(初三20)最大最小值

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初三数学小专题(三) 二次函数的最值及函数值的范围

∴抛物线的表达式为 y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线顶点 G 的坐标为(1，4).
(2)点 M，N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M， N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围.
2.已知点 P(x，y)在二次函数 y＝2(x＋1)2－3 的图象上.
(1)当 0＜x＜1 时，y 的取值范围是－1＜y＜5 ；
(2)当－2＜x＜1 时，y 的取值范围是－3≤y＜5 ；
(3)当－4≤x＜1 时，y 的取值范围是－3≤y≤15
.
3.(2020·河南)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA＝OB，点 G 为抛物线的顶点.
当 a>0，x1≤x≤x2 时，y 的取值围是 k≤y≤y1，y 的最大值为 y1，最小值为 k.
当 a<0，x1≤x≤x2 时，y 的取值范围是 y2≤y≤k 最小值为 y2.
，y 的最大值为 k ，
类型 1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围 1.已知二次函数 y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3 的取值范围内，下列说法正确的是( D ) A.有最大值－1，有最小值－2 B.有最大值 0，有最小值－1 C.有最大值 7，有最小值－1 D.有最大值 7，有最小值－2
当点 M 的坐标为(4，－5)时，点 N 的坐标为(6，－21)，∴－ 21≤yQ≤－5.
类型 2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值 4.若二次函数 y＝x2＋4x＋a 的最小值是 2，则 a 的值是 6 . 5.已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋a2. (1)若它的最小值为 4，则 a 的值为 2 ； (2)若它的最大值为 4，则 a 的值为－2 .

培优专题20 圆中的最值问题-解析版

培优专题19 圆中的最值问题◎类型一：利用圆的对称性求最值1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1B C D．2【答案】B【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，∴DE=D′E，∴CE+DE=CE+D′E=CD′，2．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级阶段练习）如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠M =30°，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA +PB 的最小值为（）A ．BC ．1D ．2【答案】B 【分析】过点A 作直线MN 的对称点A ¢ ，连接A B ¢ ，AO ，则PA PA ¢= ，可得当点,,A P B ¢ 三点共线时，PA +PB 的值最小，最小值为A B ¢ 的长，再由圆周角定理可得==60A ON AON ¢ÐÐ° ，从而得到90A OB ¢Ð=°，即可求解．【详解】解：如图，过点A 作直线MN 的对称点A ¢ ，连接A B ¢ ，AO ，则PA PA ¢= ，∴PA PB A B +³¢ ，即当点,,A P B ¢ 三点共线时，∵AA ¢ 关于直线MN 对称，3．（2020·天津·耀华中学九年级期中）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =2，点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为 BC的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为A ．BC ．1D ．24．（2021·贵州安顺·九年级期末）如图，MN 为O e 的直径，⊙O 的半径为3，点A 在O e 上，30AMN Ð=°，B 为 AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为______．∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵B 为弧AN 的中点，∴∠NOB′=12×60°=30°，∴∠AOB′=90°，◎类型二：利用垂线段最短求最值5．（2017·江苏扬州·中考模拟）如图，⊙O 是以原点为圆心，P 是直线8y x =-+上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（）A ．4B ．C ．8-D ．◎类型三：利用两点之间线段最短求最值6．（2020·江苏·九年级专题练习）如图，O e 是ABC D 的外接圆，60A Ð=°，点P 是ABC D 外一点，6BP =，3CP =，则线段OP 的最大值为（）A ．9B ．4.5C ．D【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC 绕点O 顺时针旋转120°到△OMB 的位置，将求OP 的最大值转化为求PM 的最大值是解题的关键.7．（2018·江苏·海安市白甸镇初级中学一模）如图，已知⊙C 的半径为3，圆外一点O 满足5OC =，点P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA OB =，90APB Ð=°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为_____.【答案】4【详解】分析：连接OP 、OC 、PC ，如图所示，则有OP ≥OC -PC ，当O 、P 、C 三点共线时，OP =OC -PC ；由∠APB =90°可知点P 在以AB 为直径的圆上，则⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值，据此求解即可.详解：连接OP 、OC 、PC ，如图所示，则有OP ≥OC -PC ，当O 、P 、C 三点共线时，OP =OC -PC .∵∠APB =90°，OA =OB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∴⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值，则OP ′=OC -CP ′=2，∴AB =2OP ′=4.故答案为4.点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，两点之间线段最短，判断出当⊙O 与⊙C 相切时，OP 取得最小值是解答本题的关键.◎类型四：利用直径是圆中最长的弦求最值8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在ABC V 中，10,8,6AB AC BC ===，经过点C 且与边AB 相切的动圆与,CB CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是（）A ．B ．4.75C ．5D ．4.8【答案】D 【分析】设EF 的中点为O ，⊙O 与AB 的切点为D ，连接OD ，连接CO ，CD ，则有OD ⊥AB ，由勾股定理逆定理知，ABC V 是直角三角形，OC +OD =EF ，而 OC +OD ≥CD ，只有当点O 在CD 上时，OC +OD =EF 有最小值为CD 的长，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上CD 时，EF =CD 有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD 的长即可．【详解】解：设EF 的中点为O ，⊙O 与AB 的切点为D ，连接OD ，连接CO ，CD ，∵10,8,6AB AC BC ===，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴ABC V 是直角三角形，∠ACB =90°，∴EF 是⊙O 的直径，9．（2021·四川绵阳·九年级期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（）A．B．C．D．510．（2018·全国·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，经过点C且与边AB 相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是( )A．125B．6013C．5D．无法确定【答案】B【详解】∵在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，∴AB2=AC2+BC2．∴∠ACB=90°，∴PQ一定是直径．要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ等于斜边上的高，则PQ==．故选B．点睛：本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，圆周角定理的推论，直角三角形的面积公式，判断出PQ等于斜边上的高是解答本题的关键.11．（2015·江苏镇江·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．C．D．考点：1．圆的性质；2．直角三角形的性质．12．（2022·安徽·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___．∵E点在以CD为直径的圆上，∴∠CED＝90°，故答案为：1【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键．。

数列中的最大最小项问题20题解析

数列中的最大最小项问题20题一、单选题1．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且11a >，202120221a a >，20212022101a a -<-，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．2021202210S S ->C ．2022T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值2．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a --<，则下列选项错误的是（）A ．01q <C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >【答案】D【分析】根据题意，分析可得20201a >，20211a <，从而有11a >，01q <<，则等比数列{}n a 为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可．【详解】等比数列{}n a 的公比为q ，若202020211a a >，则2019202024039111()()()()1a q a q a q =>，由11a >，可得0q >，则数列{}n a 各项均为正值，若20202021(1)(1)0a a --<，当1q ≥时，由11a >则1n a >恒成立，显然不适合，故01q <<，且20201a >，202101a <<，故A 正确；因为202101a <<，所以20202020202120211S S a S +>+=，故B 正确；根据122020202110a a a a >>⋯>>>>⋯>，可知2020T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确；由等比数列的性质可得21404124040202020222021a a a a a a a ==⋯==，202101a <<所以4041404112404120211T a a a a =⋯=<，故D 错误．故选：D ．3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10n n a n == ，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（）A ．()9102,2B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,24．（2021·北京房山·高三开学考试）已知等比数列{}n a 中，1n n a q +=，那么“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质判断即可【详解】当01q <<时，可知1n n a q +=递减，所以1a 为数列{}n a 的最大项，当1a 为数列{}n a 的最大项时，则12a a >，所以23q q >，解得1q <且0q ≠，所以“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的充分而不必要条件，故选：A二、多选题5．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（）A ．20192020S S ，则n 最大为4038．【答案】ABD【分析】先根据题意可确定01q <<，根据20200a >可判断A ；根据等比数列的性质结合6．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论其中正确的结论是（）A ．01q <，公比1q >，且1220211a a a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>，则（）A ．20211a >B ．当2021n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=8．（2023·全国·高三专题练习）设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT 的最大值【答案】BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，9．（2022·山东·邹平市第一中学高三期中）已知等差数列{}n a ，前n 项和为202312022,0,1n a S a a ><-，则下列结论正确的是（）A ．20220a >B ．n S 的最大值为2023S C ．n a 的最小值为2022a D ．40440S <10．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）公差为d 的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列选项，正确的有（）A ．d ＞0B ．0n a >时，n 的最大值为9C ．n S 有最小值D ．0n S >时，n 的最大值为1711．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为67,n S S S <，且78S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【答案】AD【分析】根据67S S <，且78S S >，可推出70a >，8780a a a <>，，故0d <，可判断AD 正确，B 错误，结合等差数列的性质可判断103770S S a -=>，判断C.【详解】{}n a 为等差数列，∵67S S <，且78S S >，∴7678787800S S a S S a a a -=>-=<>，，，即0d <，∴{an }是递减等差数列，1a 最大，当7n ≤时，0n a >，当8n ≥时，0n a <，故AD 正确，B 错误，10310987654770S S a a a a a a a a ++++=++-=>，则103S S ≠，故C 错误，故选：AD ．12．（2022·河北·石家庄二中高二期末）等差数列{}n a 中，6778,S S S S <>，则下列命题中为真命题的是（）A ．公差0d 得：780,0a a ><，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，所以870d a a =-<，且各项中最大的项为1a ，故A 正确，C 错误；96987830S S a a a a -=++=<，所以96S S <，故B 正确；因为780,0a a ><，等差数列{}n a 递减，所以7S 最大，故D 正确；故选：ABD13．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，若981a a <-，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则下列结论正确的是（）A ．{}n a 中的最大值为8aB ．n S 的最大值为8SC ．170S >D ．160S <14．（2022·黑龙江·哈九中高二期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，70a <，则（）A ．60a >B ．43d -<<-C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项15．（2021·全国·高二专题练习）已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，0d <，则（）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 没有最小值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值16．（2020·江苏省句容高级中学高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的首项是正数，记n S 为数列的前n 项和，若1232020a a a S ++=，则下列结论中正确的有（）A ．0d 0②a 4<0③a 5>0④S 7<0⑤S 8>018．（2020·广东·大沥高中模拟预测）已知等差数列{}n a 的通项公式为31()n a tn t Z =-∈，当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 最大.则当10k S =-时，k =___________.19．（2020·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若180S >，190S <，当n S 取得最大值时，n 的值为_______．20．（2020·江西·宜丰中学高二开学考试（文））等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，且10a >，311S S =，则当n 为______时，n S 最大.【答案】7【分析】方法一:因为公差不为零的等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数,由311S S =可知对称轴为7n =,又开口向下,即可得出结果.方法二:由311S S =,10a >可得780+=a a ,0d <,则70a >，80a <,即可得出结果.【详解】解法一：由于()2f x ax bx =+是关于x 的二次函数，且(),n n S 在二次函数()f x 的。

初中八年级(初二)数学课件最大值、最小值问题

f (1) 7; f (4) 142. 比较得最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23; f (2) 34;
R(350)
(350
20)
6831500 108 Nhomakorabea0 (元).
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形面积最大．
解如图,
设所求切点为P( x0 , y0 ),
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
则切线 PT 为 y y0 2x0( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,

第3章 2.2 第2课时最大值、最小值的实际应用

第2课时最大值、最小值的实际应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.3.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.类型一与最值有关的恒成立问题例1 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ，解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解由例题解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立，所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3>0，解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 (－∞，4]解析由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.类型二实际生活中的最值问题命题角度1 几何中的最值问题例2 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E ，F 在边AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解 ∵V (x )＝(2x )2×(60－2x )×22＝2x 2×(60－2x )＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)． ∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20. ∵当0<x <20时，V ′(x )>0；当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴底面边长为2x ＝202(cm)，高为2(30－x )＝102(cm)，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？解 ∵AE ＝x ，∴HE ＝2x . ∵EF ＝60－2x ， ∴EG ＝22EF ＝22(60－2x )＝2(30－x )． ∴S 侧＝4×HE ×EG ＝4×2x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )＝－8x 2＋240x ＝－8(x －15)2＋8×152.∴当x ＝15时，S 侧最大为1 800 cm 2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练2 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________．考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案6πS 3π解析设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大．又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS 3π. 命题角度2 利润最大(或费用最少)问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9(或x ＝－9舍)，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0，所以当x ＝9时，W 取得极大值也为最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38，当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38.综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解生活中的其他最值问题答案 C解析原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．当x ∈(0,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，＋∞) B ．[－6，－5] C ．[－6，＋∞)D ．[－4，－3]考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 C解析 ∵x >0，∴a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1， ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，则g ′(t )＝1－8t －9t 2，易知g ′(t )图像的对称轴是t ＝－818＝－49，∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上是减少的．又g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g (t )在[1，＋∞)上是减少的， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6.3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题答案 D解析毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍)．所以当P ＝30时，f (P )取得极大值也为最大值．故当P ＝30时，毛利润最大，所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是____元．考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案 160解析设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ，即y ＝20x ＋80x ＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．已知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解由2x ln x ≥－x 2＋ax －3(x >0)，得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． ∴h (x )min ＝h (1)＝4.∴a ≤h (x )min ＝4.1．恒成立问题可转化为函数最值问题． 2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．一、选择题1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cmB.2033 cmC.1633cmD.33cm 考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案 B解析设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．2．某工厂生产的机器销售收入y 1(万元)与产量x (千台)的函数关系为y 1＝17x 2，生产总成本y 2(万元)与产量x (千台)的函数关系为y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．7千台 D ．6千台考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题答案 D解析设利润为y ，则y ＝17x 2－2x 3＋x 2＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)，易知递增区间为(0,6)，递减区间为(6，＋∞)，∴当x ＝6时，利润最大．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32. 4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－3a ，①当a ≤0时，f ′(x )≥0，这表明f (x )在(0,1)上是增加的，所以f (x )在(0,1)内无最值，显然不可能．②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，易知f (x )在x ＝a 处取得唯一的极小值，故极小值点在(0,1)内，所以0<a <1，即0<a <1.综上所述，a 的取值范围为(0,1)．5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22D. 3 考点与最值有关的其他问题题点与最值有关的其他问题答案 B解析设P (x ，x 2－ln x )，则点P 到直线y ＝x －2的距离d ＝|x －x 2＋ln x －2|12＋12＝|x 2－x －ln x ＋2|2. 设g (x )＝x 2－x －ln x ＋2(x >0)，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，则当x ＝1时，g (x )取得极小值也是最小值，且g (1)＝2，所以d min ＝ 2.6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22考点与最值有关的其他问题题点与最值有关的其他问题答案 D解析令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x (x >0)，则F ′(x )＝2x －1x. 令F ′(x )＝0，得x ＝22(负值舍去)，易知F (x )在x ＝22处取得最小值，即当|MN |取最小值时，t 的值为22. 7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案 A解析设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r. 令S ′＝4πr －2V r 2＝0，得r ＝3V 2π，当r ＝3V 2π时，h ＝V π⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．二、填空题8．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案 80解析当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x＝ 1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)．则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数是减少的；当x ∈(80,120]时，y ′>0，该函数是增加的，所以当x ＝80时，y 取得最小值．9．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 4解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )是增加的，当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2，又f (－1)＝－2，f (1)＝0，所以f (x )的最小值为－2，对[－1,1]上任意x 1，x 2，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈(0,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 [4，＋∞)解析当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上是增加的，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是减少的，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4.11．某厂生产某种产品x 件的总成本为C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题答案 25解析由题意知502＝k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275x 3， L ′(x )＝250x －12－225x 2，令L ′(x )＝0，得x ＝25，∴当x ＝25时，总利润最大．三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c ，知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3.又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x＋4bx 3 ＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，所以a ＝－4b ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题解 (1)因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－43r >0，即r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，令y ′>0得2<r <432；令y ′<0得0<r <2，所以当r ＝2米时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83米．四、探究与拓展14．函数f (x )＝x 3－12x ＋3，g (x )＝3x －m ，若对任意x 1∈[－1,5]，存在x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的最小值是________．考点与最值有关的其他问题题点与最值有关的其他问题答案 14解析 f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，易知f (x )在[－1,2]上是减少的，在[2,5]上是增加的，所以f (x )min ＝f (2)＝8－24＋3＝－13，g (x )＝3x －m 在[0,2]上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝1－m ，由题意知－13≥1－m ，即m ≥14.所以m 的最小值为14.15．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x(x >0)，所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的递增区间．因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立，即ln a <g (x )对任意x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为1，所以ln a <1，解得0<a <e. 即a 的取值范围是(0，e)．。

坐标轴选项中最大值最小值怎么算

坐标轴选项中最大值最小值的计算方法在绘制图表时，我们经常需要设置坐标轴的范围，其中包括最大值和最小值。

正确设置坐标轴的最大值和最小值对于展示数据的准确性和清晰性至关重要。

下面将介绍如何计算坐标轴选项中的最大值和最小值。

最大值的计算方法在确定坐标轴的最大值时，我们需要考虑数据的分布情况以及展示的目的。

常见的确定最大值的方法包括：•数据最大值加法：将数据中的最大值加上一个合适的增量作为坐标轴的最大值，通常使用数据中的最大值再加上数据范围的10%~20%作为合适的增量。

•数据最大值四舍五入：将数据中的最大值四舍五入到一个合适的数值，这样可以避免出现过大或过小的坐标轴最大值。

•数据最大值的倍数：将数据中的最大值乘以一个倍数，通常选择2、5、10等作为倍数，以便于刻度的显示。

最小值的计算方法确定坐标轴的最小值同样重要，最小值的设置应该考虑数据的分布情况以及展示的目的。

常见的确定最小值的方法包括：•数据最小值减法：将数据中的最小值减去一个合适的增量作为坐标轴的最小值，通常使用数据中的最小值再减去数据范围的10%~20%作为合适的增量。

•数据最小值向下取整：将数据中的最小值向下取整到一个合适的数值，这样可以避免出现过大或过小的坐标轴最小值。

•数据最小值的倍数：将数据中的最小值乘以一个倍数，通常选择1、2、5等作为倍数，以便于刻度的显示。

示例假设某数据集的最大值为100，最小值为10，按照上述方法计算，我们可以得到以下结果：•最大值：100 + 20% = 120•最小值：10 - 20% = 8根据计算结果，我们可以将坐标轴的最大值设置为120，最小值设置为8，以便更好地展示数据的分布情况和趋势。

以上是关于坐标轴选项中最大值最小值的计算方法，正确设置坐标轴的范围可以使图表更加清晰、准确地展示数据，希望以上内容对您有所帮助。

最大最小值的差值叫什么

最大最小值的差值叫什么在数学和统计学中，如果我们有一组数据，其中包含各种不同的值，我们经常会想知道这组数据中的变化范围有多大。

一种直观的测量方法是计算数据集中的最大值和最小值之间的差值。

这个差值在统计学中有一个专门的名称，叫做“数据的极差”。

什么是数据的极差？数据的极差是指一组数据中最大值和最小值之间的差值。

用数学符号表示的话，我们可以用如下的公式来计算数据的极差：极差 = 最大值 - 最小值例如，如果我们有一个数据集合 [5, 10, 15, 20, 25]，那么这组数据的最大值是25，最小值是5，它们之间的差值（极差）为：25 - 5 = 20所以，这组数据的极差是20。

极差的应用极差在统计学中是一项常用的指标，它能够简单直观地反映出数据集合中的变化范围。

通常情况下，数据的极差越大，说明数据集合的变化范围越广；而数据的极差越小，说明数据集合的变化范围越小。

在实际应用中，极差可以帮助我们对数据的分布和变化情况有一个直观的了解。

比如在财务分析中，我们可以计算某个公司股票价格一年内的最高和最低价的差值来评估该股票的波动情况；在天气预测中，我们可以计算一天内气温的最大值和最小值之间的差值来评估气温的变化幅度。

极差的局限性尽管极差在一些情况下可以帮助我们快速了解数据的变化范围，但它也存在一些局限性。

首先，极差只考虑了数据集合的最大值和最小值，对数据的其他分布情况并不关注；其次，极差容易受到极端值的影响，特别是在数据集合中存在异常值时，极差可能会失去对数据整体变化情况的代表性。

因此，在实际应用中，当我们需要更全面地了解数据的分布情况时，极差可能不足以提供足够的信息。

在这种情况下，我们通常会考虑使用其他统计指标，如标准差、方差等，来对数据的分布进行更深入的分析和评估。

总之，虽然极差是一个简单而直观的统计指标，但在实际应用中，我们需要综合考虑多种指标来全面分析和理解数据集合的特征和变化情况。

初一求最大值最小值例题

初一求最大值最小值例题以下是一些在初一数学中求最大值和最小值的例题：例题1：一个班级有10个学生，他们的分数分别是85，90，78，92，88，94，76，81，98，89。

求出这个班级的最高分和最低分。

例题2：一家水果店有5种水果，它们的价格分别是2元/斤，3元/斤，1.5元/斤，4元/斤和2.5元/斤。

求出这些水果中的最贵和最便宜的水果价格。

例题3：一个长方形长为6cm，宽为4cm，求出这个长方形的最大面积和最小面积。

例题4：一个超市有10种不同的商品，它们的价格分别是10元，20元，30元，40元，50元，60元，70元，80元，90元和100元。

求出这些商品中的最高价和最低价。

例题5：一个班级有20个学生，他们在一次考试中的分数分别是80分，85分，90分，87分，79分，82分，88分，84分，92分，86分等。

求出这个班级的最高分和最低分。

例题6：一家公司有10名员工，他们的工资分别是3000元/月，3500元/月，4000元/月，4500元/月，5000元/月，5500元/月，6000元/月，6500元/月，7000元/月和7500元/月。

求出这些员工中的最高工资和最低工资。

例题7：一个矩形长为8cm，宽为6cm，求出这个矩形的最大面积和最小面积。

例题8：一个工厂生产了5种不同的产品，它们的质量分别是1kg，2kg，3kg，4kg和5kg。

求出这些产品中的最重和最轻的产品质量。

例题9：一个班级有15名学生，他们在体育课上进行了跑步测试，他们的成绩分别是12秒，14秒，11秒，13秒，15秒等。

求出这个班级的最好成绩和最差成绩。

例题10：一家书店有10本不同的书籍，它们的售价分别是15元，20元，18元，22元等。

求出这些书籍中的最高售价和最低售价。

以上是初一数学求最大值和最小值的例题，希望能够帮助到您。

数列中的最大最小项问题20题-含答案

数列中的最大最小项问题20题一、单选题1．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且11a >，202120221a a >，20212022101a a -<-，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．2021202210S S ->C ．2022T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值2．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202020211a a >，()()20202021110a a --<，则下列选项错误的是（）A ．01q <C ．2020T 是数列{}n T 中的最大项D ．40411T >3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（文））设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10n n a n == ，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（）A ．()9102,2B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,24．（2021·北京房山·高三开学考试）已知等比数列{}n a 中，1n n a q +=，那么“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是（）A ．20192020S S ，则n 最大为4038．6．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论其中正确的结论是（）A ．01q <，公比1q >，且1220211a a a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>，则（）A ．20211a >B ．当2021n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=8．（2023·全国·高三专题练习）设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT 的最大值9．（2022·山东·邹平市第一中学高三期中）已知等差数列{}n a ，前n 项和为202312022,0,1n a S a a ><-，则下列结论正确的是（）A ．20220a >B ．n S 的最大值为2023S C ．n a 的最小值为2022a D ．40440S <10．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）公差为d 的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列选项，正确的有（）A ．d ＞0B ．0n a >时，n 的最大值为9C ．n S 有最小值D ．0n S >时，n 的最大值为1711．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为67,n S S S <，且78S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <12．（2022·河北·石家庄二中高二期末）等差数列{}n a 中，6778,S S S S <>，则下列命题中为真命题的是（）A ．公差0d D ．160S <14．（2022·黑龙江·哈九中高二期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，70a <，则（）A ．60a >B ．43d -<<-C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项15．（2021·全国·高二专题练习）已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，0d <，则（）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 没有最小值C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值16．（2020·江苏省句容高级中学高二阶段练习）已知等差数列{}n a 的首项是正数，记nS为数列的前n 项和，若1232020a a a S ++=，则下列结论中正确的有（）A ．0d 0②a 4<0③a 5>0④S 7<0⑤S 8>018．（2020·广东·大沥高中模拟预测）已知等差数列{}n a 的通项公式为31()n a tn t Z =-∈，当且仅当10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 最大.则当10k S =-时，k =___________.19．（2020·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若180S >，190S <，当n S 取得最大值时，n 的值为_______．20．（2020·江西·宜丰中学高二开学考试（文））等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，且10a >，311S S =，则当n 为______时，n S 最大.数列中的最大最小项问题20题一、单选题1．（2022·江西赣州·高三期中（理））设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且11a >，202120221a a >，20212022101a a -<-，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．2021202210S S ->C ．2022T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值2．（2022·贵州·黔西南州义龙蓝天学校高三阶段练习（理））设等比数列{}n a 的公比为q ，。

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魔靖123 初中数学竞赛辅导资料(初三20) 最大最小值甲内容提要 1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：

①配方法：原函数可化为y=a(x+ab2)2+abac442. ∵在实数范围内(x+ab2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－ab2 时， y 最小值=abac442；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=abac442. ②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0 即b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2.

若a>0，y≥abac442，这时取等号，则y 为最小值abac442；

若a<0，y≤abac442，这时取等号，则y 为最大值abac442. 有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便. 2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一. 例如：两正数x和y，如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25. 定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍. 例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k为定值). 那么ab=a(k－a)

=－a2+ka=－(a－21k)2+42k.

当a=2k时，ab有最大值42k. 魔靖123

证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k为定值)，再设 y=a+b.

那么y=a+ak, a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） ∵ a 为正实数， ∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y2－4k≥0.

∴y≤－2k(不合题意舍去)； y ≥2k.

∴ y最小值=2k. 解方程组.2kabkba，得a=b=k. ∴当a=b=k时，a+b 有最小值 2 k. 3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大. 定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小. 定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积. 乙例题例1. 已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.

解：由已知y2=2362xx, ∵y是实数， ∴y2≥0.

即2362xx≥0， 6x－3x2 ≥0， x2－2x ≤0. 解得 0≤x≤2. 这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，

x2+y2=x2+2362xx=－21( x－3)2+29 在区间0≤x≤2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4. ∴当x=0时，x2+y2=0是最小值 . 例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法. 设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k. 魔靖123

即 .21kabkba， ∴a和b是方程 x2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b都是正实数，∴△≥0. 即(－2k)2－4k≥0. 解得k≥16；或k≤0 . k≤0不合题意舍去. ∴当k≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16. 例3. 如图△ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法

设EH=x, S矩形=y, 则GH=xy. ∵△AHG∽△ABC，

∴hxhaxy . ∴ y=4)2()(2ahhxhahxhax. ∴当x=2h时，y 最大值 =4ah. 即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah. 例4. 如图已知：直线m ∥n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC上，BP的延长线交直线m于D. 问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b－x.

∵m∥n，∴PAPCABCD＝.

∴CD=xxba)( S△PAB+S△PCD=21axSinα+21xxba)((b－x) Sinα

=21aSinα()222xxbxbx =21aSinα(2x+)22bxb.

ahXABCDHEGF

nmxb

D 魔靖123

∵2x ×xb2=2b2 (定值)，根据定理二，2x +xb2有最小值. ∴ 当2x =xb2， x=b221时， S△PAB+S△PCD的最小值是 (2－1)abSinα. 例5.已知：Rt△ABC中, 内切圆O的半径 r=1. 求：S△ABC的最小值.

解：∵S△ABC=21ab ∴ab ＝2S△. ∵2r=a+b－c, ∴c=a+b－2r. ∴a+b－2r=22ba . 两边平方，得 a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab－4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S△ 代入，得 4+4S△－4(a+b) =0. a+b=S△+1. ∵ab=2S△ 且a+b=S△+1. ∴a, b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0 的两个根. ∵a,b是正实数， ∴△≥0，即 [－(S△+1)]2－4×2S△ ≥0， S△2－6S△+1≥0 .

解得 S△≥3+22或S△≤3－22. S△≤3－22不合题意舍去.

∴S△ABC的最小值是3+22. 例6.已知：.如图△ABC中，AB=26，∠C=30. 求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=y－a. 根据余弦定理，得

(26)2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30

写成关于a 的二次方程： (2+3)a2－(2+3)ya+y2－(8+43)=0. ∵a 是实数， ∴△≥0.

即(2+3)2y2－4(2+3)[y2－(8+43)]≥0，

y2－(8+43)2 ≤0 . ∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.

r=1O

cab30AB

C 魔靖123

又解：根据定理三 ∵AB和∠C都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.

由余弦定理，(26)2=a2＋b2－2abCos30

可求出 a=b=4+23. ……… 丙练习64 1. x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是＿＿＿＿＿＿. (1988年全国初中数学联赛题) 2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______. 3. 面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿. 4. a, b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值是________.

5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.

如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.. (1987年全国初中数学联赛题) 7. 如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. (1988年全国初中数学联赛题)

8. 下列四个数中最大的是 ( ) （A） tan48+cot48 ..(B)sin48+cos48. (C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48. (1988年全国初中数学联赛题) 9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________ (1986年全国初中数学联赛题) 10. 如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上， PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？ 11. △ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？ 12. 已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.

13. △ABC中∠B=60，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值. 15. D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA =k∶(1－k) (016.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？

CDABABCⅠ

Ⅱ

Ⅲ

ABCP