(优质)北大离散数学08PPT课件
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Ramsey定理 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)
2020/10/7
W1 W2 W3 W4 W5 W11 W12 W13 W14 W15 W6 W7 W8 W9 W10
20
S10
方案的最优性
满足目标要求： 任取 10 个工作站. 如果恰好为 W1,W2,…,W10，Wi 访问 Si，i=1,…10, 满足要求; 如果 W1-W10 中只选中 k 个工作 站，不妨设为 W1--Wk, 剩下的 10-k 个选自 W11-W15. 那 么 Wi 访问 Si，i=1,…,k. 还剩下 10-k 个服务器空闲，恰好 分配给 10-k 个工作站.
保证这组工作站可以同时访问不同的服务器.
问题：达到这个目标需要的最少缆线数目 N 是多少？
方案 1：每个工作站都连到每个服务器，需要
1015=150
2020/10/7
根缆线，N 150.
例11的解决方案
方案 2 将工作站标记为 W1,W2, …, W15, 服务器标记为 S1,S2, …, S10. 对于 k=1,2,…,10，我们连接 Wk 到 Sk, 剩下 5 个工作站的每一个都连接到 10 个服务器 总共 60 条直接连线.
2020/10/7
简单Ramsey定理的推广
(1) R(p,q)的集合表述：
Kn 的顶点集 V
集合 S
Kn 的边集 E
S 的 2 元子集的集合 T
用 2 色涂色 Kn 的边 将 T 划分成 E1,E2
存在蓝色完全 p 边形 存在 S 的 p 子集，其所有 2 元子集E1
存在红色完全 q 边形 存在 S 的 q 子集，其所有 2 元子集E2
对于 K8，存在一种涂色方案， 既没有蓝色三角形，也没有红 色完全四边形.
R(3,4)=9.
2020/10/7
W1 W2 W3 W4 W5 W11 W12 W13 W14 W15 W6 W7 W8 W9 W10
20
S10
方案的最优性
满足目标要求： 任取 10 个工作站. 如果恰好为 W1,W2,…,W10，Wi 访问 Si，i=1,…10, 满足要求; 如果 W1-W10 中只选中 k 个工作 站，不妨设为 W1--Wk, 剩下的 10-k 个选自 W11-W15. 那 么 Wi 访问 Si，i=1,…,k. 还剩下 10-k 个服务器空闲，恰好 分配给 10-k 个工作站.
保证这组工作站可以同时访问不同的服务器.
问题：达到这个目标需要的最少缆线数目 N 是多少？
方案 1：每个工作站都连到每个服务器，需要
1015=150
2020/10/7
根缆线，N 150.
例11的解决方案
方案 2 将工作站标记为 W1,W2, …, W15, 服务器标记为 S1,S2, …, S10. 对于 k=1,2,…,10，我们连接 Wk 到 Sk, 剩下 5 个工作站的每一个都连接到 10 个服务器 总共 60 条直接连线.
2020/10/7
简单Ramsey定理的推广
(1) R(p,q)的集合表述：
Kn 的顶点集 V
集合 S
Kn 的边集 E
S 的 2 元子集的集合 T
用 2 色涂色 Kn 的边 将 T 划分成 E1,E2
存在蓝色完全 p 边形 存在 S 的 p 子集，其所有 2 元子集E1
存在红色完全 q 边形 存在 S 的 q 子集，其所有 2 元子集E2
对于 K8，存在一种涂色方案， 既没有蓝色三角形，也没有红 色完全四边形.
R(3,4)=9.
2020/10/7
离散数学-公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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小结
本小节中p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{, , , , }，p, pq, pq, pq, pq为
基本复合命题. 其中要尤其注意理解pq涵义. 重复使用{, , , , }中联结词构成更为复杂复合命题.
设 p: 2 是无理数，q: 3是奇数，
r: 苹果是方， s: 太阳绕地球转 则复合命题 (pq) ((rs) p) 是假命题.
比如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r,
E=((pq) r) (rs)
分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.
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第17页
公式赋值
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中所有命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A成真赋值; 若使A为0, 则称这组
定义1.6 合式公式（简称公式）递归定义： (1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成符号串是合式公式
几点阐明： 归纳或递归定义, 元语言与对象语言, 外层括号能够省去
第一部分 数理逻辑
主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
1
第1页
第一章 命题逻辑基本概念
主要内容 命题与联结词
命题及其分类 联结词与复合命题 命题公式及其赋值
2
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1.1 命题与联结词
北大离散数学演示文稿
定理1: 对任意集合A, A
证明: Ax(xxA)
x(0xA)1. #
推论: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 21 1=2 . #
全集
全集: 如果限定所讨论的集合都是某个集 合的子集,则称这个集合是全集,记作E
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一. 例如, 讨论(a,b)区间里的实数性质时, 可 以选E=(a,b), E=[a,b), E=(a,b], E=[a,b], E=(a,+),E=(-,+)等
P1 (x): x是英文字母 A={x|P1 (x)}={x| x是英文字母} ={a,b,c,d,…,x,y,z}
P2 (x): x是十进制数字 B={x|P2(x)}= {x|x是ห้องสมุดไป่ตู้进制数字} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
描述法（续）
两种表示法可以互相转化，例如 E={2,4,6,8,…}
北大离散数学演示文稿
集合论(set theory)
十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系
朴素(naive)集合论 公理(axiomatic)集合论
创始人康托(Cantor)
Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~ 1918 德国数学家, 集合论创始人.
什么是集合(set)
幂集(power set)
幂集: A的全体子集组成的集合,称为A的 幂集,记作P(A)
P(A)={x|xA}
注意:
xP(A) xA
例子: A={a,b}, P(A)={,{a},{b},{a,b}}. #
n元集(n-set)
n元集: 含有n个元素的集合称为n元集 0元集: 1元集(或单元集),如{a}, {b}, {}, {{}},… |A|: 表示集合A中的元素个数,
离散数学-数论 PPT课件
By the well-ordering property, S has a least elemed the quotient • r is called the remainder • d is called the divisor • a is called the dividend
• a is called the dividend
9
•q is called the quotient •r is called the remainder •d is called the divisor •a is called the dividend
What are the quotient and remainder when 101 is divided by 11?
a d qr 101 = 11 9 + 2
We write: q = 9 = 101 div 11 r = 2 = 101 mod 11
10
If a = 7 and d = 3, then q = 2 and r = 1, since 7 = (2)(3) + 1. If a = −7 and d = 3, then q = −3 and r = 2, since −7 = (−3)(3) + 2.
Given negative a and (positive) d, in order to get r we repeatedly add d to a, as many times as needed so that what remains, r, is positive (or zero) and less than d.
– To specify when an integer evenly divides another integer – Read as “3 divides 12”
• a is called the dividend
9
•q is called the quotient •r is called the remainder •d is called the divisor •a is called the dividend
What are the quotient and remainder when 101 is divided by 11?
a d qr 101 = 11 9 + 2
We write: q = 9 = 101 div 11 r = 2 = 101 mod 11
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If a = 7 and d = 3, then q = 2 and r = 1, since 7 = (2)(3) + 1. If a = −7 and d = 3, then q = −3 and r = 2, since −7 = (−3)(3) + 2.
Given negative a and (positive) d, in order to get r we repeatedly add d to a, as many times as needed so that what remains, r, is positive (or zero) and less than d.
– To specify when an integer evenly divides another integer – Read as “3 divides 12”
离散数学课件章集合的基数ppt
康托定理
(2)设g:A→P(A)就是从A到P(A)得任意函数, 如下构造集合B: B＝{x| x∈A∧xg(x)}
则B∈P(A)。 但就是对任意x∈A,都有
x∈B xg(x) 所以,对任意得x∈A都有B≠g(x),即Bran g 即P(A) 中存在元素B,在A中找不到原像。 所以,g不就是满射得。 所以, A ≈P(A)。
24
25
2n2
1/ 2
双射函数
f
:
[0,1](0,1)，
f
(
x)
1/ 22 1/ 2n12
x
x0 x 1 x 1/ 2n , n 1, 2,... 其它x
等势集合得实例(6)
(6)对任何a, b∈R,a<b, [0,1]≈[a,b]。
双射函数 f:[0,1]→[a,b],f(x)＝(ba)x+a。
例如:
N ≤·N N ≤·R A ≤·P(A)
N ＜·R A ＜·P(A)
R ≮·N N ≮·N R≤·N
优势得性质
定理9、3 设A, B, C就是任意得集合,则 (1)A≤·A。 (2)若A ≤·B且B ≤·A,则A≈B。 (3)若A ≤·B且B ≤·C, 则A ≤·C 。 证明: (1)IA就是A到A得单射,因此A≤· A。 (2)证明略。 (3)假设A ≤·B且B ≤·C,那么存在单射 f:A→B,g:B→C,
f : (0,1) R, f (x) tan 2x 1
2
则 f 就是(0,1)到R得双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
等势集合得实例(5)
(5)[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)与[0,1]分别为实数开区间与闭区间。
01
1 2
离散数学课件 离散8.5-8.6节PPT
Then N (P1′P2′ . . . Pn′ ) = N − A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =
N − N (Pi) +
N (PiPj)
1≤i≤n
1≤i<j≤n
−
N (PiPjPk) + . . . + (−1)nN (P1P2 . . . Pn)
1≤i<j<k≤n
13 / 13
Examples
Let Ai be the subset containing elements that satisfy Pi.
Let N (Pi1 Pi2 . . . Pik ) denote Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik . Let N denote A , and N (P1′P2′ . . . Pn′ ) denote the number of elements with none of the properties P1, P2, . . . , Pn
11 / 13
The principle of inclusion-exclusion
Theorem: Let A1, A2, . . . , An be finite se∪ An =
Ai −
Ai ∩ Aj
1≤i≤n
1≤i<j≤n
+
Ai ∩ Aj ∩ Ak − . . . + (−1)n+1 A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
Discrete Mathematics: Lecture 6
Last time: Chap 8.3: Divide-and-conquer algorithms and recurrence relations
N − N (Pi) +
N (PiPj)
1≤i≤n
1≤i<j≤n
−
N (PiPjPk) + . . . + (−1)nN (P1P2 . . . Pn)
1≤i<j<k≤n
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Examples
Let Ai be the subset containing elements that satisfy Pi.
Let N (Pi1 Pi2 . . . Pik ) denote Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik . Let N denote A , and N (P1′P2′ . . . Pn′ ) denote the number of elements with none of the properties P1, P2, . . . , Pn
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The principle of inclusion-exclusion
Theorem: Let A1, A2, . . . , An be finite se∪ An =
Ai −
Ai ∩ Aj
1≤i≤n
1≤i<j≤n
+
Ai ∩ Aj ∩ Ak − . . . + (−1)n+1 A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
Discrete Mathematics: Lecture 6
Last time: Chap 8.3: Divide-and-conquer algorithms and recurrence relations
第三节 Burnside引理 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)
的文字涂同色的方案数，即 c1(k ) mc(k ) . (4) 代入 Burside 引理得
因此 f(Zk)= (k)=t.
Burnside引理
设 N={1,2,…,n}, G 是 N 上置换群. 令 G={1,2,…,g}, c1(k)是k 的轮换表示中 1-轮换的个数， M 为不同的轨道个数，则
M
|
1 G
|
g
c1(k
k 1
)
2020/6/16
证明
证：c1(k)是k 的作用下保持不变的 N 中元素数。做下表
2020/6/16
Burnside引理的应用
例 1 用 2 色涂色 22 方格棋盘，则方案数为 16
作用在 16 个方案上的置换群 G={1,2,3,4}, 1=(1) 2=(1) (2) (3 4 5 6) (7 8 9 10) (11 12) (13 14 15 16) 3=(1) (2) (3 5) (4 6) (7 9) (8 10) (11) (12) (13 15) (14 16) 4=(1) (2) (6 5 4 3) (10 9 8 7) (11 12) (16 15 14 13)
M 1 (16 2 4 2） 6 4
2020/6/16
应用（立方体涂色）
例 3 涂色立方体使得各个面颜色不同的方案数。 解：以过一对面的轴
旋转 0 度：1 个 旋转 90 度，270 度：6 个 旋转 180 度：3 个 以过一对顶点的轴 旋转 120 度，240 度：8 个 以过一对棱的的轴 旋转 180 度：6 个 |G|=24, M=1/24 6! =30
定理证明（续）
(3) 证 c1(k ) mc(k ) k=(• • … •) (• • … •) … (• • … •) 属于同一个轮换的文字涂同色的方案在 k 作用下不变； 属于同一个轮换的文字不涂同色，则相邻的文字不同色， 那么在 k 作用下变成不同的方案.
北师大版八年级数学上册《数据的分析——数据的离散程度》教学PPT课件(2篇)
+11）=14（cm）,
s乙2
=
1 10
(17
14)2
(14
14)2
(11 14)2 =2.8,
因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐．
计算器的使用
探索用计算器求下列一组数据的标准差：98 99 101 102 100 96 104 99 101 100请你使用计算器探索求一组数据的标 准差的具体操作步骤。
为了考察甲、乙两 种小麦的长势，分 别从中抽取了10株 麦苗，测得高度 (单位：cm)如表所 示。问哪种麦苗长 势整齐？
解：
x甲
=
1（15+15 10
+
+15）=13.9（cm）,
s甲2
=
1 10
(15
13.9)2
(15
13.9)2
(15 13.9)2 =2.09,
x乙
=
1（17+14 10
+
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定
例题讲解
现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加测试，每名参加 者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同分值中的 一种，A班的测试成绩如下表，B班的测试成绩如图.
测试成绩/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2
情景导入
如图是某一天A、B两地的气温变化图,回答问题：
(1)这一天A、B两地的平均气温分别是多少？ 解:(1)A地的平均气温是20.42℃， B地的平均气温是21.35℃；
(2)A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？
(2)A地的极差是9.5℃，方差是7.76， B地的极差是6℃，方差是2.78；