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随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
随机信号处理教程第6章随机信号通过非线性系统
信号的调制和解调
01
02
03
调制过程
在非线性系统中，输入信 号会受到调制，使得信号 的参数发生变化，如幅度、 频率或相位等。
解调过程
对调制后的信号进行解调， 恢复出原始的信号参数， 以便进一步处理或使用。
调频与调相
在非线性系统中，调制和 解调的方式可以是调频或 调相，具体取决于系统的 特性和应用需求。
音频处理中的非线性系统
音频压缩
音频压缩技术利用非线性系统来减小音频文件的大小，同时保持音频质量。压 缩算法通过非线性变换和量化过程来去除音频信号中的冗余信息。
音频特效
音频处理软件中的非线性系统用于创建各种音效和特效，如失真、混响、均衡 器和自动增益控制等。这些效果通过将音频信号通过非线性函数来实现。
应用实例
给出了随机信号通过非线性系统的应用实 例，如通信系统中的非线性失真、音频处 理中的压缩效应等。
非线性系统的发展趋势和未来展望
新技术与新方法
随着科学技术的不断发展，新的非线性系 统建模方法和分析技术将不断涌现，如深
度学习在非线性系统建模中的应用等。
跨学科融合
非线性系统理论与其他领域的交叉融合将 进一步加深，如与控制理论、人工智能等 领域的结合。
升级系统的硬件设备，提升性能表现。
系统集成优化
优化系统内部各模块之间的集成方式， 提高整体性能。
05
实际应用案例
通信系统中的非线性系统
数字信号处理
在通信系统中，数字信号经过非线性系统可能导致信号失真 ，如振幅压缩和频率偏移。这种失真可以通过数字信号处理 技术进行补偿和校正。
调制解调
在无线通信中，调制解调过程可能涉及非线性系统。例如，在 QAM（Quadrature Amplitude Modulation）调制中，信号 通过非线性调制器进行调制，然后通过非线性解调器进行解调。
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析与处理第一讲
1
2
3
4
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6
7
8
9
10
27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。 主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。 办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析 根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随 机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
10
12
瑞利分布概率密度＝2
25
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
随机信号分析与处理
一、基本概念1、随机过程随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬时的精确值，任一次观测值只代表在其变动范围内可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机信号的描述必须采用概率和统计学的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。
在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。
在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，以{x(t)}表示，即2、随机信号类型3、平稳随机过程平稳随机过程就是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。
例如，对某一随机过程的全部样本函数的集合选取不同的时间t进行计算，得出的统计参数都相同，则称这样的随机过程为平稳随机过程，否则就是非平稳随机过程。
如采样记录的均值不随时间变化4、各态历经随机过程若从平稳随机过程中任取一样本函数，如果该单一样本在长时间内的平均统计参数(时间平均)和所有样本函数在某一时刻的平均统计参数(集合平均)是一致的，则称这样的平稳随机过程为各态历经随机过程。
显然，各态历经随机过程必定是平稳随机过程，但是平稳随机过程不一定是各态历经的。
各态历经随机过程是随机过程中比较重要的一种，因为根据单个样本函数的时间平均可以描述整个随机过程的统计特性，从而简化了信号的分析和处理。
但是要判断随机过程是否各态历经的随机过程是相当困难的。
一般的做法是，先假定平稳随机过程是各态历经的，然后再根据测定的特性返回到实际中分析和检验原假定是否合理。
由大量事实证明，一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。
虽然有的不一定是严格的各态历经过程，但在精度许可的范围内，也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本(理论上应为无限多)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
第四讲随机信号处理
m X (t ) = E ( X (t )) = E (V sin ω 0t ) = sin ω 0tE (V ) = 0
2 σ X (t ) = D ( X (t )) = sin 2 ω 0tD (V ) = sin 2 ω 0t
R X (t1 , t 2 ) = E ( X (t1 ) X (t 2 )) = sin ω 0t1 sin ω 0t 2 E (V 2 ) = sin ω 0t1 sin ω 0t 2
P{X k = 1} = P{X k = −1} = 1 / 2
求随机过程 Yn = 解、
k = 0,1,2,⋯, n
∑X
k =1
n
k
n ∈{1,2,3,⋯} 的一维分布。
Xk的特征函数为： Yk的特征函数为： ＝
Φ X k (ω ) =
1 jω 1 − jω e + e 2 2 1 Φ Yn (ω ) = n (e jω + e − jω ) n 2
第四讲 主要内容： 随机过程的基本概念及定义； 随机过程的统计描述；
1
1
2.1 随机过程的基本概念及定义
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
j ( n − k )ω
1 2n
∑C
k =0
n
k n
e
e
− jkω
1 k j ( n − 2 k )ω = ∑ n Cn e k =0 2
n
24
由特征函数的定义可得：
随机信号处理
随机信号的处理1.信号的概念及分类确定信号是指能用明确的数学关系式表达的信号。
确定信号可分为周期信号和非周期信号两类。
当信号按一定时间间隔周而复始重复出现时称为周期信号，否则称为非周期信号。
频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。
一般周期信号是由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。
准周期信号也是由多个频率成分叠加的信号，但叠加后不存在公共周期。
一般周期信号是在有限时间段存在，或随时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。
随机信号又称为非确定性信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。
如加工零件的尺寸、机械振动、环境的噪声等，这类信号需要采用数理统计理论来描述，无法准确预见某一瞬时的信号幅值。
随机信号是工程中经常遇到的一种信号，其特点为：时间函数不能用精确的数学关系式来描述；不能预测它未来任何时刻的准确值； 对这种信号的每次观测结果都不同。
但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来描述和研究。
根据是否满足平稳随机过程的条件，又可以分为平稳随机信号和非平稳随机信号。
平稳随机信号又可分为各态历经和非各态历经两类。
2.随机信号的分析与处理由于测试系统内部和外部各种因素的影响，必然在输出信号中混有噪声。
有时由于干扰信号的作用，使有用信息甚至难于识别和利用，必须对所得的信号进行必要地分析和处理，才能准确地提取它所包含的有用信息。
信号分析和处理的目的是：（1）、剔除信号中的噪声和干扰，即提高信噪比；（2）、消除测量系统误差，修正畸变的波形；（3）、强化、突出有用信息，消弱信号中的无用部分；（4）、将信号加工、处理、变换，以便更容易识别和分析信号的特征，解释被测对象所变现的各种物理现象。
2.1 随机信号的时域分析随机信号通常是从一个做随机运动的随机信源产生的。
每一个记录是随机信号的一个实现，称为它的一个样本函数。
所有时间连续的样本函数的总集组成连续随机信号{}{}()()(),1,2,3,i x t x t i ==⋅⋅⋅对连续随机信号做等时距采样可得到离散随机信号{}(1)(2)(3)(),(),(),(),x n x n x n x n =⋅⋅⋅需要从统计意义上对离散随机信号进行描述，概率描述是一种最基本的统计描述方法，实际上更常用的方法：求出一些时域量或频域量的统计平均值，由此把握离散随机信号所遵循的统计规律。
第0-1章随机信号基础-现代信号分析和处理-张旭东-清华大学出版社
教材 《现代信号分析和处理》
张旭东编著
0.1 本课程要讨论的主要问题
（1）对信号特性的了解
随机信号（随机过程，时间序列–随机过程的一个实现） 信号模型→什么是信号模型？ →模型参数估计 信号模型应用→现代谱估计：参数化谱估计 讨论信号模型及模型参数的估计问题，各种信号模型的作用
（2）对统计意义下最优滤波器设计的研究
3. S.M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall PTR, 1993.（有中文译本）
4. S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic press, Third Edition 2009
5. Van Tree，Optimum Array Processing， Wiley， 2002 （有中 文译本）
6. J. G. Proakis, et al. Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice hall, 2002 （有中文译本）
和先验概率； 2、利用贝叶斯公式转换成后验概率； 3、根据后验概率大小进行决策分类。
离散随机信号处理与高斯
(Carl Friedrich Gauss)
正态分布（高斯分布） 最小二乘LS FFT，…
Born: April 30, 1777, Brunswick, Germany Died: February 23, 1855, Göttingen, Germany
平时作业20％ 2个Matlab作业50％
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（2）双目标
相关积累实际上是一种匹配滤波的思想，匹配滤波器根据输入信号的波形设计，本质上是信号与自 身相乘累加得到的输出最大，通过视频回波信号与某个距离门参考码字完全匹配，实现信号的有效 积累。 1、距离分辨 保持两个目标的速度相同。各个距离门上的参考码是由发射码字依次经过延迟一个码元 时间得到的，每个距离门依次相差一个码元时间。
2
3）脉冲压缩技术可以解决雷达作用距离和距离分辨率的矛盾（脉宽越大，作用距离越大， 但雷达分辨率会降低）。 --N 点的 FFT 就相当于构建了 N 个频率相邻不同的正弦波匹配滤波器，来匹配一个频率 未知的正弦波，看哪一个滤波器输出最大，那么该滤波器中心频率即为输入正弦波的频率。
4、多普勒敏感现象 --概念：MF 对频移信号没有适应性，伪随机 m 序列信号存在伪码调相信号所具有的多普勒
故距离分辨：d Tb c / 2 0.125s 310^8(m / s) / 2 18.75m ，从而可进一步求得最
大测量距离 dmax 并根据测距速范围考虑距离模糊的问题。验证距离d Y Tb c / 2
2、速度分辨
保持两个目标的距离相同。对 N 点进行作 FFT，可得此关系式： K/N fd PTb ，其中K 为
2、伪随机相位编码信号 m序列：最长线性移位寄存器序列，是一种伪随机序列、伪噪声(PN)码或伪随机码。它容易 产生，规律性强，有很好的自相关性和较好的互相关特性，若周期 m 序列的每个码元宽度为 T，则它的自相关函数是周期为 PT 的周期三角函数。线性移位寄存器是由移位寄存器加上 反馈后产生的。对于一个 n 级反馈移位寄存器来说，最多可以有 2^n 个状态，对于一个线 性反馈移位寄存器来说，全“0”状态不会转入其他状态，所以线性移位寄存器的序列的最长周期 为 2^n-1。
二、实验环境
1、windows10 操作系统 2、MATLAB R2009a--academic use
三、实验原理
（1）单目标 1、回波视频表达式： Sr (t) Ac(t ) cos[2 f0(t ) 2 fdt]
脉压后的表达式： R( ) E[S(t)S(t )]
FFT后的表达式： S() R(t)e jtdt
距离门序数。由于 f d 2*v /，可得当 K=1 时，v K /(2 N P Tb) 0.74m / s ，从
而 可 进 一 步 求 得 最 大 测 量 速 度Vmax 并根据测速范 围 考虑速度模糊的问题。
验证速度v K /(2 N P Tb )
3、大目标的幅度是小目标的几十倍时，大目标旁瓣会掩盖小目标，于是从 FFT 后的输出图 形上只能观察到一个目标。
处理
姓 名： 学 号： 院 系： 专 业： 指导老师： 完成时间：
1
一、实验内容
伪随机相位编码连续波雷达的信号处理。设码频为08，单位为 MHz，伪码周期内码长为 127， 雷达载频为 10GHz，输入噪声为高斯白噪声。目标模拟分单目标和双目标两种情况，目标回波 输入信噪比可变（-35dB～10dB），目标速度可变（0～1000m/s），目标幅度可变（1～100）， 目标距离可变（0～10000m），相干积累总时宽不大于 10ms。单目标时，给出回波视频表达 式；脉压和 FFT后的表达式；仿真m序列的双值电平循环自相关函数，给出脉压后和 FFT 后 的输出图形；通过仿真说明脉压输出和 FFT输出的 SNR、时宽和带宽；仿真说明脉压时多卜勒敏 感现象和多卜勒容限及其性能损失（脉压主瓣峰值与多卜勒的曲线）。双目标时，仿真出大目标 旁瓣掩盖小目标的情况；仿真出距离分辨和速度分辨的情况。
敏感问题，其信号的模糊函数近似图钉型，随着多普勒频移的增加，相关处理后输出的主 瓣峰值下降，旁瓣增加，主旁瓣比降低，SNR 也有一定损失，严重时使雷达无法正常工作。 --解决办法：1）多普勒补偿（变本振）：静止目标变运动，影响对消
2）修正匹配滤波器（移动模糊图原点）：匹配滤波器太多 3）消除多普勒电路：非线性，影响邻近分辨 4）补偿式旁瓣抑制滤波器：对应失配输出进行抑制 5、多普勒容限 --定义：当多普勒频率存在时，在匹配距离门内虽然不能得到最大的输出信噪比，但显然在 某 一个频率区间内相关积累还是有效的，则这一区间为多普勒容限。 --伪码调相信号的多普勒容限与压缩比 D 与码元宽度有关。压缩比是由子脉冲数决定的，子 脉冲数越大，多普勒敏感性越大，选择大的压缩比必然多普勒容限减小。码长一定的情况下，码元宽度 减小，信号对多普勒的敏感性减弱，减小码元宽度是扩展多普勒容限的一种方法。
相位编码信号码元宽度Tb =/127=1/fm=1/(8M)=0.125us
伪码信号一周期的脉冲数P 2^ n -1 2^7 -1 127
相位编码周期T PTb 127 0.125s 15.875s，由于相干积累总时宽 t 10ms，重复
周期数 N t/T，N=629；
3、匹配滤波器 --基本思想：是寻求线性滤波器的最佳传递函数，白噪声中含已知波形的混合波形作为滤波 器输入时滤波器输出的波形在某时刻可达最大信噪比。 --匹配滤波器的冲激响应是输入信号波形对纵轴作镜像函数，并沿时间轴向右平移一段时间， 滤波器的振幅特性与信号的振幅谱一致。因此，对信号的匹配滤波相当于对信号进行自相关运算。 --匹配滤波器对信号做两种处理： 1）滤波器的相频特性与信号相频特性共轭，使得输出信号所有频率分量都在输出端同相 叠加而形成峰值。 2）按照信号的幅频特性对输入波形进行加权，以便最有效地接收信号能量而抑制干扰的 输出功率。即当信号与噪声同时进入滤波器时，它使信号成分在某一瞬间出现尖峰值，而噪声 成分受到抑制。 --匹配滤波器的作用是： 1）输出信号相对增强，噪声相对减弱，从而提高信噪比。 2）对于大时间带宽积信号，匹配滤波等效于脉冲压缩。因此可以提高雷达或声纳的距离 分辨率和距离测量精度。在扩频通信中，可以实现解扩。