t dt t ∴=+；221dy t dt t =+， dy

t dx ∴=，

又()1d dy

dt dx =，222

1d y t dx

t += 3．求极限40[sin sin(sin )]sin lim

x x x x x →-