希望杯第七届(1996年)初中二年级数学第一试试题

希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题
一、选择题:
1.下列各式中与分式aab的值相等的是[]

A.aab;B.aab;C.aba;D.aba.
2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，那么这个角等于[]
A．58°B．59°.C．60°D．61°
3．如图23，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的
三角形有[]A．5对.B．6对.C．7对.D．8对.

4.设a=199619951995,b=199519961996,c=199519961995,

d=199619951996,则下列不等关系中成立的是[]
A．a＞b＞c＞d.B．c＞a＞d＞b.C．a＞d＞c＞b.D．a＞c＞d＞b
5．如图24，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于D点，∠ADC=130°，
那么∠CAB的大小是[]
A．80°B．50°.C．40°D．20°
6．已知一个三角形中两条边的长分别为a，b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值
范围是[]
A．3a＞l＞3b.B．2（a＋b）＞l＞2a.C．2a＋b＞l＞2b＋a.D．3a－b＞l＞a＋2b

7.若1a：1b：1c=2：3：4,则a：b：c等于[]
A．4：3：2.B．6：4：3.C．3：4：2.D．3：4：6
8．如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9厘米，
BC=8厘米，CD=7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，
则BN的长等于[]
A．1厘米.B．1.5厘米.C．2厘米.D．2.5厘米
9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60，
那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是[]
A．28B．27C．26D．25

10.已知x,y,a,b都是正数,且aA.abab;B.abbc;C.acab;D.bcab.
二、A组填空题
1．因式公解：9a2－4b2＋4bc－c2=______．
2．化简分式:()()()()()()bcaabbcbccacaab=_______.
3．已知多项式3x3＋ax2＋3x＋1能被x2＋1整除，且商式是3x＋1,那么a的值是______．
4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，则a的取值范围是______．
5．如图26，凸四边形ABCD的四边AB、BC、CD、和DA的长分别是3，4，12，和13，∠ABC=90°，
则四边形ABCD的面积S=______．
6．如图27,AOB是一条直线,∠AOC=60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则图中
互为补角关系的角共有______对．

7．如果a＋b=6，a3＋b3=72，那么a2＋b2的值是______．
8.如果a2-3a+1=0,那么361aa的值是___________.
9．如图28，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD=AC，则∠B：∠C的值是______．
10．如图29，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，则∠C的大小
是______．
二、B组填空题:

1.若24224xabxxx,则a2+b2的值是_________.
2．已知a≥b＞0且3a＋2b－6=ac＋4b－8=0，则c的取值范围是______．
3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是______．
4．如图30，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10厘米，则MD的长
为______．
5．已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2＋n2＋p2=______．
答案·提示
一、选择题
提示：

∴选C．
2．设该角为x°．

3．在图23中有△ABC≌△DCB，△ACD≌△DBC，△AOB≌△DOC，△AOC≌△DOB，△AOE≌
△DOF，△AEC≌△DFB，△AEB≌△DFC，共有7对三角形全等，选C．

∴a＞c＞d＞b，选D．
5．解法1：如图31，连接BD，
则BD也是∠ABC的角平分线．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∠ADB=∠ADC=130°．
∴∠BDC=360°－2×130°=100°．
∴∠DCB=∠DBC=40°．
∴∠ABC=∠ACB=80°．
∴∠CAB=180°－2×80°=20°，选D．
解法2：设∠CAB=x°，则∠B=∠ACB

∴∠ACD＋∠CAD=180°－∠ADC．
解得x=20°，∴选D．
6．三角形中两边长为a，b，且a＞b，则第三边为C，满足条件a－b＜c＜a＋b，
∴a+b+（a-b）＜a+b+c＜a+b+（a+b）．即2a＜a+b+c＜2（a+b），∴选B

8．如图32，连接AN，DN．
∵M为AD中点，MN⊥AD，
∴AN=DN
设BN=x，则CN=8-x，
∵CD2+CN2=AB2+BN2．
∴72+（8-x）2=92+x2．
解得x=2，∴选C．
9．设三个人年龄分别是x，y，z．

①+②+③得2（x+y+z）=168．

∴38-10=28，选A．
10．∵x，y，a，b均为正数，且a＜b，得x＜y．
∴x，y中较大的数是y．
二、A组填空题
提示：
1．因式分解
9a2－4b2＋4bc－c2=9a2－（4b2－4bc＋c2）=9a2－（2b－c）2=（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）

3．由已知3x3＋ax2＋3x＋1=（x2＋1）（3x＋1）,∴3x3＋ax2＋3x＋1=3x3＋x2＋3x＋1,∴
a=1
4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，

5．连接AC，△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理得AC=5．在△ACD中，
AC=5，CD=12，AD=13．
∵132=122＋5
2
∴△ACD是直角三角形．∠ACD=90°．

∴S四边形ABCD=S△ABC＋S
△ACD

6．∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE=60°．
有∠AOD＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠COB=180°，∠AOE＋∠BOE=180°，∠COD＋∠
DOB=180°，∠AOC＋∠AOE=180°，∠COE＋∠AOE=180°，∠BOE＋∠BOC=180°，∠COE
＋∠BOC=180°，共有8组角互为补角．
7．∵a＋b=6①,a3＋b3=（a＋b）（a2－ab＋b2）=72．
∴a2－ab＋b2=12②
①2－②3ab=24
∴ab=8③
把③代入②得a2＋b2=20．
8．∵a2－3a＋1=0，
∴a2＋1=3a．
∵a≠0，

=3（7－1）=18．
9．如图33，在AC上取AE=AB．连接DE，
在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD
∴△ABD≌△AED．
∴BD=DE，
∠B=∠AED．
又AC=AB＋BD，AE=AB，
∴EC=BD=DE．
∴∠EDC=∠C，
∴∠B=∠AED=∠EDC＋∠C=2∠C．
10．由已知，∠ABO=∠CBO，∠ADO=∠CDO．比较△ABG和△OGD的角的关系得∠A＋∠ABG=
∠O＋∠ODG，①
同理比较△OBH和△CDH得∠C＋∠CDH=∠O＋∠OBH．②
①＋②得∠A＋∠C=2∠O．
∴∠C=2×33°－27°=39°．
三、B组填空题
提示：

∴a2＋b2=8．
①×2－②得（6－c）a=4．
∵a≥b＞c．
∴6－c＞0，c＜6
且4≥12－3c＞0

3．设这个凸多边形的边数为n，其中4个内角为钝角，n－4个内角为直角或锐角．
∴（n－2）·180°＜4·180°＋（n－4）·90°
∴n＜8，取n=7．
当n=7时，可以作4个170°的内角，其余3个内角分别为80°，80°，60°．
4．如图34，取AB中点N，连接DN，MN．在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，

∠NDB=∠B，在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点．
∴MN∥AC，∠NMB=∠C．
又∠NDB是△NDM的外角，
∴∠NDB=∠NMD＋∠DNM．
即∠B=∠NMD＋∠DNM=∠C＋∠DNM．
又∠B=2∠C，
∴∠DNM=∠C=∠NMD．

又AB=10（厘米），
∴DM=5（厘米）．
5．由已知，mnp=5（m＋n＋p）．
由于m，n，p均为质数，5（m＋n＋p）中含有因数5．
∴m，n，p中一定有一个是5．
不妨设m=5．则5np=5（5＋n＋p）．即np=5＋n＋p．
∴np－n－p＋1=6即（n－1）（p－1）=6
又n，p均为质数．