概率论与统计(第三版)复旦大学版第五章课后习题答案

概率论与统计(第三版)复旦大学版第五章课后习题答案

习题五

1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】设i

X 表每次掷的点数，则4

1

i

i X X ==∑

22222221111117

()123456,

666666211111191

()123456,

6666666

i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

从

而

2

2291735

()()[()].

6212

i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭

又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.

从而4

4

117()()()414,2

i

i

i i E X E X E X =====⨯=∑∑

4

4

1

1

3535()()()4.123

i i i i D X D X D X =====⨯

=∑∑

所

以

2

35/3

{1018}{|14|4}10.271,4

P X P X <<=-<≥-

≈

2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要

使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？

【解】令1,,

0,i

i X ⎧⎨

⎩

若第个产品是合格品其他情形.

供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开

动机床数目，则X ~B （200，0.7）,

()140,()42,E X D X ==

0.95{0}().

42P X m P X m =≤≤=≤=Φ ⎪⎝⎭

查表知

1.64,42

= ,m =151.

所以供电能151×15=2265（单位）.

4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，

2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V =∑=20

1k k V ，求P {V ＞105}的近似值.

【解】易知:E (V k )=5,D (V k )=10012

,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量

20

1

205

~(0,1).

100100

20201212

k

k V

Z N =-⨯=

=⨯⨯∑近似的

于是

105205{105}101002020

1212P V P ⎧⎫

⎪⎪-⨯⎪

>=>⎨⎪⨯⎪⎩

1000.3871(0.387)0.348,

102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭

即

有

P {V >105}≈0.348

5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度

不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？

【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）

从而

{30}1{30}11000.20.8P X P X ≥=-<≈-Φ⨯⨯

1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=

6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.

（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？

（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 【解】1,,

1,2,,100.

0,.

i

i X

i ⎧==⎨

⎩L 第人治愈其他

令100

1

.i

i X X ==∑

(1) X ~B (100,0.8)，

100

1{75}1{75}11000.80.2i i P X P X =>=-≤≈-Φ⨯⨯∑

1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=

(2) X ~B (100,0.7)，

100

1{75}1{75}11000.70.3i i P X P X =>=-≤≈-Φ⨯⨯∑

1(

1(1.09)0.1379.21

=-Φ=-Φ=

7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废

品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率. 【解】令1000件中废品数X ，则

p =0.05,n =1000,X ~B (1000,0.05)，

E (X )=50，D (X )=47.5. 故

130{20} 6.895 6.89547.547.5P X ϕ⎛⎫

==

=- ⎪⎝⎭

6

130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫=

=⨯ ⎪⎝⎭

8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 1，…，

T 30服从参数λ=0.1[单位：1

-h ]的指数分布，

其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率.

【解】11

()10,0.1

i

E T λ=== 2

1

()100,

i D T λ

=

=

()1030300,

E T =⨯=

()3000.

D T =

故

{350}111(0.913)0.1814.

300030P T >≈-Φ=-Φ=-Φ=

9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年

计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.

【解】设至少需n 件才够用.则E (T i )=10，D (T i )=100，

E (T )=10n

，

D (T )=100n .

从而1{3068}0.95,n

i i P T =≥⨯=∑即0.05.10n

≈Φ