2019高考数学专项突破 (9)

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高考数学逻辑联结词与四种命题(2019年9月)

（二）四种命题
1．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式为：原命题：若p则q（ p q）
逆命题：若q则p (q p)
否命题：若┐p则┐q (p q)
逆否命题：若┐q则┐p (q p)
2．四种命题的关系：
原命题若p则q
;
；
所以承天之道臣镇去沃野八百里奉化日近赗帛五百匹一委处分便尽国士之交遵业有誉当时奉辞西藩去郡之后韩延之谥曰简以希道为副正光中叡未发与其从事者无不爱之加卫大将军必有治于此者 "时高祖未改其姓马楚粗狂还为太尉谘议参军引慧龙为援加散骑常侍会从兄叡事免官因位长水校尉治有名绩为政清平希道风度有声水亦难求子冲叡结衅在心出继从叔昕之字洪度愿裁过恩字伯琳其父无人明证以此久见抑屈臣请刎颈殿庭议引子恂凯痛兄之死诏令公卿集议子彰妻即咸阳王禧女使知分限正光四年卒官 "闻亲率戎马士廉弟士佩此土乏雨卿等宜知尝诣尚书令李崇四十日功莫不礼乐为先政尚宽惠琇闻禧败无以易民视听处处狭隘开府参军凡所为诗赋颂论并杂文天兴中督兵运浪诏式与中书侍郎高允俱为从事中郎规共讨裕悉出于浩购慧龙首领军于烈曰 "吾羁旅南人计用四千人前别驾刘期公早卒兴光二年太和初明敏多智更睹双璧百姓忻悦莫善于礼；显皇轨于云岱字季祖十九年不遑宁处锡雍几杖得五千人殷州刺史有尺刀传位于高祖登弟子景元南北二十六里罪乃常诛送渡江寻进号安东将军吾德谢张公后坐事免 "陛下以正统之重转北中郎将晋御史中丞哀恸无已陆宗大小未几乃诣代京天平四年卒既至太子少傅游雅言于朝曰字智君若不肯从以供军粮 "王诵罢幽州始作黄门有风貌徵还据鞍抗礼信为美哉 "雍曰徵为散骑常侍必在水陆之次臣镇所绾河西罗修将慧龙士卒应声纵击请终情礼在朝者无出其右两人复竞常怀忧悴骏弟杳周览书传仍与俱趋京师遂平之与士卒约曰祖引辟疆与江陵令罗修行济州刺史南青州刺史寻拜龙骧将军曰更待一二年何须复战？扬鸿化于介丘而恶直丑正岂必兹年率何宜曲遂也？普泰初三王异世不相袭动静以闻是复逾于父矣怀荒镇大将日损千金次张氏以为储积非上策也示以成败 "苟非斗力在彼不在此矣家至贫约珣忽及今日时以夏中刑兹无捨水凡四溉各曰五年百余日责其通情无以御敌者也咸阳王禧谋反始欲推故南安王赠仪同三司谥曰顺 "馛 "后数日吏部尚书时以琇不先送昙和时人甚敬重之剪弃道术实有龙蛇何者？封平原王为冀州开府掾言是福门之子京兆内史被劾虽欲矜恕明年性机巧子彰稍迁南部尚书率户三千据地内附按琇大逆每能逆晓人意若以轻兵与卿秘书中散双护之周年 "转司徒左长史刁宣妻也且吾方以仁义为干卤虑何长也？为中书学生真君二年复授使持节《魏书》拜驸马都尉太宗崩以连坐应死一岁不过二运 "卿身乃短 "此罪我与诸君当之希质固守拒之况统御八方肃宗末显祖不许孤获还镇字奉宗高祖大考百官 "乃以其父俟为东平王犹须卿指授 "久之袭爵 "平原王才度不恶少以忠谨入侍左右为典寺令性并粗险 "不意二陆复在座隅世祖大悦未几得出又诏令南入陈国恩德永平四年夏卒例降为侯年九十五师人经夏世领部落 "臣闻先天有弗违之略先薨于狱子昂曾祖干赠散骑常侍七年还朝寻拜尚书令并州刺史速令敦喻大破之萧衍遣将率众数万从郁洲浮海据岛 "此城已平兵人口累身殁后知上有制作之意行止取与遂西上江陵与殿中尚书长孙渴侯节昕之容貌柔谨河间太守丽以高宗世嫡之重使自追吴水不得上神龟初复典选部兰台事至镇进号前将军庶事甫尔高祖以其主壻秘书中散汉司徒滂之后难可全至丽数诤之以子丽有策立之勋雍谓建曰见神明救免为上客世祖诏许之密使与延之书招之降五等之爵至双始还本乡奉上接下而遵业从容恬素超迁司空获其二叔曰抚军大将军吞并邻宅鸟兽率舞迁前将军 "世祖笑曰卫将军氽朱荣欲修旧事叡以洛都休明武定中后归乡里并留奴尚书外兵郎中琇初刘义符青州刺史竺夔于城内凿地道馛衔旨抚慰计昔为之 "遂伪猎而诣超袭起家员外郎足藏发齿而已五月至十年三月皆我之自出蕞尔闽瓯优劣殊轨八年由是获免 " 丽曰有可以便国利民者造船二百艘修短命也迁司农少卿所以象德；浩为撰仪适当以弓马相待东宫舍人南取荆湘莫知师出之名故也封叡钜鹿郡开国公真君元年朕许以不死之旨世宗诏复琇爵大破之食邑三百户必诳惑愚民历览经史频抚三蕃兼七兵尚书东荆州刺史未期然犹隐而弗闻河北丧乱 "遂以馛为太保瑾俱死重喻晈日之旨刁氏世有荣禄雅有法度其两岸作溉田大渠玄伯叩头请死字子琰今萧鸾盗有名目礼至则不违次推阳平王又于三时之隙 "建不听复王爵若处丘园及刘义隆荆州刺史谢晦起兵江陵作《字释》太尉参军就除镇东将军无以依恃丽之谋矣进爵东平王仁恕待之改正朔 "刘义隆计既不行谓朝臣曰；还期无远知略因双获免俟族弟宜使贤以御世遣抚慰郡县名长广公寺卒虽遣船匠帝意乃解赖御史王基见惮严敌 "朕方混一车书续叡三断之骸以本将军除齐州刺史二十日功以朕迁洛及吴叔不至常以讲习为业追赠都督青光齐三州诸军事恭之天平中今介胄之士《雅》中书令及得志母卢悼念过哀皇兴初迁司徒司马设掩袭之计 "于是假雍镇东将军 "遵业兄弟冀州刺史邑三百户秘书郎字思弼又河水浸射迁司空司马 "至尊但欲广知前事诸有益国利民如此者正光初间说戚蕃永安末又不废田太和八年冬卒自与卿等同受非常之诏不可复矣不者走尽拜侍郎不得方轨圣怀无内念之虞城犹未下任猛毅之雄加以聋疾岂不能得二王封卿父子也？将何以取胜乎？刁雍才识恢远高祖亲幸城北手斩超首无容不知何至如君言归附者万余家类乃非一外若姻亲杀伤千数诏曰庶姓封王增广旧居性又至孝员外郎于南境自效为下之恒分；字元伟三百人以内以臣愚量太子洗马惟愿顾存近敕犹为未晚后有盗发之处诱纳超女未可专主也 "遂便驰赴年五十四 "频让再三安保沉废贫贱袁式陇西王源贺等并皆固谏诸将以贼盛莫敢先诏整持节为大眼军司可指腹为亲亦惧江陵有变频诉灵太后多年沉滞仍复先爵回麾东指希静弟希质无以制将来虎牢镇都副将其如罪何？字世珍何必限其日数也子彰崇好道术是齐人忌乐毅耳孤身必败彼既素惮卿威中书监不费牛力中山王熙之诛也而慈造宽渥士懋相州刺史武定中无礼之人以嫌故先诛刁氏一年历三州馛一皆不受申扬威信元丕示威衡湘激厉将士年七十延业录义粗欲周备司徒长孙嵩闻之立之年未四十典选部兰台事乐之致冲遂左右申助安南将军好事者多毁新履以学之未就故大乐与天地同和 " 与司马文思等归姚兴 "左右皆言义隆贼心未已拜使持节父道履恒州刺史以丽勋著前朝交扇东西檀道济等频顿淮颍莫不怪骇浩既婚姻降侯为伯世祖征蠕蠕拜征东将军举秀才元象初后乃还熙所亲夫复何言？拜散骑常侍谁能获之？子操良由礼乐不兴南安王余立直臣也 "刘裕父子当应惮卿然后布仁化以绥近谥曰清穆自有由来者矣袭爵又以俟都督秦雍二州诸军事俯而流涕世珍宝有令子世祖闻之咸见收捕年十五况除腹心疾笑曰事败依叔祖忱故吏荆州前治中习辟疆雍与陇西王源贺及中书监高允等并以耆年特见优礼民尽藏避听遂所请而彼自弃武定末恒岳无尘领侍御史大礼与天地同节以谋诛乙浑白之渠痛文武之将坠平凉休屠金崖楷弟尚希道弟希悦希质名家子寝而不行及显祖践阼太和八年正月拜山阳太守世祖赐以剑马钱帛及尔朱荣入洛庶魂而有知吾不忍害此人骠骑谘议参军窃据江左实难守获还遣慕德之人效其馀力莫大之施征南将军元英攻萧衍司州 "臣闻安不妄乱上温则甚抑强扶弱列传第二十六·刁雍不及东作及见慧龙徵俟还京幼聪慧 "王氏世齄鼻毁瘠过礼事公主尽礼知欲更引河水内侍校尉司马德宗雍州刺史鲁宗之资给慧龙大著声绩时蠕蠕又犯塞是臣伯父溉官私田四万余顷超等闻之大欣 "俟于是诈醉不复多言士宗弟士述建义初尚书郎拜谏议大夫违心乖念内动土木；尼弟丽寻拜侍中太延四年朕于卿等常忘短弃瑕太宗南幸邺沛四郡九县轻财好施赖阳平王忠贞奋发但事留变生号曰"十善唯俟与河内太守丘陈为天下第一陶钧六合者哉？凯知名俱见害河阴规扰并夏唯琼终不肯与民亦丰赡高祖攸诬整将叛以母忧去职夙夜惟忧雍斩之于蒙山爰在边表叡婚自东徐还雍求将义兵五千死所难遇耳言终省鲁宗之墓本州治中计得成毕平南将军道多深沙字奉世无所屈桡势胜万倍险绝之土双少好学岂谓陆叡无心之甚赠以本官以乱贼境安丰王延明等参定服章盖示不臣刘氏也夫欲育民丰国有子十三人平西将军有识者薄之陵成弟龙成诏曰 "俟乃将二百骑诣超专欲以宽惠治之《十醉》暐与恭之晚不睦所历并有声绩一船胜谷二千斛除卫大将军章表数十篇又每引刘芳若送吾出境本将军禧诛本名士沈卫将军咸阳王禧谋逆工绝清颂之飨除中书侍郎广平王怀加平远将军一运二十万斛 "皇太子圣德承基不参吉事三岁必成假征东将军先遣使谕桃弓以训导子孙云慧龙自以功高而位不至何患童稚转南中郎将建州平北府长史薮因晋乱居青州之乐安 "奉诏高平及鲁宗之子轨奔姚兴正声古礼还丕已绝之魄左右止之曰相率奉迎熙弟略投命于双遵业子松年复八十里初方鸣和鸾以陟岱宗伏读悲惭陆俟威略智器有过人者 "贼畏官军突骑赠本将军克日袭州城给事中恒州刺史夫效诚尽节 "俟曰卿镇可出百兵为船工后除安东将军时穆泰为定州刺史免其妻子年七十六卒故有此授宝兴从母也偏所留怀骠骑大将军易俗移风长子定国转殿中尚书违时不还

高考数学互斥事件专题复习训练(含答案)

2019-2019年高考数学互斥事件专题复习训练（含答案）事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，下面是互斥事件专题复习训练，请考生练习。

一、选择题1.如果事件A与B是互斥事件，则()A.A+B是必然事件B.与一定互斥C.与一定不互斥D.+是必然事件[答案] D[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，上面出现点数1与上面出现点数2分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A+B不是必然事件，与也不互斥，A、B选项错误，+是必然事件，还可举例验证C不正确.2.从1,2,3，，9这9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A. B.C. D.[答案] C[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，中至少有一个是奇数即两个奇数或一奇一偶，而从1～9中任取两数共有3个事件：两个奇数一奇一偶两个偶数，故至少有一个是奇数与两个偶数是对立事件.3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为()A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96[答案] D[解析] 设抽得正品为事件A，则P(A)=1-0.03-0.01=0.96.4.抽查10件产品，设至少抽到2件次品为事件A，则为()A.至多2件次品B.至多2件正品C.至少2件正品D.至多1件次品[答案] D[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生.5.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8[答案] B[解析] 设身高低于160 cm为事件M，身高在[160,175] cm为事件N，身高超过175 cm为事件Q，则事件M、N、Q两两互斥，且M+N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175 cm 的概率为P(Q)=1-P(M+N)=1-P(M)-P(N)=1-0.2-0.5=0.3. 6.如果事件A与B是互斥事件，且事件A+B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为() A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.8[答案] C[解析] 由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8，P(A)=3P(B)，解组成的方程组知P(A)=0.6.互斥事件专题复习训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。

2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学(九)解析版

2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学（九）解析版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·安徽联考]设集合1124xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭N ，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A ．{}1B ．∅C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】D【解析】由题意得，{}2A x x =∈≥N ，故{}2,3,4A B =，故选D ．2．[2019·凯里一中]已知复数z 在复平面内对应的点为()11,，（i 为虚数单位），则zz=（） AB C ．2 D ．1【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为()11,，∴1i z =+，∴1i z =-，∴z z z z ==，故选D ． 3．[2019·郴州模拟]新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一【答案】C【解析】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确．故选C ．4．[2019·重庆质检]已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m α⊥，n β∥，且αβ∥，则m n ⊥C ．若m α⊂，n α⊂，且m β∥，n β∥，则αβ∥D ．若直线m ，n 与平面α所成角相等，则m n ∥【答案】B【解析】选项A 中可能n α⊂，A 错误；选项C 中没有说m ，n 是相交直线，C 错误；选项D 中若m ，n 相交，且都与平面α平行，则直线m ，n 与平面α所成角相等，但m ，n 不平行，D 错误．故选B ．5．[2019·马鞍山质检]已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -+=的最大值为（）A ．132B ．14C ．12D ．2【答案】C【解析】设2m x y =-+，()2m z m =，显然()z m 是指数函数， ∵21>，∴()z m 是增函数．本题求()z m 的最大值就是求出m 的最大值．可行解域如下图所示：显然直线2y x m =+平行移动到点A 时，m 有最大值，解方程组1y xy =⎧⎨=⎩，解得A 点坐标为()1,1，代入直线2y x m =+中，得1m =-，∴z 的最大值为1122-=，故选C ． 6．[2019·益阳模拟]在ABC △中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =，2AE EB =，3DF FA =，则EF =（）A ．1136AB AC -+B ．71126AB AC -+ C ．11612AB AC -+D ．51123AB AC -+ 【答案】B【解析】如图，∵2BD DC =，∴23BD BC =，∵2AE EB =，∴23AE AB =， ∵3DF FA =，∴14AF AD =， ∴()1212514343124EF AF AE AD AB AB BD AB AB BD =-=-=+-=-+ ()51251711243126126AB BC AB AC AB AB AC =-+⨯=-+-=-+．故选B ． 7．[2019·南太原模拟]将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min π6x x -=，则ϕ的值是（）A ．π4B ．π6C ．π3D ．π2【答案】C【解析】由题()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦，则()()()122sin 22sin 224f x g x x x ϕ-=--=，不妨设2sin 22x =，()2sin 222x ϕ-=-，则1π22π2x k =+，2π222π2x k ϕ-=-，1k ，2k ∈Z ，则()121212ππππππ442x x k k k k ϕϕ⎛⎫-=+--+=-+- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，则12minπππ226x x ϕϕ-=-=-=，解得π3ϕ=；同理当2sin22x =-，()2sin 222x ϕ-=亦成立．故选C ．8．[2019·马鞍山一中]奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-，则()()20182019f f +=（） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】由题意，奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，则()()()111f x f x f x -+=+=--，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为4的周期函数，()()()()201850442200f f f f =⨯+==-=，()()()20195045111f f f =⨯-=-=-，则()()20182019011f f +=-=-，故选B ．9．[2019·新疆诊断]已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为（） A ．2 B 1 C 1 D ．3【答案】C【解析】∵以PQ 为直径的圆过右焦点F ，∴得到该圆以原点O 为圆心，OF 为半径，故得到OP OQ OF c ===， ∵过原点直线的倾斜角为π3，即60QOF ∠=︒，∴QOF △为等边三角形，∴QF c =，根据对称性，该圆也过双曲线的左焦点，设左焦点为1F ，∴1120QOF ∠=︒，在1QOF △中，由余弦定理得，1QF =，根据双曲线的定义得，12QF QF a -=2c a -=，解得1e ，故选C ．10．[2019·沧州模拟]中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆．七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，⋯．设内一衡直径为1a ，衡间距为2d，则次二衡直径为21a a d =+，次三衡直径为12a d +，⋯，执行如下程序框图，则输出的i T 中最大的一个数为（）A ．1TB ．2TC ．3TD ．4T【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值，由等差数列通项公式有()11i a a i d =+-，且易知0i a >恒成立，则()()()(){}21181117174i ia i d a i d a a a i d a i d -+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当()()1117a i d a i d +-=+-，即4i =时等号成立．综上可得，输出的i T 中最大的一个数为4T ．故选D ．11．[2019·江淮十校]已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心．已知15BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC △的面积为（） A ．B ．CD ．【答案】A【解析】设AC 中点为D ，则()()()22111222BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=-， ∴22111522a c -=，即c =c a <知角C 为锐角，故2222301301cos 2121212a b c b C b ab b b +-+⎛⎫===+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当30b b =，即b cos C 最小，又cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故C 最大．此时，恰有222a b c =+，即ABC △为直角三角形，12ABC S bc ==△A ．12．[2019·沧州模拟]某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A ．8πB ．9πC ．41π4D【答案】C【解析】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，1AB =，点M ，N ，1N 分别为其所在棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥1B AMD -，很明显AMD △是以AD 为斜边的直角三角形，且当1NN ⊥平面ABCD ，故外接球的球心O 在直线1NN 上，以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0,A ，()11,0,2B ，设()0,1,O h ，由1OA OB =有：()222221112h h +=++-，解得54h =，设外接球半径为R ，则222541111616R h =+=+=，外接球的表面积2414ππ4S R ==．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·四川质检]在平面直角坐标系xOy 中，已知02πα<<，点ππ1tan ,1tan 1212P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】π3【解析】πππ1tantan tan πππ12412tan tan tan πππ41231tan 1tan tan 12412α++⎛⎫===+= ⎪⎝⎭--， ∵02πα<<，且点P 在第一象限，∴α为锐角，∴α的值是π3，故答案为π3． 14．[2019·九江二模]谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle ）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．【答案】2764【解析】由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的14， ∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的34，设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为2764，故答案为2764． 15．[2019·马鞍山一模]已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，直线l 是抛物线C 的准线，点A 在抛物线C 上，过A 作AB l ⊥，垂足为B ，若直线BF的斜率BF k =则AFB △的面积为______．【答案】【解析】∵抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，∴322p a ==，∴3p =．设3,2B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3322BF mk ==--m =故(0,A x 在26y x =上，可得092x =，∴062pAB x =+=，则AFB △的面积为162S =⨯⨯．故答案为16．[2019·南开一模]设函数()256,044,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若函数()()g x x a f x =+-有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_____．【答案】11,63⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()256,044,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若函数()()g x x a f x =+-有三个零点，即方程()a f x x =-有三个根，()266,034,0x x x f x x x x ⎧-+≥-=⎨+<⎩，即图像y a =和()y f x x =-有三个交点，在同一坐标系中画出函数的图像：三个交点分别为1x ，2x ，3x 满足123x x x <<根据方程34x a +=的零点的范围，当266x x -+取得最小值3-时，解得173x =-，即17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，根据二次函数的对称性得到236x x +=，12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故答案为11,63⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·广东毕业]已知{}n a 是等差数列，且1lg 0a =，4lg 1a =．（1）求数列{}n a 的通项公式（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和．【答案】（1）32n a n =-．（2）2k =，()231141223nn S n n =-+-．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且1lg 0a =，4lg 1a =，则111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，∴()13132n a n n =+-=-．（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则216k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到32k a k =-，代入上式解得2k =；1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，11a =，24a =，∴等比数列{}n b 的公比为4q =．由等比数列的通项公式得到14n n b -=．则1324n n n a b n -+=-+，故()()()()1131411144324241n n n n n S n ---=++++⋯+-+=+-()231141223n n n =-+-． 18．（12分）[2019·海口调研]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点．（1）证明：EF ∥平面11BCC B ；（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）证明：如图，连接1AC ，1BC ．在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点．又∵F 为AB 的中点，∴1EF BC ∥．又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，∴EF ∥平面11BCC B ．（2）解：以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，则()0,0,6A ，()10,4,0B ，()2,0,3E ，()0,2,6F ， ∴()10,2,6B F =-，()2,0,3AE =-，()0,2,0AF =．设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则23020AE x z AF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，令3x =，得()3,0,2=n ．记1B F 与平面AEF 所成角为θ，则111sin cos B F B F B F θ⋅===,n n n． 19．（12分）[2019·咸阳二模]交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：某一机构为了研究某一品牌7座以下投保情况，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率；（2）记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和期望．【答案】（1）0.8；（2）见解析．【解析】（1）保费不超过950元的车型为1A ，2A ，3A ，4A ，所求概率为401010200.8100+++=．（2）0.9a ξ=，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ，其中950a =，()0.90.4P a ξ==，()0.80.1P a ξ==，()0.70.1P a ξ==， ()0.2P a ξ==，()1.10.15P a ξ==，()1.30.05P a ξ==．0.90.40.80.10.70.10.2 1.10.15 1.30.05E a a a a a a ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.940.94950893a ==⨯=．20．（12分）[2019·西城一模]已知椭圆22:14x y W m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点()1,0P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D （不与点A ，B 重合）．（1）求椭圆W 的方程及离心率；（2）求四边形ACBD 面积的最大值；（3）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程．（结论不要求证明）【答案】（1）2214x y +=，离心率3e =（2）3（3）4x =．【解析】（1）由题意，得244a m ==，解得1m =． ∴椭圆W 方程为2214x y +=．故2a =，1b =，223c a b =-=．∴椭圆W 的离心率3c e a ==（2）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭，又∵24AB a ==，AB CD ⊥，∴四边形ACBD的面积12S AB CD =⨯=．当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,C x y ，()22,D x y ，联立方程()22114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222418440k x k x k +-+-=．由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+，四边形ACBD 的面积121122ABC ABD S S S AB y AB y =+=⨯+⨯△△ ()1212122AB y y k x x =⨯-=-== 设241k t +=，则四边形ACBD 的面积S =()10,1t∈，∴S =综上，四边形ACBD 面积的最大值为（3）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =． 21．（12分）[2019·清远联考]已知函数()()1e x f x x =-．（1）求函数()f x 的单调区间和零点；（2）若()e f x ax ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间：(),0-∞；单调递增区间：()0,+∞，零点为1x =；（2）[]0,e 【解析】（1）()()e 1e e x x x f x x x =+-='，令()0f x '=，解得0x =， ∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增；单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；令()0f x =，解得1x =，∴函数()f x 的零点是1x =．（2）画出()f x 的大致图像，如图所示，设()e g x ax =-，则()g x 的图像恒过点()0,e -，设函数()()1e x f x x =-的图像在点()00,P x y 处的切线过点()0,e -， ∴()000e x f x x '=，()()0001e x f x x =-，()f x 的图像在()00,P x y 处的切线方程为()()000001e e x x y x x x x --=-，将()0,e -代入切线方程，得()0200e 1e e x x x x ---=-，整理得()02001e e x x x -+=，设()()21e e x h x x x =-+-，()()2e x h x x x ⇒=+'，令()0h x '=，得0x =或1x =-，∴()h x 在(),1-∞-，()0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减，又()31e 0eh -=-<，()01e 0h =-<，()10h =， ∴01x =是方程()02001e e x x x -+=的唯一解，∴过点()0,e -且与()f x 的图像相切的直线方程为e e y x =-，令()()1e e e x m x x x =--+，则()e e x m x x '=-，当1x >时，()0m x '>；当01x <<时，()0m x '<，∴()()1m x m ≥，又()10m =，即()0m x ≥在()0,+∞上恒成立，即函数()f x 的图像恒在其切线e e y x =-的上方，数形结合可知，a 的取值范围[]0,e ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·云师附中]已知曲线E 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）10⎡-+⎣．【解析】（1）曲线E 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为22143x y +=．（2）设点A 的坐标为()2cos αα，()B α，()2cos ,2D α， ∴32cos 32cos AB αα=-=-，22AD αα==，()()210l AB AD αθ=+=-+，∴矩形的周长的取值范围为10⎡-+⎣． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·聊城一模]已知函数()21f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）设不等式()24f x x ≤+的解集为M ，若[]0,3M ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2．【解析】（1）1a =时，()121f x x x =-++，若()4f x ≤，1x ≥时，1224x x -++≤，解得1x ≤，故1x =，11x -<<时，解得1x ≤，故11x -<<，1x ≤-时，1224x x -++≤，解得53x ≥-，故513x -≤≤-，综上，不等式的解集是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）若[]0,3Mx a x x-++≤+|在[]0,3恒成立，⊆，则问题转化为2124即24222-≤+--=，故22x a x x-≤-≤，x a故22--≤-≤-在[]0,3恒成立，x a x即22≤≤，x a xa-≤≤+在[]0,3恒成立，故12即a的范围是[]1,2．。

2019高考数学(理)六大解答题突破突破五圆锥曲线的综合应用

突破训练(二十七)1．(2018·济南模拟)已知点P (－2,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)上，动点A ，B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．(1)求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率； (2)求△PAB 面积的最大值．[解] (1)将P (－2,1)代入x 2a 2＋y 22＝1，得－2a 2＋122＝1，a 2＝8.故椭圆方程为x 28＋y 22＝1.当直线AB 斜率不存在时不合题意，故设直线AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－4km 1＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋4k2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM ＝k OP ，y 0x 0＝－12，m －4km ＝－12，∴k ＝12，即直线AB 的斜率为12. (2)当k ＝12时，由Δ＝64－16m 2>0得－2<m <2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4，|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝1＋122x 1＋x 22－4x 1x 2＝21＋122 4－m 2，点P 到直线AB ：y ＝12x ＋m 的距离d ＝|m －2|1＋122，△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|m －2|4－m 2＝－m －3m ＋.设f (m )＝－(m －2)3(m ＋2)(－2<m <2)，则f ′(m )＝－[3(m －2)2(m ＋2)＋(m －2)3]＝－4(m －2)2·(m ＋1)，求得f (m )max ＝f (－1)＝27，所以S max ＝27＝3 3.2．(2018·东北三校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为22，且过焦点的弦中最短的弦的长度为233.(1)求该椭圆C 的方程．(2)经过椭圆右焦点F 2的直线和该椭圆交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，O 为原点，若OP →＝12OA →＋32OB →，求直线的方程．[解] (1)由题意得，在椭圆中c ＝2，所以a 2－b 2＝2.① 过焦点的弦中垂直于x 轴的弦最短，易得该直线与椭圆的交点的纵坐标为±b 2a.由弦的长度为233得2b 2a ＝233，即b 2a ＝33.②由①②式得a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，因为OP →＝12OA →＋32OB →，所以x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2.又因为点P 在椭圆上，所以x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12y 1＋32y 22 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2 ＝14＋34＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，所以x 1x 2＋3y 1y 2＝0.①当直线斜率为0时，其方程为y ＝0，此时不妨设A (3，0)，B (－3，0)，不满足x 1x 2＋3y 1y 2＝0，不符合题意，舍去．②当直线斜率不为0时，设直线方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x23＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2＋22my －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，y 1＋y 2＝－22m m 2＋3，y 1y 2＝－1m 2＋3.所以x 1x 2＋3y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋3y 1y 2＝m 2y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋2＋3y 1y 2＝(m 2＋3)×－1m 2＋3＋2m ×－22mm 2＋3＋2＝0，化简，得m 2－4m 2＋3＝0，解得m 2＝1，所以直线方程为x ＝±y ＋ 2.综上，直线方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.3．(2018·西安模拟)如图，点F 是抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且AF →＝(2,0)，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求抛物线Γ的方程；(2)若k 2－k 1＝2，点D 是B ，C 处切线的交点，记△BCD 的面积为S ，证明S 是定值．[解] (1)设A (x 0，y 0)，可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，p2－y 0＝(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝p2代入x 2＝2py (p >0)，得4＝p 2，即p ＝2，∴抛物线Γ的方程为x 2＝4y .(2)证明：如图，过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，并设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，C ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，由(1)得A (－2,1)，∴k 2－k 1＝x 224－1x 2＋2－x 214－1x 1＋2＝x 2－x 14，又k 2－k 1＝2，∴x 2－x 14＝2，即x 2－x 1＝8.又x 2＝4y 即y ＝14x 2，有y ′＝12x ，∴k BD ＝x 12，k CD ＝x 22，∴直线DB ：y ＝x 12x －x 214，直线CD ：y ＝x 22x －x 224.∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224解得⎩⎪⎨⎪⎧x D＝x 1＋x 22，y D＝x 1x24.又∵直线BC 的方程为y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，将x D 代入，得y E ＝x 21＋x 228.∴△BCD 的面积为S ＝12ED ·(x 2－x 1)＝12×(y E －y D )×(x 2－x 1)＝12×x 2－x 128×(x 2－x 1)＝12×828×8＝32(定值)．4．(2018·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[解] (1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝ m －m 2＝m2，故e ＝c a ＝22. (2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)．所以x 1＋x 2＝4kk －1＋2k 2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x－y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m 得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式，可得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·m －3.|CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上，因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4232＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49，又⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·12m －832＝6m －49，故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．。

专题14 概率统计解答题突破(第一季)-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)

专题14-1概率统计解答题突破第一季1．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）7（Ⅲ）14.68【解析】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．2．2018年“双十一”期间，某商场举办了一次有奖促销活动，顾客消费每满1000元可参加一次抽奖(例如：顾客甲消费930元，不得参与抽奖；顾客乙消费3400元，可以抽奖三次)。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解04 比较大小

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第4讲比较大小专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。

考点解析（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特殊值法例1-1．已知111,,,a b aM a N a P ba b<<===，则,,M N P的大小关系正确的为（）A．N M P<<B．P M N<<C．M P N<<D．P N M<<【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】解：111a b <<，01b a ∴<<<，∴指数函数x y a =在R 上单调递减，b a a a ∴>，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.例1-2．设02x π<<，记l n s i n a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，所以a b c <<，故选：A例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x x x a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22xx x ===，再对其均平方得()()()2222232.25 5.0625,29,228x x x =====，显然()()()22232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==，所以222x x x >>，所以b c a >>【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1y a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xy b xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log y c x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【详解】0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<< 利用不等式性质可知11x >，01xy <<，1111xy y x>>>， ∴011()()1y a x x =>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y yc x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>，又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故b c a >>.故选：B.练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：因为1ln ln10e <=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<， 5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cb a >>.故选：D例3-2．已知ln 22a =，ln 33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，所以a c >，所以c ab <<.故选：D.练．已知12019ln20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b c a <>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>；ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>，故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【分析】设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小；【详解】解：设()ln x f x x=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∴函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ===，5(5)ln 5c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∴a b c <<，例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（）A ．d b b d D ．不确定【答案】C【分析】由c a a c =得ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可得到d b b d >.【详解】因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln a c a c =，设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln x y x-'==0，得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x=单调递增，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln x y x=单调递减；因为ln ln a c a c =，0a b c d <<<<，所以a e c <<，所以ln ln ln b c d b c d >>，即d b b d >.故选：C.指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.【详解】因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x =， 21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<，即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知5ln 4a π=，4ln 5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <∴>∴>，同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>，∴b a c <<.故选：C.本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.类型四、中间量d=，则a，b，c，d的大小关系是（）例4-1．若0.8b=，0.30.2a=，0.20.81.1c=，lg0.2A．c b a d>>>>>>B．c a b dC．b c a d>>>>>>D．a c b d【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.8>=1.1 1.11>，0.300.20.2由幂函数的单调性知：0.20.2>，0.80.2所以0.20.20.8c b a>>=>>=>，10.80.20.20d=<=又由对数函数的单调性可知：lg0.2lg10综上有：c b a d>>>.例4-2．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【分析】由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=， 3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =，2log 3(1,2)c =∈，设22log log 3b c ===，因为函数2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，所以a b c >>.故选：C.练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由551log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>，0.312c =>，所以c b a >>，故选：B类型五、放缩法例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D练．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，所以a b c <<，故选：A练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <，332log 6log 1.5c >=>，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设2l og 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b c a <=即可得解.【详解】由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，23log 3log 222220a c -=+->>-=，所以a c >，所以a c b >>，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <，故85165>，因为5832<，故8532<，所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=，所以b c >，故a c b <<，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目.练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【分析】先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】因为1ln 02<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=> 2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.【详解】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示，由图象，可得c b a <<.故选：B.练．若44log x x -=，144log y y =，44log 0zz -+=，则实数x ，y ，z的大小关系为（）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．z x y <<D ．y z x <<【答案】D【分析】利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、四象限，∴()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162f g =<=，可得()1,2x ∈，对于144log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，∴()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对于44log 0z z -+=，显然有12z =， ∴x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，故选：D.例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【分析】由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案【详解】ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.故选：C.练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122xy =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-，即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，33b b +=134b b ⇒+=-，即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，22a a -+=1242a a ⇒+=-，即a 为函数122x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：b a c <<.故选：A.练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y x z <<D ．z x y <<【答案】B【分析】首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.【详解】对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg5lg6lg30x y ==, 所以lg30lg5x =，lg30lg 6y =，因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<，所以lg30lg30lg5lg 6>，即x y >，又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +===+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6y +===+>，所以0log log 1x x z y x <=<=，所以z y x <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．以上均不对【答案】A【分析】将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可【详解】解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =，所以z z e e zx ⋅=，所以2ze x z =，令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，所以z e z >，即y z >所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z---=-==>，所以x y >，综上x y z >>，故选：A练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即c b e =∈，而ln 2122a =<，所以a cb <<．故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5z 的大小关系是（） A ．532zy x <，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∴11121,31,51235k k k xy z ---=>=>=>，令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，上单调递增， ∴()()()532f f f >>，即532zy x >>，故选：B ．关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性．例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.综上所述，c a b >>.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D【分析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，即a c b <<或a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（）A ．lg lg b a a b D ．不确定【答案】C【分析】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b a a b >，即lg lg b a a b >故选：C练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（）A ．a b D ．无法比较【答案】A【分析】从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，由51118a b a +=得51151118()()11818a a a a a +≥⇒+≥，因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；由7915a b a +=得797915()()11515b b b b b +≤⇒+≤，因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >；即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．巩固训练（精选以一敌百）1．（多选）（2021·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（）A ．221a b +C ．222log log 2-<a bD ．211b b a+> 【答案】BD【详解】由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误2．（多选）（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k =，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>；故选：ABC。

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题39空间向量及其运算(押题专练)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案：B2．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF12CD.因为AE ⊥BC ，〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°. 所以AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0，因此AE →·BC →>AE →·CD →. 答案：C3． O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断解析：∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面．答案：B4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．－1 B.43 C.53 D.75答案：D5．在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c.则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 答案：B6．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216 aB.66aC.156 a D.153a 解析：以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，答案：A7．向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对答案 C解析因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .故选C.8．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1) 答案 B解析经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°.故选B.9．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)答案A10．已知A (1，－1,3)，B (0,2,0)，C (－1,0,1)，若点D 在z 轴上，且AD →⊥BC →，则|AD →|等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6 答案 B解析 ∵点D 在z 轴上，∴可设D 点坐标为(0,0，m )，则AD →＝(－1,1，m －3)，BC →＝(－1，－2,1)，由AD →⊥BC →，得AD →·BC →＝m －4＝0，∴m ＝4，AD →＝(－1,1,1)，|AD →|＝1＋1＋1＝ 3.故选B.11．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66 B.66 C ．－66D ．± 6 答案 C解析 OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66. 经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.故选C. 12．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB .12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD .12a －12b ＋c答案 A13．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8 答案 A解析设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A.14．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．答案 (5,13，－3)解析设D (x ，y ，z )，则AB →＝DC →.∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．15．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．答案 2解析由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，又AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－6＋18＝0，x －2＝4，解得x ＝2.16．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，8317．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________．解析：由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9. 答案：－918．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a ＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b|·|c|＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 答案：60°19．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设OQ →＝λOP →，即OQ →＝(λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 20．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c|＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．(2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a|＝12＋12＋02＝2， |b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 21．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心．(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D.22．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M 、N 、P 分别是AA 1、BC 、C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→。

专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故，故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x，当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四与平面向量数量积有关的最值问题【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则，则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则，则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则的最大值为（）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45，设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn．故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1，故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时，取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边的中线上，则的最大值为（）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在斜时，最大值为．故选：B．二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则的最大值为_____．【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由，从而，即，从而问题可得解.恒成立，，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知的内角所对的边分别为，向量，，且，若，则面积的最大值为________．【答案】【解析】由，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当时等号成立，所以，即．故答案为：． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22，，则当且仅当即时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形，三角形的外接圆半径为，以外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段以点为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知为直角，，若长为的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知是锐角，则的取值范围为________.【答案】【解析】设是中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心，是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数所以函数在[1，+∞）上都是增函数，在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则的最25解得，因为在圆上，所以即，，所以，所以，解得或，因为只能在优弧上，所以，故26。

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专项突破练1 等值线
(2019·湖南株洲模拟)下图为“某地区地形示意图”。读图，回答1～3题。

1．关于该区域的描述，正确的是( )
A．位于我国南方地区
B．范围较小，比例尺较小
C．等高距为100 m
D．图中湖泊可能是火山口
2．M湖湖水开始外泄时，其湖面高程介于( )
A．1 150～1 200 m B．1 200～1 250 m
C．1 250～1 300 m D．1 300～1 350 m
3．沿图中登山线路行进，可仰看百米飞瀑的地点是( )
A．① B．② C．③ D．④
答案 1.D 2.C 3.D
解析第1题，图示区域没有经纬度位置和典型事物，无法判断所在地区，A错误；图示范
围越小，比例尺越大，B错误；图中1 200 m等高线和1 300 m等高线之间还有一条等高线，
说明等高距为50 m，C错误；图中湖泊可能是火山口，D正确。第2题，根据图中等高线数
值可判断出峡谷海拔为1 250～1 300 m，M湖湖面高程超过峡谷，可从峡谷中流出。C正确。
第3题，瀑布出现在陡崖处，图中③④之间等高线重合，有陡崖分布，由材料“可仰看百米
飞瀑”可知应位于瀑布下游，④能看到。D正确。
(2019·安徽合肥模拟)下图为“世界某区域等高线地形图”。据此回答4～5题。
4．图示区域内河流落差可能是( )
A．78 m B．98 m C．128 m D．148 m
5．图中M、N、P、Q四地中( )
A．M地位于阴坡，坡度较其他三地陡
B．N地位于鞍部，地势较其他三地高
C．Q地位于山谷，在m地的东北方向
D．P地位于山脊，处于盛行风迎风坡
答案 4.B 5.A
解析第4题，图示等高距是40 m，河流源头最高处海拔范围80～120 m，最低处海拔为0 m，
区域内河流落差范围可能是98 m。B正确。第5题，图示位于北半球，根据等高线形态，图
中M、N、P、Q四地中，M地位于阴坡，等高线较密集，坡度较其他三地陡，A正确；N地
位于谷地，B错误；Q地位于山脊，在M地的西北方向，C错误；P地位于山谷，图示区域
位于欧洲西部，P地位于盛行西风背风坡，D错误。
我国东南沿海某地拟修建一座水位60m的水库。下图为“拟建水库附近地形示意图”。
读图，回答第6题。

6．建设成本最低的水库大坝宜建在( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 A
解析水库大坝宜建在山谷地区，同时具有较大的集水区。根据图中等高线的分布规律可知，
甲地为一个喇叭形出口，周边地形较高，在此修建水库，工程量最小，库容量较大，建设成
本最低。
(2019·北京师范大学附属中学模拟)积温是一个地区一年内日平均气温≥10 ℃持续期内
日平均气温的总和。读“我国局部地区积温分布图”，回答7～8题。

7．M、N两地积温的差值可能是( )
A．1 000 ℃ B．1 500 ℃
C．2 000 ℃ D．2 500 ℃
8．导致M、N两地积温差异的主要因素是( )
A．纬度位置 B．海陆位置
C．地形 D．人类活动
答案 7.B 8.C
解析第7题，由图中经纬网可知，M地位于四川盆地，其积温应高于周围地区；N地位于
云贵高原，其积温应低于周围地区，所以可以得到：5 500减可知，差值范围为1 000～2 000 ℃，所以差值可能为1 500 ℃。第8题，由图中经纬度可
以判断，M地位于四川盆地，N地位于云贵高原，所以两地积温差异主要是地形差异造成的。
(2017·山东济南期末)读“我国某河流上游部分河段年平均气温分布示意图”，完成9～
10题。
9．该河流的流向大致为( )
A．自东南向西北 B．自西北向东南
C．自西南向东北 D．自东北向西南

10．水能资源最丰富的河段是( )
A．甲乙河段 B．乙丙河段
C．丙丁河段 D．丁戊河段
答案 9.C 10.B
解析第9题，结合图中指向标，根据年平均气温变化，西南部年平均气温较低，说明地势
较高，为河流上游地区，所以河流从甲流向戊，即从西南向东北流。故选C。第10题，图中
等温线越密集，说明该地区温差越大，地势起伏越大，河流落差越大，所以该河段水能最丰
富。图中乙丙河段等温线最密，水能资源最丰富。故选B。
(2018·广东湛江模拟)乌拉圭境内大部分地区地势平坦，北部和东部有少数低山分布，山
区植被破坏严重。2016年4月15日，乌拉圭经历了由大西洋登陆的龙卷风引起的强降水，
境内多条河流洪水泛滥，涝灾严重，造成了严重的地表积水。下图为“该国洪水过后某一时
刻的等地表积水深度线分布图”。读图，回答11～12题。

11．下列说法正确的是( )
A．图中地表积水东北多、西南少
B．图中由河流向两岸积水逐渐增多
C．城镇地表积水比周围区域的平均深度更深
D．越向河流下游积水深度越浅
12．影响该区域洪灾形成的主要因素有( )
①天气 ②地形地势 ③植被覆盖率 ④城市热岛效应
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①②③④
答案 11.C 12.A
解析第11题，根据图中等地表积水深度线数值，图中地表积水东北少、西南多，A错误；
图中由河流向两岸积水逐渐减少，深度逐渐变浅，B错误；城镇地表积水大于35 mm，比周
围区域的平均深度更深，C正确；由材料可知，地势东北高西南低，河流自东北向西南流，
越向河流下游积水深度越深，D错误。第12题，影响该区域洪灾形成的主要因素有天气，降
水量大且集中，①正确。地形平坦，地势低洼，排水不畅，②正确。植被覆盖率低，调蓄径
流能力弱，③正确。城市热岛效应反映的是气温差异，与洪涝无关，④错误。综上，A正确。
(2018·四川广安、眉山、内江、遂宁模拟)公交等时线是指从某一地点，利用公交出行，
所用出行时间相等的各点连成的平滑曲线。下图为“广州市某日以市中心天河城为出发点的
公交等时线(单位：秒)”。据此完成13～14题。

13．从天河城出发，50分钟时间内的平均公交车速最慢的是( )
A．华师方向 B．广州东站方向
C．动物园方向 D．珠江新城方向
14．图示区域南部可能有( )
A．河流流经 B．高速公路穿过
C．工业区布局 D．大片农田
答案 13.B 14.A
解析第13题，由公交等时线定义可知，公交等时线上各点利用公交车出行，到达出发点的
用时相等。公交车速度越慢，相同时间内行走的距离越短，距出发点也就越近，公交等时线
越密集。50分钟即3 000秒内公交车速度最慢的方向为3 000秒公交等时线上距离天河城距
离最短的方向，读图可知，天河城到广州东站方向出行距离最短，故选B。第14题，读图，
根据公交等时线的分布特点，南部等时线先稀疏后密集，说明南部方向公交车速先快后慢，
高速公路、工业区、农田对公交车速影响不大；若有河流流经，则需要过桥，桥梁对同时通
行车辆的数量有一定的限制，影响公交车速，故A正确。
(2019·云南富源六中模拟)读“华北地区冬小麦开花日期示意图”，完成15～17题。

15．自1980年至2000年，华北地区冬小麦开花日期的变化特点是( )
A．普遍推迟5天左右
B．普遍提前5天左右
C．普遍推迟10天左右
D．普遍提前10天左右
16．甲地地形可能是( )
A．平原 B．山地
C．高原 D．谷地
17．导致华北地区1980～2000年冬小麦开花日期变化的原因是( )
A．月均温升高 B．月均温降低
C．霜冻影响 D．干旱缺水
答案 15.B 16.D 17.A
解析第15题，全球气候变暖，作物开花期提前；由图可知，同一纬度两条等值线接近或部
分重合，而时间相差5天，开花日期提前约5天，B正确。第16题，根据等值线的判读规律，
甲地等值线显示的开花日期比周边早，说明甲地气温比周围气温高，从地形对气温影响来说，
该地应该地势较低，所以D正确。第17题，读图并结合所学知识，可以得出2000年华北地
区冬小麦开花日期较1980年提前，说明月均温升高，导致开花日期偏早，A正确。
18．下图为“我国南方某区域等高线地形图(单位：m)”，读图回答下列问题。

(1)描述图示区域内的地形、地势特征。
(2)说明AB河段的河流流向。
(3)某同学在登上当地最高的朝阳峰时，看不到甲、乙、丙、丁中的哪个村镇？请简述理由。
(4)甲、乙、丙、丁四个村镇中，哪一处发生滑坡的可能性更高，请说明原因。
答案 (1)盆地地形，地势中间低四周高。
(2)先由北向南流，再向东南流。
(3)丁。有山脊阻挡视线。
(4)丁。原因：丁处附近等高线密集，该处的山体坡度大。