希望杯八年级数学竞赛试题及答案

全国数学邀请赛初二第一试
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1．下列运动属于平移的是（）
（A）乒乓球比赛中乒乓球的运动．（B）推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行．
（C）空中放飞的风筝的运动．（D）篮球运动员投出的篮球的运动．
2．若x=1满足2m x2-m2x-m=0，则m的值是（）
（A）0．（B）1．（C）0或1．（D）任意实数．
3．如图1，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90后得到△A P B
'''，若BP=2，那么PP'的长为( ) （A）22．（B ）2．（C）2 ．（D）3．
4．已知a是正整数，方程组
48
326
ax y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解满足x>0，y<0，则a的值是（）
（A）4 ．（B）5 ．（C）6．（D）4，5，6以外的其它正整数．
5．让k依次取1，2，3,…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①k+2；②k2；③2 k；④2 k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（）
（A）①<②<③<④．（B）②<①<③<④．
(C) ①<③<②<④．(D) ③<②<①<④．
6．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（）
（A）40 ．（B）202．（C）20．（D）102．
7．Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )
（A）1：1．（B）2：3．（C）1：2．（D）1：2．
(英汉词典：length长度；diagonal对角线；square正方形；rhombus菱形；respectively分别地；ratio比；area面积)
8．直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（）．（A）132．（B）121．（C）120．（D）111．
9．若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零，则此三角形的周长是（）．（A）9或18．（B）12或15 ．（C）9或15或18．（D）9或12或15或18．
10．如图2，A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D上放了写有字母“G”的纸片，某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像，则下列判断中正确的是（）（A）镜面A与B中的影像一致．（B）镜面B与C中的影像一致．
（C）镜面A与C中的影像一致．（D）在镜面B中的影像是“G”．
二、A组填空题（每小题4分，共40分）
11．如图3，在△BMN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、BN、MN上，且四边形ABCD是平行四边形，∠NDC=∠MDA，则ABCD的周长是．
12．如果实数a ≠b，且101
101
a b a
b a b
++
=
++
，那么a b
+的值等于．
13．已知x =a b M +是M 的立方根，36y b =-是x 的相反数，且M =3a -7，那么x 的平方根是 ．
14．如图4，圆柱体饮料瓶的高是12厘米，上、下底面的直径是6厘米．上底面开有一个小孔供插吸管用，小孔距离上底面圆心2厘米，那么吸管在饮料瓶中的长度最多是= 厘米．
15．小杨在商店购买了a 件甲种商品，b 件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件7元，乙种商品每件19元，那么a b +的最大值是 ．
16．ABC 是边长为23的等边三角形。

点D 在三角形内，到边AB 的距离是1，到A 点的距离是2，点E 和点D 关于边AB 对称，点F 和点E 关于边AC 对称，则点F 到BC 的距离是 ．
17．如图5，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20，再沿直线前进10米后，又向左转20，……，这样下去，他第一次回到出发地M 时，行走了 米．
18．关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 ．
19．已知点（1，2）在反比例函数a y x
=所确定的曲线上，并且该反比例函数和一次函数1y x =+ 在x b =时的值相等，则b 等于 ．
20．如图6，大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成，这些多边形（不包括大五边形）的所有内角和等于 ．
三、B 组填空题（每小题8分，共40分，每一题两个空，每空4分）
21．解分式方程 225111
m x x x +=+--会产生增根，则m = 或 ． 22．Let A abcd = be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, then
A= 或 ．
（英汉词典：four-digit number 四位数；square 平方、平方数；integer 整数）
23．国家规定的个人稿酬纳税办法是：①不超过800元的不纳税；②超过800元而不超过4000元的，超过800元的部分按14%纳税；③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人编写了两本书，其中一本书的稿酬
不超过4000元，第二本书的稿酬比第一本书多700元，两本书共纳税915元，则两本书的稿酬分别是= 元和 元．
24．直线l 交反比例函数3y x
=的图象于点A ，交x 轴于点B ，点A 、B 与坐标原点o 构成等边三角形，则直线l 的函数解析式为 或 ．
25．若n 是质数，且分数417
n n -+不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n 或 ．
第十八届“希望杯”全国数学邀请赛答案（初二）
提示：1、略
2、原式可化为：m(1-m)=0,m=0或m=1
3、由题意得△BPP ´是等腰直角三角形，由勾股定理得PP ´
4、解方程组得：461236x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
∵x>0,y<0 ∴601230a a ->⎧⎨-<⎩解得4<a<6, ∴a=5. 5、当k>4时，2k >k 2
>2k>k+2,所以选C
6、顺次连接该四边形的四边中点所得的四边形是矩形，面积是： （
12×10）×（12
×8）=20 7、S 正=12a 2 ， S 菱形=12bc ，∵b:a=a:c ，即a 2=bc ，∴S 正 ：S 菱形 =1：1 8、设另两边为a ，b ，则a 2+b 2=112 （不合题意舍去）或112= a 2 - b 2
=(a+b)(a-b)=121
=121×1; ∵a,b 是自然数 ∴a+b=121, ∴周长是121+11=132 9、∵x2-9x+18=0，即（x-6）（x-3）=0 ，∴x=6或x=3，∴三角形三边分别是：
3，3，3或6，6，6或6，6，3。

周长：9或15或18。

10、略
二、A 组填空题：
提示： 11
ABCD ∴BC //BM ∴NDC M ∠=∠
6
6
NDC MDA
MDA M
AM AD BA AD BA AM BM BC DC BA AD ABCD
∠=∠∴∠=∠∴=∴+=+==∴+=+=∴ 周长为12 12. 1110610++=++b a a b a )1)(10()1)(10(++=++∴a a b b b a 化简得(a-b)(a+b-9)=0
b a ≠ 09=-+∴b a 9=+∴b a
13.由题意得⎩⎨⎧-=-=+a
b b a 3763解得⎩⎨⎧-==25b a 2
88733==∴=-=∴x a M
2±∴的平方根是x
14由题意得AB=5 BC=12 169BC AB AC 222=+=∴ 13AC =∴ 15由题意得7a+196=213 a=7196213- 在b 最小时 a+b 值最大 ∴⎩⎨⎧==25
2a b 即a+b=27 16. 画出图形,由对称的性质和等边
三角形的性质可设F 到BC 的距离为4
17 .由多边形外角和为3600,个外角是020,可设该多边形为3600=020=18边形
303
21≤≤∴≤-+-∴x x x
∴所有整数解为和为0+1+2+3=6
18．
19由题意设2=1
a ∴a=2 1
202122-=-=∴=-+∴+=∴b b b b b b
或
20. 5个三角形 10个四边形
545003*********=⨯+⨯°
三、B 组填空题
提示：21.去分母设2(x-1)-5(x+1)=m 当x=1时 m=-10 当x=-1时 m=-4
23.设第一本x 元 第二本x+700元
915%11)700(%14)800(=⨯++⨯-x x
解得:x=3800
x+700=4500
答:第一本3800元 第二本4500元
24.由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+=x
y x xy 2322 解得⎩⎨⎧==31y x ⎩⎨⎧-=-=3
1y x )3,1(A ∴或(1- 3-) )0.2(B ∴或(-2,0)
解析式为y=323+-x 或y=323--=x
25．11；31。