江苏省南京市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析
江苏省南京市秦淮中学2021届高考数学二轮复习热点专练-4 排列组合
南京市秦淮中学高三二轮复习2021年2月27热点专练4 排列组合一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）A ．1360B ．16C ．715D ．1152．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有A ．36种B ．48种C ．72种D ．144种3 在探索系数A ，ω，ϕ，,b 对函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>图象影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有（ ）A. 6种B. 12种C. 16种D. 24种4. 若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）A. 17B. 18C. 19D. 205．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．196．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（）A．1921910202C CCB．1921810202C CCC．192181020C CCD．192191020C CC7．学校举行秋季运动会，高一（1）班选出5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学参加，则甲不参加跳绳比赛的概率为（）A．25B．1225C．3160D．238.某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（）A ．36B ．48C ．144D ．288二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）A ．13111213C C C CB ．3324A C C ．222413A C CD ．1810．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）A ．若A 、B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法12.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是( )A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）14若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有_______个.15．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)16.在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种南京市秦淮中学高三二轮复习2021年2月27热点专练4 排列组合一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）A ．1360B ．16C ．715D ．115【答案】B【详解】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A ．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A 种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A 种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为5376A A ．所以所求的概率537681016A A P A ==，故选：B ． 2．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有A ．36种B ．48种C ．72种D ．144种答案：C解析：2111432272C C C C =． 3 在探索系数A ，ω，ϕ，,b 对函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>图象影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有（ ）A. 6种B. 12种C. 16种D. 24种 【答案】B【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前， 所以变换的方法共有442212A A =种，故选：B. 4. 若把单词“error "的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】 C 【解析】将5个字母排成一排，可分三步进行：第一步：排e ,o ，共有2520A =种排法；第二步：排三个r ，共有331C =种排法；∴将5个字母排成一排共有20120⨯=种排法， ∴可能出现的错误写法的种数为20119-=种；故选：C.5．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B 向结点A 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）A ．26B ．24C ．20D ．19【答案】D【详解】依题意，首先找出A 到B 的路线，①单位时间内从结点A 经过上面一个中间节点向结点B 传递的最大信息量，从结点A 向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B 最大传递分别是4个和3个，此时信息量为347+=个．②单位时间内从结点A 经过下面一个中间结点向结点B 传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B 最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B ，所以此时信息量为6612+=个．③综合以上结果，单位时间内从结点B 向结点A 传递的最大信息量是346619+++=个． 故选：D ．6．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ）A ．1921910202C C CB ．1921810202C C C C ．192181020C C CD ．192191020C C C 【答案】A【详解】从18护士，2名医生中任取10人有1020C 种，2名医生恰好被分在不同医院有192192C C 种，所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为1921910202C C C ，故选：A 7．学校举行秋季运动会，高一（1）班选出5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学参加，则甲不参加跳绳比赛的概率为（ ）A ．25B ．1225C ．3160D ．23【答案】D【详解】依题意5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，①5人分为：1,1,3，则有335360C A =种；②5人分为：1，2,2，则有2235332290C C A A =种，所以一共有6090150+=种分法；甲同学有2种参赛方法，其余四名同学，若只参加其余两个项目，则将四名同学分为两组，分组方案有221424227C C C A +=种，再将其分到两个项目中去，分配方法有22714A =种； 若剩下的四名同学参加3个项目，则将其分成3组，再分到3个项目中去有234336C A =种，所以一共有()21436100⨯+=种，所以概率10021503P ==故选：D 8.某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（ ） A ．36B ．48C ．144D ．288 【答案】D【详解】先将语文、数学、英语排在第二节，有336A =种排法，将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有2222228A A A =种排法，将捆绑后的三个元素排在三天，有336A =种排法，则不同的排课方案的种数为686288⨯⨯=种.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）A ．13111213C C C CB ．3324A C C ．222413A C CD ．18 【答案】BC【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有3324A C 种；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有2413C C 种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有222413A C C 种；故选：BC ．10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】对A ，先从6本书中分给甲2本，有26C 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有24C 种方法；最后的2本书给丙，有22C 种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C =种，故A 正确； 对B ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有46C 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有436390C A =种，故B 正确；对C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法；其余2本分给丙丁，有22A 种方法.所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故C 正确； 对D ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有221164212222C C C C A A ⋅种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=种，故D 错误. 故选：ABC .11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）A ．若A 、B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法【答案】BCD【解析】对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有242448A A =种，所以A 不正确；对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有323472A A =种，所以B 正确；对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602A =种，所以以C 正确； 对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有4113433378A A A A +=种，所以D 正确， 故选：BCD12.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是( )A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案解析 若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有45种，A 不正确；若每项工作至少安排一人，则先将五人按2∶1∶1∶1分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有C 25A 44＝240(种)，B 正确；若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，其余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有C 25A 33＝60(种)，C 正确；若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则不同的方案有A 22A 23＝12(种)，D 正确.故选BCD.答案 BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）【答案】260【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：()5411380⨯⨯⨯+=种，当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：()54312180⨯⨯⨯+=种， 所以不同的种植方案共有80180260+=种，故答案为：26014若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有_______个. 【答案】20【详解】由题意得：十位数只能是3，4，5， 当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有222A=个；当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有236A=个；当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有2412A=个；所以“伞数”共有20个， 故答案为：2015．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答) 答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)， 故有90－18＝72(种)，根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．16.在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种 【答案】35 60【详解】由题意，7科中任选3科，即3776535321C ⨯⨯==⨯⨯.分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有12224212C C C =种； 第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则21224348A C A =种，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的+=.故答案为：35；60选法有124860【点睛】方法点睛：本题主要考查排列、组合的应用，属于中档题.常见排列数、组合数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.。
江苏省南京市金陵中学、南通市海安中学、南京市外国语学校等三校2021届高三下学期高考联考数学试题
一、选择题．本题共 8 小题，每小题 S 分，共 40 分．在每小题给出的四个选顷中，只有一项是符合题目要求
的．
1．设复数 z 满足 1 + i z = 1，则 z = ( )
A．
1 2
B．
2 2
C． 2
D． 1
2．已知集合 A = 0,1,2,3,4 ，B = xtanx ≥ 0,x ∈ A ，则 A ∩ B 中所有元素的和为 ( )
(2)
在
△ABC
中，角
A ，B ，C
所对的边分别为
a，b，c，f
A 2
=
33 4
，a
=
7，△ABC
的面积为
153 4
，
求 sinB + sinC 的值．
19．如图，E 是以菱形 ABCD 的边 AD 为直径的半圆弧上一点，∠BAD = 60°，AB = BE = 2DE = 2，
且 M 为 AD 的中点．
∴ PB ⊥ 平面 PAC ，∴ PB ⊥ PA，且 PB ⊥ PC
则 PA，PB，PC 两两垂直
如图将 P - ABC 补成一个正方体
AB = AC = BC = 2
∴ PA = PB = PC = 2
外接球半径
r
=
6 2
，S
=
4πt2
=
6π，选
A．
9． ACD 10． BD
11． AC
【解析】
22．设函数 f x = 3sinx - x3，g x = 2ex-23 ． (1) 证明：当 x ∈ -1,0 时，f x ≤ 0； (2) 判断函数 F x = f x - g x 在 -2, + ∞ 上的零点个数．
南京市、盐城市2022届高三第二次模拟考试数学试题 - 含参考答案
南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝() A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞) 2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝()A．3B．5C．7D．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)()α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848 A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.425．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为23，高为6，则球O的表面积为()A．32πB．48πC．64πD．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk!e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ﹥0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为()A．2e4B．4e4C．6e4D．8e47．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为()A．7－12B．7－13C．5－12D．5－138．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2ln b＋1，e为自然对数的底数，则() A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜e a D．e a＜b＜e2a 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是()A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升(第9题图)10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是()A．若O为线段PQ中点，则PF＝2B．若PF＝4，则OP＝25C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为211．设函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)，ω＞0，下列说法正确的是()A．当ω＝2时，f(x)的图象关于直线x＝π12对称B ．当ω＝12时，f (x )在[0，π2]上是增函数C ．若f (x )在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥76D ．若f (x )在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥4312．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2．若点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则()A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AB 所成的角为π4C ．当点T 在平面PBD 内，且TA ＋TG =2时，点T 的轨迹为一个椭圆D ．过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P －ABCD 表面交线的周长为22＋6第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则ab 的最小值为______．14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______．（用数字作答）15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1－x )＋f (1＋x )＝2，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －x 2．若f (x )≥x ＋b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为______．16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺测得小球的高度差h 为8cm ，则圆弧的半径为______cm ．h(第16题图)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，已知∠ABC ＝2π3，∠ADC ＝π6，AC 平分∠BAD ．(1)若∠BAD＝π3，AC＝2，求四边形ABCD的面积；(2)若CD＝23AB，求tan∠BAC的值．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}，当n∈[2k－1，2k)时，a n＝2k，k∈N*．记数列{a n}的前n项和为S n．(1)求a2，a20；(2)求使得S n＜2022成立的正整数n的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，△PAB 是边长为2的等边三角形，PD ⊥AB ，PD ＝6．(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小．20．(本小题满分12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p (0＜p ＜1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a (a ＞0)元．(1)①写出X 的分布列；②证明：E (X )＜1p；(2)某公司意向投资该产品．若p ＝0.25，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由．A CDBP(第19题图)21．(本小题满分12分)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)经过点(3，1)，且渐近线方程为y＝±x．(1)求a，b的值；(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a e x＋sin x－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．(1)若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；(2)若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C 2．A3．答案：B解析：因为|a －2b |＝5，所以(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a.b ＝5，而a ，b 为单位向量，所以1＋4－4a.b ＝5，即a.b ＝0，所以(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a.b ＝5，即|a ＋2b |＝5．故选B ．4．答案：B解析：由已知tan1600°＝tan160°＝－tan20°＝－sin20°cos70°＝－0.34200.9397≈－0.36．故选B 5．答案：C解析：如图所示，圆锥的底面半径AO ′＝23，PO ′＝6，由射影定理，得AO ′2＝PO ′.QO ′，代入，解得QO ′＝2，所以2R ＝8，R ＝4，所以S 表面积＝64π．故选C ．6．答案：D解析：由泊松分布的概率分布列，得P (X ＝1)＝P (X ＝2)，所以λe λ＝λ22eλ，解得λ＝2，所以P (X ＝k )＝2k k !e －2，记“两周共销售2件该商品”为事件A ，则P (A)＝2P (X ＝0).P (X ＝2)＋P (X ＝1).P (X ＝1)＝8e4．故选D ．7．答案：A解析：直线AB 的方程为：x a ＋yb ＝1，令x ＝－c ，则y ＝(a ＋c)b 2a ，所以P (－c ，(a ＋c)b 2a )，所以OP 的中点M (－c 2，(a ＋c)b 4a )，将M 点代入椭圆方程，得c 24a 2＋(a ＋c )24a 2＝1，解得e ＝7－12．故选A ．y xOBAPM F8．答案：D解析：因为2(a ＋b )＝e 2a ＋2ln b ＋1，所以e 2a －2a －1＝2(b －ln b －1)＝2(e ln b －ln b －1)，易知函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)上单调递增，且f (0)＝0，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (lnb )，所以2a ﹥lnb ，即b ﹤e 2a ，又e 2a －2a －1﹥2(e a －a －1)，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (a )，所以a ﹤lnb ，即b ﹥e a ，综上，e a ＜b ＜e 2a ．故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．答案：BCD解析：对于A 选项，该统计图反映了农村居民人均增长率高于城镇居民人均增长率，未反映出可支配收入高，A 错误；对于B 选项，可得出城镇居民相关数据极差较大，B 正确；对于C 选项，可知农村居民相关数据中位数较大，C 正确；对于D 选项，可知增长率为正，D 正确，综上选择BCD ．10．答案：AD解析：11．答案：AC解析：12．答案：ABD 解析：三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．814．14415．－1416．120四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)解：（1）因为∠BAD ＝π3，AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ＝π6．在△ABC 中，因为∠ABC ＝2π3，所以∠ACB ＝π6，又因为AC ＝2，由AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AB ＝233，·······················································2分所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝33．在△ACD 中，因为∠ADC ＝∠CAD ＝π6，所以CA ＝CD ＝2，所以S △ACD ＝12CA ·CD sin ∠ACD ＝3，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝433．···············································································4分（2）因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ，在△ACD 中，由∠ADC ＝π6，AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，得AC ＝12·CD sin ∠CAD ．①在△ABC 中，由∠ABC ＝2π3，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AC ＝32·AB sin ∠ACB ．②···················6分由①②得CDsin ∠CAD ＝3AB sin ∠ACB．又因为CD ＝23AB ，所以2sin ∠ACB ＝sin ∠CAD ．设∠BAC ＝θ，则sin θ＝2sin(π3－θ)，···········································································8分所以sin θ＝2×(32cos θ－12sin θ)，即2sin θ＝3cos θ．因为θ∈(0，π3)，所以cos θ≠0，所以tan θ＝32，即tan ∠BAC ＝32．················································································10分18．(本题满分12分)解：（1）因为2∈[21，22)，所以a 2＝22＝4，·····································································2分因为20∈[24，25)，所以a 20＝25＝32．·······································································4分（2）a n ＝2k 的项数为2k －2k －1＝2k －1．·········································································6分又因为20＋21＋22＋…＋2k －1＝2k －1，所以数列{a n }的前2k －1项和为S2k－1＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k ×2k－1＝21＋23＋25＋ (22)－1＝23(4k －1)．·····································································································8分EA A C CD DBBPP (第19题图)(第19题图)y xz PA DECB当k ＝5时，S 31＝23(45－1)＝682＜2022，S 51＝S 31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，·····························································10分S 52＝S 51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．又因为S n ＋1＞S n ，所以使得S n ＜2022成立的正整数n 的最大值为51．····················································12分19．(本题满分12分)解：（1）取AB 中点E ，连接PE ，DE ．因为△PAB 是边长为2的等边三角形，所以AB ⊥PE ，PE ＝3，AE ＝1．又因为PD ⊥AB ，PD ∩PE ＝P ，PD ，PE ⊂平面PDE ，所以AB ⊥平面PDE ．·····························································································因为DE ⊂面PDE ，所以AB ⊥DE ．在Rt △AED 中，AD ＝2，AE ＝1，所以DE ＝3．在△PDE 中，PD ＝6，DE ＝3，PE ＝3，所以PE 2＋DE 2＝PD 2，所以DE ⊥PE ．···········4分又因为AB ∩PE ＝E ，AB ，PE ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ．又因为DE ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ．···················································································6分（2）由（1）知，以{EA →，EP →，ED →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，则E (0，0，0)，D (0，0，3)，C (－2，0，3)，P (0，3，0)．则DC →＝(－2，0，0)，PD →＝(0，－3，3)．···············································8分设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC →＝0，·PD →＝0，2x ＝0，－3y ＋3z ＝0．取x ＝0，y ＝1，z ＝1．所以n ＝(0，1，1)是平面PCD 的一个法向量．……………10分因为DE ⊥平面PAB ，所以ED →＝(0，0，3)为平面PAB 的一个法向量．所以cos ＜n ，ED →＞＝n ·ED →│n ││ED →│＝22，所以平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小为π4．··················································12分20．(本题满分12分)解：（1）①当1≤X ≤9时，P (X ＝i )＝(1－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9．当X ＝10时，P (X ＝10)＝(1－p )9．所以P (X ＝i )－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9，－p )9，i ＝10．····························································4分②E (X )＝∑9i ＝1i (1－p )i －1p ＋10(1－p )9＝p ∑9i ＝1i (1－p )i －1＋10(1－p )9．令S ＝∑9i ＝1i (1－p )i －1，则E (X )＝pS ＋10(1－p )9．则S ＝1＋2(1－p )＋3(1－p )2＋…＋8(1－p )7＋9(1－p )8，(1－p )S ＝(1－p )＋2(1－p )2＋…＋7(1－p )7＋8(1－p )8＋9(1－p )9，两式相减，得pS ＝1＋(1－p )＋(1－p )2＋…＋(1－p )7＋(1－p )8－9(1－p )9····························6分＝1－(1－p )9p－9(1－p )9，所以E (X )＝1－(1－p )9p＋(1－p )9＝1p [1－(1－p )10]．因为0＜p ＜1，所以0＜1－(1－p )10＜1，所以E (X )＜1p．······································································································9分（2）当p ＝0.25时，由（1）得E (X )＜4，则a ×E (X )＜4a ＜5a ，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以考虑投资该产品．····························································12分21．(本题满分12分)解：（1）因为双曲线C 渐近线方程为y ＝±x ，所以b a＝1．又因为双曲线C 经过点(3，1)，所以3a 2－1b2＝1．··················································2分解得a ＝b ＝2．······························································································4分（2）方法1当AB 斜率不存在时，由双曲线对称性知AD 经过原点，此时与题意不符．设AB 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点E (x 3，y 3)，则D (－x 2，y 2)．kx ＋m ，－y 22＝1，消去x ，得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝－m 2＋21－k 2，········································································6分则x 3＝x 1＋x 22＝km 1－k 2，y 3＝kx 3＋m ＝m 1－k 2，则AB 的中垂线方程为y －m 1－k 2＝－1k (x －km 1－k 2)，当x ＝0时，y ＝2m 1－k 2．因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆圆心在y 轴上，记圆心为点F ，则F (0，2m 1－k 2)．···············································································8分因为△ABD 的外接圆经过原点，则OF ＝FA ，即|2m 1－k 2|＝x 12＋(y 1－2m 1－k 2)2．又因为x 122－y 122＝1，所以y 12－2m 1－k 2y 1＋1＝0．同理，由OF ＝FB ，得y 22－2m 1－k 2y 2＋1＝0，所以y 1，y 2是方程y 2－2m 1－k2y ＋1＝0的两个根，所以y 1y 2＝1．······································10分则(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝1，即k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1，所以k 2×(－m 2＋21－k 2)＋km ×2km 1－k 2＋m 2＝1，化简得k 2＋1＝m 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|m |k 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分方法2设直线AB 方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (－x 2，y 2)．又因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆的圆心在y 轴上，设为P (0，t )，则PA ＝PB ，即x 12＋(y 1－t )2＝x 22＋(y 2－t )2．由x 122－y 122＝1，x 222－y 222＝1，化简得t ＝y 1＋y 2．····························································6分因为△ABD 的外接圆经过原点O ，所以PA ＝PO ＝|t |，即x 12＋[y 1－(y 1＋y 2)]2＝|y 1＋y 2|，化简得y 1y 2＝1．····································································································8分联立直线AB my ＋n ，－y 22＝1，消去x ，得(m 2－1)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0，所以y 1y 2＝n 2－2m 2－1．················································································10分又因为y 1y 2＝1，所以n 2－2m 2－1＝1，即m 2＋1＝n 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|n |m 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝a e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝a e x ＋cos x －3．因为a ≤0，所以f'(x )＝a e x ＋cos x －3≤cos x －3＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．····················································································································2分又因为f (0)＝a －2＜0，f (a －2)＝a e a －2＋sin(a －2)－3a ＋4＞a (e a －2－3)≥0，因此f (x )有唯一的零点．··························································································4分（2）由（1）知，a ≤0符合题意．（i ）当a ＝2时，由f (x )＝2e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝2e x ＋cos x －3．当x ＜0时，f'(x )≤2e x －2＜0，所以f (x )单调递减；························································6分当x ＞0时，f''(x )＝2e x －sin x ≥2e x －1＞0，所以f'(x )在(0，＋∞)上单调递增，从而，当x ＞0时，f'(x )＞f'(0)＝0，所以f (x )单调递增，于是f (x )≥f (0)＝0，当且仅当x ＝0时取等号，故此时f (x )有唯一的零点x ＝0．················································································8分（ii ）当a ＞2时，f (x )＞2e x ＋sin x －3x －2≥0，此时f (x )无零点；······································9分（iii ）当0＜a ＜2时，首先证明：当x ≥0时，e x＞x 22．设g (x )＝e x－x 22，x ≥0，则g'(x )＝e x －x ，g''(x )＝e x －1≥0，所以g'(x )在[0，＋∞)上单调递增，故g'(x )≥g'(0)＝1＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此g (x )≥g (0)＝1＞0，即当x ≥0时，e x ＞x 22．··························································10分当x ＞0时，f (x )≥a e x －3x －3＞a 2x 2－3x －3，令a 2x 2－3x －3＝0，得x ＝3±9＋6a a．取x 0＝3＋9＋6a a＞0，则f (x 0)＞0．又f (0)＝a －2＜0，f (－1)＝a e －1＋1－sin1＞0，因此，当0＜a ＜2时，f (x )至少有两个零点，不合题意．综上，a ＝2或a ≤0．····························································································12分。
江苏省淮安市2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析
江苏省淮安市2021届新高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=n n n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B．C．D ．62【答案】B【解析】【分析】 根据14+=n n n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=n n n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩因此5S ==故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.2．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】【分析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.3．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B【解析】【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 4．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．0【答案】B【解析】【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r ，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b r r 夹角为4π 故选：B 【点睛】 本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 5．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．5 B ．2 C ．5 D ．152【答案】C【解析】【分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高.【详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25sin 1cos A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b AB =，即1525152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 6．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m”成立，即充分性成立，若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立，则“l ∥α”是“l ⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题7．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）.A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】【分析】若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可.【详解】由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以22212323a a a a a =++， 22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍）， 故2(1)7(2)82n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.8．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】 根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p ，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k =+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k =+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++， 所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.9．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==，因此21214(4)PF PF F F -=<当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<， 综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】C【解析】【分析】 根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】 依题意得3322(2)(2)a f f =-=，322223log 8log 9<==<=<Q ， 当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以x y e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题. 11．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）．A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【答案】A【解析】【分析】先化简求出z ，即可求得答案.【详解】因为(1)2z i -=， 所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+ 所以111z i i -=+-=故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.12． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】， 由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =， 但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈ ∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件 故选B【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年江苏省南京市中考数学二模试卷(2)及答案解析
江苏省南京市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≥15．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是，的倒数是．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是．10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= ．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= °．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是°时，CD∥AB．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为km/h，慢车的速度为km/h，甲乙两地的距离为km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④AD∥BC；【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：；定理2：；定理3：．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（）A．328×106元B．32.8×107元C．3.28×108元D．0.328×109元【解答】解：将32800万用科学记数法表示为：3.28×108，故选：C．2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3．（2分）计算3﹣2的结果是（）A．﹣6 B．C．D．﹣【解答】解：3﹣2=，故选：C．4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≥1【解答】解：根据题意，得2x﹣2≥0，解得，x≥1．故选：D．5．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（）A．B．C．D．【解答】解：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得．故选：B．6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（）A．正方形有且只有一个内切圆B．正方形有无数个外接圆C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大【解答】解：A、正确．正方形有且只有一个内切圆；B、错误．正方形有且只有一个外接圆；C、错误．对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形；D、错误．用一根绳子围成一个平面图形，圆形的面积最大；故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）的相反数是﹣，的倒数是．【解答】解：的相反数是﹣，倒数是．故答案为﹣，．8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等．【解答】解：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等；故答案为：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==等．9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是4（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式=4（x2﹣4）=4（x+2）（x﹣2）故答案为：4（x+2）（x﹣2）10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= 16 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1，x1x2=﹣5，所以x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=（﹣1）2﹣3×（﹣5）=16．故答案为16．11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是2（答案不唯一）．【解答】解：∵y=的图象位于一三象限，点A在第一象限，∴y1＞0，y随x的增大而减小．∵当m＜0时，点B位于第三象限，∴y2＜0．故假设不成立．当m＞0时，点B位于第一象限，∴y2＞0．又∵y1＜y2，∴m＜3．∴0＜m＜3．所以m的值可为2．故答案为：2．12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= 220 °．【解答】解：如图，∵直线b平移后得到直线a，∴a∥b，∴∠1+∠4=180°，即∠4=180°﹣∠1，∵∠5=∠3=40°，∴∠2=∠4+∠5=180°﹣∠1+40°，∴∠1+∠2=220°．故答案为220．13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是ab ．【解答】解：∵点E、F分别是菱形AB、BC边上的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=AC，且EF∥AC．同理，HG=AC，且HG∥AC，∴EF=HG，且EF∥HG．∴四边形EFGH是平行四边形．∴EH∥FG，EH=FG=BD．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH的面积=EF•EH=a•b=ab．故答案是：ab．14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是100或280 °时，CD∥AB．【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°；②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，∵AB∥CD，∴∠CEO=∠B=40°，∵∠C=60°，∠COD=90°，∴∠D=90°﹣60°=30°，∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，∴旋转角为270°+10°=280°，综上所述，当旋转角为100°或280°时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：100或280．15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是（，）．【解答】解：如图，∵原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1，∴OO1⊥AB，设O1O与直线y=﹣x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，由直线y=﹣x+4可知A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵S△AOB=OA•OB=AB•OD，∴OD==，∴OO1=，∵∠ADO=∠O1EO=90°，∠AOD=∠EOO1，∴△AOD∽△O1OE，∴=，即=，∴OE=，∴O1E==，∴点O1的坐标是（，），故答案为（，）．16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 5 ．【解答】解：∵PC、PB是⊙O的切线，∴∠PCO=∠PBO=90°，∴点C、B在以OP为直径的圆上，∵BC是这个圆的弦，∴当BC=OP=5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）．故答案为5．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．【解答】解：原式=+•=+1=，当x=3时，原式==2．18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3 ．【解答】解：（1）∵2x﹣3（x﹣1）≤6，∴2x﹣3x+3≤6，解得x≥﹣3，这个不等式的解集在数轴上表示如下：．（2）∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．故答案为：﹣4＜a≤﹣3．19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日步数2.1 1.7 1.8 1.9 2.0 1.8 2.0（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．【解答】解：（1）用折线统计图表示小莉爸爸这7天内步行的步数如下：；（2）小莉爸爸这7天内每天步行的平均步数为：=×（2.1+1.7+1.8+1.9+2.0+1.8+2.0）=1.9（万步）．（3）小莉爸爸2月份步行的步数约为：1.9×28=53.2（万步）．20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，故转动一次，指针指向白色区域的概率为：=，则转动一次，指针指向阴影区域的概率为：，故让转盘自由转动两次．指针一次落在黑色区域，另一次落在白色区域的概率是：2××=．21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．【解答】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据题意，得（2﹣1.5）x（x+0.5）×120=180，解得x1=﹣2，x2=1.5．所以x=1.5，x+0.5=2．答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）【解答】解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，设PQ=xm，则PE=（x﹣1.6）m，PF=（x﹣1.2）m．在△PEA中，∠PEA=90°．则tan∠PAE=．∴AE=．在△PCF中，∠PFC=90°．则tan∠PCF=．∴CF=．∵AE+CF=BD．∴+=200．解，得x=．答：气球的高度是m．23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由：AAS ；（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．【解答】解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，故答案为AAS．（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴BE=CF，DE=DF．在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD．∴AE=AF．∴AE+BE=AF+CF．即AB=AC．24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，⊙O是所求作的图形．（2）如图，作⊙O的直径AE，连接BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．∵∠ADC=∠ABE=90°，∠C=∠E，∴△ABE∽△ADC，∴=．即=，解得AE=．∴⊙O的半径为．25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：（1）快车的速度为km/h，慢车的速度为150 km/h，甲乙两地的距离为50 km；（2）求出发多长时间，两车相距100km；（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）快车的速度为300÷2=150km/h，慢车的速度为：300÷6=50km/h，甲乙两地的距离为300km，故答案为：150，50，300；（2）快车在行驶过程中离A地的路程y1与时间x的函数关系式：当0≤x＜2时，y1=150x，当2≤x≤4时，y1=300﹣150（x﹣2），即y1=600﹣150x．慢车在行驶过程中离A地的路程y2与时间x的函数关系式：当0≤x≤6时，y2=50x，由题意，得①当0≤x＜2时，y1﹣y2=100，150x﹣50x=100，解得x=1；②当2≤x＜3时，y1﹣y2=100，600﹣150x﹣50x=100，解得x=2.5；③当3≤x＜4时，y2﹣y1=100，50x﹣（600﹣150x）=100，解得x=3.5；④当4≤x≤6时，两车相距大于100km．答：出发1 h或2.5h或3.5h后，两车相距100km；（3）s与x的函数图象如图所示：26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．①求∠OBD的度数；②求点P的坐标．【解答】（1）由题意知：，解得．∴该二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；（2）①∵当x=0时，y=﹣4．∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，﹣4）．∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，∴BD==8，即BD=2OB，∴∠ODB=30°．∴∠OBD=60°；②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，∵x=3时，m=﹣4．∴点C的坐标为（3，﹣4）．∵CD∥x轴，∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．∴DF=CD=，CF==，∵BD=8，∴BF=8﹣=，设点P的坐标为（x，x2﹣3x﹣4）．则PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，∵∠CBP=∠OBD=60°，∴∠CBF=∠PBE．∵∠CFB=∠PEB=90°．∴△CBF∽△PBE．∴=．∴=．解得：x1=4（舍去），x2=﹣．∵当x=﹣时，y=﹣．∴点P的坐标为（﹣，﹣）．27．（12分）【问题提出】我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．【初步思考】在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：①A B=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④AD∥BC；⑤∠BAD=∠BCD；⑥∠ABC=∠ADC；⑦OA=OC；⑧OB=OD．【深入探究】小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．【解答】（1）解：Ⅱ关于对角的2个条件可分为“⑤⑥”共1种情形；Ⅲ关于对角线的2个条件可分为“⑦⑧”共1种情形；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个可分为“①⑤，③⑤”共2种情形；Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个可分为“①⑦，③⑦”共2种情形；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个可分为“⑤⑦，⑥⑦”共2种情形．（2）解：定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形（3）证明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．真命题2：四边形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；真命题3：四边形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；真命题4：四边形ABCD中，若∠ABC=∠AD C，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；（4）解：假命题2：四边形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，把△ADC翻转得如图所示的四边形ABDC，∵AB=AC，∴∠B=∠C．在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题3：四边形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．反例如下：如图，OA=OC，直线l经过点O，分别以A、C为圆心，一定的长为半径画弧交直线l于点B、D，得如图所示的四边形ABCD，在四边形ABCD中，AB=CD，OA=OC，显然，四边形ABDC不是平行四边形．假命题4：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，则四边形ABC D不一定是平行四边形．反例如下：如图，筝形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，显然四边形ABCD不是平行四边形．。
2021年江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高考数学第二次调研试卷(二模)
2021年江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高考数学第二次调研试卷（二模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M ，N ，P 均为R 的非空真子集，且M N R =，MN P =，则()(R M P =⋂ )A ．MB ．NC ．R MD ．RN2．（5分）已知x R ∈，则“34x -”是“2(2)1lg x x --”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）欧拉恒等式：10i e π+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：cos sin ()i e i R θθθθ=+∈中，令θπ=得到的．根据欧拉公式，2i e 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“惺帐”．如图是的一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为5:3，则正脊与斜脊长度的比值为( )A ．35B ．89C ．910D ．15．（5分）已知a ，b ，c 均为单位向量，且22a b c +=，则(a c ⋅= ) A ．12-B ．14-C ．14D ．126．（5分）函数2()sin cos 3f x x x x =+的图象的一条对称轴为( )A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=7．（5分）某班45名学生参加“312⋅”植树节活动，每位学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”、“合格”2个等级，结果如表：等级 项目 优秀合格合计除草 30 15 45 植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为() A ．5B ．10C ．15D ．208．（5分）若1alna blnb clnc >>=，则( ) A ．b c c a a b e lna e lnb e lnc +++>> B ．c a b c a b e lnb e lna e lnc +++>> C ．a b c a b c e lnc e lnb e lna +++>>D ．a b b c c a e lnc e lna e lnb +++>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷(附答案详解)
2021年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.(2021·江苏省南京市·模拟题)下列四个实数中，是负数的是()A. −(−1)B. (−1)2C. |−1|D. (−1)32.(2021·江苏省南京市·模拟题)计算(−a2)3÷a2的结果是()A. −a4B. −a3C. a4D. a33.(2021·江苏省南京市·模拟题)下列整数中，与√12最接近的是()A. 4B. 3C. 2D. 14.(2021·江苏省南京市·模拟题)若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据()A. 平均数不变B. 中位数不变C. 众数不变D. 方差不变5.(2021·江苏省南京市·模拟题)如图，⼀次函数y=−x+6的图象与反⼀例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象交于点A、B，若AB=4√2，则k的值是()A. 3B. 4C. 5D. 66.(2021·江苏省南京市·模拟题)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC上，AD=DE，BD=CE，若∠ADE=m°，则∠BAD的度数是()A. m°B. (90−12m)° C. (90−m)° D. (90−32m)°二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.(2020·全国·模拟题)计算：|−3|=______ ；√(−3)2=______ ．8. (2021·江苏省南京市·模拟题)习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣告现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫.用科学记数法表示98990000是______ ．9. (2021·江苏省南京市·模拟题)计算√12−√27√3的结果是______ ．10. (2021·江苏省南京市·模拟题)⼀程组{x −2y =32x −y =9的解是______ ． 11. (2021·江苏省南京市·模拟题)设x 1，x 2是⼀元⼀次⼀程x 2−3x −4=0的两个根，则x 1x 2−x 1−x 2= ______ ．12. (2021·江苏省南京市·模拟题)分解因式x 3−2x 2+x 的结果是______ ．13. (2021·江苏省南京市·模拟题)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A ：∠C =2：3，若⊙O 半径为5，则BD⏜的长度是______ ．14. (2021·江苏省南京市·模拟题)如图，正五边形ABCDE的边为2，对角线BD 、CE 相交于点F ，则DF ⋅BD 的值为______ ．15. (2021·江苏省南京市·模拟题)如图，在△ABC 中，点E在BC 上，且BE =3EC.D 是AC 的中点，AE 、BD 交于点F ，则AF EF 的值为______ ．16. (2021·江苏省南京市·模拟题)已知⼀次函数y =12x +1的图象与y 轴交于点A ，将该函数图象绕点A 旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是______ ．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17. (2021·江苏省南京市·模拟题)计算(a −1−3a+1)÷a 2−4a 2+2a+1．18. (2021·江苏省南京市·模拟题)解不等式组{4−3x ≥−52x−13>x−22.并写出该不等式组的最小整数解．19. (2021·江苏省南京市·模拟题)某校开展了一次数学竞赛(竞赛成绩为百分制)，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(本次竞赛没有满分)，经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含前端点值，不含后端点值)．信息二：第三组的成绩(单位：分)为：74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75．根据信息解答下列问题：(1)补全第二组频数分布直方图(直接在图中补全)；(2)第三组竞赛成绩的众数是______ 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______ 分；(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．20.(2021·江苏省南京市·模拟题)某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．(1)求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；(2)甲、⼀两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是______ ．21.(2021·江苏省南京市·模拟题)某车间加工1800个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的1.2倍，这样加工同样个数的零件就少用了15h，求采用新工艺前后每小时各加工多少个零件？22.(2021·江苏省南京市·模拟题)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．23.(2021·江苏省南京市·模拟题)如图，港口B位于港口A北偏东37°的方向，两港口距离为30海⼀.在港口A处测得⼀艘军舰在北偏东45°方向的C处，在港⼀B处测得该军舰在北偏东51°方向.求该军舰距港口B的距离BC.(结果保留整数)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.25)24.(2021·江苏省南京市·模拟题)已知⼀次函数y=ax2−4ax+3a(a为常数，且a≠0)．(1)求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．(2)当1≤x≤4时，y<5，直接写出a的取值范围．25.(2021·江苏省南京市·模拟题)如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=8，⊙O过点A且与BC相切于点E.设BE=m．(1)当⊙O与CD相切时，求m的值；(2)点E从B向C运动，⊙O与CD边公共点的个数随m的变化而变化.直接写出公共点的个数及其对应的m的取值范围；(3)在点E从B向C运动的过程中，画出点O的运动路径，这个路径是______ .(填写序号)①线段；②弧；③双曲线的⼀部分；④抛物线的⼀部分．26.(2021·江苏省南京市·模拟题)某商品有线上、线下两种销售方式．线上销售：单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件.另需支付其它成本5000元；线下销售：单件利润500元.另需支付其它成本12500元．注：净利润=销售商品的利润−其他成本．(1)线上销售100件的净利润为______ 元；线下销售100件的净利润为______ 元；(2)若销售量为x件，当0<x≤600时，⼀较两种销售方式的净利润；(3)现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？27.(2021·江苏省南京市·模拟题)(1)如图①，AB=AC，点P为BC上⼀点，∠BAP=30°，∠PAC=45°，求BP的值；CP(2)如图②，AB=AC，DB=DC，点P为BC上⼀点，求证=sin∠BAPsin∠BDP =sin∠CAPsin∠CDP；(3)如图③，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接EF与DO相交于点I，连接AI并延交BC于点G.求证BG=CG．答案和解析1.【答案】D【知识点】绝对值、实数的概念、相反数【解析】解：A.−(−1)=1，是正数，不符合题意；B.(−1)2=1，是正数，不符合题意；C.|−1|=1，是正数，不符合题意；D.(−1)3=−1，是负数，符合题意；故选：D．根据相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念判断可得．本题主要考查实数，解题的关键是掌握相反数的定义、乘方的定义、绝对值的性质及负数和正数的概念．2.【答案】A【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方【解析】解：(−a2)3÷a2=(−a6)÷a2=−a4．故选：A．先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3.【答案】B【知识点】估算无理数的大小【解析】解：∵9<12<16，∴3<√12<4，又∵3.52=12.25>12，∴与√12最接近的是3．故选：B．求出3<√12<4，再得出选项即可．本题考查了估算无理数的大小，能估算出√12接近的整数是解题关键．4.【答案】D【知识点】算术平均数、中位数、众数【解析】解：将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，故选：D．将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，据此可得答案．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．5.【答案】C【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】解：设⼀次函数y=−x+6的图象与坐标轴交于M、N，∴OM=ON=6，∴∠ONM=∠OMN=45°，直线MN关于直线y=x对称，(k为常数，k≠0)的图象关于直∵反⼀例函数y=kx线y=x对称，∴AM=BN，∵OM=ON=6，∴MN=6√2，∵AB=4√2，∴AM=BN=√2，作AD⊥y轴于D，则△ADM是等腰直角三角形，∴AD=DM=1，∴OD=OM−DM=6−1=5，∴A(1,5)，(k为常数，k≠0)的图象上，∵点A在反⼀例函数y=kx∴k=1×5=5，故选：C．设⼀次函数y=−x+6的图象与坐标轴交于M、N，则OM=ON=6，得出△MON是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的对称性，反比例函数的对称性即可求得AM= FN=√2，进一步求得A(1,5)，根据待定系数法即可求得k的值．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的对称性，求得A 的坐标是解题的关键． 6.【答案】D【知识点】等腰三角形的性质【解析】解：分别过点E 、D 作EF ⊥CD 、DG ⊥AB ，垂直分别为F 、G ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵EF ⊥CD ，DG ⊥AB ，∴∠EFC =∠DGB =90°，在△CEF 和△BDG 中{∠EFC =∠DGB ∠C =∠B CE =BD∴△CEF≌△DGB(AAS)，∴EF =DG ，在Rt △DEF 和Rt △ADG 中{DE =AD EF =DG∴Rt △DEF≌Rt △ADG(HL)，∴∠CED =∠ADB ，∠EDC =∠DAB ，∵AD =ED ，∠ADE =m°，∴∠DEA =(180−m 2)°，∴∠ADB =∠CED =(180−180−m 2)°，∴∠BAD =∠EDC =180°−(∠ADB +∠ADE)=180°−(180−180−m 2+m)°=(90−32m)°．故选：D ．分别过点E 、D 作EF ⊥CD 、DG ⊥AB ，证明△CEF≌△BDG 、△DEF≌△ADG ，从而证明△CDE≌△ADB，得到∠EDC=∠BAD，再利用等边对等角，用m表示出∠AED和∠CED，再利用平角的定义即可表示出∠BAD的度数．本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，能够根据线段相等等已知条件构造全等三角形是解答此题的关键．7.【答案】3；3【知识点】二次根式的性质【解析】解：|−3|=3，√(−3)2=√32=3，故答案为：3，3．根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质是解题关键．8.【答案】9.899×107【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：98990000=9.899×107．故答案为：9.899×107．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9.【答案】−1【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【解析】解：原式=√123−√273=√4−√9=2−3=−1．故答案为−1．利用二次根式的除法法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10.【答案】{x =5y =1【知识点】灵活选择解法解二元一次方程(组)【解析】解：{x −2y =3①2x −y =9②， ②×2−①得：3x =15，解得：x =5，把x =5代入①得：5−2y =3，解得：y =1，则方程组的解为{x =5y =1． 故答案为：{x =5y =1． 方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．11.【答案】−7【知识点】一元二次方程的根与系数的关系*【解析】解：根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=−4，所以x 1x 2−x 1−x 2=x 1x 2−(x 1+x 2)=−4−3=−7．故答案为−7．根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=−4，然后利用整体代入的方法计算x 1x 2−x 1−x 2值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ． 12.【答案】x(x −1)2【知识点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】解：x 3−2x 2+x=x(x 2−2x +1)=x(x −1)2．故答案为：x(x −1)2．直接提取公因式x，再利用公式法分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．13.【答案】4π【知识点】弧长的计算、圆内接四边形的性质、圆周角定理【解析】解：连接OB、OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A：∠C=2：3，∴∠A+32∠A=180°，∴∠A=72°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=144°，∴BD⏜的长：144π×5180=4π，故答案为4π．连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．14.【答案】4【知识点】正多边形与圆的关系、相似三角形的判定与性质【解析】解：如图所示：∵五边形ABCDE为正五边形，∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=(5−2)×180°5=108°，∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE=180°−108°2=36°，在△BCD和△CFD中，∠CBD=∠DCF，∠BDC=∠CDF，∴△BCD∽△CFD，∴BDCD =CDDF，∴DF⋅BD=CD2，∵正五边形ABCDE 的边为2，∴CD =2，∴DF ⋅BD =4，故答案为4．又正五边形的性质得到BC =CD =DE ，∠BCD =∠CDE =108°，而证得∠CBD =∠CDB =∠CED =∠DCE ，根据相似三角形的判定证得△BCD∽△CFD ，根据相似三角形的性质即可求出结果．本题主要考查了正多边形和圆，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质证得DF ⋅BD =CD 2是解决问题的关键．15.【答案】43 【知识点】平行线分线段成比例 【解析】解：过E 点作EH//AC 交BD 于H ，如图，∵EH//CD ，∴EHCD =BEBC ，∵BE =3EC ，∴EHCD =3EC4EC =34， ∵D 是AC 的中点，∴AD =CD ，∴EH AD =34， ∵EH//AD ，∴AF EF =AD EH =43．故答案为43．过E 点作EH//AC 交BD 于H ，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH//CD 得到EH CD =34，由于AD =CD ，则EH AD =34，然后利用EH//AD ，根据平行线分线段成比例定理得AF EF 的值．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 16.【答案】y =−13x +1或y =3x +1【知识点】一次函数图象与几何变换【解析】解：如图1，∵⼀次函数y=12x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，∴A(0,1)，B(−2,0)，当直线y=12x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD 为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE(AAS)，设AF=a，则DE=a，∵点A(0,1)，点B(−2,0)，∴DF=BE=OF=1+a，EF=ED+DF=a+1+a=OB=2，∴a=12，∴DF=OF=1+a=32，∴D(−32,32 )，设直线l的解析式为y=kx+1，则32=−32k+1，解得k=−13，∴y=−13x+1；如图2，直线y=12x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE(AAS)，设DF=b，则DE=b，∵点A(0,1)，点B(−2,0)，∴AF=BE=1+b，BO=BE+OE=b+1+b=OB=2，∴b=12，∴D(−12,−12)，设直线l的解析式为y=kx+1，则−12=−12k+1，解得k=3，∴y=3x+1；综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=−13x+1或y=3x+1．故答案为y =−13x +1或y =3x +1．分两种情况讨论，通过三角形全等，求得D 的坐标，然后根据待定系数法即可求得旋转后的图象对应的函数关系式．本题主要考查了一次函数图象与几何变换，旋转的性质以及一次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形． 17.【答案】解：(a −1−3a+1)÷a 2−4a 2+2a+1=[(a −1)(a +1)a +1−3a +1]⋅(a +1)2(a +2)(a −2)=a 2−1−3a +1⋅(a +1)2(a +2)(a −2)=(a +2)(a −2)a +1⋅(a +1)2(a +2)(a −2)=a +1．【知识点】分式的混合运算【解析】根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 18.【答案】解：{4−3x ≥−5①2x−13>x−22②， 解不等式①得：x ≤3，解不等式②得：x >−4，所以不等式组的解集是−4<x ≤3，所以不等式组的最小整数解是−3．【知识点】一元一次不等式组的整数解、一元一次不等式组的解法【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出最小整数解即可． 本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19.【答案】76 78【知识点】中位数、众数、频数(率)分布直方图【解析】解：(1)第2组60～70组的人数为：50−4−12−20−4=10(人)， 补全频数分布直方图如图所示：(2)第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为(77+79)÷2=78(分)，因此中位数是78，故答案为：76，78；(3)1500×20+450=720(人)，答：估计该校参赛学⼀成绩不低于80分的人数有720人．(1)计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；(2)根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数； (3)样本估计总体，样本中80分以上的占20+450，因此估计总体1500人的20+450是80分以上的人数．本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键． 20.【答案】16【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)、概率公式【解析】解：(1)画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A 、B 的结果有2种， ∴甲用户选择下载的2本书是A 、B 的概率为212=16；(2)甲用户选择下载的2本书共有6种结果：AB(BA)、AC(CA)、AD(DA)、BC(CB)、BD(DB)、CD(DC)，分别记为：a 、b 、c 、d 、e 、f ，乙户选择下载的2本书共有6种结果：AB(BA)、AC(CA)、AD(DA)、BC(CB)、BD(DB)、CD(DC)，画树状图如图：共有36种等可能的结果，甲、⼀两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，即AB、CD，AC、BD，AD、BC，BC、AD，BD、AC，CD，AB，∴甲、⼀两个用户选择下载的2本书均不相同的概率为636=16，故答案为：16．(1)画树状图，共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，再由概率公式求解即可；(2)画树状图，共有36种等可能的结果，甲、⼀两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可；本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．21.【答案】解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，则采用新工艺后每小时加工1.2x 个零件，依题意得：1800x −18001.2x=15，解得：x=20，经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，∴1.2x=24．答：采用新工艺前每小时加工20个零件，采用新工艺后每小时加工24个零件．【知识点】分式方程的应用【解析】设采用新工艺前每小时加工x个零件，则采用新工艺后每小时加工1.2x个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合采用新工艺后比采用新工艺前少用了15h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.【答案】证明：(1)如图，连接AC，与BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=FD，∴OB−BE=OD−DF，即OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即AC⊥EF；由(1)得：四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【知识点】平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质【解析】(1)由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论；(2)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】解：过B作BD⊥CF于D，过B作BE⊥AF于F，在RtABE中，∠ABE=37°，∵sin37°=AE，AB∴AE=AB⋅sin37°≈30×0.6=18，∵cos37°=BE，AB∴BE=AB⋅cos37°≈30×0.8=24，∴DF=BE=24，设CD=x海里，在Rt△CBD中，∠BCD=51°，tan51°=BD，CD∴BD=CD⋅tan51°≈1.25x，∴EF=BD=1.25x，∴AF=1.25x+18，CF=x+24，在Rt△CAF中，∠CAF=45°，∵tan45°=CF，AF∴1=x+24，1.25x+18解得：x=24，∴CD=24(海⼀)，在Rt△CBD中，∠BCD=51°，∵cos51°=CD，BC∴BC=24≈38(海⼀)，cos51∘答：该军舰距港口B的距离BC为38海里．【知识点】解直角三角形的应用【解析】过B作BD⊥CF于D，过B作BE⊥AF于F，在RtABE中，∠ABE=37°，在Rt△CBD中，∠BCD=51°，在Rt△CAF中，∠CAF=45°，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵a≠0，∴△=b2−4ac=(−4a)2−4a×3a=16a2−12a2=4a2>0，∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)令ax2−4ax+3a=0，解得：x1=1，x2=3，∴抛物线交x轴于(1,0)和(3,0)两点，对称轴x=−b2a =−−4a2a=2，当a>0时，∵1≤x≤4，∴当x=4时，y最大=16a−16a+3a=3a<5，∴0<a<53，当a<0时，∵对称轴x=2，1≤x≤4，∴抛物线在顶点处取得最大值，y最大=4a−8a+3a=−a<5，∴a>−5，∴−5<a<0，∴a的取值范围：0<a<53或−5<a<0．【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象与系数的关系【解析】(1)由△=4a2(a≠0)大于0恒成立得出结论；(2)现求出抛物线与x轴的交点，对称轴，然后在1≤x≤4范围内分a>0和a<0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x在某一范围内的函数最大值的确定．25.【答案】④【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)设⊙O与CD相切于F，连接OF、OA，连接OE并延长交AD于G，如图1：∵⊙O与CD相切于F、与BC相切于E，∴OE⊥BC，OF⊥CD，∴∠BEO=∠OFC=90°，∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=9，AD//BC，∴∠BEO+∠AGE=180°，∴∠AGE=90°，∴四边形ABEG和四边形OECF是矩形，∵OE=OF，∴四边形OECF是正方形，∵BE=m，∴AG=m，AO=OE=OF=EC=8−m，∴GO=9−(8−m)=1+m，Rt△AGO中，AO2=AG2+GO2，即(8−m)2=m2+(1+m)2，解得m=3或m=−21(舍去)，∴当⊙O与CD相切时，m=3；(2)①由(1)知，m=3时，⊙O与CD只有一个公共点，∴0≤m<3时，⊙O与CD公共点有0个，如图2：②由(1)知，m=3时，⊙O与CD只有一个公共点(图3)，而OA>OD时，⊙O与CD也只有一个公共点(若OA=OD，则m=4)，此时4<m≤8(图4)，∴m=3或4<m≤8时，⊙O与CD公共点有1个，如图3、4：③由(1)知，m=3时，⊙O与CD只有一个公共点，∴⊙O与CD有两个公共点则m>3(图5)，又OA=OD时，⊙O过D，⊙O与CD只有两个公共点，此时m=4(图6)，∴3<m≤4时，⊙O与CD公共点有2个，如图5、6：(3)O点轨迹大致如图：设OE=y，则OA=y，OG=9−y，而AG=BE=m，Rt△AOG中，AG2+OG2=OA2，∴m2+(9−y)2=y2，化简整理得y=118m2+92(0≤m≤8)，∴点O的运动路径是抛物线的一部分，故答案为：④．(1)设⊙O与CD相切于F，连接OF、OA，连接OE并延长交AD于G，由已知可得四边形ABEG是矩形，四边形OECF是正方形，Rt△AGO中，用勾股定理列方程，可得m=3；(2)⊙O过点A且与BC相切于点E，分别画出图形即可得到答案；(3)设OE=y，在Rt△AOG中，AG2+OG2=OA2，可得y=118m2+92(0≤m≤8)，即可得到答案．本题考查矩形性质及判定，正方形性质判定、圆的切线性质及应用等，涉及勾股定理，二次函数等知识，是一道综合性较强的题目，解题的关键是数形结合，熟练应用相关图形的性质．26.【答案】45000 37500【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用【解析】解：(1)线上销售100件的净利润为：(600−100)×100−5000=45000(元)，线下销售100件的净利润为：500×100−12500=37500(元)，故答案为：45000，37500；(2)设销售量为x件时，线上销售的净利润为y1元，线下销售的净利润为y2元，则y1=x(600−x)−5000=−x2+600x−5000，y2=500x−12500，当y1>y2时，−x2+600x−5000>500x−12500(0<x≤600)，解得：0<x<150，当y1=y2时，−x2+600x−5000=500x−12500(0<x≤600)，解得：x=150，当y1<y2时，−x2+600x−5000<500x−12500(0<x≤600)，解得：150<x≤600，∴当0<x<150时，线上销售的净利润大于线下销售的净利润，当x=150时，线上销售的净利润等于线下销售的净利润，当150<x≤600时，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；(3)设线上销售a件，售完后的净利润是m元，m=a(600−a)−5000+500(400−a)−12500=−a2+100a+182500=−(a−50)2+185000，∵−1<0，∴当a=50时，m有最大值185000，400−50=350(件)，答：售完后的最大净利润是185000元，此时线上销50件、线下销售350件．(1)根据题意分别列式计算即可解答；(2)分别求出两种销售方式的净利润的函数关系式，再分三种情况求出x的取值范围即可；(3)设线上销售a件，售完后的净利润是m元，根据题意列出m关于a的关系式，根据二次函数的性质即可解答．本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出函数关系式是本题的关键．27.【答案】解：(1)方法一：如图①，过点P分别作PM⊥AB于点M、PN⊥AC于点N，∵∠BAP=30°，∠PAC=45°，∴PM=AP⋅sin30°，PN=AP⋅sin45°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠PMB=∠PNC=90°，∴Rt△BPM∽Rt△CPN，∴BPCP =PMPN=AP⋅sin30°AP⋅sin45∘=√22；方法二：如图①(二)，过点P作PD//AB交AC于点D，过点D作DE⊥AP于点E，∵PD//AB，∴∠B=∠DPC，∠DPE=∠BAP=30°，BPCP =ADCD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠DPC，∴DP=DC，在Rt△ADE和Rt△PDE中，DE=DP⋅sin30°，DE=DA⋅sin45°，∵DP=DC，∴DC⋅sin30°=DA⋅sin45°，∴BPCP =ADDC=sin30°sin45∘=√22；(2)证明：∵AB=AC，DB=DC，∴由(1)得，BPCP =sin∠BAPsin∠CAP=sin∠BDPsin∠CDP，∴sin∠BAP sin∠BDP =sin∠CAPsin∠CDP；(3)证明：如图③，连接OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，AE=AF，∴∠OEB=∠ODB=∠ODC=∠OFC=90°，∵∠OEB+∠ABC+∠ODB+∠EOD=360°，∴∠ABC+∠EOD=180°，∵∠IOE+∠EOD=180°，∴∠ABC=∠IOE，同理可证，∠ACB=∠IOF，∴sin∠ABC=sin∠IOE，sin∠ACB=sin∠IOF，∵AE=AF，OE=OF，由(2)可知，sin∠EAIsin∠FAI =sin∠IOEsin∠IOF，∵sin∠IOE sin∠IOF =sin∠ABCsin∠ACB，∴过点A作AH⊥BC于H，∴sin∠ABC=AHAB ，sin∠ACB=AHAC，∴sin∠ABC sin∠ACB =ACAB，∵sin∠EAI sin∠FAI =sin∠ABCsin∠ACB，∴sin∠EAI sin∠FAI =ACAB，∴AB⋅sin∠EAI=AC⋅sin∠FAI，过点B作BM⊥AG于M，过点C作CN⊥AG延长线于点N，在Rt△ABM和Rt△ACN中，BM=AB⋅sin∠EAI，CN=AC⋅sin∠FAI，∵AB⋅sin∠EAI=AC⋅sin∠FAI，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，{∠BMG=∠CNG=90°∠BGM=∠CGNBM=CN，∴△BGM≌△CGN(AAS)，∴BG=CG．【知识点】圆的综合【解析】(1)方法一：过点P分别作PM⊥AB于点M、PN⊥AC于点N，证Rt△BPM∽Rt△CPN即可得出比例关系；方法二：过点P作PD//AB交AC于点D，过点D作DE⊥AP于点E，先证DP=DC，再根据DE=DP⋅sin30°，DE=DA⋅sin45°得出BPCP =ADDC=sin30°sin45∘=√22；(2)由(1)得，BPCP =sin∠BAPsin∠CAP=sin∠BDPsin∠CDP，即可得出结论；(3)连接OE、OF，证sin∠ABC=sin∠IOE，sin∠ACB=sin∠IOF，过点A作AH⊥BC于H，证AB⋅sin∠EAI=AC⋅sin∠FAI，过点B作BM⊥AG于M，过点C作CN⊥AG延长线于点N，再根据AAS证△BGM≌△CGN，即可得证BG=CG．本题主要考查圆的综合知识，平行线分线段成比例，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练运用解直角三角形和线段比例关系证线段相等是解题的关键．。
2021年江苏省南京市中考数学二模试卷附解析
2021年江苏省南京市中考数学二模试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．掷两枚均匀的锬子，出现正面向上的点数和为4 的概率是（）A．16B．112C．118D．1362．两条直线被第三条直线所截，必有（）A．同位角相等B．内错角相等C．同旁内角互补D．以上都不对3．下列图形中，∠l与∠2不是同位角的是（）A．B．C．D．4．如果整式226x x m-+恰好是一个完全平方式，那么常数m的值是（）A． 3 B．-3 C．3±D．95．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是（）A．∠ABE B．∠BAD C．∠DAC D．以上都不是6．甲、乙、丙三个同学排成一排拍照，则甲排在中间的概率是（）A．16B．14C．13D．127．从一副扑克牌中任意抽出一张，可能性相同的的是（）A．大王与黑桃B．大王与10 C．10与红桃D．红桃与梅花8．下列计算中，正确的是（）A．23523x x x+=B．223(3)x x-=-C．236(2)6x x-=D．2224()ay a y=9．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．0.4厘米/分 B．0.6厘米/分 C．1.0厘米/分 D．1.6厘米/分二、填空题10．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为．11．在直角坐标系内，点A，B，C，D的坐标依次为(-2，0)，(-4，5)，(x，y)，(0，5)，要使四边形ABCD为菱形,则x= ，y= ．12．正三角形可以镶嵌平面，任意三角形呢? (填“可以”或“不可以”即可)13．如图，∠2和∠A是直线、直线被直线所截而得的角．14．“明天会下雨”是事件．（填“必然”或“不可能”或“可能”）15．王叔叔买了四盒同样的长方体的礼品(如图)，长、宽、高分别为4cm、3 cm、2cm，王叔叔想把它们包装成一个大长方体，并使包装表面积最小，则表面积的最小值为．16．找规律填数：1，12-，+ 3，14-，+ 5，，，，…17．规定了、和的直线叫做数轴.三、解答题18．曙光中学需制作一副简易篮球架，如图是篮球架的侧面示意图，已知篮板所在直线AD和直杆EC都与BC垂直，BC＝2.8米，CD＝1.8米，∠ABD＝40°，求斜杆AB与直杆EC的长分别是多少米？（结果精确到0.01米）19．如图，它是实物与其三种视图，在三视枧图中缺少一些线(包括实线和虚线)，请将它们补齐，让其成为一个完整的三种视图.20．已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）．(1）求该抛物线的解析式；(2）求该抛物线的顶点坐标．21．已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作正△DCE ．求么AEB 的度数．22．某农场要建造一个周长为 20m 的等腰三角形围栏，若围栏的腰长为 xm ，试求腰长x 的取值范围.23．如图．(1）指出DC 、AB 被AC 所截的内错角；(2)指出AD 、BC 被AE 所截的同位角；(3)∠4与∠7，∠2与∠6，∠ADC 与∠DAB 是什么关系?是哪两条直线被哪条直线所截而成的?24．金金让银银做这样一道题：“当4x =时，求2233113312x 1x x x x x -+-÷⋅--++的值”. 银银一看：“直接代入计算太复杂了，怎么算呢？”你能帮助金金解这道题吗？请写出具体过程.25．如图，在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点围形. 如图中的△ABC称为格点△ABC. 请根据你所学过的平移、旋转、对称等知识，说明网中“格点四边形图案”是如何通过“格点A4BC 图案”变换得到的.26．如图，已知 AC=CE，∠1=∠2=∠3.(1)说明∠B=∠D的理由；(2)说明AB=DE的理由.27．解方程：(1）24=；x x(2）22-=-x x(31)(25)28．如图所示，其中的图案是小树的一半，以树干为对称轴画出小树的另一半．29．解下列方程(1) 3x-3 =x+ 4(2)13432x x-=+(3)5 132y y-=+(4)-0.4x+0.1=-0.5x+0.230．第一次从外面向仓库运进化肥 48. 5 t，第二次从仓库里运出化肥 54 t，结果怎样？试列出有理教运算的算式，通过计算作答.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．C4．C5．C6．C7．D8．D9．D二、填空题10．2.511．-2，1012．可以13．AB ，CD ，AC ，内错14．可能15．136cm 216． 16-，+7，18- 17．原点，单位长度，正方向三、解答题18．解：在Rt △BAD 中∵ABDB B =∠cos ，∴00.640cos 6.4cos ≈=∠= B DB AB （米）． 在Rt △BEC 中， ∵CBEC B =∠tan ，∴35.240tan 8.2tan ≈⨯=∠⋅= B CB EC （米）． 则斜杆AB 与直杆EC 的长分别是2.35米和6.00米． 19．20．（1）4222-+=x x y （2）)29,21(--． 21．30°或l50°22．根据题意，得22022020x xx>-⎧⎨->⎩，解得5<x<10．∴腰长的取值范围是5<x<l0．23．(1)∠1与∠5； (2)∠DAB与∠9 ；(3)∠4与∠7是DC、AB被DB所截而成的内错角；∠2与∠6是AD、BC被AC所截而成的内错角；∠ADC与∠DAB是D℃、AB被AD所截而成的同旁内角24．化简结果为4x-，当4x=时，原式=025．把“格点△ABC图案”向右平移 10个单位长度，再向上平移5个单位长度，以BC中点为旋转中心旋转 180°(或以 BC 所在直线为对称轴作轴对称变换)，即得到“格点四边形图案”26．略27．(1)10x=，24x=；(2)11 2x=，23 8x= 28．略29．(1)72x= (2)145x= (3)38y=- (4)x=130．运出5. 5 t。
专题12 数列解答题(原卷版)-2021年新高考数学最新模拟题分项汇编(第二期·2月)
专题12 数列解答题1．（海南省2021届高三第二次模拟）已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，15a +是2S 和3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 2．（河北省保定市定州中学2021届高三模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*11,22n n a S na n n n N ==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得3212112423n nS S S S n+++++=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由； （3）设()()*27n n c n N n a =∈+，()*123n n T c c c c n N =++++∈，若不等式()32n mT m Z >∈对*n N ∈恒成立，求m 的最大值.3．（湖北省2021年高三联合测评）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*32,()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）不等式*31,()n S n N >∈，求n 的最小值.4．（湖北省黄冈市2021届高三联考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为2n S pn n q =++，p ，q ∈R ，n +∈N ，且36a =.数列{}n b 满足22log n n a b =. （1）求p ､q 的值； （2）设数列(){}(1)nn n a b -+的前2n 项和为2nT，证明：23n T >.5．（湖北省荆州市2021届高三质检）己知{}n a 为等比数列，前n 项和为()n S n N *∈，且12n nSt +=+，数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n bb a +-的前n 项和为223n n -.（1）求t 的值：（2）求数列{}n b 的通项公式.6．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）等差数列{}n a 中，2412a a +=，且2342,,2a a a +-成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）若212n n nb a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：41n S <． 7．（湖北省随州市一中2021届高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）记()()3210nn nn c a λλ=-⋅-≠，是否存在实数λ使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．8．（湖南省永州市2021届高三联考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，3256a =，1316n n a S +=+. （1）求n a ； （2）若21log n n b a =，数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，证明：548n T <. 9．（湖南省长沙市一中2021届高三模拟）在①424S S =，221n n a a =+；②14n n a a n ++=；③0n a >，()241n n S a =+.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列{}n a 是等差数列其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*m ∈N ，将{}n a 中落入区间()22,2mm内项的个数记为{}mb ，求数列{}mb 的通项公式和数列{}m b 的前m 项和m T .10．（江苏省常州市2021届四校联考）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足13a =，12b =，2221a b =-，333a b =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）将{}n a 和{}n b 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前100项和100S . 11．（江苏省南京市二十九中2021届高三模拟）已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）设43n n c b n =+-，是否存在正整数i ，(2)j i j <<，使2c ，i c ，j c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数i ，j ，若不存在，请说明理由.12．（江苏省宿迁中学2021届高三模拟）在①424S S =，221n n a a =+；②14n n a a n ++=；③0n a >，()241n n S a =+.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列{}n a 是等差数列其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*m ∈N ，将{}n a 中落入区间()22,2mm内项的个数记为{}mb ，求数列{}mb 的通项公式和数列{}m b 的前m 项和m T .13．（江苏省盐城中学2021届高三质检）已知数列{}n a 的前n 项和n S 12(2,)n n n S S n -=≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项公式n a ； （2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .14．（山东省百所名校2021届高三联考）在①1120(2)n n n a a a n +--+=≥且151,25a S ==，②235,n a S n tn ==+，③121,3a a ==，且122,,n n n S S S ++-成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，_________.若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 15．（山东省济南市莱芜一中2021届高三模拟）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n N ∈.16．（山东省新高考2021届高三联考）已知等差数列{}n a 的公差为正数，11a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，12b =，且2352b S a +=，2324b S = （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式 （2）令sin2n n n a c b π=，求数列{}n c 的前100项的和100T 17．（山东省新高考2021届高三联考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*112,2()n n a S a n N +==-∈，{}n b 满足22b a =，且*12311112()23n n b b b b b n N n+++++=-∈ （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式 （2）若设122log (1)1n nn n a c b -=--，求数列{}n c 的前n 项和n T18．（山东省淄博市2021届高三零模）已知数列{}n a 是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前n 项和为n S ，1581⋅=a a ，2S ，3a ，43-a S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若______，求{}n n a b ⋅的前n 项和n P ，并求n P 的最小值．从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题． ①数列{}n b 满足：112b =，132+=⋅+n n nb b n （n *∈N ）；②数列{}n b 的前n 项和2n T n =（n *∈N ）； ③数列{}n b 的前n 项和n T 满足：65-=nn T b （n *∈N ）．注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．19．（山东师范大学附属中学2021届高三测试）在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足__________，__________；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（山东师范大学附属中学2021届高三测试）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 且0n a >，263n n n S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()122121nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，求k 的最小值．21．（重庆市八中2021届高三检测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n S +=-，数列{}n b 满足：12b =，326b b -=，数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设()11nnnnc a b -=+，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对于任意n *∈N 均有k n T T ≤，求正整数k 的值． 22．（重庆市南开中学2021届高三质检）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，满足535S =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若241n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，实数λ使得13n nT S λ++≤对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.。
南京市2021年届高三第二次调研测试
南京市2021年届高三第二次调研测试
高考数学资料
南京市____届高三第二次调研测试
数学
____.04
注意事项：
1.本试卷共160分，考试时间120分钟
2.答题前，考生务必将自己姓名，学校，班级，学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题纸。
．．．参考公式：
设球的半径为R，则球的体积公式为V
4
R3 3
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.已知全集U 2, 1,0,1,2 ，集合A 1,0,1 ，B 2, 1,0 ，则A __240;UB _______________
2.若将复数(1 i)(1 2i)2表示为p+qi(p,q R,i是序数单位)的形式，则
3.已知向量a,b满足|a| 1,|b| 3,a,b之间的夹角为60度，则a（ a b）
____________
4.某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s），随机选择了50名学生进行调查，右图是这50名学生百米成绩胡频率分布直方图。
根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在[13,15]（单位：s）内的人数大约
是 .
5.甲盒子里装有分别标有数字1.2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是。
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江苏省南京市2021届新高考第二次模拟数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接
球的表面积为（ ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】C 【解析】 【分析】 如图所示，在平面ABCD的投影为正方形的中心E，故球心O在PE上，计算长度，设球半径为R，则222PERBER，解得2R，得到答案.
【详解】 如图所示：P在平面ABCD的投影为正方形的中心E，故球心O在PE上， 223BDAB，故132BEBD，223PEPBBE，
设球半径为R，则222PERBER，解得2R，故2416SR.
故选：C.
【点睛】 本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 2．已知平面，，直线l满足l，则“l”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 ，是相交平面，直线l平面，则“l” “”，反之，直线l满足l，则l
或l//或l平面，即可判断出结论． 【详解】 解：已知直线l平面，则“l” “”， 反之，直线l满足l，则l或l//或l平面， “l”是“”的充分不必要条件．
故选：A. 【点睛】 本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 3．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如
图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n的值为（ ）
A．100 B．1000 C．90 D．90 【答案】A 【解析】 【分析】 利用频率分布直方图得到支出在[20,40)的同学的频率，再结合支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，即得解 【详解】 由题意，支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人 由频率分布直方图可知，支出在[20,40)的同学的频率为 34(0.010.024)100.34,1000.34n．
故选：A 【点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
4．等比数列na中，11,28aq，则4a与8a的等比中项是（ ） A．±4 B．4 C．14 D．14 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比数列na的性质可得2648aaa＝ ，即可得出． 【详解】 设4a与8a的等比中项是x． 由等比数列na的性质可得2648aaa＝，6xa ． ∴4a与8a的等比中项561248xa． 故选A． 【点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 5．已知平面向量abrr，满足21abarrr＝，＝,与br的夹角为2 3，且)2(()ababrrrr+－，则实数的值为（ ） A．7 B．3 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知可得20ababrrrr，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可. 【详解】 依题意得22113abcos
rr
由20ababrrrr，得222210abab
rrrr
即390，解得3.
故选:D. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 6．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a，2a，3a，L，50a为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（ ） A．38m，12n B．26m，12n C．12m，12n D．24m，10n 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m，12n． 考点：程序框图、茎叶图． 7．已知命题p：任意4x，都有2log2x；命题q：ab，则有22ab．则下列命题为真命题的是
（ ） A．pq B．()pq C．()()pq D．()pq 【答案】B 【解析】 【分析】 先分别判断命题,pq真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】 p为真命题；命题q是假命题，比如当0ab,
或=12ab，时，则22ab 不成立. 则pq，()()pq，()pq均为假. 故选:B 【点睛】 本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 8．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A． B．
C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,
从而可得结果. 【详解】 由，可排除选项，可排除选项；由可得
，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A. 【点睛】 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 9．在ABCV中，已知9ABACuuuruuur，sincossinBAC，6ABCSV，P为线段AB上的一点，且
CACBCPxyCACB
uuuruuuruuur
uuuruuur，则11xy的最小值为（ ）
A．73123 B．12 C．43 D．53124 【答案】A 【解析】 【分析】 在ABCV中，设ABc，BCa，ACb，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos0C，可得2C，再由已知条件求得4a，3b，5c，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312xy，然后利用基本不等
式可求得11xy的最小值. 【详解】 在ABCV中，设ABc，BCa，ACb， sincossinBACQ，即sincossinACAC，即sincoscossincossinACACAC，
sincos0AC，
0AQ，sin0A，cos0C，0CQ，2C，
9ABACuuuruuurQ，即cos9cbA，又1sin62ABCSbcAV，sin4tancos3bcAaAbcAb，
162ABCSabVQ，则12ab，所以，4312abab，解得43ab，225cab.
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则0,0C、3,0A、0,4B， P为线段AB上的一点，则存在实数使得3,43,401APABuuuruuur， 33,4CPCACB
uuuruuuruuur
，
设1CAeCAuuururuuur，1CeBCBuuururuuur，则121eeuruur，11,0eur，20,1eur， 12,CACBCPxyxeyexyCACBuuuruuuruuururuurQuuuruuur
，334xy，消去得4312xy，134xy，
所以，1177372343412341231211xyxyxyxxyyxyyx， 当且仅当32xy时，等号成立， 因此，11xy的最小值为37312.
故选：A. 【点睛】 本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解
最值问题，解题的关键是理解CACAuuuruuur是一个单位向量，从而可用x、y表示CPuuur，建立x、y与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x，4y发现4312xy为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题. 10．已知三棱锥DABC的体积为2，ABCV是边长为2的等边三角形，且三棱锥DABC的外接球
的球心O恰好是CD中点，则球O的表面积为（ ）
A．523 B．403 C．253 D．24