激光原理高斯光束

近轴（ x, y << z ，z ≈ R ）：
r= x2 + y2 + z2 ≈ z + x2 + y2
2R
E( x,
y, z)
≈
A0
exp[−ik(z +
x2
+
y2 )]
R
2R
NJUPT
高斯光束
3、高斯光束
激光束，既不是均匀的平面光波，也不是均匀的 球面光波，而是一种比较特殊的高斯球面波。
E(x,
= ω0′
ω0′达到极大值
λ
= F
πω0
F f
ω0
且： l′ = F
结论
F > f 无聚焦作用； F < f 有聚焦作用N。JUPT
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
NJUPT
高斯光束的聚焦
l
一定时，ω
′
0
随
F
的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
B处：1= qB 1 qA − 1 F C处：q=C qB + lC
已知：
ω0、l、F
1
1
RC
=
Re
qC
1
ωC
2
=
−π λ
1
Im
qC
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
方法二：
Aq + B q= 1
2 Cq + D 1
1 =
q 2
C+ D q
=1 A+ B
q 1
(C + D ) − iλ D
= ω0′2
D= 2 +ωC022 f02
F 2ω 2 0
(F
−
l )2
+
(
πω
2 0
)2
变换前后的束腰大小关系
λ
D
A=
D2
+ C2
f2 0
F
−
l′
= (F
F 2(F − l)2 +
− l)
(πω02
)2
λ
变换前后的束腰位置关系
NJUPT
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
求：
l
′、ω
′
0
= F −l′ F −l
−
1 F
0
1
R2
=
AR1 CR1
+ +
B D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
在自由空间的传播
束腰处：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=z 0，q(0=) if=
1 Z
自由空间变换矩阵： TL = 0
1
i πω02 λ
由ABCD法则： q(z=) if + z
11
iλ
z − if
ω ′2 0
= πωC 2 λ
A2
πω 2 (0
)2
+
B2
= λπω 2
0
λ
(1
−
lC F
)2 (πω02 λ
)2
+
(l
+
lC
−
llC F
)2
(πω02 )2 λ
= RC
A2q 2 + B2 = 0 ACq 2 + BD
0
(1
−
lC F
)2
(
πω 0
2
λ
)2
+
(l
+
lC
−
llC F
)2
−
1 F
(1
−
lC F
)2 (πω02 λ
R πω 2
1
1
( A + B ) − iλ B
R πω 2
1
1
2
πω 2 2 λ
=
A+
B R
1
πω 1 λ
2
πω 2 1
2
+ B2
λ
R 2
=
A+
B R1
B
A+
R 1
C
2 +
πω 2 1 λ
2
+
B2
D R
1
πω 2 1 λ
2
+
BD
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
z =± f =± πω02 | R(z) |= 2 πω02 （极小值）
λ
λ
| z |≤ πω02 λ
|
R( z )
|逐渐增加，曲率中心在
(−∞, −
πω
2 0
λ
πω λ
2 0
, +∞)
| z |> πω02 λ
| R(z) | 逐渐增加，曲率中心在 (− πω02 , πω02 ) λλ
腰斑放大率：=k ω=0′ ω0
1
<1
1+
f F
2
F
1
+
F f
2
<
F
NJUPT
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况 （1） l < F 结论
l = 0 时，ω0′ < ω0
不论透镜焦距 F 为多大，都有一定 的聚焦作用；
F越小，聚焦作用越好；
像方腰斑的位置处在透镜后焦点以内。
§4.3 高斯光束的 聚焦和准直
NJUPT
高斯光束的聚焦 使激光束会聚为极小点，得到光能集中的小光斑
F − l′ =
F 2(F − l) (F − l)2 + f 2
⇒ l′ =
F
+
F 2(l − F (F − l)2 +
) f
2
ω ′2 0
=
F 2ω 2 0
(F − l)2 +
f2
NJUPT
向，与波面垂直，代表 了光波面的法线方向
R y
α
0
近轴条件下:
R≈
y
α
Z
R0
≈
y0
α0
,
R′
≈
y′
α
′
=y′
= α ′
Ay0 Cy0
+ +
DBαα= 00 R′
A= y0 + Bα0 Cy0 + Dα0
A y0 + B
= α0
C y0 + D
AR0 + B CR0 + D
α0 NJUPT
普通球面波的传播规律
1 R(z)
−
iλ πω 2 (z)
1 R(z)
=
Re
1
q(z)
ω
1 2(z)
=
−π λ
1
Im
q(z)
= 1 q0
= 1 q(0)
1 R(0)
−
iλ πω 2 (0)
= q0
i= πω02 λ
if
NJUPT
§4.2 高斯光束的传输 与变换规律
NJUPT
Y
波面
ABCD 法则
α 的方向是光线的切线方
q(z) R= (z)－πω 2 (z) f 2 + z2
结论：高斯光束q参数在自由空间的变换规律满足ABCD法则
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
通过焦距为F的薄透镜
M1
M2
1= 1 − 1 R2 R1 F
ω1 = ω2
R1 F R2
11
λ
11
λ
q2
=
R2
− i πω22
=
( R1
−
F
)
−
NJUPT
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω
′2
F 2ω 2
= 0
0 (F − l)2 + f 2
（2） l > F
ω0′随 l 的增大而单调减小
当
l
→
∞
时：ω
′
0
→
0，l′
→
F
当 l >> F，l >>
ω ( z )
ω0，z
⇒
R(
z)
θ0
2. 任一 坐标 z处的光斑半径 ω (z)及等相面曲率半径 R(z)
ω(z)
R( z )
⇒
ωz0
NJUPT
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
u00 ( x, = y, z)
c
ω ω(
0
z
)
exp
−
x2 + y2
ω2(z)
exp
−i
k(z
+
x2 + y2 2 R( z )
在自由空间的传播
R(z2=) R(z1 ) + z2 − z1
A B 1 L
= TL
= C D
0
1
R2
=
AR1 CR1
+ +
B D
（遵循ABCD变换法则）
NJUPT
普通球面波的传播规律
通过焦距为F的薄透镜
R1(z) R2 (z)
1 11
=−
O1
O2
R2 R1 F
F
= TF
= CA DB
1
高斯光束
1、均匀平面波 沿某方向（如z轴）传播的均匀平面波（即均匀的平 行光束），其电矢量为：
E( x, y, z) = A0e−ikz
k = 2π λ ，波数
A0 ，振幅
特点：振幅与x，y无关 在与光束传播方向垂直的平面上光强是均匀的。
NJUPT
高斯光束
2、均匀球面波
由某一点光源（位于坐标原点）向外发射的均匀球面 光波，其电矢量为：
E( x, y= , z)
A0
exp[−ik x2 + y2 + = z2 ] A0 exp(−ikr)
x2 + y2 + z2
R
R= x2 + y2 + z2 ，光源到点 ( x, y, z) 的距离
与坐标原点距离为常数 ，是以原点为球心的一个球面，在 这个球面上各点的位相相等，即该球面是一个等相位面。
第4章 高斯光束
NJUPT
高斯光束
高斯光束：所有可能存在的激光波型的概称。
理论和实践已证明，在可能存在的激光束形式中， 最重要且最具典型意义的就是基模高斯光束。
无论是方形镜腔还是圆形镜腔，基模在横截面上的光 强分布为一圆斑，中心处光强最强，向边缘方向光强 逐渐减弱，呈高斯型分布。因此，将基模激光束称为 “高斯光束”。
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω ′2 0
F 2ω 2
= (F − l )2 0+ f 2
（1） l < F
ω0′随 l 的减小而减小
当 l = 0 时：ω0′(min) =
ω0 =l′
1 + ( f )2 F
Z=± ∞
|R(z)|≈|z|→ ∞ (无限远处等相面为平面）
光波面
ω(z)
F
ω0
z
−ω0
F
高斯光束 强度：
共焦腔心处：高斯分布平面波 其他：高斯分布球面波
非均匀球面波 变曲率中心球面波
2014/5/7
高斯光束的基本性质
远场发散角（全角）
ω(z) F
高斯光束随传播距离 的变化率
ω0
θB
=
λ πω0
c
ω 0
ω (z)
exp
−i
k(z
+
x2 + y2 2q(z)
)
−
ϕ
(z)
均匀球面波：
u( x, y, z)=
u0 R
exp −i
k(z
+
x
2+ y 2R
2
)
−
ϕ
0
可将基模高斯光束看作具有复数 波面曲率半径的球面波光束
2014/5/7
NJUPT
讨论: 高斯光束的q参数
= 1 q(z)
ωω= 00′22
f′ f
(F
−l
)(F
−
l′)=
F2−
f′
f
几何光学中牛顿公式: (F − l)(F ′ − l′) = FF ′
比较可知：几何光线的透镜变换是高斯光束在
ω 0
→
0
的情形
若入射束腰在物方焦点处，l = F ：
l′ = F,
ω0′
=
λ πω0
F
最大值
当物点位于透镜前焦点，像点不在无穷远处，与几何光线不同
z
−ω0
F
毫弧度量级
θ0
=
lim
2ω ( z )
z
=
λ
2
πω0
=
λ
0.6367
ω0
=
2
λ = 1.128 πf
λ
f
NJUPT
总结: 基模高斯光束特点
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
θB
=
λ πω0
z
高斯光束
非均匀球面波
等相位面为球面； 其曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
i
πω
2 2
=( 1 R1
λ − i πω12 ) −
1 F
=
1 q1
−
1 F
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
ω0′ ωc
A B l′
C
l
lC
q0
qA qB
qC
求：ωC、RC
方法一： z=0 处：q0 = i πω02 λ
A处： q=A q0 + l
f
时：ω0′
≈
F l
ω0
结论
l >> F，时， l 越大， F 越小，聚焦效果越好。 NJUPT
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
（3）l = F
ω
′2
F 2ω 2
= 0
0 (F − l)2 + f 2
总结: 基模高斯光束特征参数
ω= ( z )
ω0
1+
z f
2
R(= z)
z
1
+
f z
2
ω0 =
λf π
f = πω02 （共焦参量）
λ
NJUPT
总结: 基模高斯光束特征参数之间关系
光斑半径 ω(z)
高斯光束的特征参数 等相面曲率半径 R(z)
共焦参量 f
1. 腰斑 ω0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
)
−
ϕ
(
z
)
u00( x= , y, z)
c ω 0 exp ω (z)
{−ik z +
x2 + 2
y2 1 (− R(z)
iλ kω 2(
z
)
)
+
iϕ
(z)
q( z )复曲率半径
1
1
iλ
= q(z)
R(z) − πω 2 (z)
NJUPT
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
u00 ( x, = y, z)
双曲线顶点坐为 ±ω，0
焦点坐标为F (0, ± πω02 ) λ
光能主要分布在双锥体内 NJUPT
高斯光束的基本性质
光波面
ω(z)
F
ω0
−ω0
F
波面曲率半径
R(
z
)
= z 1
+
f z
2
= z 1
+
(
πω02 λz
)2
z
Z=0（束腰处） R(z) → ∞ z=0，ω0 (束腰处等相面为平面）
)2
+
(l
+
lC
−
llC F
)2 (1
−
l F
)
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
ω0′ ωc
A B l′
C
l
lC
q0
qA qB
qC
若出射面在薄透镜面上， lC：= 0
ωB = ωA,
= 1 RB
1 −1 RA F
NJUPT
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
求：l′、ω0′
R1 = R2 = ∞
NJUPT
高斯光束的基本性质
振幅分布及光斑半径
A(r)
A0
A0 e
0 r =ω(z) r
ω(z) =ω0
1+
z f
2
=ω0
λz 2
1
+
πω02
P67
=f π= ω02 1 L 共焦腔反射镜的焦距 λ2
NJUPT
高斯光束的基本性质
振幅分布及光斑半径
ω(z)
F
ω0
z
−ω0
F
ω(z) 随z以双曲线函数变化
y, z)
=
A0 exp[−
ω(z)
(x2 + y2)
ω2(z) ]×
exp−
ik[
x2 + y2 2R(z)
+
z] +
iϕ ( z )
振幅因子
相位因子
NJUPT
高斯光束的基本性质
ω0 ——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
ω(z) ——高斯光束在z处的光斑半径 R(z) ——高斯光束在z处的波面曲率半径