专题训练 二次根式化简求值有技巧

专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案)

► 类型之一 利用二次根式的性质a 2

＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.

1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( )

A ．1－ 3 －1 C ．3－ 3 －3

2．当a ＜12且a≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a

＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|.

4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－14

c 2－4c ＋16.

► 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简

5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( )

A ．－a b

B ．a －b

C ．－a －b

D ．a b

6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）；

(3)错误!； (4)错误!； (5)错误!.

► 类型之三 利用隐含条件求值

7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016

的值．

8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求

x y ＋y x 的值．

► 类型之四 巧用乘法公式化简

9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)；

(3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017.

► 类型之五 巧用整体思想进行计算

10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( )

A ．－30 6

B ．－186－2

C ．0

D ．106

11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2

－xy ＋y 2的值．

12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y

x －y 的值．

► 类型之六 巧用倒数法比较大小

13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是(

) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b

C ．c ＞b ＞a

D ．b ＞c ＞a _

详解详析

1．[解析] B a 2－2a ＋1＝|a －1|.

因为a －1＝(2－3)－1＝1－3＜0，

所以|a －1|＝－(1－3)＝3－1.

故选B .

2．[答案] －1a

[解析] 原式＝（2a －1）2a （2a －1）＝|2a －1|a （2a －1）

. 当a ＜12

时，2a －1＜0，所以|2a －1|＝1－2a. 所以原式＝1－2a a （2a －1）＝－1a

. 3．解：当a ＜－8时，a ＋4＜－4＜0，a ＋8＜0，

∴|a ＋4|＝－(a ＋4)，|a ＋8|＝－(a ＋8)．

∴原式＝|－(a ＋4)－4|＝|－a －8|＝|a ＋8|＝－(a ＋8)＝－a －8.

4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c ＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．

解：由三角形三边关系定理，得2＜c ＜8.

∴原式＝（c －2）2－（12c －4）2＝c －2－(4－12c)＝32

c －6. 5．[解析] A 由ab ＜0，可知a ，b 异号且a≠0，b ≠0.又因为a 2≥0，且a 2b ≥0，所以

a ＜0，b>0.

所以原式＝－a b.

[点评] 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时，关键是注意法则成立的条件，还要注意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致．

6．解：(1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15.

(2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.

(3)原式＝错误!×错误!·错误!＝·错误!＝错误! 错误!.

(4)原式＝259＝259＝53

. (5)原式＝

9a 34＝3a 2 a. 7．解：依题意可知a －2017≥0，即a≥2017.

所以原条件转化为a －2016＋a －2017＝a ，

即a －2017＝2016.

所以a ＝20162＋2017.

所以a －12016＝20162

＋20162016

＝2017. [点评] 解决此题的关键是从已知条件中挖掘出隐含条件“a－2017≥0”，这样才能对（2016－a ）2进行化简，从而求出a 的值．

8．解：依题意可知x ＜0，y ＜0. 所以原式＝x 2xy ＋y 2

xy ＝－x xy ＋－y xy ＝－（x ＋y ）xy . 因为x ＋y ＝－10，xy ＝8，

所以原式＝－（－10）8

＝522. [点评] 解决此题的关键是从已知条件中分析出x ，y 的正负性，这样才能对要求的式子

进行化简和求值．如果盲目地化简代入，那么将会得出－522

这个错误结果． 解答此题还有一个技巧，那就是对x y ＋y x

进行变形时，不要按常规化去分母中的根号，而是要根据已知条件的特点对它进行“通分”．

9．解：(1)原式＝(－15)2－42

＝15－16＝－1.

(2)原式＝(32)2－(26)2＝18－24＝－6. (3)原式＝3(2＋2)(2－2)＝3(4－2)＝2 3.

(4)原式＝(15＋4)2016(15－4)2016(15－4)＝[(15＋4)(15－4)]2016(15－4)

＝15－4.

[点评] 利用乘法公式化简时，要善于发现公式，通过符号变形、位置变形、公因式变形、结合变形(添括号)、指数变形等，变出乘法公式，就可以利用公式进行化简与计算，事半功倍．

10．[解析] C 原式＝(x －5)2－24.

当x ＝5－26时，x －5＝－26，

∴原式＝(－26)2－24＝24－24＝0.

故选C .

[点评] 解答此题时，先对要求的代数式进行配方，然后视x －5为一个整体代入求值，这比直接代入x 的值进行计算要简单得多．

11．解：因为x ＋y ＝11，xy ＝14

[(11)2－(7)2]＝1， 所以x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y)2－3xy ＝(11)2－3＝8.

[点评] 这类问题通常视x ＋y ，xy 为整体，而不是直接代入x ，y 的值进行计算．

12．解：因为(x －y)2＝(x ＋y)2－4xy ＝20，且x ＞y ，

所以x －y ＝20＝25，

所以原式＝（x ＋y ）2（x ）2－（y ）2＝x ＋y ＋2xy x －y ＝6＋425＝ 5. [点评] 此题需先整体求出x －y 的值，然后再整体代入变形后的代数式计算．

13．[解析] A 因为(3－2)(3＋2)＝1，所以a ＝3－2＝13＋2

.同理，b ＝12＋3，c ＝15＋2.当分子相同时，分母大的分式的值反而小，所以a ＞b ＞c.故选A .