3-3线性相关性

p
故α1 ,L ,α t 可由γ 1 ,L , γ p线性表出
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三、线性相关性 1、线性相关
定义1 定义1：如果向量组α1 ,α 2 ,L ,α s ( s ≥ 2)中有一向量 可经其余向量线性表出， 可经其余向量线性表出，则向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 称为线性相关的. 称为线性相关的 线性相关
ε 1 = (1,0,L ,0), ε 2 = (0,1,L ,0), L , ε n = (0,0,L ,1)
的一个线性组合． 的一个线性组合． 事实上， 事实上， 对任意 α = (a1 , a2 ,L , an ) , 都有
α = a1ε 1 + a2ε 2 + L + anε n .
ε 1 , ε 2 ,L , ε n也称为 n 维单位向量组． 维单位向量组．
α1 ,α 2 ,L ,α s , β 线性相关，则 β 可经向量组 线性相关， α1 ,α 2 ,L ,α s 线性表出 且表示式唯一。(习题3) 线性表出，且表示式唯一 且表示式唯一。 习题3)
3、线性相关性的重要性质 1）充要条件
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判断向量组 α i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain ), i = 1,2,L , s 是否线性相关就是看方程 x1α1 + L + xsα s = 0 有无非零解， 有无非零解，即齐次线性方程组 a11 x1 + a21 x2 + L + a s1 x s = 0 a12 x1 + a22 x2 + L + a s 2 x s = 0 (∗) LLLLLLLLLLL a x + a x + L + a x = 0 2n 2 sn s 1n 1 有无非零解，故 有无非零解 故
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简证： 简证：两向量组相对应的齐次线性方程组分别为
a11 x1 + a21 x2 + L + a s1 x s = 0 a12 x1 + a22 x2 + L + a s 2 x s = 0 LLLLLLLLLLL a x + a x + L + a x = 0 2n 2 sn s 1n 1
α1 lα3 α3 α2 kα2
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定义1 称为线性相关 定义1'：向量组α1 ,α 2 ,L ,α s ( s ≥ 1) 称为线性相关 向量组 的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1 , k2 ,L , k s， 使
k1α1 + k2α 2 + L + k sα s = 0.
定义1 定义1 是一致的. 注: 在 s ≥ 2 时，定义1与定义1′是一致的. 例2 判断下列向量组是否线性相关. 判断下列向量组是否线性相关
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二、向量组的等价 1、定义
若向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 中每一个向量 α i ( i = 1,2,L , s ) 皆可经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出，则称向量组 线性表出，
α1 ,α 2 ,L ,α s 可以经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出； 线性表出；
注: 特殊情形
1）向量组 α1 ,α 2 线性相关 ⇔ α1 ,α 2 成比例 ） 成比例.
⇔ α1 =kα 2或α 2 =kα1
⇔ α 1 , α 2共线
2）任意一个含零向量的向量组必线性相关. ）任意一个含零向量的向量组必线性相关.
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3) 向量组{ α1,α2 ,α3 }线性相关 ⇔ 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面） α1 = kα2 + lα3 （ α1 在 α2 和 α3 所确定的平面上）. ，如
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4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 ）一个向量组中若部分向量线性相关， 整个向 部分向量线性相关 量组也线性相关； 量组也线性相关； 相关 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 无关 任何一个部分 都线性无关 无关. 都线性无关 5）如果向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 线性无关，而向量组 ） 线性无关 而向量组
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定义2：若向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 不线性相关，则称 定义2 若向量组 不线性相关，
k1 , k2 ,L , k s ，使 使
k1α1 + k2α 2 + L + k sα s = 0
线性无关的. 则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的
注: 换句话说，对于一个向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s , 若由 换句话说，
例1
线性表出. 判断向量 α 能否由向量组 α1 ,α 2 ,α 3 线性表出
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若能，写出它的一个线性表示式． 若能，写出它的一个线性表示式．
α = (2, −1,3,4)
α1 = (1,2, −3,1), α 2 = (5, −5,12,11), α 3 = (1, −3,6,3)
解：设α = k1α1 + k2α 2 + k3α 3，即有方程组
(∗1)
a11 x1 + a21 x2 + L + a s1 x s = 0 LLLLLLLLLLL (∗2) a x + a x +L+ a x = 0 n s a 1n 1x +2a 2 x + Lsn a + s ,n +1 x s = 0 2,n +1 2 1,n+1 1 (∗2)的解全是(∗1)的解，故(∗1)只有零解 ⇒ (∗2)只有零解.
α = k1 β 1 + k2 β 2 + L + k s β s
注:
成比例. ①若 α = k β ，也称向量 α 与 β 成比例
可由任一向量组线性表出 ②零向量0可由任一向量组线性表出. 向量 可由任一向量组线性表出.
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③一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. 一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出. ④任一 n 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) 都是向量组
线性相关. 所以 α1 ,α 2 ,α 3 线性相关. 令 k3 = 1, 则有
{
k1 = −3, k2 = 1, k3 = 1, 使 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0.
2、线性无关
线性无关的. 向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的 即 中不全为零的数 若不存在 P 中不全为零的数
§3 线性相关性
■
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重点与难点： 重点与难点：
▲
1. 线性组合 2. 向量组等价 3. 线性相关性 4. 极大无关组
●▲ ●▲
▲
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一、线性组合 1.定义 1.定义
如果有数域P 如果有数域 中的数 k1 , k2 ,L , k s , 使
的一个线性组合 线性组合， 则称向量 α 为向量组 β 1 , β 2 ,L , β s的一个线性组合， 其中 k1 , k2 ,L , k s 叫做这个线性组合的系数. 叫做这个线性组合的系数 系数. 若向量α 可表成向量组 β 1 , β 2 ,L , β s 的一个线性组 线性表出. 合，则称向量 α 可由向量组 β 1 , β 2 ,L , β s 线性表出
j =1 m =1 s p
则α i = ∑ kij ∑ l jmγ m = ∑ ∑ kij l jmγ m = ∑ ∑ kij l jmγ m
j =1 m =1 j =1 m = 1 m =1 j =1
s
p
s
p
p
s
s = ∑ ∑ kij l jm γ m , i = 1,L , t m =1 j =1
是否线性相关？若线性相关， 是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1 , k2 , k3 , 使 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0.
解： 设 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0, 即有方程组
k1 + 2k2 + k3 = 0 −2k1 + k2 − 7 k3 = 0 , 解之得 k1 = −3k3 , k3 为任意数 k2 = k3 3k1 + 9k3 = 0
α1 ,L ,α s线性无关 ⇔ (∗)只有零解； α1 ,L ,α s线性相关 ⇔ (∗)有非零解。
特别地，对于 特别地，对于n 个 n 维向量
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α i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain ), i = 1,2,L , n
a11 a12 系数行列式 | A |= L a1n a21 a22 L a2 n L L L L a n1 an 2 L ann
若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个 若两个向量组可以互相线性表出， 向量组等价. 向量组等价.
注:
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①每一个向量组都可以经它自身线性表出； 每一个向量组都可以经它自身线性表出； ②线性表出具有传递性，但不具对称性。 线性表出具有传递性，但不具对称性。 反例 证
2、等价的性质
向量组之间的等价关系具有： 向量组之间的等价关系具有： 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性
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证明：α1 ,L ,α t 可由β 1， , β s线性表出，β 1， , β s可由 L L
γ 1 ,L , γ p线性表出 ⇒ α1 ,L ,α t 可由γ 1 ,L , γ p线性表出
证：α i = ∑ kij β j , i = 1,L , t ; β j = ∑ l jmγ m , j = 1,L , s