高中物理中质心概念的应用

高中物理中质心概念的应用

湖北省恩施高中陈恩谱

一、质心的定义与系统总动量

一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为m 1、r 1，m 2、r 2，m 3、r 3，……则该系统的质心的位置矢量为i i C m r r M =∑

，其中M =m 1+m 2+m 3

+….写成直角坐标系下的分量式为i i C m x

x M =∑，i i

C m y y M =∑，i i C m z

z M =∑.上式变形，对时间求导，容易得出d d d d d d C C i i i i i i

r r Mv M m r m m v t t t ====∑∑∑ .即：一个系统的总动量可以用系统总质量M 与质心C 的速度v C 的乘积。

二、质心与重心、重力势能重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似：i i i CG i i

m g r r m g =∑∑ .从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质点系所占空间都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。

另一方面，也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置，这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算：CG i i i i i

h m g m g h ⋅=∑∑ 匀强重力场中，上式可以简化为：C i i Mgh m gh =∑。这就是不可视为质点的物体——比如链条、软绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。

【例1】(2017·全国卷Ⅲ，16)如图1，一质量为m 、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。用外力将

绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距13

l 。重力加速度大小为g 。在此过程中，外力做的功为()A.19mgl B.16mgl C.13mgl D.12mgl [答案]A

三、质心与动能

如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计算；但是物体倘若还转动，或物体内各个部分相对质心还有运动，则由克尼希定理，有CM 2k k

12C E E Mv =+，其中CM CM 2k 1()2

i i E m v =∑为各质点相对质心的动能之和，CM i v 是各质点相对质心的速度。可见，物体存在转动，或者物体上各个部分相对质心还有运动，是不能够用质心的速度来计算物体的动能的，即2k 12C E Mv ≠

。

这和重力势能是不一样的，但这是很好理解的：重力势能、动量的表达式中，只包含位置矢量或速度的一次函数，但是动能的表达式中却包含的是速度的二次函数，与位置矢量、速度不再满足线性关系。因此在下面例1这种情况下，可以中质心高度的变化来计算重力势能的变化量，却不能用质心的速度的变化来计算动能的变化量。

【例2】质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球L 3处有一个光滑固定轴O ，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针

摆动到最低位置时，求：

(1)小球P 的速度大小；

(2)在此过程中小球P 机械能的变化量。

[答案](1)2gL 3(2)增加了49

mgL 四、质心与向心力一个物体不可视为质点，要求该物体绕某点O 转动时，由于任一部分所受的向心力为2n i i F m r ω=与

从O 点到该部分的位置矢量r i 成一次函数，因此，可将该物体等效看做集中于质心处的质点，进而计算该质点所受的向心力，即为整个物体所受向心力。

【例3】长为l 、质量为m 的匀质刚性细杆在光滑水平面上，绕过其端点O 的竖直固定轴匀速转动，角速度为常量ω，试求杆中张力的分布。

[答案]222()2T m F l x l

ω=-五、相对静止的多星系统的公共圆心

近几年高考对双星、三星甚至四星系统均有涉及，对于多星系统，公共圆心的寻找是解决问题的关键，大多数资料和教师采用的思路是作最一般的位置假设，然后列方程进行计算，这往往有些无头苍蝇的感觉。

其实，相对静止的多星系统的公共圆心就是该系统的质心。

1、结论证明

下面用反证法对此作一简单证明：

证明之前，要特别说明一下：我们大多数时候都是假定多星系统远离其他天体，并假定系统的公共圆心是静止不动的——即我们选定的参考系为公共圆心。

假定多星系统的公共圆心不在系统质心处，则质心必定绕公共圆心作匀速圆周运动，由于系统总动量可以用质心动量来计算，因此系统总动量方向将一直变化；

而多星系统实际上是远离其他天体的，因此系统总动量必须守恒，即总动量应该始终为零。假设与此不符，故假设不成立。

对于高中生，可简单忽悠如下：如果系统的公共圆心不在质心处，则将系统质量集中与质心处，质心绕公共圆心的向心力谁来提供？我们已经将质量集中于质心处了，因此只可能是系统外的其他物体来提供，这与假定多星系统远离其他天体的前提不符。

但在此特别提醒，万有引力计算不可以用质心，因为任何一个天体处重力场（其他天体产生的合引力场）都不是匀强场。多星系统中某个天体的向心力只能分别用万有引力定

律计算相互作用万有引力后，用平行四边形定则求解。

2、应用举例

【例4】由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着

一种运动形式；三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三

角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角

速度的圆周运动(图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A

星体质量为2m 、B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：

(1)A 星体所受合力大小F A ；