2018考研数学二真题解答

2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
C1.
第3页 共7页
本科院校
目标院校
目标专业
姓名
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
9. lim x2 [arctan (x + 1) − arctan (x)] =
.
x→+∞
【解析】由拉格朗日中值定理知
arctan (x + 1) − arctan (x)
=
1 1 + ξ2 , x
<
ξ
<
x + 1, 故
lim
x→+∞
x2 1 + ξ2
=
lim
x→+∞
x2 1 + x2
=
1.
第2页 共7页
2π
( xφ
(x)
+
2φ2
) (x)
dx
0
0
0
D
∫ 2π (
)
==
(t − sin t) (1 − cos t) + (1 − cos t)2 d (t − sin t)
∫
0
2π (
)
=
(t − sin t) (1 − cos t) + (1 − cos t)2 (1 − cos t) dt
0
= 5π + 3π2.
5
1 dx
(x − 1) (x − 3)
=
∫ 1
+∞ (
1
−
25
x−1
−
) 1
dx x−3
1 =−
2
[ln (x − 1) − ln (x − 3)]
+∞ 5
=
1 2
ln 2.
x = cos3 t
12.
曲线
y = sin3 t
在 t = π 对应点处的曲率为 4
.
【解析】由曲率计算公式得
K
=
|x′′ (t) y′ (t) − x′ (t) y′′ (t)|
本科院校
目标院校
目标专业
姓名
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
−
xy)
dy
+
∫1
0
dx
∫ 2−x2
x
(1
−xBiblioteka )dy=5
5
7
A.
B.
C.
3
6
3
【解析】交换积分次序利用对称性进行计算
(
)
7 D.
6
∫∫ I=
∫∫ (1 − xy) dxdy =
dxdy
=
∫ 2
1∫ dx
2−x2
dy
=
∫ 2
1
( 2
−
x2
−
) x
dx
=
7
D
D
0
x
0
3
7. 下列矩阵中, 与矩阵 10
1 1
=
1 时, z = 1 , 于是 ∂z
2
∂x
|(2,
1 2
)
=
1 .
4
14. 设 A 为三阶矩阵, α1, α2, α3 为线性无关的向量组. 若 Aα1 = 2α1 + α2 + α3, Aα2 = α2 + 2α3, Aα3 = −α2 + α3, 则 A 的实
特征值为
【解析】由题意得 A (α1, α2, α3) = (α1, α2, α3) 21
0 1
−01. 由于 α1, α2, α3 线性无关, 记 P = (α1, α2, α3), B = 21
0 1
12 1
12
则 P 是可逆矩阵, 因此矩阵 A 与矩阵 B 相似, 它们有相同的特征值, 易求得 B 的实特征值为 2, 即 A 的实特征值为 2.
−01, 1
评卷人 三、
得分 解答题（共 94 分）
()
0
A. 当 f ′(x) < 0 时, f 1 < 0
( 2)
C. 当 f ′(x) > 0 时, f 1 < 0
2
【解析】考虑 f (x) 在 x = 1 处的泰勒展开式: 2
() B. 当 f ′′(x) < 0 时, f 1 < 0
(2 ) D. 当 f ′′(x) > 0 时, f 1 < 0
(
)
√ D. f (x) = cos |x|
【解析】A,
B,
C 可导,
D
根据导数的定义可得
f+′
(0)
=
−
1 2
,
f−′ (0) =
1 .
2
−1, 3. 设函数 f (x) = 1,
x<0
2 − ax,
x ⩾ 0 , g (x) = xx,− b,
x ⩽ −1 −1 < x < 0 , 若 f (x) + g(x) 在 R 上连续, 则 x⩾0
本科院校
目标院校
目标专业
姓名
.....................................装.......................................订.......................................线.......................................
01 相似的为
001
(
)
A. 10
1 1
−11
B. 10
0 1
−11
C. 10
1 1
−01
D. 10
0 1
−01
00 1
00 1
00 1
00 1
【解析】易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵 λE − A 的秩相等, 即 E − A 秩相等. 显然
为 A.
8. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为矩阵 X 的秩, (X Y ) 表示分块矩阵, 则
∫
2
e2x 1 + ex −
dx
=
1 e2x
√ arctan ex
−
1
−
1
1
2
4
ex
√
dx
1∫2
ex − ex
√
1
d
(ex)
ex − 1
其中
∫
ex √
ex −
1
d
(ex)
=
∫
∫ t √ dt = t−1
∫
t √−
1
+
1 dt
=
t−1
√
∫
t − 1dt +
dt √
t−1
=
2
(t
−
3
1) 2
+
√ 2t
−
B 错误, 反例如 A = 1 0 , B = 1 0.C 错误, r(A B) ⩾ max{r(A), r(B)}, 反例如 A = 1 0 , B = 0
00
11
00
0
错误, 反例如 A = 1 0 , B = 0 0.
00
10
0.D 1
评卷人 二、