机械工程测试技术基础课后答案

机械工程测试技术基础习题解答

解答：在一个周期的表达式为

-A (-互壬「：0)

2

X(t)、A (0

积分区间取(-T/2 , T/2)

1°0

G =2 1次(眼顼0t dt =【T°-Ae^ 0t dt+【"eft _'0 00

I 0 2 10 2 10

A - ...

=j—(cosn-1) (n=0, -1, -2, -3, III)

n ■:

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

… A二1 …

x(t) = ' c n e 0=-j =' -(1-cosn二)e 0 , n=0, 土1, n -- ：：. n -

±2, ±3,川。

-二n

A〜、

c n i =-——(1 一cosn「)

nI n「：(n=0, -1, -2, -3, HI)

S =0

4 uarctan^- = J-

C nR

2 0

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

周期方波复指数函数形式频谱图

1-2求正弦信号X （t ）=X °Sin cot 的绝对均值

网和均方根值X rms 。 解

答

1-3求指数函数x （t ） =Ae 顼（a 》0,t 芝0）的频谱。

解答：

n= _1,_3,_,山 n = 0,_2,_4,_6, |H

Tt

一2

X(f)= x(t)eT 2「'ft

dt =

Ae5eT 2

「：

ft dt 0

-(a ”2二f)t

e

一(a j2二 f)

A a j2二 f

A(a - j2二 f) a 2 (2二 f )2

X(f)=

k ,a 2 (2二 f)2

(f) = arctan

Im X( f)

ReX(f)

2二 f

=-arctan -------

n= 1, 3, 5，山 n = -1,

-3, -5,| | ( n =0,_2,_4, _6

|C n | 2A/TI

2A/TT

2A/3%

2A/5% 2A/3 兀 2A/5 兀

-5 30

30

幅频图

X

rms

T

1 T

C 0 x(t)dt=f J x 0 sin 3tdt =

T

『2 sin 3tdt = T

2X 0 X

T« 7t

」T

j x 2

(t)dt = J ； { x ^

sin 2

"dt

2

x 0「1 一 cos2

wt ,, dt T 0

2

X 0 3

相频图

—I ,

—

3

5

a)符号函数的频谱

1 t 0 x(t) =sgn(t)=

1 t ：： 0

t =0处可不予定义，或规定 sgn(0)=0 。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘， 乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数

^t

x 〔(t) =e^sgn(t) = ° 寸 -e x(t) =sgn(t) =l a im 0x 〔(t)

X(f) =F Sgn(t) 】 = lim X 1(f) = -j

(见图1-25b)的频谱。

1-4求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数

a 肘号函数

u(t) “

b)阶跃函数

图1-25题1-4图

1

X(f)=

1

J! f 这样便满足傅里叶变换的条件。 先求此 x (t )的频谱。

XJf) = ■.X1(t)e^

7：ft

dt

, • at

二

-e e

at 尸2「：ft

dt . ：

--at .j2—ft

e e

dt =-j 2

2

a (2二 f)

b)阶跃函数频谱

1 t 0 u(t)=

0 t :: 0

在跳变点t =0处函数值未定义，或规定 u (0)=1/2 。 阶跃信号不满足绝对可积条件，

但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接

求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1:利用符号函数

,、1 1 八 u(t) =2 2sgn(t)

r ,

一1 1 1 「

，1 _

1 '' 1 ' 1 L 11

U ⑴=F 蝴N = F 归+-F Eg n(t)】=2&⑴+2尸并厂矛⑴-J 客

U ⑴=;「2(f)

结果表明，单位阶跃信号 u (t )的频谱在f =0处存在一个冲激分量，这是因为 u (t )含有直流

分量，在预料之中。同时，由于 u (t )不是纯直流信号，在 t =0处有跳变，因此在频谱中还

包含其它频率分量。

JI

2

(f) =

f <0