2022年全国各省中考数学真题分类解析开放探索问题

（2022•大庆中考）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（）A．4πB．8√2C．8πD．16√2【解析】选B．如图，当点N在x轴的正半轴上时，过点Q作QR⊥ON于点R，QT⊥OM于点T．设Q（x，y）．∵QM＝QN，QT∥ON，QR∥OM，∴QT=12ON，QR=12OM，∴QT+QR=12（OM+ON）＝4，∴x+y＝4，∴y＝﹣x+4，∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动，∵直线y＝﹣x+y与坐标轴交于（0，4），（4，0），∴点Q运动路径的长=√42+42=4√2，当点N在x轴的负半轴上时，同法可得点Q运动路径的长=√42+42=4√2，综上所述，点Q的运动路径的长为8√2.（2022•自贡中考）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝CD，EF＝AD；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．【解析】（1）∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，答案：CD，AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH=√BC2+CH2=√1600+900=50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴BHBE =CHEG，∴5080=40EG，∴EG＝64，∴EF与BC之间的距离为64cm.（2022•自贡中考）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（√3≈1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．【解析】（1）∵∠COG ＝90°，∠AON ＝90°，∴∠POC +∠CON ＝∠GON +∠CON ，∴∠POC ＝∠GON ；（2）由题意可得，KH ＝OQ ＝5米，QH ＝OK ＝1.5米，∠PQO ＝90°，∠POQ ＝60°，∵tan ∠POQ =PQ OQ ，∴tan60°=PQ5，解得PQ ＝5√3，∴PH ＝PQ +QH ＝5√3+1.5≈10.2（米），即树高PH 为10.2米；（3）由题意可得，O 1O 2＝m ，O 1E ＝O 2F ＝DH ＝1.5米，由图可得，tan β=PD O 2D ，tan α=PD O 1D ，∴O 2D =PD tanβ，O 1D =PDtanα， ∵O 1O 2＝O 2D ﹣O 1D ，∴m =PD tanβ−PD tanα，∴PD =mtanαtanβtanα−tanβ，∴PH ＝PD +DH ＝（mtanαtanβtanα−tanβ+1.5）米.（2022•泰安中考）问题探究（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．【解析】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴点D，E分别是AC，AB的中点，∴BE=12AB=12BC，CD=12AC=12BC，∴BE+CD＝BC；②解：结论成立．理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，∴△EBO≌△GBO（SAS），∴∠BOE＝∠BOG＝60°，∴∠COD＝∠COG＝60°，∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，∴△OCD≌△OCG（ASA），∴CD＝CG，∴BE+CD＝BG+CG＝BC；（2）结论：AC＝AD+BC．理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠BCD＝180°，∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACD＝60°，（2022•成都中考）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．【深入探究】（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）．【解析】（1）∵四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°，∴∠DEH＝∠ABE，∴△ABE∽△DEH，∴在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系；（2）如图1，∵H是线段CD中点，∴DH＝CH，设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，由（1）知：△ABE∽△DEH，∴AEDH =ABDE ，即a x =2x 4x−a ，∴2x 2＝4ax ﹣a 2，∴2x 2﹣4ax +a 2＝0，∴x =4a±√16a 2−4×2×a 24=2a±√2a 2， ∵tan ∠ABE =AE AB =a 2x， 当x =2a+√2a 2时，tan ∠ABE =a 2×2a+√2a 2=2−√22， 当x =2a−√2a 2时，tan ∠ABE =a 2×2a−√2a 2=2+√22；综上，tan ∠ABE 的值是2±√22． （3）分两种情况：①如图2，BH ＝FH ，设AB ＝x ，AE ＝a ，∵四边形BEGF 是矩形，∴∠AEG ＝∠G ＝90°，BE ＝FG ，∴Rt △BEH ≌Rt △FGH （HL ），∴EH ＝GH ，∵矩形EBFG ∽矩形ABCD ，∴AD AB =EG BE =n ， ∴2EH BE =n ， ∴EHBE =n 2，由（1）知：△ABE ∽△DEH ，∴DE AB =EH BE =n 2， ∴nx−a x =n2，∴nx ＝2a ，∴a x =n 2，∴tan ∠ABE =AE AB =a x =n 2； ②如图3，BF ＝FH ，∵矩形EBFG ∽矩形ABCD ，∴∠ABC ＝∠EBF ＝90°，AB BC =BE BF ， ∴∠ABE ＝∠CBF ，∴△ABE ∽△CBF ，∴∠BCF ＝∠A ＝90°，∴D ，C ，F 共线，∵BF ＝FH ，∴∠FBH ＝∠FHB ，∵EG ∥BF ，∴∠FBH ＝∠EHB ，∴∠EHB ＝∠CHB ，∵BE ⊥EH ，BC ⊥CH ，∴BE ＝BC ，由①可知：AB ＝x ，AE ＝a ，BE ＝BC ＝nx ，由勾股定理得：AB 2+AE 2＝BE 2，∴x 2+a 2＝（nx ）2，∴x =a √n 2−1（负值舍），∴tan ∠ABE =AE AB =a x=√n 2−1， 综上，tan ∠ABE 的值是n2或√n 2−1．按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝45°；（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：BF＝AF+√2CF；【深入探究】（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．【解析】（1）∵△CED是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∵ED∥BC，∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，答案：45°；（2）BF＝AF+√2CF，理由如下：如图3，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF=√2CF，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AF＝BD，∵BF＝DF+BD，∴BF＝AF+√2CF；答案：BF＝AF+√2CF；（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠CBD，过点C作CG⊥CF交BF于点G，∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，∴∠ACF＝∠BCG，∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，∴△BCG≌△ACF（ASA），∴GC＝FC，BG＝AF，∴△GCF为等腰直角三角形，∴GF=√2CF，∴BF＝BG+GF＝AF+√2CF；（4）BF＝mAF+√1+m2•FC．理由如下：由（2）知，∠ACE＝∠BCD，而BC＝mAC，CD＝mEC，即BCAC=CDEC=m，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，过点C作CG⊥CF交BF于点G，如图6所示：（2022•湖州中考）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a＞b．记△ABC的面积为S．（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．①若S1＝9，S2＝16，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2﹣S1＝2S．（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2﹣S1与S之间的等量关系，并说明理由．【解析】（1）①解：∵S1＝9，S2＝16，∴b＝3，a＝4，∵∠ACB＝90°，∴S=12ab=12×3×4=6；②证明：由题意得：∠F AN＝∠ANB＝90°，∴∠F AH+∠NAB＝90°，∵FH⊥AB，∴∠F AH+∠AFN＝90°，∴∠AFN＝∠NAB，∴△AFN∽△NAB，∴FNAN=ANNB，即b+aa=ab，∴ab+b2＝a2，DG ，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AFAB 的值（用含n 的式子表示）．【解析】（1）如图，取AB 的中点G ，连接DG ，∵点D 是AC 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG ∥BC ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∵点D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝30°， ∵BD ＝CD ，∴∠E ＝∠DBC ＝30°，∴DF ⊥AB ，∵∠AGD ＝∠ADG ＝60°，∴△ADG 是等边三角形，∴AF =12AG ， ∵AG =12AB ，∴AF =14AB ，∴AFAB =14； （2）取BC 的中点H ，连接DH ，∵点D 为AC 的中点，∴DH ∥AB ，DH =12AB ，∵AB ＝AC ，∴DH ＝DC ，∴∠DHC ＝∠DCH ， ∵BD ＝DE ，∴∠DBH ＝∠DEC ，∴∠BDH ＝∠EDC ， ∴△DBH ≌△DEC （ASA ），∴BH ＝EC ，∴EB EH=32，∵DH ∥AB ，∴△EDH ∽△EFB ， ∴FB DH=EB EH=32，∴FBAB=34，∴AFAB=14；问题拓展取BC 的中点H ，连接DH ，由（2）同理可证明△DGH ≌△DEC （ASA ）， ∴GH ＝CE ，∴HE ＝CG ，∵CGBC =1n ，∴HEBC =1n ，∴HEBH =2n ，∴HEBE =2n+2， ∵DH ∥BF ，∴△EDH ∽△EFB ，∴HE BE=DH BF=2n+2，（2022•随州中考）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③．（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．的值为 2 ；①若E为边AC的中点，则S1S2②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解析】（1）观察图象可得：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；答案：①，②，④，③；（2）证明：如图：由图可知，矩形BCEF 和矩形EGHL 都是正方形，∵AK ＝BM ＝BF ﹣MF ＝a ﹣b ，BD ＝BC ﹣CD ＝a ﹣b ，∴S 矩形AKLC ＝AK •AC ＝a （a ﹣b ）＝BF •BD ＝S 矩形DBFG ， ∴S 正方形BCEF ＝a 2＝S 矩形CDHL +S 矩形DBFG +S 正方形EGHL ＝S 矩形CDHL +S 矩形AKLC +b 2，∴a 2＝S 矩形AKHD +b 2，∵S 矩形AKHD ＝AK •AD ＝（a ﹣b ）（a +b ），∴a 2＝（a ﹣b ）（a +b ）+b 2，∴（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2； （3）①设BD ＝m ，由已知可得△ABD 、△AEH 、△CEG 、△BFG 是等腰直角三角形，四边形DGEH 是矩形， ∴AD ＝BD ＝CD ＝m ，∵E 是AC 中点，∴HE ＝DG =12m ＝AH ， ∴CG ＝CD ﹣DG =12m ，BG ＝FG ＝BD +DG =32m ，∴S 1＝S △BFG +S △CEG =12×32m ×32m +12×12m ×12m =54m 2，S 2＝S △ABD +S △AEH =12m 2+12×12m ×12m =58m 2，∴S1S 2=2；答案：2；②E 不为边AC 的中点时①中的结论仍成立，证明如下： 设BD ＝a ，DG ＝b ，由已知可得△ABD 、△AEH 、△CEG 、△BFG 是等腰直角三角形，四边形DGEH 是矩形， ∴AD ＝BD ＝CD ＝a ，AH ＝HE ＝DG ＝b ，EG ＝CG ＝a ﹣b ，FG ＝BG ＝a +b ，∴S 1＝S △BFG +S △CEG =12×（a +b ）2+12×（a ﹣b ）2＝a 2+b 2，S 2＝S △ABD +S △AEH =12a 2+12×b 2=12（a 2+b 2），∴S1S 2=2.【解析】（1）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，∠A ＝30°，∴AB =√3BC ＝3√3， 在Rt △BDE 中，∠BDE ＝30°，BE ＝2，∴BD =√3BE ＝2√3， ∴EC ＝1，AD =√3，∴ADEC =√3，此时AD ⊥EC ， 答案：√3，垂直； （2）结论成立．理由：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∵AB =√3BC ，BD =√3BE ，∴AC BC=DB EB，∴△ABD ∽△CBE ，∴ADEC =ABBC =√3，∠ADB ＝∠BEC ，∵∠ADB +∠CDB ＝180°，∴∠CDB +∠BEC ＝180°，∴∠DBE +∠DCE ＝180°， ∵∠DBE ＝90°，∴∠DCE ＝90°，∴AD ⊥EC ；（3）如图3中，过点B 作BJ ⊥AC 于点J ，设BD 交AK 于点K ，过点K 作KT ⊥AC 于点K ．∵∠AJB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠ABJ ＝60°，∴∠KBJ ＝60°﹣α． ∵AB ＝3√3，∴BJ =12AB =3√32，AJ =√3BJ =92，当DF ＝BE 时，四边形BEFD 是矩形，∴∠ADB ＝90°，AD =√AB 2−BD 2=√(3√3)2−(2√3)2=√15， 设KT ＝m ，则AT =√3m ，AK ＝2m ，∵∠KTB ＝∠ADB ＝90°，∴tan α=KTBT =ADBD ， ∴mBT =√152√3，∴BT =2√55m ，∴√3m +2√55m ＝3√3，∴m =45−6√1511， ∴AK ＝2m =90−12√1511，∴KJ ＝AJ ﹣AK =92−90−12√1511=24√15−8122，∴tan （60°﹣α）=KJBJ=8√5−9√311.①若DE ＝1，BD =32，求BC 的长； ②试探究AB AD−BE DE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的2个外角，∠BCF ＝2∠CBG ，CD 平分∠BCF ，交AB 的延长线于点D ，DE ∥AC ，交CB 的延长线于点E ．记△ACD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，△BDE 的面积为S 3．若S 1•S 3=916S 22，求cos ∠CBD 的值．【解析】（1）①∵CD 平分∠ACB ， ∴∠ACD ＝∠DCB =12∠ACB ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝∠B ，∴CD ＝BD =32， ∵DE ∥AC ，∴∠ACD ＝∠EDC ，∴∠EDC ＝∠DCB ＝∠B ， ∴CE ＝DE ＝1， ∴△CED ∽△CDB ， ∴CE CD=CD CB，∴132=32CB，∴BC =94；②∵DE ∥AC ，∴ABAD=BC CE， 同①可得，CE ＝DE ，∴ABAD=BC DE，∴AB AD −BE DE =BC DE−BE DE=CE DE=1，∴AB AD−BE DE是定值，定值为1；（2）∵DE ∥AC ，∴S 1S 2=AC DE=BC BE，∵S 3S 2=BE CE，∴S 1⋅S 3S 22=BC CE，又∵S 1•S 3=916S 22，∴BC CE =916，设BC ＝9x ，则CE ＝6x ， ∵CD 平分∠BCF ，∴∠ECD ＝∠FCD =12∠BCF ，∵∠BCF ＝2∠CBG ，∴∠ECD ＝∠FCD ＝∠CBD ，∴BD ＝CD ，∵DE∥AC，∴∠EDC＝∠FCD，∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，∴CE＝DE，∵∠DCB＝∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴CDCE=CBCD，∴CD2＝CB•CE＝114x2，∴CD＝12x，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD＝CD＝12x，∴BH=12BC=92x，∴cos∠CBD=BHBD=92x12x=38【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE ⊥BF ．求CE BF的值．【解析】（1）结论：EG FH=1．理由：如图1中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∴AM ＝HF ，AN ＝BC ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°， ∵EG ⊥FH ， ∴∠NAM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN ， ∴△ABM ≌△ADN （ASA ）， ∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ， ∴EG FH=1；（2）如图2中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∴AM ＝HF ，AN ＝EC ，在长方形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°， ∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ． ∴△ABM ∽△ADN ．∴AM AN=AB AD，∵AB ＝m ，BC ＝AD ＝n ，∴EGFH=m n．答案：mn ；（3）如图3中，过点C 作CM ⊥AB 于点M ．设CE 交BF 于点O ．∵CM ⊥AB ，∴∠CME ＝90°，∴∠1+∠2＝90°， ∵CE ⊥BF ，∴∠BOE ＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3，∴△CME ∽△BAF ，∴CE BF =CM AB，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴CE BF=CMBC=sin60°=√32（2022•嘉兴中考）小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB （如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ：AB ＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点．小东称点P 为线段AB 的“趣点”． （1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造△DPE ，使得△DPE ∽△CPB ．①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．②如图4，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ），猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．【解析】（1）赞同，理由如下： ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ，∠A ＝∠B ＝45°， ∴cos45°=ACAB =√22=1√2，∵AC ＝AP ， ∴AP AB=1√2，∴点P 为线段AB 的“趣点”．（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请【解析】你的结论．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的中线，∴∠PAC=12∠BAC＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC=12×（180°﹣30°）＝75°，答案：75°；（2）如图2，连接PB，∵AP∥BC，AP＝BC，∴四边形PBCA为平行四边形，∵CA＝CB，∴平行四边形PBCA为菱形，∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，BE＝PB•sin∠PBC＝3√3，∵CA＝CB，∠C＝120°，∴∠ABC＝30°，∴OE＝BE•tan∠ABC=√3，∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE=12×6×3√3−12×3×√3=15√32；（3）符合要求，理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，∵CA＝CD，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴四边形FDCA为正方形，∵PE是CD的垂直平分线，∴PE是AF的垂直平分线，∴PF＝PA，∵AP＝AC，∴PF＝PA＝AF，∴△PAF为等边三角形，∴∠PAF＝60°，∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，∴裁得的△ABP型部件符合要求．（2022•湘潭中考）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC=√2，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解析】（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC=√2，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，【解析】（1）如图1，连接DC，∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BC，∠ABC＝∠DBE＝∠E＝∠BDE＝60°，∴∠ABC ﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠CBD＝∠ABE，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，∴∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．（2）①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴AB＝CB，BE＝BG，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BGF＝90°，∠EGB＝∠GEB＝45°，∴∠ABC﹣∠ABG＝∠EBG﹣∠ABG，即∠CBG＝∠ABE，∴△CBG≌△ABE（SAS），∴CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，∴∠AGC＝∠EGB+∠CGB＝45°+45°＝90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②由①可知，CG＝AE，∠AGC＝90°，∴CG2+AG2＝AC2，∴AE2+AG2＝AC2，∵AE2+AG2＝10，∴AC2＝10，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2＝10，∴AB2＝5，∴S正方形ABCD＝AB2＝5．（1）图②中，AB ＝BC ，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF ，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图③中，AB ＝2，BC ＝3，则GH CE = 13 ； （3）当AB ＝m ，BC ＝n 时，GHCE = m 2n ．剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC ，并沿对角线AC 剪开，得△ABC （如图④）．点M 、N 分别在AC 、BC 上，连接MN ，将△CMN 沿MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，若PM 平分∠APN ，则CM 长为 3√135．【解析】转一转：（1）结论：GH =12CE ．理由：如图②中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠CBE ＝90°，∵AB ＝CB ，BF =12AB ，BE =12BC ，∴BF ＝BE ，在△ABF 和△CBE 中，{AB =CB ∠ABF =∠CBE BF =BE，∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ，∵DG ＝GA ，DH ＝HF ，∴GH =12AF =12CE ；（2）如图③中，连接AF ．∵BF =12AB ，BE =12BC ，∴ABBF =BCBE ，'∴ABBC =BFBE ，∵∠ABF ＝∠CBE ，∴△ABF ∽△CBE ，∴AFCE =ABBC =23，∴AF =23CE ， ∵AG ＝DG ，DH ＝HF ，∴GH =12AF =13CE ，∴GH CE =13． 答案：13． （3）当AB ＝m ，BC ＝n 时，同法可证△ABF ∽△CBE ，∴AFCE =ABBC =m n，∴AF =m n CE ， ∵AG ＝DG ，DH ＝HF ，∴GH =12AF =m 2n CE ，∴GH CE =m 2n ． 答案：m2n ．剪一剪、折一折：如图4中，过点M 作MT ⊥AB 于点T ，MR ⊥CB 于点R ．∵PM 平分∠APN ，∴∠MPT ＝∠MPN ，由翻折的性质可知MP ＝MC ，∠C ＝∠MPN ，∴∠MPT ＝∠C ，∵∠MTP ＝∠MRC ＝90°，∴△PTM ≌△CRM （AAS ），∴MT ＝MR ，∴BM 平分∠ABC ，∴∠MBT ＝∠MBR ＝45°，∴TB ＝TM ，BR ＝RM ，设TM ＝TB ＝x ，∵12•AB •BC =12•AB •MT +12•BC •MR ， ∴12×2×3=12•x •（2+3），∴x =65，∴BR ＝MR =65，CR ＝BC ﹣BR ＝3−65=95，∴CM =√CR 2+MR 2=√(95)2+(65)2=3√135． 答案：3√135．（1）求抛物线的解析式；（2）点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 （1，2） ；（3）点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．【解析】（1）将A （﹣1，0），B （4，5）代入y ＝x 2+mx +n 得，{1−m +n =016+4m +n =5，∴{m =−2n =−3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）设直线AB 的函数解析式为y ＝kx +b ，{−k +b =04k +b =5，∴{k =1b =1，∴直线AB 的解析式为y ＝x +1， ∵AC +BC ≥AB ，∴当点A 、B 、C 三点共线时，AC +BC 的最小值为AB 的长，∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的对称轴为x ＝1，∴当x ＝1时，y ＝2，∴C （1，2），答案：（1，2）；（3）设D （a ，a 2﹣2a ﹣3），则E （a ，a +1），∴DE ＝（a +1）﹣（a 2﹣2a ﹣3）＝﹣a 2+3a +4（﹣1＜a ＜4），∴当a =32时，DE 的最大值为254；（4）当CF 为对角线时，如图，此时四边形CMFN 是正方形，∴N （1，1），当CF 为边时，若点F 在C 的上方，此时∠MFC ＝45°，∴MF ∥x 轴，∵△MCF 是等腰直角三角形，∴MF ＝CN ＝2，∴N （1，4），当点F 在点C 的下方时，如图，四边形CFNM 是正方形，同理可得N （﹣1，2），当点F 在点C 的下方时，如图，四边形CFMN 是正方形，同理可得N （12，52）， 综上：N （1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（12，52）．AC 延长线上一点．判断BF 与CE 能否相等．若能，求CF 的取值范围；若不能，说明理由．【解析】（1）①∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠DBC =12∠ABC ，同理∠ECB =12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB ，在△BCD 和△CBE 中，{∠ACB =∠ABCBC =CB ∠DBC =∠ECB，∴△BCD ≌△CBE （ASA ），∴BD ＝CE ；②∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵D 是AC 的中点，∴CD =12AC ，同理BE =12AB ，∴BE ＝CD ，在△BCD 和△CBE 中，{CD =BE∠ACB =∠ABC BC =CB，∴△BCD ≌△CBE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）添加条件：BE ＝CD （答案不唯一）．理由：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠ABC +∠EBC ＝∠ACB +∠BCD ＝180°，∴∠CBE ＝∠BCD ，在△BCD 和△CBE 中，{CD =BE∠BCD =∠CBE CB =BC ，∴△BCD ≌△CBE （SAS ），∴BD ＝CE ；（3）能．理由：如图3中，值AC 上取一点D ，使得BD ＝CE若BF ＝CE ，则BF ＝BD ，反之也成立．∵BD ＜AB ，∴BF ＜AB ，显然BD 越大，BF 就越大，CF 也越大，假设BF ＝AB ，∵∠A ＝36°，∴∠BF A ＝∠A ＝36°，∴∠ABF ＝180°﹣2×36°＝108°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°，∴∠BCF ＝180°﹣72°＝108°，∴∠BCF ＝∠ABF ，∵∠BCF ＝∠ABF ，∠BFC ＝∠AFB ，∴△BFC ∽△AFB ，∴BFAF =CFBF ，设CF ＝x ，∵AB ＝AC ＝2，∴BF ＝2，AF ＝2+x ，∴22+x =x2， 解得x =√5−1或−√5−1，经检验x =√5−1是分式方程的解，且符合题意，∴CF =√5−1，（2022·遵义中考）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D，∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为45°．拓展探究：（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2√2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【解析】（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆.答案：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆（2）∵∠1＝∠2，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，∴∠3＝∠4，∵∠3＝45°，∴∠4＝45°，答案：45°（3）①∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵点E 与点C 关于AD 的对称，∴AE ＝AC ，DE ＝DC ，∴∠AEC ＝∠ACE ，∠DEC ＝∠DCE ，∴∠AED ＝∠ACB ，∴∠AED ＝∠ABC ，∴A ，D ，B ，E 四点共圆；②AD •AF 的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接CF ，∵点E 与点C 关于AD 的对称，∴FE ＝FC ，∴∠FEC ＝∠FCE ，∴∠FED ＝∠FCD ，∵A ，D ，B ，E 四点共圆，∴∠FED ＝∠BAF ，∴∠BAF ＝∠FCD ，∴A ，B ，F ，C 四点共圆，∴∠AFB ＝∠ACB ＝∠ABC ，∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ABD ∽△AFB ，∴AD AB =AB AF ，∴AD •AF ＝AB 2＝8．（2022·牡丹江中考）在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，∠ABC ＝60°，P 是DF 的中点，连接PG 、PC ．（1）如图1，当点G 在BC 边上时，写出PG 与PC 的数量关系．（不必证明）（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC 、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，线段PC 、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．【解析】（1）PG =√3PC ；如图1，延长GP 交DC 于点E ，∵P 是DF 的中点，∴PD ＝PF ，∵△BGF 是正三角形，∴∠BGF ＝60°，∵∠ABC ＝60°，∴∠BGF ＝∠ABC ，∴AB ∥GF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴CD ∥GF ，∴∠CDP ＝∠PFG ，在△PED 和△PGF 中，{∠DPE =∠FPG DP =PF ∠CDP =∠PFG，∴△PED ≌△PGF （ASA ），∴PE ＝PG ，DE ＝FG ，∵△BGF 是正三角形，∴FG ＝BG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∴CE ＝CG ，∴CP 是EG 的垂直平分线，在Rt △CPG 中，∠PCG ＝60°，∴PG ＝tan ∠PCG •PC =√3PC ；（2）猜想：PG =√3PC ，证明如下：如图2，延长GP 交DA 于点E ，连接EC ，GC ，∵∠ABC ＝60°，△BGF 是等边三角形，∴GF ∥BC ∥AD ，∴∠EDP ＝∠GFP ，在△PED 和△PGF 中，{∠EDP =∠GFP DP =FP ∠DPE =∠FPG，∴△PED ≌△PGF （ASA ），∴PE ＝PG ，DE ＝FG ＝BG ，在△CDE 和△CBG 中，{CD =CB ∠CDE =∠CBG DE =BG，∴△CDE ≌△CBG （SAS ），∴CE ＝CG ，∠DCE ＝∠BCG ，∴∠ECG ＝∠DCB ＝120°，∵PE ＝PG ，∴CP ⊥PG ，∠PCG =12∠ECG ＝60°，∴PG ＝tan ∠PCG •PC =√3PC ；（3）猜想：PG =√3PC ，如图3，延长GP 到H ，使PH ＝PG ，连接CH ，CG ，DH ，过点F 作EF ∥DC ，∵P 是线段DF 的中点，∴FP ＝DP ，∴∠GPF ＝∠HPD ，∴△GFP ≌△HDP ，∴GF ＝HD ，∠GFP ＝∠HDP ，。