小升初奥数专题训练

第一讲 数的整除问题

数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进

一步深入学习数论至关重要.

本讲需要教授的内容有：

1、掌握并熟练运用能被

2、

3、

4、

5、

6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.

2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.

3、自然数乘法末位数规律.

4、基础好的学生还应该掌握分式的化简方法.

1．整除——约数和倍数

一般地，如a 、b 、c 为整数，b ≠0，且a ÷b = c ，即整数a 除以整数b （b ≠0），除得的商c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a ）。记作b ︱a 。否则，称为a 不能被b 整除（或b 不能整除a ）。

如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数（或因数）。

2．数的整除性质

性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

性质2：如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a 。

性质3：如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a 。

性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。

3．数的整除特征

① 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的

数字之和的差（大减小）是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数

字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

4.部分特殊数的分解

111=3×37； 1001=7×11×13； 11111=41×271； 10001=73×137；

1995=3×5×7×19； 1998=2×3×3×3×37； 2007=3×3×223；

2008=2×2×2×251； 2007+2008=4015=5×11×73; 10101=3×7

×13×37.

【例1】（全国希望杯数学邀请赛）若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是．

【例2】把三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数33 (3)

(19933)

ab ab ab

ab

个

恰

是91的倍数，求ab=？

【例3】如果有一个九位数A1999311B 能被72整除，试求A、B两数的差(大减小)．【例4】(2003年祖冲之杯小学数学邀请赛)三个连续自然数的和能被13整除,且三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的最小的三个数是

_____,________,_______

【例5】要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？

【例6】 求能被26整除的六位数___________

1991x y 。

【例7】(2005年全国小学数学奥林匹克竞赛)如果

20052005......200501n 个2005能被11整除,那

么n 最小值是_____. 【例8】(1998年香港圣公会小学数学奥林匹克竞赛)一个六位数,前四位是2857,即2857??,这个六位数能被11和13整除,请你算出后两位数.

【例9】(2001年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)在算式?+91=?中,已知?盖住的是一个能被9整除的两位数,?盖住的是7的倍数,问?盖住的数是多少

【例10】（香港圣公会小学数学奥林匹克）这个199位整数：19910010010011001位

被13

除，余数是多少？

分数裂项求和方法总结

（一） 用裂项法求

1(1)n n +型分数求和 分析：因为1

11

n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：

111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960)

+++⨯⨯⨯的和。 （二） 用裂项法求

1()n n k +型分数求和 分析：1()

n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11

111()[]()()()n k n k n

n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++

【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯

（三） 用裂项法求

()k n n k +型分数求和 分析：()

k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k

-+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k

-+ 【例3】 求2222 (1335579799)

++++⨯⨯⨯⨯的和 （四） 用裂项法求

2()(2)k n n k n k ++型分数求和 分析：2()(2)

k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 【例4】 计算：4444 (135357939597959799)

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （五） 用裂项法求

1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3)

n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

（六） 用裂项法求

3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3)

k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 【例6】 计算：333 (1234234517181920)

+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （七）用裂项法求复合型分数和（例题略）