2019届高考数学一轮复习讲义(理) 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 考情考向分析 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为： (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题．( √ ) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．( × ) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ ) (4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ ) (5)若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．( √ ) 题组二 教材改编 2．[P8T3]下列命题是真命题的是( ) A．矩形的对角线相等 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若整数a是素数，则a是奇数 D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题 答案 A 3．[P12T2(2)]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要

题组三 易错自纠 4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( ) A．若xC．若x>y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命

题是“若x≤y，则x2≤y2

”．

5．“sin α>0”是“α是第一象限角”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件． 故选B.

6．已知集合A＝x 12<2x<8，x∈R，B＝{x|－1不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞)

解析 A＝x 12<2x<8，x∈R＝{x|－1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB，∴m＋1>3，即m>2.

题型一 命题及其关系 1．下列命题是真命题的是( )

A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则x＝y D．若x＜y，则x2＜y2 答案 A 2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 答案 D 3．(2018·青岛调研)下列命题： ①“若a2②“全等三角形的面积相等”的逆命题； ③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题； ④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是( ) A．③④ B．①③ C．①② D．②④ 答案 A 解析 对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等

的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A. 4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________． 答案 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 题型二 充分必要条件的判定 典例 (1)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列， ∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1

＋15d，

∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1

＋20d.

若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d， 即S4＋S6＞2S5.

若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d， 即21d＞20d， ∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件． 故选C. 方法二 ∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0， ∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件． 故选C. (2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则¬p是¬q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由5x－6>x2，得2

即q：2所以q⇒p，p⇏q，所以¬p⇒¬q，¬q⇏¬p， 所以¬p是¬q的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． 跟踪训练 (1)(2017·赣中南五校联考)已知α，β均为第一象限角，那么“α＞β”是“sin α＞sin β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 D

解析 取α＝7π3，β＝π3，α＞β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．

∴充分性不成立； 取α＝π3，β＝13π6，sin α＞sin β，但α＜β，必要性不成立． 故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件． (2)设向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝12成立”的_____条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分

解析 a∥b⇔sin 2θ＝cos2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝

1

2，所以“a∥b”

是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件． 题型三 充分必要条件的应用 典例 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围． 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

 1－m≤1＋m，

1－m≥－2， ∴0≤m≤3.1＋m≤10，

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． 引申探究 若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，