北京邮电大学数学分析期末考试2016年1月(附答案).doc

北京邮电大学2015-2016学年第一学期

《数学分析》（上）考试卷

考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效

一.填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 设2

2

0a c +≠，则20sin (1cos )

lim

(1)ln(1)

x x a x b x c e d x →+-=-++ ;

2. 0

201

|sin |arctan lim x x t dt t x

→=⎰_____; 3.设函数3

2

1

1t

x e y dt t =

+⎰

的反函数为()x g y =，则(0)g '=____; 4. 设函数()y y x = 由参数方程2

0ln(1)cos t

x t y u du =+ ⎧⎪

⎨=⎪⎩

⎰确定，则 22

t d y

dx == . 5. 曲线1x

y xe - =的斜渐近线方程为 _________ ；

6.

sin sin cos x

dx x x +⎰___________________;

7.

32420

sin (|sin |)cos 2x x dx x sin x

π

+=+⎰

. 8. 设()f x 连续，满足0

()2

()21x

f x f t dt x +=-⎰

，则

1

()f x dx =⎰

________;

9.

2ln e

x

dx x

+∞

=⎰

.

10. 设211

()23

x x y e x e =

+-是二阶常系数非线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则：_____________.

()3,2,1A a b c =-==-； ()3,2,1B a b c ===- ()3,2,1C a b c =-==； ()3,2,1D a b c ===。

二．（9分）. 求函数arctan (1)x

y x e

=-的单调区间、极值；函数图形的拐点。

三．（每小题6分，共12分）. （1）设函数()y y x =由方程

2

1

1

ln(1)y t e dt x --=+⎰

确定，求22

x d y

dx

= ；

（2）设()f x 连续且(0)0f ≠，求1

20

()lim

()x

x x f xt dt

t f x t dt

→ -⎰⎰

。

四.(8分).求出两个多项式()P x 、()Q x ，使得

432

[(21)cos (831)sin ]()cos ()sin x x x x x x dx P x x Q x x C -+-+-=++⎰

其中C 为任意常数。

五.(8分).设()f x ，()g x 在[]0,1上有一阶连续导数，(0)0f =，()0f x '>，

()0g x '>，证明：对()0,1a ∀∈，

1

()()()()()(1)a

f x

g x dx f x g x dx f a g ''+>⎰

⎰ 。

六.(9分).求微分方程2

2sin y y y x '''+-=的通解。

七.(8分). 已知曲线x

y e = 及其过原点的切线L 、y 轴所围图形为D ，求

(1) 切线L 的方程，图形D 的面积；

(2) 图形D 绕直线1x =旋转一周所得旋转体的体积。

八.（6分）.设(),-∞+∞上连续函数()f x 是周期函数，周期为T ，且

()0f x ≥，证明：0

()()lim

x

T

x f t dt f t dt x

T

→+∞

=

⎰⎰。

九.附加题（6分）.设()f x 在[]0,1上二阶连续可导，且(0)(1)f f ''=，证明：存在()0,1ξ∈，使得

[]1

11()(0)(1)()224

f x dx f f f ξ''=

++⎰

。

北京邮电大学2015-2016学年第一学期 《数学分析》（上）考试卷参考答案

考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效

一. 填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 设2

2

0a c +≠，则20sin (1cos )

lim

(1)ln(1)

x x a x b x c e d x →+-=-++ ;

填：

a c

2. 0

201

|sin |arctan lim x

x t dt t x

→=⎰_____; 填：4

π

3.设函数3

2

1

1t

x e y dt t

=

+⎰

的反函数为()x g y =，则(0)g '=____; 填：

23e

4. 设函数()y y x = 由参数方程2

0ln(1)cos t

x t y u du =+ ⎧⎪

⎨=⎪⎩

⎰确定，则 220

t d y

dx == .

填：1

5. 曲线1x

y xe

- =的斜渐近线方程为 _________ ；

填：1y x =-

6.

sin sin cos x

dx x x +⎰___________________; 填：1

(ln |sin cos |)2

x x x C -++