2020河北省衡水中学高三(下)3月月考数学试卷(理科)含答案解析
2020年河北省衡水市第六中学高三数学理期末试题含解析
2020年河北省衡水市第六中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：A 因为集合，，所以。
2. 执行右图所示的程序框图，输出结果的值是___ ．参考答案： 1略3. 已知集合（ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}参考答案：D4. 设变量x ，y 满足约束条件，则x 2+y 2的最小值为（ ）A ．0B ．C ．1D ．参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图，z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知：OA 的距离最小，原点到直线2x+y ﹣2=0的距离最小．由=，则x 2+y 2的最小值为：，故选：B ．5. 设是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若，且的最小内角为，则C 的离心率为A ．B ．C ．D ．参考答案：C6. 若直线(a ＞0，b ＞0)被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）A. B. C. D.参考答案：C圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为.因为直线被圆截得的弦长为4，所以线长为直径，即直线过圆心，所以，即，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，选C.7. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则A．0 B．7 C．14D．21参考答案：D略8. 给定函数①，②，③，④, 其中在区间上单调递减的函数序号是( )A.①②B.②③C.③④D.①④参考答案：B9. 设变量满足约束条件：的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．4 参考答案：C略10. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β参考答案：D考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合法．分析：A选项a∥b，a∥α，则b∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，a∥α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为b?α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，a∥α时，a∥β，a?β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a?α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D点评：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （2015?上海模拟）已知数列{a n}满足a n=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为．参考答案：139【考点】：数列的求和．【专题】：计算题．【分析】：由已知先求出f（4），f（3），然后代入数列的通项公式即可求解解：∵a n=，f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，∴f（4）﹣f（3）=a1+a2+a3+…+a7﹣（a1+a2+a3+…+a5）=a6+a7=11+27=139故答案为：139【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，属于基础试题12. 如图，在矩形ABCD中，AB =2．AD =3，AB中点为E，点F，G分别在线段AD，BC上随机运动，则∠FEG为锐角的概率为。
河北省衡水市第十三中学2023届高三上学期质检(三)数学试题(解析版)
因为 是偶函数，所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 的取值可能为 .
故答案为： （或 ）（只需从 中写一个答案即可）
15.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ，则 的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理及已知条件可得 ，再由三角形的面积公式即可得答案.
故选：BCD.
10.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于 两点，下列结论正确的是（）
A.若 ，则
B.若 ，则 的最小值为5
C.以线段 为直径的圆与直线 相切
D.若 ，则直线 的斜率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A；过点 作准线 的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义结合图象即可判断B；设点 的坐标分别为 ，直线 的方程为 ，联立方程，利用韦达定理求得 ，从而可得线段 的中点坐标及长度，再求出中点到准线的距离即可判断C；根据 ，可得 ，结合C选项即可判断D.
因为 ， ，所以 的周期也为4，
所以 ， ，
所以 ，故B正确；
因为 ， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线 与直线 平行，则 _______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用两直线平行求参数即可
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 或 .
当 时， ， ，
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与逻辑，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，复数，平面向量，数列占30%，立体几何，解析几何占70%.
精品解析：【全国百强校首发】河北省衡水中学2023届高三下学期第二次调研考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.已知集合,集合,则地子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162.如图,复平面上地点到原点地距离都相等,若复数所对应地点为,则复数（是虚数单位）地共轭复数所对应地点为（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列四个函数中,在处取得极值地函数是（ ）①；②；③；④A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②③4.已知变量满足:,则地最大值为（ ）AB ．．2 D ．45.执行如下图所示地程序框图,输出地结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86.两个等差数列地前项和之比为,则它们地第7项之比为（ ）{}1,3,4,5A ={}2|450B x Z x x =∈--<A B 1234,,,Z Z Z Z z 1Z z i ⋅i 1Z 2Z 3Z 4Z 0x =3y x =21y x =+y x =2xy =,x y 202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x yz +=n 51021n n +-A ．2B ．3C ．D ．7.在某次联考数学测试中,学生成绩服从正态分布,若在（80,120）内地概率为0.8,则落在（0,80）内地概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数地部分图象如下图所示,地值为（ ）A ．0B ．． D ．9.若,则地值是（ ）A ．-2 B．-3 C ．125 D ．-13110.已知圆,圆,椭圆（,焦距为）,若圆都在椭圆内,则椭圆离心率地范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11.定义在上地函数对任意都有,且函数地图象关于（1,0）成中心对称,若满足不等式,则当时,地取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．12.正三角形地边长为2,将它沿高翻折,使点与点间地距离为,此时四面体外接球表面积为（ ）A ．7B ．19 CD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）45137027ξ()()21000，σσ>ξ()()sin 0,0f x A x A ωω=>>()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+127a a a ++⋅⋅⋅+221:20C x cx y ++=222:20C x cx y -+=2222:1x y C a b+=0a b >>2c 12,C C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭102，⎛⎤ ⎥⎝⎦⎫⎪⎪⎭0⎛ ⎝R ()f x ()1212,x x x x ≠()()12120f x f x x x -<-()1y f x =-,s t ()()2222f s s f t t -≤--14s ≤≤2t ss t-+13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ABC AD B C ABCD ππ13.一个几何体地三视图如下图所示,该几何体体积为 .14.已知向量与地夹角为60°,且,若,且,则实数地值为 .15.已知双曲线地半焦距为,过右焦点且斜率为1地直线与双曲线地右支交于两点,若抛物线地准线被双曲线截得地弦长是（为双曲线地离心率）,则地值为 .16.用表示自然数地所有因数中最大地那个奇数,例如:9地因数有1,3,9,地因数有1,2,5,10,,那么.三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角中,角所对地边分别为,已知.(1)求角地大小；(2)求地面积.18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场地销售量（单位:台）,并根据这10个卖场地销售情况,得到如下图所示地茎叶图.为了鼓励卖场,在同型号电视机地销售中,该厂商将销售量高于数据平均数地卖场命名为该型号电视机地"星级卖场".(1)当时,记甲型号电视机地"星级卖场"数量为,乙型号电视机地"星级卖场"数量为,比较,地大小关系；AB AC ||||2AB AC ==AP AB AC λ=+ AP BC ⊥ λ()222210,0x y a b a b-=>>c 24y cx =2e e ()g n n ()99,10g =()105g =()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-=ABC ∆,,A B C ,,a b c sin a b B A ==+=A ABC ∆3a b ==m n m n(2)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记为其中甲型号电视机地"星级卖场"地个数,求地分布列和数学期望；(3)若,记乙型号电视机销售量地方差为,根据茎叶图推断为何值时,达到最小值.(只需写出结论)19.(本小题满分12分)如图1,在边长为4地菱形中,,于点,将沿折起到地位置,使,如图2.(1)求证:平面；(2)求二面角地余弦值；(3)判断在线段上是否存在一点,使平面平面？若存在,求出地值；若不存在,说明理由.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆:,点是它地两个顶点,过原点且斜率为地直线与线段相交于点,且与椭圆相交于两点.(1)若,求地值；(2)求四边形面积地最大值.21.(本小题满分12分)设函数.(1)求函数地单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件地最小正整数地值；(3)若方程有两个不相等地实数根,比较与0地大小.请从下面所给地22 , 23 ,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做地第一题计分.X X 1a =2s b 2s ABCD 60BAD ∠=DE AB ⊥E ADE ∆DE 1A DE ∆1A D DC ⊥1A E ⊥BCDE 1E A B C --EB P 1A DP ⊥1A BC EPPB2214x y +=,A B k lAB D ,E F 6ED DF =k AEBF ()()22ln f x x a x a x =---()f x ()f x a ()()f x c c R =∈12,x x 12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,直线与⊙相切于点是⊙地弦,地平分线交⊙于点,连接,并延长与直线相交于点.(1)求证:；(2)若,求弦地长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线地参数方程为（为参数）,在以原点为极点,轴正半轴为极轴地极坐标中,圆地方程为.(1)写出直线地普通方程和圆地直角坐标方程；(2)若点坐标,圆与直线交于两点,求地值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(1)已知函数,求地取值范围,使为常函数；(2)若,求地最大值.PQ O ,A AB O PAB ∠AC O C CB PQ Q 22QC BC QC QA ⋅=-6,5AQ AC ==AB xoyl 3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t O x C ρθ=l C P (C l ,A B |||PB |PA +()13f x x x =-++x ()f x 222,,z R,x 1x y y z ∈++=m y =++。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。
【衡水金卷】河北省衡水中学2020届高考模拟押题卷(一)理科综合能力测试(含答案)
【衡水金卷】河北省衡水中学2020届高考模拟押题卷（一）理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16Si28Fe56第I卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞中某些物质的叙述，错误的是A．组成纤维素、淀粉、糖原的单体是相同的B．RNA可以在细胞核或某些细胞器中合成C．抗体的形成与分泌需要ATP直接提供能量D．激素和神经递质的合成是在核糖体上进行的2．甲乙两种物质在胰岛B细胞内、外的浓度情况如图所示，下列相关叙述正确的是A．甲可以是Na+，胰岛B细胞兴奋时Na+内流会导致细胞内Na+浓度高于细胞外B．甲可以是氧气，其进入细胞后可以在细胞质基质或线粒体参与相关反应C．乙可以是DNA，其运出细胞后可将遗传信息传递给其他细胞D．乙可以是胰岛素，其运出细胞时不需要载体的协助3．如图表示生物体内遗传信息的传递和表达过程，下列叙述不正确的是A．上述过程均需要模板、酶、能量和原料，并且均遵循碱基互补配对原则B．在神经细胞和甲状腺细胞中均能进行2过程，并且形成的RNA也相同C．过程3中涉及到5种碱基和8种核苷酸D．RNA发生改变，通过5过程形成的蛋白质不一定发生改变4．下列关于植物激素、植物生长调节剂的叙述中，不合理的是A．植物激素不直接参与细胞代谢，只传递调节代谢的信息B．用一定浓度的赤霉素处理种子可以促进其萌发C．给去掉尖端的胚芽鞘放置含生长素的琼脂块后仍能生长，说明生长素可促进生长D．生长素和细胞分裂素在促进植株生长方面存在协同关系5．下图是某家族甲病(A-a)和乙病(B-b)的遗传系谱图。
2022-2023学年河北省衡水中学高三下学期一调考试数学试题(PDF版)
2022—2023衡水中学下学期高三年级一调考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}12|{≤<-N ∈=x x A ，}1)2{lg({<+=x x B ，则=B AA ．}1,0,1{-B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1{-2．已知复数z 满足|i ||1||5|+=-=-z z z ，则=||zA ．10B ．13C ．23D ．53．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，且2sin 2cos 3=-αα，则 A ．32)cos(=-απB ．42)tan(=-απ C ．352sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απD ．452cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为 A ．4 923B ．4 933C ．4 941D ．4 9515．已知抛物线x y C 2:2=的焦点为F ，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足OF MN //(O为坐标原点），||||MN NF =，则MNF ∆的面积为 A ．3B ．435 C ．233D ．326．碳达峰，是指在某一个时点，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值。
亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量S （单位：亿吨）与时间基（单位：年）满足函数关系式tab S =，已知经过5年，该地区二氧化碳的排放量为54a亿吨．若该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为4a亿吨，则该地区要实现“碳中和”至少需要经过(l g 2≈0.3)A ．28年B ．29年C ．30年D ．31年7．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比m 大，一个比m 小的概率为∈m (145*)N . 已知m 为上述数据中的x %分位数，则x 的取值可能为 A ．50B ．60C ．70D ．808．已知1x 是函数)2ln(1)(+-+=x x x f 的零点，2x 是函数442)(2++-=a ax x x g 的零点，且满足1||21≤-x x ，则实数a 的最小值是 A ．1-B ．2-C ．222-D ．21-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月月考数学检测试题(含解析)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分1502024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月月考数学检测试题分，考试时间第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的120分钟..1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则A B =I （）A. {}1,2B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】D 【解析】【分析】先解不等式求出集合A ，再根据交集运算求出A B Ç.【详解】由2230x x -->，解得3x >或1x <-.所以{|3A x x =>或1}x <-，又{}1,2,3,4B =，所以{}4A B Ç=.故选：D.2. 已知(1i)24i z +=+，则z =（ ）A. 10 B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 再求模长可得答案.【详解】()()()()24i 1i 24i 242i3i 1i 1i 1i 2+-+++====+++-z ，则z =.故选：C.3. 已知3log 2a =，4log 3b =， 1.20.5c =，比较a ，b ，c 的大小为（ ）A. a b c>> B. a c b>>C. b c a >>D. b a c>>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较,a b 的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较,a c 大小，即可求解.【详解】2ln 2ln 3ln 2ln 4(ln 3)ln 3ln 4ln 3ln 4a b ×--=-=×，因为ln 2,ln 40>，所以ln 2ln 4+>，即()()()22211ln 2ln 4ln 8ln 9ln 344×<<=，所以()2ln 2ln 4ln 3×<，且ln 3ln 40×>，所以a b <，又因为 1.2131log 2log 2,0.50.521a c =>===<，所以a c >，综上，b ac >>，故选：D.4. 已知向量()2,1a =r ，()1,3b =-r ，()()ka b a b -^+r rr r ，则实数k 的值为（ ）A. 94-B.94C. 1-D. 1【答案】B 【解析】【分析】计算出()21,3ka b k k -=-+r r ，()3,2a b +=-rr ，根据垂直得到方程，求出实数k 的值.【详解】由题意得()2,1a =r ，()1,3b =-r ，则()21,3ka b k k -=-+r r ，()3,2a b +=-rr ，因为()()ka b a b -^+r r r r ，所以()()321230k k --+=，解得94k =.故选：B5. 已知等比数列{}a 的前n 项和为n S ，若1231117a a a ++=，212a =，则3S =（ ）A.78B.74 C.72D. 7【答案】B 【解析】【分析】运用等比数列的通项公式计算公比，再求和即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ¹，依题意，1231117a a a ++=，212a =，即2222221111117q a a a a a a q qq ++=++×=，所以2227q q++=，即22520q q -+=，解得2q =或12q =，所以114a =，212a =，31a =或11a =，212a =，314a =，所以31171424S =++=.故选：B.6. 定义在()0,¥+上的函数()f x 满足()12,0,x x "Î+¥且12x x ¹，有()()()12120f x f x x x éù-->ëû，且()()()f xy f x f y =+，()243f =，则不等式()()231f x f x -->的解集为（ ）A. ()0,4 B. ()0,¥+ C. ()3,4 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】结合题设赋值可得()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】因为()()()f xy f x f y =+，所以()()()()2422223f f f f =´=+=，即()123f =，因为()()()()()18424232313f f f f f =´=+==´=，所以()()231f x f x -->，可转化为()()()238f x f x f -->，即()()()283f x f f x >+-，即()()()()283824f x f x f x >´-=-.因为()f x 满足()12,0,x x "Î+¥且12x x ¹，有()()()12120f x f x x x -->éùëû，所以()f x 在区间()0,¥+上单调递增，即20302824x x x x >ìï->íï>-î，解得34x <<，即不等式()()231f x f x -->的解集为()3,4.故选：C.7. 已知角a ，b 满足tan 2a =，()2sin cos sin b a b a =+，则tan b =（ ）A.13B.17C.16D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan a b a +=，故3tan()tan 32a b a +==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7b =.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin b a b a a b a a b a =+-=+-+，2sin cos()sin b a b a =+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin a b a a b a a b a +-+=+，即2sin()cos 3cos()sin a b a a b a +=+，则2tan()3tan a b a +=，因为tan 2a =，所以3tan()tan 32a b a +==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan a b ba b a b b+++===--，故2tan 36tan b b +=-，解得1tan 7b =.故选：B.8. 已知0x >，0y >，且2e ln x x y =+，则（ ）A. 2e y > B. 22e x y +> C. 2e lnx y< D. 22e 1x <-【答案】B 【解析】【分析】令()()2e 0xf x xx =->，求导分析单调性可得ln 1y >，选项A 错误；把不等式等价转化，通过构造函数可得选项B 正确；由条件得2e ln x y x -=，根据0x >可得ee ln lnxy y->，选项C 错误；令e 1x =+可得选项D 错误.【详解】对于A 选项：令()2e xf x x =-，0x >，()e 2xf x x ¢=-，令()e 2xh x x =-，()e 2xh x ¢=-，令()0h x ¢=，则ln 2x =，当()0,ln 2x Î时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，()f x ¢单调递减；当()ln 2,x Î+¥时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，()f x ¢单调递增，所以()f x ¢有最小值()()ln 2min ln 2e 2ln 222ln 20f x f ¢¢==-=->，所以()f x 在区间()0,¥+上单调递增，故()()020e 01f x f >=-=，所以ln 1y >，即e y >，故A 选项错误；对于B 选项：由A 可知2ln e x y x =-，要证22e x y +>，即证22ln ln e x y +>，即证2ln 2y x >+，即证()22e 2x xx ->+，即证22e220xx x --->.令()22e 22xg x x x =---，则()2e 41xg x x ¢=--，令()2e 41xt x x =--，()2e 4xt x ¢=-，令()0t x ¢=，则ln 2x =，当()0,ln 2x Î时，()0t x ¢<，()t x 单调递减，()g x ¢单调递减；当()ln 2,x Î+¥时，()0t x ¢>，()t x 单调递增，()g x ¢单调递增，所以()g x ¢有最小值()()ln 2min ln 22e4ln 2144ln 2134ln 2g x g ==--=-¢-¢-=，由3e 16>得()min 0g x ¢>，所以()g x 在区间()0,¥+上单调递增，故()()0202e 20020g x g >=-´--=，所以22e x y +>成立，故B 选项正确；对于C 选项：由2e ln x x y =+得2e ln x y x -=，因为0x >，所以0e e ln e ln 1ln ln e ln lnx y y y y y ->-=-=-=，所以2e ln x y>，故C 选项错误；对于D 选项：令e 1x =+，则222e 2e 1e 1x =++>-，故D 选项错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ¹+=.则以下结论正确的是（ ）A. 168a =B. 若910S S =，则43d =C. 若2d =-，则n S 的最大值为21SD. 若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且{}n a 单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ×=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10. 已知函数()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（ ）A. 当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当1a =且x ∈(0,π)时，()()2sin sin f x f x<C. 若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D. 若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ¹，则01322x x +=【答案】ABD 【解析】【分析】求函数f (x )的导函数，判断函数的单调性，求其极值点，由()f x 有三个零点列不等式求b 的取值范围，判断A ，证明1≥sin x >sin 2x >0，结合单调性比较()()2sin ,sin f x f x 的大小，判断B ，由条件可得()f x 成中心对称，结合对称性性质判断C ，由极值点的性质可得12a >-，200661a x x =-+，令012x x t +=，化简又()()01f x f x =，可证明01322x x t +==判断D.【详解】对于选项A ，当1a =时，()3223f x x x b =-+，()()26661f x x x x x ==¢--，由f ′(x )=6x (x−1)>0，得到0x <或1x >，由()()610f x x x -¢=<，得到01x <<，所以()3223f x x x b =-+的单调递增区间为(),0¥-，(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)，故()f x 在0x =处取到极大值，在1x =处取到极小值，若()f x 有三个零点，则f (0)=b >0,f (1)=b−1<0,解得01b <<，故选项A 正确；对于选项B ，当x ∈(0,π)时，0sin 1x <<，20sin 1x <<，又()2sin sin sin 1sin 0x x x x -=->，即2sin sin x x >，由选项A 知，()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()()2sin sin f x f x <，故选项B 正确；对于选项C ，因为()()12f x f x -=-，即()()12f x f x -+=，所以()f x 成中心对称，又()()32231f x x x a x b =-+-+的定义域为R ，所以()111123112842f a b æö=´-´+-´+=ç÷èø，整理得到22b a -=，所以选项C 错误；对于选项D ，因为()()32231f x x x a x b =-+-+，所以()2661f x x x a =-+-¢，由题有()Δ362410a =-->，即12a >-，由()20006610f x x x a =-+-=¢，得200661a x x =-+，令012x x t +=，则102x t x =-，又()()01f x f x =，所以()()002f x f t x =-，得到()()()())323200000023122321(2x x a x b t x t x a t x b -+-+=---+--+，整理得到()()22000036263310x t x t tx t x a -+--++-=，又200661a x x =-+，代入化简得到()()203230x t t --+=，又012x x t +=，10x x ¹，所以00130x t x x -=-¹，得到230t -+=，即01322x x t +==，所以选项D 正确.故选：ABD.11. 设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x ¢和()g x ¢，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=¢¢=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A. ()00f = B. ()g x 的图象关于直线2x =对称C. ()f x 的一个周期是4D.()20251k g k ==å【答案】BCD 【解析】【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数()g x ¢的图象关于点()2,0对称，从而可得()g x 的图象关于x =2对称，所以()g x 是周期函数，4是一个周期，可判断A 、B 、C 项；因为()()130g g ==，且()()20g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()202515061234202510k g k g g g g g g =éù=´++++==ëûå，可判断D 项.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，所以()g x 的图象关于()1,0中心对称，()()11g x g x +=--+两边求导得：()()11g x g x ¢¢+=-+，所以()g x ¢图象关于x =1对称，因为()()11g x f x --=，所以()()10g x f x ¢¢+-=；所以()()10g x f x -+¢=¢，又()()3f x g x ¢=+¢，所以()()130g x g x ¢¢-++=，所以函数()g x ¢的图象关于点()2,0对称；的所以()g x 的图象关于x =2对称，故B 正确；所以()()22g x g x +=-，即()()13g x g x -+=+，又()()11g x g x +=--+，所以()()13g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，所以()()4g x g x =+，所以()g x 是周期函数，且4是一个周期，又因为()()11g x f x --=，所以()()11f x g x =--，所以()f x 是周期函数，且4是一个周期，故C 正确；因为()1g x +为奇函数，所以()g x 过()1,0，所以()10g =，令x =0，代入()()11f x g x =--，可得()()0111f g =-=-，故A 错误；令x =0代入()()13g x g x -+=+，可得()()130g g ==，令x =1，代入()()11g x g x +=--+，可得()()20g g =-，又因为()g x 的周期为4，所以()()04g g =，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()()20251506123420255064110k g k g g g g g g g =éù=´++++=´+==ëûå，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1.若()()f x a f x a =+-+，则()f x 关于x a =对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ¢¢+=--+，则()f x ¢关于(),0a 中心对称；2.若()()f x a f x a +=--+，则()f x 关于(),0a 中心对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ¢¢+=-+，则()f x ¢关于x a =对称；3.若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数且周期为T ；第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列{}a 满足35a =，221n n a a =+，()*122n n n a a a n ++=+ÎN，设{}na 的前n 项和为S ，则S =______.【答案】2n 【解析】【分析】根据122n n n a a a ++=+，利用等差中项性质判断数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，由题设条件求得11a =，2=d ，再运用等差数列求和公式计算即得.【详解】由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，由221n n a a =+，可得11(21)2[(1)]1a n d a n d +-=+-+，解得11d a =+，又由3125a a d =+=，解得11a =，2=d ，故()2122n n S n n -=+´=.故答案为：2n .13. 若函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()24y f x x =-的单调递增区间是______.【答案】()0,2【解析】【分析】根据反函数的定义可得f (x )=log 2x ，进而结合复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意得f (x )=log 2x ，0x >，在定义域上单调递增，则()()2224log 4f x xx x -=-，由240x x ->，解得04x <<，所以函数()24f x x-定义域为(0,4)，且24y x x=-在(0,2)上单调递增，所以其单调递增区间为(0,2).故答案为：(0,2).14. 若正实数,a b 满足()1ln ln e a a b a a b --+³，则1ab的最小值为______.【答案】e 4【解析】【分析】把不等式()1ln ln ea ab a a b --+³变形为11ln e e 10a a b b a a--æö-+³ç÷èø，通过换元1e a b t a -=，根据不等式恒成立得出a 与b 的关系，从而把1ab表示为关于a 的表达式，再通过构造函数求最值即可．【详解】∵()1ln ln e a a b a a b --+³，∴1ln ln e a b b a a a--+³，∴11lnln e 1e a a b b a a --++³，即11ln e e 10a a b ba a--æö-+³ç÷èø，令1e a b t a-=，则有()ln 100t t t -+³>，设()ln 1f t t t =-+，则()111-¢=-=tf t t t，由()0f t ¢=得1t =，当01t <<时，()0f t ¢>，()f t 单调递增；当1t >时，()0f t ¢<，()f t 单调递减，∴()()max 10f t f ==，即ln 10t t -+£，∵ln 10t t -+³，∴ln 10t t -+=，当且仅当1t =时等号成立，∴1e 1a b t a -==，即111e a b a -=，∴()121e 0a a ab a-=>，设()()12e 0x g x x x -=>，则()()132e x x g x x --¢=，由()0g x ¢=得2x =，当02x <<时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当2x >时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，∴()()min e 24g x g ==，即1ab 的最小值为e 4.故答案为：e4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式变形为11ln e e 10a a b b a a--æö-+³ç÷èø，通过换元1e a b t a -=得到()ln 100t t t -+³>，结合函数的单调性分析得ln 10t t -+£，即ln 10t t -+=（当且仅当1t =时等号成立），由此得到1e 1a b a -=，等式变形为()121e 0a a ab a-=>，构造函数分析单调性即可得到1ab 的最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ÐÐ===，求sin B .【答案】（1）2π3A =（2【解析】【分析】（1）等价变形已知条件，得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出CD =结合正弦定理即可求得sin C =，最后根据()sin sin B A C =+即可得解；法②：由法①得CD =ACD V 中由正弦定理得sin ADC Ð=π2ADC B Ð=+，从而得解sin B =CD =ABD △中a =+，由（1）问知222a b c bc =++，代入建立关于c 的方程，解方程得2c =，从而得出AD BD B BD ===；法④：由等面积法得ABC ABD ACD S S S =+V V V ，建立关于c 的方程，求得2c =，代入222a b c bc =++求得a ，最后结合正弦定理即可得解.【小问1详解】()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=，则222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】法①：由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD Ð=Ð，所以π6CAD Ð=，如图在ACD V 中，由余弦定理2222cos CD AD AC AD AC DACÐ=+-×31647=+-=，即CD =在ACD V 中由正弦定理sin sin CD AD DAC C Ð==sin C =，因为π03C <<，故cos C ==，在ABC V 中()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=-=.法②：同解法①CD =ACD V 中由正弦定理sin sin CD AC DAC ADC=ÐÐ，4sin ADC=Ð，所以sin ADC ADC ÐÐ===又因为π2ADC BAD B B ÐÐÐ=+=+，即πcos 2B æö+=ç÷èø，所以sin B =法③同上CD =ABD △中BD =，所以a =，由（1）问知222a b c bc =++，所以22416c c =++，即2210416c c c +=++23,c =+即2440c c -+=，所以2c =，AD BD B BD ===.法④如图由（1）知2π3A =，则π6CAD Ð=，因为ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以12π11π4sin 423226c ´=+´=+2c =，所以222164828a b c bc =++=++=，即a =在ABC V 中，由正弦定理sin sin a bA B=4sin B =，解得sin B ==16. 已知函数()()3ln212x f x x x x=++--.（1）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（2）若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）1,12æöç÷èø【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，然后计算()()2f x f x +-的值即可确定函数的对称性，从而得结论；（2）求导()f x ¢，从而得()f x 的单调性，构造函数()()12g x f x =+-，判断函数()g x 的单调性与奇偶性，从而列不等式求解集.【小问1详解】证明：函数()()3ln212x f x x x x=++--，定义域满足02x x >-，解得02x <<，即函数定义域为()0,2，所以()()()()()3322ln21ln 2212x x f x f x x x x x x x-+-=++-++-+--()()()332ln 222112x x x x x x x x -æöéùéù=×++-+-+-ç÷ëûëû-èø0404=++=.所以曲线()y f x =关于点()1,2对称，即曲线()y f x =是中心对称图形.【小问2详解】()()()()2211223123122f x x x x x x x =+++-=++---¢，因()0,2x Î，()202x x >-，所以()()()2223102f x x x x =++->-¢，所以()f x 在区间()0,2上单调递增.因为()f x 关于点()1,2对称，所以()()12g x f x =+-是奇函数，且在区间()1,1-上单调递增.为由()()214f m f m -+<，即()()2122f m f m éù--<--ëû，即()()221g m g m -<--，所以()()221g m g m -<-，所以221,1221,111,m m m m -<-ìï-<-<íï-<-<î解得112m <<.所以实数m 的取值范围为1,12æöç÷èø.17. 已知数列()12nn n a =-+，()10n n n b a a l l +=->，且{}n b 为等比数列.（1）求l 的值；（2）记数列{}2n b n×的前n 项和为nT .若()*2115i i i T TT i ++×=ÎN ，求i 的值.【答案】（1）2l = （2）2i =【解析】【分析】（1）先由1n n n b a a l +=-求出123,,b b b ，在{}n b 为等比数列可得2213b b b =×，由此解出l 即可得出答案.（2）分n 为偶数和n 为奇数，求出n T ，再由()*2115i i i T T T i ++×=ÎN ，解方程即可得出答案.【小问1详解】因为()12nn n a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a l +=-，则1215b a a l l =-=-，23275b a a l l =-=-，343177b a a l l =-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =×，所以()()()2755177l l l -=--，整理得220l l --=，解得1l =-或2.因为0l >，所以2l =.当2l =时，()()111212212n nn n n n n b a a +++éù=-=-+--+ëû()()()()1111221231nnnn n ++=-´-+-´--=-´-.则()()1131131n n nn b b ++-´-==--´-，故{}n b 为等比数列，所以2l =符合题意.【小问2详解】()2231nn b n n ×=-´-×，当n 为偶数时，()2222222231234561n T n n éù=-´-+-+-+-×××--+ëû()()331212n n n =-´++×××+=-+；当n 为奇数时，()()()()()22113311231122n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，()()**31,21,N ,231,2,N .2n n n n k k T n n n k k ì+=-Îïï=íï-+=Îïî因为20i i T T +×>，又2115i i i T T T ++×=，所以10i T +>，所以i 为偶数.所以()()()()()3331231512,222i i i i i i éùéù-+´-++=´++êúêúëûëû整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍去），所以2i =.18. 已知函数()()21e1axf x x -=++，()()()211e 1axa x g x x +-=++.（1）当0a <时，讨论()f x 的零点个数；（2）当0x ³时，()()f x g x ³，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）1,2æù-¥-çúèû【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到最小值111e 1aa f a a+-æö=+ç÷èø，构造()11e 1a h a a +=+，0a <，求导得到其单调性，结合()10h -=，得到1a <-时，11e 10a a++>，则()0f x >，无零点；当1a =-时，()f x 有1个零点；当10a -<<时，()f x 有2个零点.（2）变形得到()1e 1ax x x --³+，两边同时取自然对数得，()()1ln 1x ax x -³-+，当0x =时，00³成立，当0x >时，参变分离得到()11ln 1a x x -+³+，设()()11ln 1m x x x-=++，0x >，多次求导，结合特殊点函数值，得到()m x 区间(0,+∞)上单调递增，又当x 趋近于0时，()m x 趋近于12-，所以()12m x >-，所以12a £-，得到答案.【小问1详解】()()()222e 1e e 1ax ax ax f x a x ax a ---=-+¢=--+，0a <，令()0f x ¢=，得1ax a -=，其中0a ->，10a a-<.当1,a x a ¥-æöÎ-ç÷èø时，f ′(x )<0，当1,a x a ¥-æöÎ+ç÷èø时，f ′(x )>0，则()f x 在区间1,a a ¥-æö-ç÷èø上单调递减，在区间1,a a ¥-æö+ç÷èø上单调递增，所以()1211111e 1e 1aa aaa a f x f a a a--×+--æöæö³=++=+ç÷ç÷èøèø.设()11e 1a h a a +=+，0a <，则()11122111e e e a a a a h a a a a+++-=-=×¢+.因0a <，所以()0h a ¢<，所以()h a 在区间(),0¥-上单调递减，又因为()10h -=，所以当1a <-时，11e 10aa++>，则()0f x >，无零点；当1a =-时，11e 10aa++=，()f x 有1个零点；当10a -<<时，11e 10a a++<，又()20e 10f =+>，当x 趋近于-¥时，()()21e1axf x x -=++趋近于1，()f x 有2个零点，综上，当1a <-时，()f x 无零点；当1a =-时，()f x 有1个零点；当10a -<<时，()f x 有2个零点.【小问2详解】()()f x g x ³，即()()2121e 1(1)e 1a x ax ax x x +--++³++，即()()2121e(1)e a x axax x x +--+³+，在为当0x ³时，11x +³，2e 0ax ->，所以()()f x g x ³，可得()111e ax x x -³+，可得()1e 1ax x x --³+，两边同时取自然对数得，()()1ln 1x ax x -³-+，当0x =时，00³成立，当0x >时，()ln 10x +>，则()()1ln 1x ax x -³-×+，可得()11ln 1a x x-+³+.设()()11ln 1m x x x-=++，0x >，则()()()()()()2222221ln 1111ln 111ln 1x x x m x x x x x x x ¢-++=×-=++++，设()()()221ln1n x x x x =-++，0x >，则()()()()()()2212ln 112ln 12ln 12ln 11n x x x x x x x x x =-+-+××+×=-+-++¢.设()()()22ln12ln 1p x x x x =-+-+，0,x >则()()()22ln 11222ln 1111x x p x x x x x -+=-+×-=+¢++，设()()22ln 1k x x x =-+，0x >，则()222011x k x x x -+¢==>+，所以()k x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00k =，所以()0k x >，所以()0p x ¢>，则()p x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00p =，所以()0p x >，所以()0n x ¢>，则()n x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00n =，所以()0n x >，所以()0m x ¢>，则()m x 在区间(0,+∞)上单调递增，又当x 趋近于0时，()m x 趋近于12-，所以()12m x >-，所以12a £-，所以实数a 的取值范围为1,2æù-¥-çúèû.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方19. 若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ¹，都有()()1212f x f x k x x -£-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”.（1）判断函数()1f x x=是否是区间[)1,+¥上的“1-利普希兹条件函数”？并说明理由；（2）已知函数()3f x x =是区间[]()0,0a a >上的“3-利普希兹条件函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为连续函数，其导函数为()f x ¢，若()(),f x K K ¢Î-，其中01K <<，且()01f =.定义数列{}n x ：10x =，()1n n x f x -=，证明：()11n f x K<-.【答案】（1）是，理由见解析 （2）(]0,1 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明[)12,1,x x ¥"Î+，12x x ¹，()()1212f x f x x x -<-，结合定义判断结论；（2）由条件可得()3f x x -在[]()0,0a a >单调递减，由此可得()30f x ¢-£在[]0,a 恒成立，由此可求a 的取值范围；（3）由条件先证明函数()()g x f x Kx =+单调递增，再证明函数()()h x f x Kx =-单调递减，由此证明()()1212f x f x K x x -<-，再证明()()11n n n f x f x K ---<，结合绝对值不等式性质证明结论.【小问1详解】是，理由如下：依题意，[)12,1,x x ¥"Î+，12x x ¹，()()12121212111f x f x x x x x x x -=-=-，注意到[)12,1,x x ¥Î+，因此121x x >，从而1211x x <，故()()121212121f x f x x x x x x x -=-<-，即()f x 是区间[)1,+¥上的“1-利普希兹条件函数”.【小问2详解】依题意，[]12,0,x x a "Î，均有()()12123f x f x x x -£-成立，不妨设21x x >，则()()212133f x f x x x -£-，即()()221133f x x f x x -£-设()()333p x f x x x x =-=-，则()p x 在[]0,a 上单调递减，故()2330p x x -¢=£对[]0,x a "Î恒成立，即2033a <£，因此(]0,1a Î.【小问3详解】证明：由()(),f x K K ¢Î-，设()()g x f x Kx =+，则g ′(x )=f ′(x )+K >0，故()g x 为单调递增函数，则12x x "<，恒有()()12g x g x <，即()()1122f x Kx f x Kx +<+，得()()()1221f x f x K x x -<-，设()()h x f x Kx =-，则()()0h x f x K ¢¢=-<，故ℎ(x )为单调递减函数，则12x x "<，恒有()()12h x h x >，即f (x 1)−Kx 1>f (x 2)−Kx 2，得K (x 2−x 1)>f (x 2)−f (x 1).综上可知，()()1212f x f x K x x -<-，又()01f =， 10x =，()21x f x =，则()()()212121f x f x K x x K x K f x K -<-===，当2n ³时，()()()()1112n n n n n n f x f x K x x K f x f x -----<-=-()()2211122121n n n n n K x x K f x f x K x x K -----<-=×××=-<-=，则()()()()()()()()112211n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x ---=-+-+×××+-+.()()()()()()()112211n n n n f x f x f x f x f x f x f x ---£-+-+×××+-+1211111n n n K K K K K K---<++×××++=<--.综上所述，()11n f x K <-.【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
河北省衡水中学2023届高三下学期第六周周测数学(理)试题
河北省衡水中学2017届高三下学期第六周周测数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1、复数2(1)1i z i+=-地共轭复数所对应地点位于复平面地A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知等比数列{}n a 中,257a a -+=⎰,则6468(2)a a a a ++=地值为A ．216π B ．24π C ．22π D ．2π3、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>且经过点,则双曲线C 地标准方程为A ．22123x y -=B ．22139x y -=C ．22146x y -= D ．221x y -=4、阅读如图地程序框图,如输入4,6m n ==,则输出地,a i 分别等于A ．12,2 B ．12,3 C ．24,2 D ．24,35、已知条件p 关于x 地不等式13x x m -+-<有解；条件():(73)xq f x m =-为减函数,则p 成立是q 成立地A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示地区域D,过区域D 中任意一点P 作圆地两条切线且切点分别为A 、B,当APB ∠最大时,cos APB ∠=AB ．12 C．．12-7、已知(0,)απ∈,若1tan()43πα-=,则sin 2α=A ．45-B ．45C ．54-D ．548、一个几何体地三视图如下图所示,正视图与侧视图为全等地矩形,俯视图为正方形,则该几何体地体积为 A ．8 B ．4 C ．83 D ．439、已知F 为抛物线24y x =地焦点,点A 、B 在该抛物线上,0OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）,则ABO ∆与BFO ∆面积之差地最小值是A ．4B ．8C ．．10、若函数111ln y x x =,函数223y x =-,则221212()()x x y y -+- 地最小值为A B ．1 C D ．211、若非零向量a 与向量b 地夹角为钝角,2b = ,且当12t =-时,()b ta t R -∈ ,向量c 满足()()c b c a -⊥- ,则当()c a b ⋅+ 取最大值时,c b -等于A B ． C ．．5212、已知函数()2ln ()()x x b f x b R x +-=∈,若存在1[,2]2x ∈,使得()()0f x xf x '+>,则实数b地取值范围是A ．3(,)2-∞ B ．9(,)4-∞ C ．(,3)-∞ D ．(-∞第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把解析填在答题卷地横线上。
衡水中学2018-2020年月考模拟考好题分类集锦：集合与常用逻辑用语(附答案+全解全析)
衡水中学好题分类集锦之：集合与简易逻辑一、选择题1. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学试卷】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B I 中元素的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知全集，集合为A ．B ．C ．D ．5. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】若命题p 为：为A ．B ．C ．D ．6. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．37. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】设集合， ，则（ ）A ．B ．C ．D ．8. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．9. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题10. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】设集合,集合,则集合（ ）A ．B ．C ．D ．11 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知集合，，则=（ ） A ．B ．C ．D ．12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a <14. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．16. 【河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试】已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =IA.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥ C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-17. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知全集U=R ，则A ．B ．C ．D ．18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】集合，，，若，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．19. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ∉”成立的充要条件是（ ） A ．11x -<≤ B ．1x ≤ C ．1x >- D ．11x -<<20. 【衡水中学2019届高三开学二调考试】下列命题中的假命题是（ ） A ． B ．C ．D ．21. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知全集，集合和的关系的韦恳（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个22. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】设,,a b c R ∈，则“1abc =”是a b c a b c≤+=”的 A ．充分条件但不是必要条件， B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件 23. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知集合{|1}A x x =<，{|1xB x e =< }，则（ ）A ．{|1}AB x x ⋂=< B ．()R AC B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 二、填空题1. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】 已知下列命题：①命题“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+<”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝⌝∧为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是__________．答案与详解一、选择题1. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学试卷】已知集合{}6A x N x =∈<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B I 中元素的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵{}6A x N x =∈<， ∴{}0,1,2,3,4,5A =， 又{}2,xB y y x A ==∈， ∴{}1,2,4,8,16,32B =， ∴{}1,2,4A B =I ，有3个元素， 故选：C ．2. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】集合集合,则,故选A.4.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知全集，集合为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以或.所以.故选B.5.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】若命题p为：为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据的构成方法得，为.故选C.6.【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.7.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．8.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以，.选.9.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“，使得”的否定是“，都有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】“若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是“若则，互为相反数，”，正确；“，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.10.【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】设集合,集合,则集合（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴．故选C ．11 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知集合，，则=（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题知，，则故本题答案选．12. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】设集合{|2}A x x =<， {}B x x a =，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤C ．2a ≥D ．2a < 【答案】C【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,所以2a ≤,故选C.14. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“，使得”的否定是“，都有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】 “若，则”的否命题为“若，则”，错误；逆命题是 “若则，互为相反数，”，正确； “，使得”的否定是“，都有”，错误；“若，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，错误，故选B.15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B 选项.16. 【河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试】已知集合2{6}A x y x x ==-++，集合{1}B x x =≥，则A B =IA.{23}x x -≤≤ B {1}x x ≥C {13}x x ≤≤. D.{2}x x ≥-【答案】C【解析】由题意知集合2{|60}{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤，所以{|13}A B x x =≤≤I ，故选C 。
2018届河北省衡水市衡水中学第三次月考理科数学
2017~2018学年度上学期高三年级三调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．已知集合2{|3100},{|ln(2)}A x x x B x y x =--<==-，则()R AB =ð（ ） A ．(2,5)B ．[2,5)C ．(2,2]-D ．(2,2)-1．答案：C解析：2{|3100}(2,5),{|ln(2)}(2,),A x x x B x y x =--<=-==-=+∞()(,2],(2,2]B AB ∴=-∞=-R R痧2．已知复数z 满足3(i)(12i)i z -+=（其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部等于（ ）A ．15-B ．25-C ．45D ．352．答案：C解析：3i i(12i)2424(i)(12i)i i,i i,i 12(12i)(12i)5555z z z i ----+==-∴-===--∴=-+++-， 故z 的虚部为453．阅读如图所示的程序框图，若输入的919a =，则输出的k 值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．123．答案：C解析：11(21)(21)111(21)(21)2(21)(21)22121k k k k k k k k +--⎛⎫=⨯=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121k S k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令92119k S k =>+，解得9k >，所以取10k =，再执行一步1k k =+，则输出11k =4．若数列{}n a 满足122,1a a ==，且1111(2)n n n n n n n n a a a an a a a a -+-+⋅⋅=--≥，则数列{}n a 的第100项为（ ）A ．10012B ．5012 C ．1100D ．1504．答案：D 解析：由1111n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+⋅⋅=--，两边取倒数，得111111(2)n n n nn a a a a -+-=-≥，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为1112a =，公差为211112a a -=，所以111=+(1),222n n n a -=100221,10050n a a n ∴===5．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥ ，则3412x y +-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．6D ．45．答案：A解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点(,)x y 到直线34120x y +-=的距离34125x y d +-=，所以3412=5x y d +-，由图可知，点(1,1)A 到直线34120x y +-=的距离最小，所以min 34123141125x y +-=⨯+⨯-=6．放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4π+B ．3π+C ．342π+ D ．322π+6．答案：C解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积245453222222143603602S πππ⎛⎫=⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭7．在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为（ ）A ．0B ．1C ．2013D ．20147．答案：C解析：222222013cos ,2cos 201322a b c c C ab C c ab ab+-==∴=，由正弦定理，得： 22sin sin cos 2013sin A B C C =，所以2sin sin cos 2013sin 2A B C B =， 2tan tan 2sin sin cos 2sin sin cos =tan (tan tan )sin (sin cos sin cos )sin sin()A B A B C A B CC A B C A B B A C A B ⋅=+++22sin sin cos 201322013sin 2A B C C ==⨯= 8．若对于数列{}n a ，有任意,m n N *∈，满足2,2m n m n a a a a +=+=，则132013222014a a a a a a ++++++的值为（ ）A ．10061007B ．10081009C ．10051006D ．100710088．答案：D解析：由2,2m n m n a a a a +=+=，当1m =时，21112,1a a a a =+=∴=；当1m =时，111n n n a a a a +=+=+，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =，所以132013222014(12013)100713201310072(22014)242014100810072a a a a a a +⨯++++++===+++++++⨯ 9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32C ππ<<，sin 2,sin sin 2b Ca b A C=--3a =，sin 6B =b 等于（ ） AB ．2CD．9．答案：A 解析：由sin 2sin sin 2b C a b A C =--及正弦定理可得sin sin 2sin sin sin sin 2B CA B A C=--， 即sin sin sin sin 2sin sin 2sin sin 2B A B C A C B C -=-，sin sin sin sin 2B A A C ∴=又sin 0A ≠，sin sin 2B C ∴=，故2B C =或2B C π+=，又因为3C π>，若2B C =，则23B C C π+=>，故舍去，所以2B C π+=，又因为A B C π++=，所以A C =，所以3c a ==，由sin B =5cos 6B =，由余弦定理可得 2222cos 99153b a c ac B =+-=+-=，故b =10．如图所示，23ABC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于,,1D E AD =，若点P 是圆M及其内部任意一点，且(,)AP x AD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是（ ）A．[1,4+ B．[44-+ C．[1,2+ D．[22+10．答案：B 解析：连接DE ，则当点P 在线段DE 上运动时，1x y +=，连接AM 并延长，交圆于,S T两点，交线段DE 于点N ，则圆的半径r =12,,22AM AN AS AMr ===-=- 2AT AM r =+=+，当点P 位于点T时，x y +取得最大值，最大值为4ATAN=+当点P位于点S 时，x y +取得最小值，最小值为4ASAN=-另一种解释，考虑以,AD AE 方向为x 轴、y 轴，AD 为单位长度建立菱形坐标系，则直线DE 的方程为1x y +=，设z x y =+，作直线0x y +=并平移，当直线过点S 时，z 取得最小值，当直线过点T 时，z取得最大值．11．已知向量,,αβγ满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若17,2βγ=的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32B ．2 C ．52D 11．答案：C解析：()()212,22120,2ααβααβααβαβαβ⊥-∴⋅-=-⋅=-⋅=∴⋅=， ()22217255211,442αβααββαβ∴+=+⋅+=++=∴+=， 如图，设,,OA OB OC αβγ===，则,CA CB αγβγ-=-=，所以CA CB ⊥，即点C 在以AB 为直径的圆上，设D 为AB 中点，连接OD 并延长，与圆交于12,C C 两点，则125,,22m OC OD r n OC OD r m n OD αβ==+==-+==+=12．已知定义在(0,)+∞内的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()(ln )2()f x x x f x '>，则（ ）A ．326()2()3()f e f e f e >>B ．236()3()2()f e f e f e <<C ．236()3()2()f e f e f e >>D ．326()2()3()f e f e f e <<12．答案：B解析：由2()(ln )2()f x x x f x '>可得()(ln )()f x x x f x '>，设()()ln f x g x x=，则 221()ln ()()(ln )()()0(ln )(ln )f x x f x f x x x f x x g x x x x '-⋅'-'==>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以23()()()g e g e g e <<，即23()()()23f e f e f x <<，即236()3()2()f e f e f e << 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．13．答案：160解析：22222111144(2)222x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故362211442x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项为333461(2)160T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若函数()22()f x x x x R =+∈的最C 2C 1DABO大值为1a ，且满足114n n n n n a a a S a S +-=-，则数列n a 的前2 017项之积2017A = ． 14．答案：4解析：()224sin(2)4f x x x x π=+=+的最大值为4，故14a =，由114n n n n n a a a S a S +-=-，得1()1n n n n a a S S +--=，即11n n n a a a +-=，111n na a +∴=-， 由14a =，可得23431,,443a a a ==-=，故数列{}n a 的周期为3，且31231A a a a ==-，又201736721=⨯+，所以672201720171(1)4A a a =-==15．已知O 为ABC △的外接圆圆心，16,10AB AC ==AO xAB yAC =+，且322525x y +=，则AO = ．15．答案：10解析：以点A 为坐标原点，AO 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，设直线AO 与圆的另一个交点为D ，设,BAD CAD αβ∠=∠=，则(16cos ,16sin ),(16cos ,16sin )B Cααββ-，在R T A B D△中，16coscos AB AD αα==， 在RT ACD △中，cos cos AC AD ββ==，所以416cos cos cos cos ααββ=∴==，根据数字特征，不妨假设4cos ,cos 52αβ==，然后再进行验证，此时20,10,AD AO ==(10,0),AO =6448,,(10,10)55AB AC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由AO x AB y AC =+，得6448(10,0)10,1055x y x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故6410105481005x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，AO16．已知函数3(),()(),1()(),()ln (),()(),4f x f x g x h x f x x ax g x x g x f x g x ⎧==++=-⎨>⎩≤，若()0h x =在区间(0,)+∞内有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．16．答案：53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析：()min((),())h x f x g x =，()ln g x x =-有1个零点1x =，2()3f x x a '=+，显然必须0a <，令()0f x '=，得x =()f x 的对称中心为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，要想满足题意，只（2）若ABC △22cos 4c ab C a ++=，求a ． 17．解：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=， 因为s i n s i n ()s i n c o s c o s s C A B A B A B =+=+，所以2c o s s i n s i nA B B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又因为0A π<<，所以3A π=． （5分）（2）22cos 4c ab C a ++= （*）又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=，代入（*）式得22283b c a +=-．1sin 12ABC S bc A bc ===∴=△，由余弦定理得222222cos 1a b c bc A b c =+-=+-，所以22831a a =--，解得a = （12分）18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211()(2)n n n n a S S S n ---=⋅≥，且11,0.n a a =>（1）求2a 的值，并证明数列{}n S 是等比数列；（2）设212(1)log ,nn n n n b S T b b b =-=+++，求n T ．18．解：（1）令2n =，得221121()()a a a a a -=+⋅，将11a =代入并整理得：22230a a -=，因为0n a >，所以23a =．由题意得211(2)(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，整理得11()(4)0,n n n n S S S S ----=1(4)0n n n a S S -∴-=，因为0n a >，所以14(2)n n S S n -=≥，所以数列{}n S 收首项为1，公比为4的等比数列． （7分）（2）由（1）可知14n n S -=，所以2(1)log (1)(22)n n n n b S n =-=--所以1,2[0123456(1)(1)],nn n n T n n n -⎧=⨯+-+-+-++--=⎨⎩为奇数为偶数 （12分） 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足214(1)(),1n n nS n a n N a *=+∈=．（1）求n a ； （2）设n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <． 19．解：（1）由题意得2(1)4nn n a S n += ① 211(2)4(1)n n n a S n n --=-≥ ② ①－②，得：221(1)44(1)n n n n a n a a n n -+=--，所以133(2)(1)nn a a n n n -=-≥， 所以数列3n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个常数列，所以3131,1n n a a a n n ==∴= （6分） （2）由（1）得21n b n =，所以127571;;444T T =<=< 当3n ≥时，222221111111117171123442334(1)44n T n n n n =+++++<+++++=-<⨯⨯-⨯综上可得7()4n T n N *<∈ （12分）20．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x ax =++，其中a R ∈． （1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意210x ex >≥，存在(1,)x ∈-+∞，使212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-成立，求a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =）20．解：（1）当1a =-时，()ln(1)(1)f x x x x =+->-，则1()111xf x x x -'=-=++， 令()0f x '=，得0x =．当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以max ()(0)0f x f ==，所以()0f x ≤，得证． （4分）（2）不等式212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-，即为[]221221(1)(1)()x f x f x ax f x a x x ---->---，而[]221221(1)(1)x f x f x ax x x -----[]22212221112221212221212222111ln ()ln (1)ln (1)=ln ln1x x a x x x x a x x a x x ax ax x x x x x x x x x x ax ax x x x x x ⎡⎤+-⎢⎥+----⎣⎦-=---=+-=⋅-- 令21()x t t e x =≥，原命题即故对任意t e ≥，存在(1,)x ∈-+∞，使ln ()1t t f x a t >---恒成立，所以()min minln ()1t t f x a t ⎛⎫>--⎪-⎝⎭， 设ln ()1t t h t t =-，则21ln ()(1)t t h t t --'=-，设()1ln u t t t =--，则11()10t u t t t-'=-=>对于t e ≥恒成立，则()1ln u t t t =--为区间[,)e +∞上的增函数，于是()()20u t u e e =->≥， 所以21ln ()0(1)t t h t t --'=>-对于t e≥恒成立，所以ln ()1t th t t =-为区间[,)e +∞上的增函数， 所以min ()()1eh t h e e ==-．设()()ln(1)p x f x a x ax a =--=-+--， ①当0a ≥时，函数()p x 为区间(1,)-+∞上的单调递减函数，其值域为R ，可知符合题意；②当0a <时，1()1p x a x '=--+，令()0p x '=，得111x a=-->-，由()0p x '>得11x a >--，则函数()p x 在区间11,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭内为增函数；由()0p x '<，得11x a <--，则函数()p x 在区间11,1a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭内为减函数，所以min 1()1ln()1p x p a a ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，从而ln()11e a e >-+-，解得110e e a --<<．综上所述，a 的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． （12分）21．（本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[1,)+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()10ln 22f x x <<-+． 21．解：（1）由题意知222()2011a x x af x x x x ++'=+=>++在区间[1,)+∞内恒成立（1分） 即222a x x >--在区间[1,)+∞内恒成立，解得4a >- （3分）当4a =-时，22242(2)(1)()011x x x x f x x x +-+-'==>++，当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，且仅当1x =时，()0f x '=，所以函数()f x 单调递增，所以a 的取值范围是[4,)-+∞ （4分）（2）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，222()1x x a f x x ++'=+，即2()22g x x x a =++，则有480(1)0112a g a ⎧⎪∆=->⎪-=>⎨⎪⎪->-⎩，解得102a <<证法一：因为2122222111,220,,0222x x x x a x x +=-++==-+-<<， 所以222222212()(22)ln(1)=1f x x x x x x x -++--， 令22(22)ln(1)1(),,012x x x x k x x x -++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭（8分） 则2223262()2ln(1),()(1)(1)x x x k x x k x x x ++'''=++=++，因为()4,(0)2k x k ''''=-=，所以存在01,0x ⎛⎫∈- ⎪，使得()0k x ''=，列表如下：又(0)0,12ln 202k k ⎛⎫''=-=-< ⎪⎝⎭，所以1()0,,02k x x ⎛⎫'<∈- ⎪⎝⎭，所以函数()k x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数， （11分）所以1(0)()2k k x k ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即21()10ln 22f x x <<-+． （12分） 证法二：因为2x 是方程2220x x a ++=的解，所以22222a x x =--．因为122110,0,22a x x x <<<<=-+2102x -<<． 先证21()0f x x >，因为120x x <<，即证2()0f x <， 在区间12(,)x x 内，()0f x '<，在区间2(,0)x 内，()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=，即2()0f x <，所以21()0f x x >成立． （8分） 再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()ln 2(1)ln 2(1)22f x x x ⎛⎫⎛⎫>-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令2211()(22)ln(1)ln 2(1),,022g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（10分） 则1()2(21)ln(1)ln 22g x x x ⎛⎫'=-++-- ⎪⎝⎭，因为1ln(1)0,210,ln 202x x +<+>-<， 所以()0g x '>，函数()g x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数， 所以111111()ln ln 20242242g x g ⎛⎫>-=+-+= ⎪⎝⎭， （11分） 所以221()ln 2(1)2f x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭成立． 综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立． （12分） （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．22．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将c o s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =． （5分）（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈．联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==， （7分） 联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ== （8分）所以122sin 2cos 2tan 2(2,cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈， 即OA OB ⋅的取值范围是(2, （10分）23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c 满足(22)a a c b m bc ++=-，求3a b c ++的最小值．23．解：（1）因为()13(1)(3)4f x x x x x =-++--+=≥，所以4m =． （4分）（2）因为(22)4a a c b bc ++=-，所以2(22)()4a ac ab bc +++=，即(2)()4a b a c ++=所以3(2)()4a b c a b a c ++=+++=≥，当且仅当22a b a c +=+=时取等号，所以3a b c ++的最小值的最小值为4 （10分）。
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2020河北省衡水中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）
一、单选题
1．（3分）设复数z满足|z﹣1|＝1，则z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1
2．（3分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中
任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
3．（3分）等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
4．（3分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（3分）已知函数的两个零点分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论
正确的是（ ）
A．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣1
C．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣2 D．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣1
6．（3分）抛物线方程为x2＝4y，动点P的坐标为（1，t），若过P点可以作直线与抛物线
交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
7．（3分）已知函数，则下述结论中错误的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点
B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增
C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是
D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为9
8．（3分）某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单
2
位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．6.25% B．7.5% C．10.25% D．31.25%
9．（3分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不
变），再将所得到的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g
（x）为奇函数，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，
大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1．如图2放置容
器，液面以上空余部分的高为h2．则＝（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲
3
线左支上一点，且•（＝0（O为坐标原点），cos∠PF2F1＝，则双曲
线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
12．（3分）设函数f（x）＝﹣t（lnx+x+）恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（，+∞）
C．（，）∪（，+∞） D．（﹣∞，]∪（，+∞）
二、填空题
13．（3分）世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通
俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就
会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、
第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事
后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试
计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大 ．
14．（3分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为4的菱形，∠ABC＝60°，AA
1
＝4，过点B与直线AC1垂直的平面交直线AA1于点M，则三棱锥A﹣MBD的外接球的
表面积为 ．
15．（3分）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，a4﹣a2＝6，且a1，a3，a8成等比数列，则
＝ ．
16．（3分）根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经
和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”
AB＝4，D为“弦”BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则
＝ ．
三、解答题
17．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，bsinB+asinC＝asinA+csinC．
（1）求角B；
（2）若c＝1，△ABC的面积为，求C．
4
18．已知椭圆的短半轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AE⊥x轴，垂足
为E，连接BE并延长交椭圆于点D，证明：△ABD是直角三角形．
19．如图1，在等腰梯形ABF1F2中，两腰AF2＝BF1＝2，底边AB＝6，F1F2＝4，D，C是
AB的三等分点，E是F1F2的中点．分别沿CE，DE将四边形BCEF1和ADEF2折起，使
F1，F2重合于点F，得到如图2所示的几何体．在图2中，M，N分别为CD，EF的中
点．
（1）证明：MN⊥平面ABCD．
（2）求直线CN与平面ABF所成角的正弦值．
20．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空
气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结
果统计如下：
AQI [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300]
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 25 10
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量
至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期