北京交通大学概率论与数理统计习题答案
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习题4 答案
1. 略.
2. 设随机变量X 服从几何分布，其分布律为()1
()1,1,2,,k P X k p p k -==-=
其中01p << 为常数，求)(X E 和)(X D .
解：设1q p =-，则1{},(1,2,)k P X k pq k -=== ，由
12
1111()()1(1)
k k k
k k k x S x kx x x x x ∞∞∞
-===''⎛⎫⎛⎫'===== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 1
12
111
1
(){}(1)k k k k k p E X kP X k kpq
p kq q p ∞
∞
∞
--========
=-∑∑∑ 211123
11111()()(1)(1)k k k k k k k k x x S x k x kx kx x kx x x ∞∞∞∞
--===='''⎛⎫+⎛⎫⎛⎫
'====== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑由 ， 23
2(1)2()(1)p q p
E X q p +-==- ， 所以2
2222211()()()p p
D X
E X E X p p p ⎛⎫--=-=+= ⎪⎝⎭
.
3. 设连续型随机变量X 的概率密度,
01,()2,12,0,x x f x x x ≤≤⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩其它
试求)(X E 和)(X D .
解: 1201()()(2)E X xf x dx x xdx x x dx +∞-∞==⋅+⋅-⎰⎰⎰ 131312
13210
3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ⎰⎰⎰-⋅+==+∞∞-21210222)2()()(dx x x xdx x dx x f x X E 67
413
241214310
4=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x 所以22271
()()()166
D X
E X E X =-=-=.
4. 设随机变量X 的概率密度为||1
()()2
x f x e x -=-∞<<+∞，求)(X E ,)(X D .
解: 1() e d 02
x
E X x x +∞
--∞==⎰, 2
e 2 e d 2d e 2e e d d e d e 2
1 )(0
202022
2
=-=-=+-=-===∞
+--∞
+-∞
+∞
+--+∞-+∞-+∞
∞-⎰
⎰
⎰⎰⎰x
x
x x
x
x
x x x x x x x x x x X E
故22()()(())2D X E X E X =-=
5. 已知随机变量X 服从参数为1的指数分布，
X e X Y 2-+=，试求)(Y E ，)(Y D ，),(Y X Cov 及XY ρ.
解：22()()()()X X E Y E X e E X E e --=+=+3
4102=
⋅+=⎰+∞
--dx e e x x ,
2222242242
240
3500()()[2]()2()()
()()211223535211109233545
X X X X X x x
x x x
x E Y E X e E X Xe e E X E Xe E e D X E X xe
e dx e e dx
x e dx e dx
-----+∞+∞
----+∞+∞--=+=++=++=+++=+⨯⋅+=+⨯+=
⎰
⎰⎰⎰
所以2229
()()()45
D Y
E Y E Y =-=,
又因)]([)(2X e X X E Y X E -+=⋅22119()()299X E X E Xe -=+=+=, 所以7
(,)()()()9
Cov X Y E XY E X E Y =-=，295
37)
()(),(==Y D X D Y X Cov XY ρ. 6. 略.
7. 设随机变量),(Y X 的概率密度函数为301,0(,)0
x
x y x
f x y <<<<⎧=⎨
⎩其它
, 求)(X E ，)(Y E ，
)(X D ，)(Y D ，XY ρ .
解：()()11
2
30
3,
334
x E X xf x y dxdy dx x dy x dx +∞+∞-∞-∞
=
===
⎰⎰
⎰⎰⎰ ()()1
1
300033
,328x
E Y yf x y dxdy xdx ydy x dx +∞+∞
-∞-∞=
===
⎰⎰⎰⎰⎰
()()1
1
22340
003,335
x
E X x p x y dxdy dx x dy x dx +∞+∞
-∞-∞====
⎰⎰
⎰⎰⎰()()1
1
22240001
,
35x
E Y y p x y dxdy xdx y dy x dx +∞+∞
-∞-∞=
===⎰⎰
⎰⎰⎰
()()1
1
2400
033
,
3210x
E XY xyp x y dxdy x dx ydy x dx +∞+∞
-∞-∞
=
===⎰⎰⎰⎰⎰
所以有()()()()3333cov ,1048160
X Y E XY E X E Y =-=
-⨯= ()()()()2
2
23335480D X E X E X ⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭， ()()()()2
221319
58320
D Y
E Y E Y ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 因此，有
,3
cov ,X Y X Y ρ===.
8. (1) 设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布且1
(1,2
X b ，求[max{,}]E X Y 与