南宁师范大学数学考研真题试题2018年
2018年考研数学二真题及答案-世纪高教在线高清印刷版
Ａα３ ＝ － α２ ＋ α３ ，则 Ａ 的实特征值为
．
三、解答题（ 本题共 ９ 小题，共 ９４ 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） （１５） （ 本题满分 １０ 分）
∫ 求不定积分 ｅ２ｘａｒｃｔａｎ ｅｘ － １ｄｘ．
（１６） （ 本题满分 １０ 分）
∫ ∫ ｘ
ｘ
已知连续函数 ｆ（ｘ） 满足 ｆ（ｔ）ｄｔ ＋ ｔｆ（ｘ － ｔ）ｄｔ ＝ ａｘ２．
（Ｄ）Ｋ ＞ Ｎ ＞ Ｍ．
∫ ∫ ∫ ∫ ０
２ －ｘ２
１
２ －ｘ２
（６） ｄｘ （１ － ｘｙ）ｄｙ ＋ ｄｘ （１ － ｘｙ）ｄｙ ＝ （ ）
－１
－ｘ
０
ｘ
（ Ａ）
５ ３
．
（ Ｂ）
５ ６
．
（ Ｃ）
７ ３
．
（ Ｄ）
７ ６
．
æ１ １ ０ ö （７） 下列矩阵中，与矩阵 çç０ １ １ ÷÷相似的为（ ）
＝ ０ 的解为（ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ） Ｔ ＝ ｋ（ － ２， － １，１） Ｔ，其中 ｋ 为任意常数．
（ Ⅱ） 当 ａ ≠ ２ 时， ｆ 的规范形为 ｆ ＝ ｙ２１ ＋ ｙ２２ ＋ ｙ２３ ；当 ａ ＝ ２ 时， ｆ 的规范形为 ｆ ＝ ｚ２１ ＋ ｚ２２ ．
（２３） （ Ⅰ） ａ ＝ ２．
（Ⅱ） 满足 ＡＰ ＝ Ｂ 的可逆矩阵为
∬（ｘ ＋ ２ｙ）ｄｘｄｙ．
Ｄ
（１８） （ 本题满分 １０ 分） 已知常数 ｋ ≥ ｌｎ ２ － １． 证明：（ｘ － １）（ｘ － ｌｎ２ ｘ ＋ ２ｋｌｎ ｘ － １） ≥ ０．
（１９） （ 本题满分 １０ 分） 将长为 ２ｍ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形． 三个图形的面积之和是否存在 最小值？若存在，求出最小值．
2018考研数一真题解析
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又 xn1 xn
ln exn 1 ln exn xn
exn 1 ln xnexn ;
设 g(x) ex 1 xex ,
x 0时，g'(x) ex ex xex xex 0,
所以 g(x)单调递减，g(x) g(0) 0,即有ex 1 xex,
因此
2
4
ex 1
1 e2x arctan 2
ex
1
1 4
2 3
(e x
3
1) 2
2
ex 1 C
1 e2x arctan
ex
1
1
(e x
3
1) 2
1
ex 1 C
2
6
2
16. 解：设圆的周长为 x ，正三角周长为 y，正方形的周长为 z，由题设 x y z 2 ，则
目标函数： S （ x ）2 1 3 ( y )2 ( z )2 x2 3 y2 z2 ，故拉格朗日函数为 2 2 2 3 4 4 36 16
x2
x3
0,
系数矩阵
x1 ax3 0,
1 1 1 1 0 2
A 1 0 1 0 1 1 ,
1 0 a 0 0 a 2
a 2时，r(A) 3,方程组有唯一解：x1 x2 x3 0;
a
2时，r ( A)
2, 方程组有无穷解：x
2 k 1 , k
R.
1
y1 x1 x2 x3,
'
（Px'
Q
' y
Rz'）dxdy
0
(1 3y2 3z2 )dxdydz
dydz 13y2 3z2 (1 3y2 3z 2 )dx
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绝密★启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
考生姓名：考生编号：2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项．．．指定位置上.（1）若函数(),0xf xb x>=⎪≤⎩在0x=处连续，则（）(A)12ab=(B)12ab=-(C)0ab=(D)2ab=（2）设二阶可导函数()f x满足(1)(1)1,(0)1f f f=-==-且''()0f x>，则（）()()111101011010()()0()0()()()()()A f x dxB f x dxC f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）设数列{}n x收敛，则（）()A当limsin0nnx→∞=时，lim0nnx→∞=()B当lim(0nnx→∞=时，lim0nnx→∞=()C当2lim()0n nnx x→∞+=时，lim0nnx→∞=()D当lim(sin)0n nnx x→∞+=时，lim0nnx→∞=（4）微分方程的特解可设为（A）22(cos2sin2)x xAe e B x C x++（B）22(cos2sin2)x xAxe e B x C x++（C）22(cos2sin2)x xAe xe B x C x++（D）22(cos2sin2)x xAxe e B x C x++（5）设(,)f x y具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y，都有(,)(,)0,0f x y f x yx y∂∂>>∂∂，则（A）(0,0)(1,1)f f>（B）(0,0)(1,1)f f<（C）(0,1)(1,0)f f>（D）(0,1)(1,0)f f<（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t=（单位：/m s）为10,20,3（A）10t=（（D）25t>()s（7）设A为三阶矩阵，123(,,)Pααα=为可逆矩阵，使得112P AP-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则123(,,)Aααα=（）（A）12αα+（B）232αα+（C）23αα+（D）122αα+（8）设矩阵200210100021,020,020A B C⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥,则（）（A ）,A C B C 与相似与相似（B ）,A C B C 与相似与不相似 （C ）,A C B C 与不相似与相似（D ）,A C B C 与不相似与不相似二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)曲线21arcsin y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为_______(10)设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t ⎧=+⎨=⎩确定，则220t d ydx ==______(11)20ln(1)(1)x dx x +∞+=+⎰_______ (12)设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)______f x y =（13）110tan ______y xdy dx x =⎰⎰（14）设矩阵41212311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的一个特征向量为112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则_____a = 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限0limt x dt+→（16）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0x dy dx =，220x d y dx =（17）（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值 （19）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明：()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
2018年考研数学一真题及答案解析
( )2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1）下列函数中，在 x = 0 处不可导的是（ ）(A) f ( x ) = x sin x(B) f ( x ) = x sin(C) f ( x ) = cos x(D) f ( x ) = cos【答案】（D ）【解析】根据导数的定义：lim（A ）x →0x= limx →0x xx = 0, 可导lim（B ） x →0x= limx →0x- 1 x= 0, 可导lim = lim 2 = 0, 可导（C ） x →0 xlim（D ）x →0 x x →0 x- 1 x 2 = lim 2 x →0 x- 1x = lim 2 x →0 x, 极限不存在故选 D 。
（2）过点(1, 0, 0), (0,1, 0) ，且与曲面 z = x 2 + y 2 相切的平面为（ ）(A) z = 0与x + y - z = 1(B) z = 0与2x + 2 y - z = 2(C) x = y 与x + y - z = 1(D) x = y 与2x + 2 y - z = 2【答案】（B ）过(1, 0, 0), (0,1, 0 )的已知曲面的切平面只有两个，显然z =0 与曲面z = x 2 + y 2相切，排除C 、D【解析】曲面z = x 2 + y 2的法向量为(2x,2y,-1),对于A选项,x + y - z = 1的法向量为(1,1, -1), 可得x = 1 , y = 1,2 2 代入z = x 2 + y 2和x + y - z = 1中z 不相等，排除A ，故选B .∞-n 2n +3（3） ∑( n =0 1) = （ ） 2n +1 ! cos x -1cos x -1 x x x sin x x sin x xx⎝ ⎭n =0 n =0 ⎰ π2⎰ ⎰ π n =0 π⎰π ⎰ π ⎰ π ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭⎪ (A) sin1 + cos1(B) 2sin1+ cos1(C) 2 sin1+ 2 cos1(D) 2sin1+ 3cos1【答案】（B ）∞n2n + 3∞n2n +1∞n2∑(-1)【解析】 n =0(2n +1)! =∑(-1) (2n +1)! +∑(-1)(2n +1)!∞n1∞n2故选 B.=∑(-1)n =0(2n )! + ∑(-1) =cos l + 2 sin1 (2n +1)!π(1+ x )2π 1+ x π（4） 设 M =2 dx , N =2dx , K = 2(1cos x )dx , 则（ ）⎰-π 1+ x2⎰-πex⎰-π222(A) M > N > K(B) M > K > N(C) K > M > N(D) K > N > M【答案】（C ）π(1+ x )2π 1+ x 2+ 2xπ2xM = 【解析】2 -1+ x dx = 2-1+ x 2dx = 2(1 + -1+ x 2 )dx = π.2221+ x π1+ x π1+ x < e x (x ≠ 0) ⇒ < 1 ⇒ N = e 2 2 -π e x dx < 2 1dx = π< M - 2 2π πK = 2（1 -dx > 21dx = π= M - 22故K > M > N , 应选C 。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析（江南博哥）1[单选题]下列函数中，在x=0处不可导的是( )．A.f(x)=|x|sin |x|B.f(x)=|x|sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：2[单选题]设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且，则( )．A.当f’(x)<0时，f()<0B.当f’’(x)<0时，f()<0C.当f'(x)>0时，f()<0D.当f”(x)>0时，f()<0正确答案：D参考解析：3[单选题]( )．A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M正确答案：C参考解析：4[单选题]设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )．A.C '(Q0)=0B.C’(Q0)=C(Q0)C.C’(Q0)=Q0c(Q0)D.Q0C'(Q0)=C(Q0)正确答案：D参考解析：5[单选题]( )．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知E—A～E-B，且r(E—A)=r(E—B)．设题中所给矩阵为A，各项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知r(E—B1)=2，r(E-B2)=r(E—B3)=r(E-B4)=1．因此A～B1，即A相似于A项下的矩阵．6[单选题]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )．A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(A T，B T)正确答案：A参考解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系：①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．从而可得r(A，AB)=r(A)．7[单选题]设f(x)为某随机变量X的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，，则P{X<0}=( )．A.0．2B.0．3C.0．4D.0．6正确答案：A参考解析：由于f(1+x)=f(1-x)，可知f(x)图形关于x=1对称．8[单选题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：解这道题，首先知道t—分布的定义．9[填空题]曲线y=x2+2 lnx在其拐点处的切线方程是______．参考解析：y=4x-3首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．10[填空题]______．参考解析：11[填空题]差分方程△2y x-y x=5的解为______．参考解析：yx=C·2x-512[填空题]设函数f(x)满足f(x+△x)-f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，f(0)=2，则f(1)=______．参考解析：2e由题意知f’(x)=2xf(x)，解该一阶齐次线性微分方程可得f(x)=Ce x2.又f(0)=2，得C=2．因此f(x)=2e x2，从而f(1)=2e．13[填空题]设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组，若Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α1+α3，则|A|=______．参考解析：2由于α1，α2，α3线性无关，则P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵．因此14[填空题]随机事件A，B，C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=，则P(AC|A∪B)=______．参考解析：15[简答题]参考解析：解：16[简答题]参考解析：17[简答题]将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．参考解析：18[简答题]参考解析：19[简答题]参考解析：20[简答题](本题满分ll分)设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；(II)求f(x1，x2，x3)的规范形．参考解析：解：(I)由f(x1，x2，x3)=0，得21[简答题](本题满分ll分)(I)求a；(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．参考解析：22[简答题]设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=1)=P(X=-1)=，Y服从参数为A的泊松分布，令Z=XY．(I)求Coy(X，Z)；(Ⅱ)求Z的概率分布．参考解析：23[简答题]设总体X的概率密度为其中σ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，…，x n为来自总体X的简单随机样本，σ的最大似然估计量为．(I)求；(Ⅱ)求E()，D()．参考解析：。
2018年全国硕士研究生入学统一考试《数学》真题三及详解
2018年全国硕士研究生入学统一考试《数学》真题三(总分150, 考试时间180分钟)一、单项选择题（每题 4 分，共 32 分）1. 下列函数不可导的是A f (x) = |x| sin |x|BC f (x) = cos |x|D该问题分值: 4答案:DA, B, C 可导, D 根据导数的定义可得2. 设函数 f(x) 在 [0, 1] 上二阶可导, 且该问题分值: 4答案:D3.A M > N > KB M > K > NC K > M > ND .N > M > K该问题分值: 4答案:C4. 设某产品的成本函数 C(Q) 可导, 其中 Q 为产量, 若产量为 Q0 时平均成本最小, 则A C ′ (Q0) = 0B C ′ (Q0) = C(Q0)C C ′ (Q0) = Q0C(Q0)D Q0C ′ (Q0) = C(Q0)该问题分值: 4答案:D5. 下列矩阵中, 与矩阵相似的为D该问题分值: 4答案:A易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵λ E ? A 的秩相等, 即 E ?A 秩相等. 显然为 A6. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为矩阵 X 的秩, (X Y) 表示分块矩阵, 则A r(A AB) = r(A)B r(A BA) = r(A)C r(A B) = max{r(A), r(B)}D r(A B) = r(A T B T )该问题分值: 4答案:A7. 设随机变量X 的概率密度f(x) 满足f(1 + x) = f(1 ? x), 且A 0.2B 0.3C 0.4D 0.6该问题分值: 4答案:A8. 设 X1, X2, ··· , Xn (n ? 2) 为来自总体 X ～ N ( μ, σ 2 ) (σ > 0) 的简单随机样本, 令则。
2018考研数一【解析版】【无水印】
2018考研数学一答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
（1）【答案】D【解答】由定义得0112lim lim 2x x xx ++→→-==-；112lim lim 2x x xx --→→-==. （2）【答案】B【解答】已知平面过（1,0,0）（0,1,0）两点，可得切平面内一向量（1，-1,0）,曲面22z x y =+的切平面法向量为（2,2,1x y -）220x y ∴-=即x y =.（3）【答案】B00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑ 0012(1)(1)2sin1cos1(22)!(21)!nn n n n n ∞∞===-+-=+++∑∑.（4）【答案】C22222212d d 1x xM x x x πππππ--++===+⎰⎰; -22221d (1)d x x xN x x e x e ππππ--+==+⎰⎰;22,K x K M πππ-=>∴>⎰.（5）【答案】AA 的特征值为1231λλλ===，而()()2r E A r E A λ-=-=. （6）【答案】C由秩的定义，可知C 正确 （7）【答案】A已知(1)(1)f x f x +=-可得()f x 图像关于1x =对称，2()d 0.6f x x =⎰从而(0)0.2P x ≤=(8)【答案】选D .【解答】若显著性水平0.05α=时接受0H ，可知检验统计量0.025Z U ≤，此时0.005Z U ≤，选D .(9)【答案】2k =-【解答】1sin 001tan 11tan lim(),lim (1)1,1tan sin 1tan kx x x x xe x kx x →→--=∴-=++ 012tan 2lim1, 2.1tan x x k kx x k →-∴⋅=-=∴=-+ (10)【答案】2ln 22-【解答】111100''()d d '()'()'()d xf x x x f x xf x f x x ==-⎰⎰⎰10'(1)()f f x -2ln 2(1)(0)2ln 22f f =-+=-.(11)【答案】(1,0,1)-【解答】(1,1,0)(,,)(1,0,1)ij krotF y z x x y z xyyzxz∂∂∂==--=-∂∂∂-. 【解答】1sin 001tan 11tan lim(),lim (1)1,1tan sin 1tan kx x x x xe x kx x→→--=∴-=++ (12)【答案】3π-【解答】2222211:,d [()]d 2L L x y z L xy s x y s x y z ⎧++==-+⎨++=⎩⎰⎰， 121[]d 22363L s ππ-=-⋅=-⎰. (13)【答案】【解答】111222121122,,()A A A αλααλαααλαλα==+=+221122112212(),A λαλαλαλααα+=+=+2212121,1,1,1A λλλλ∴==∴=±=±∴=-（14）【答案】14【解答】[()()]()()()()()()p AC AB C p ABC AC p AC AB C p AB C p AB p C p ABC ⋃⋃⋃==⋃+-1()()112,()1144()()44p C p AC p C p C p C ===∴=++.三、解答证明题（15）2212x x e =⎰⎰221122xx x e e =⋅⎰2211arctan 24x x e =⋅21124x x x e =⋅211arctan (1)24x x e e =⋅-322112(1)243x x e e C ⎛=⋅-++ ⎝32211arctan (1)26x x e e C =⋅-.（16）解：设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数：22222212234416x y z x z S y πππ⎛⎫⎫⎛⎫=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故拉格朗日函数为222(,,;)(2)416x zL x y z y x y z λλπ=+++++-.则 02xxL λπ'=+=，0y L λ'=+=， 2016zzL λ'=+=，20L x y z λ'=++-=.解得x =，y =，z =λ=.此时面积和有最小值S =.（17）解:构造平面22331,Σ:0,y z x ⎧+'⎨=⎩取后侧;设Σ'与Σ所围区域为Ω;记33,,P x Q y z R z ==+=;借助高斯公式,有:ΣΣ+ΣΣd d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ''++=++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22ΩΩ()d d d 0(133)d d d x y z P Q R x y z y z x y z '''=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22220331d d 33)d y z y z y z x +=++⎰⎰222233133)d d y z y z y z +=++⎰⎰220d 3)d r r r θπ=+⋅⎰2212)3)d(13)6r r =π(-+-2232)d(13)3r r π=---31222223)2(13)]d(13)3r r r π=----51222224[(13)(13)353r r π=---14.45π=(18)(I)解：通解 1d 1d ()e (e d )x xy x x x C -⎰⎰=+⎰=e (e d )x x x x C -+⎰=(1)exx C --+.(II)证明：设()()f x T f x +=，即T 是()f x 的周期.通解 1d 1d ()e [()e d ]x xy x f x x C -⎰⎰=+⎰e [()e d ]x xf x x C -=+⎰e ()e d e x x xf x x C --=+⎰.不妨设()e()e d e xxx x Ty x f x x C --=+⎰,则有()()()e()e d e x Tx T t x T T y x T f t t C +-+-++=+⎰()0e ()e d()(e )e xx T u T T x f u T u T C -++--=+++⋅⎰()0e ()e e d (e )e xx T u T T x f u u C -+--=⋅+⋅⎰e()e d (e )e xxu T x f u u C ---=+⋅⎰,即()y x T +依旧是方程的通解,结论得证.(19)证明:设()e 1,0xf x x x =-->,则有()e 10xf x '=->,因此e 1()0,1x f x x->>,从而1221e 1e 1,0x x x x -=>>;猜想0n x >,现用数学归纳法证明:1n =时,10x >,成立;假设(1,2,)n k k ==时,有0k x >,则1n k =+时有1e 1e1,k k x x kx +-=>所以10k x +>;因此0n x >,有下界.又1ln ln e ln ennx n n x n n x x x x +-=-=; 设()e 1e xxg x x =--,0x >时,()e e e e 0x x x x g x x x '=--=-<,所以()g x 单调递减,()(0)0g x g <=,即有e 1e x x x -<,因此1e 1ln ln10en nx n n x n x x x +--=<=,n x 单调递减. 由单调有界准则可知lim n n x →∞存在.设lim n n x A →∞=,则有e e 1A A A =-;因为()e 1e x xg x x =--只有唯一的零点0x =,所以0A =.(20)解:(I)由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax -+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵11110210101110002r A a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 2a ≠时，()3r A =，方程组有唯一解：1230x x x ===； 2a =时，()2r A =，方程组有无穷解：21,1x k k R -⎛⎫⎪=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭.(II)2a ≠时,令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩这是一个可逆变换,因此其规范形为222123y y y ++;2a =时,2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =-+++++222123231322626x x x x x x x =++-+。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]下列函数在x=0处不可导的是（）．A.f(x)=|x|sin|x|B.f(x)=|x|sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：2 [单选题]过点(1，0，0)与(0，1，0)且与曲面z=x2+y2相切的平面方程为（）．A.z=0与x+y-z=1B.z=0与2x+2y-z=2C.y=x与x+y-z=1D.y=x与2x+2y-z=2正确答案：B参考解析：已知平面过A(1，0，0)，B(0，1，0)两点，则x≠y是存在的，故排除C、D项，可得平面内一向量n1==(1，-1，0)，曲面z=x2+y2的切平面的法向量为n2=(2x，2y，-1)，由n1n2=2x-2y=0，即切点处x=y．3 [单选题]A.sin1+cos1B.2sin1+cos1C.2sin1+2cos1D.2sin1+3cos1正确答案：B参考解析：4 [单选题]，则M，N，K的大小关系为（）．A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M正确答案：C参考解析：5 [单选题] A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：6 [单选题]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则（）．A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(A T，B T)正确答案：A参考解析：使用反证法．7 [单选题]设f(x)为某随机变量X的概率密度函数，则P{X<0}=（）．A.0．2B.0．3C.0．4D.0．5正确答案：A参考解析：8 [单选题]设总体X～N(μ，σ2)，σ2已知，给定样本X1，X2，…，X n，对总体均值μ进行检验，令H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，则（）．A.若显著性水平α=0．05下拒绝H0，则α=0．01下必拒绝H0B.若显著性水平α=0．05下接受H0，则α=0．01下必拒绝H0C.若显著性水平α=0．05下拒绝H0，则α=0．01下接受H0D.若显著性水平α=0．05下接受H0，则α=0．01下也接受H0正确答案：D参考解析：9 [填空题]参考解析：-2【解析】10 [填空题]设函数f(x)具有二阶连续导函数，若y=f(x)过点(0，0)，且与曲线y=2x相切于点 (1，2)，则参考解析：【解析】11 [填空题]已知F(x，y，z)=xyi一yzj+xzk，则rotF(1，1，0)=_______.参考解析：【解析】12 [填空题]曲线L由x2+y2+z2=1与x+y+z=0相交而成，则参考解析：【解析】13 [填空题]二阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且A2(α1+α2)=α1+α2，则|A|=_______.参考解析：-1【解析】14 [填空题]随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=∅，P(A)=P(B)=，P(AC|AB∪c)=，则P(C)=_______.参考解析：【解析】15 [简答题]参考解析：16 [简答题]一根绳长2m，截成三段，分别折成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小?并求该最小值．参考解析：设圆的周长为x，正三角形的周长为y，正方形的周长为z，由题设知x+y+z=2．则目标函数为17 [简答题]参考解析：18 [简答题]已知微分方程y’+y=f(x)，且f(x)是R上的连续函数．(I)当f(x)=x时，求微分方程的通解；(Ⅱ)当f(x)周期为T的函数时，证明：微分方程存在唯一以T为周期的解．参考解析：(I)(Ⅱ)设f(x+T)=f(x)，即T是f(x)的周期．19 [简答题]参考解析：设f(x)=e x-1-x，x>0，则有20 [简答题]设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．参考解析：解：(I)由f(x1，x2，x3)=0，得21 [简答题](Ⅰ)求a；(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．参考解析：(I)A与B等价，则r(a)=r(B)．22 [简答题]随机变量X，Y相互独立，P{X=1}=，P{X=-1}=，Y服从参数为λ的泊松分布，令Z=XY.(I)求Cov(X，Z)；(II)求Z的概率分布．参考解析：(I)23 [简答题](I)求σ的极大似然估计；(II)参考解析：解：(I)由条件可知，似然函数为(Ⅱ)。
2018考研线代真题答案
2018考研线代真题答案2018年考研数学一真题中的线性代数部分是许多考生关注的焦点。
在这一部分中，考生需要通过解答一系列的选择题和计算题来展示他们对线性代数知识的掌握程度。
接下来，我们将对2018年考研数学一线性代数真题进行分析，并给出相应的答案和解析。
第一题是关于矩阵的秩的计算。
考生需要计算一个给定矩阵的秩。
这个问题涉及到线性代数中的重要概念，即矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
通过计算矩阵的行阶梯形式，我们可以得到该矩阵的秩。
对于这道题，我们可以将矩阵化简为行阶梯形式，然后计算非零行的个数即可得到秩的答案。
第二题是关于矩阵的特征值和特征向量的计算。
考生需要计算一个给定矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。
特征值是指矩阵在某个方向上的伸缩比例，而特征向量是指在该方向上的不变向量。
通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到特征值。
然后，通过代入特征值，我们可以求解对应的特征向量。
对于这道题，我们可以先求解特征值，然后代入特征值求解特征向量。
第三题是关于线性空间的子空间的判断。
考生需要判断给定的子集是否构成一个线性空间的子空间。
线性空间是指满足加法和数乘运算封闭性的集合。
对于这道题，我们需要验证子集是否满足加法和数乘运算封闭性。
如果满足，则该子集构成一个线性空间的子空间。
第四题是关于线性方程组的求解。
考生需要求解一个给定线性方程组的解集。
线性方程组是线性代数中的基础知识，解线性方程组是线性代数中的重要技巧。
对于这道题，我们可以通过高斯消元法或矩阵的逆来求解线性方程组的解集。
第五题是关于向量空间的基和维数的计算。
考生需要计算一个给定向量空间的基和维数。
向量空间是指满足加法和数乘运算封闭性以及满足向量空间公理的集合。
对于这道题，我们需要找到向量空间的一个线性无关组，然后通过计算线性无关组的个数来得到向量空间的维数。
通过对2018年考研数学一线性代数真题的分析，我们可以看到这一部分涉及到线性代数的基本概念和计算技巧。
2018考研数学一参考答案
) 1 1 − tan x sin(kx) = e, 则 k = 9. lim x →0 1 + tan x 【解析】原极限为 1∞ 型, 故恒等变形为
.
−2 tan x lim 1 + x →0 1 + tan x
(
1+tan x )− 2 tan x
−2 tan x (1+tan x ) sin(kx )
−2 tan x = exp lim x →0 (1 + tan x ) sin ( kx )
(
)
=e
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本科院校 目标院校 目标专业 姓名 .....................................装.......................................订.......................................线.......................................
.
L
xyds =
L
( xy + yz + xz) ds =
)] ( 1 ( x + y + z )2 − x 2 + y2 + z2 ds = 6
L
( −1) ds = −
π 3
13. 设二阶矩阵 A 有两个不同的特征值, α1 , α2 是 A 的线性无关的特征向量, A2 (α1 + α2 ) = α1 + α2 , 则 | A| =
A. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H0 , 则 α = 0.01 时必拒绝 H0 B. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.01 时必拒绝 H0 C. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H0 , 则 α = 0.01 时必接受 H0 D. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.01 时必接受 H0 【解析】α 越小, 显著性差异越小, 越容易接受 H0 , 若 α = 0.05 时接受 H0 , 则 α = 0.051 时显著性变弱, 更加容易接受 H0 , 选 D. 评卷人 二、 ( 得分 填空题（每题 4 分, 共 24 分）