假设检验习题及答案

第8章 假设检验
一、填空题
1、 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设00:μμ=H ，那么
在显著性水平0.01下，必然接受0H 。

2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为α，则犯第一类错误的概率是α。

3、设总体),(N ~X 2σμ，样本n 21X ,X ,X ，2σ未知，则00:H μ=μ，01:H μ<μ的拒绝域为 )}1(/{0
--<-n t n S X αμ，其中显著性水平为α。

4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2σμ的简单随机样本，其中2,σμ未知，记
∑==n 1i i X n 1
X ，则假设0:H 0=μ的t 检验使用统计量=T Q
n n X )
1(- .
二、计算题
1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？
解：设重量),(~2σμN X 05.016==αn 4252==S X
(1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ，
因为2σ未知，在0H 成立下，)15(~/250
t n S X T -=
拒绝域为)}15(|{|025.0t T >，查表得1315.2)5(025.0=≠t
由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H
(2)检验假设9:20=σH 9:2
01>σH 因为μ未知，选统计量
20
2
2)1(σS n x -= 在0H 成立条件下，2x 服从)15(2x 分布，
拒绝域为)}15({205.02x x >，查表得996.24)15(2
05.0=x ， 现算得966.24667.26916
152>=⨯=x ？拒绝0H ，
综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常
2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25
件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=σ小时正态分布，
试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格.
解：设元件寿命),(~2σμN X ，2σ已知10002=σ，05.0,950,25===αX n
检验假设1000:0=μH 1000:1<μH
在2σ已知条件下，设统计量)1,0(~/1000N n X σμ-=
拒绝域为}{05.0μμ<，查表得645.195.005.0-=-=μμ 而645.15.2205025
/1001000950-<-=-=-=μ 拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格.
3. 对 显 著 水 平 α， 检 验假 设 H 0 ; μ = μ0， H 1 ; μ ≠ μ0， 问当 μ0， μ， α一 定 时 ， 增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 β 减 少 对 吗 ？并 说 明 理
由 。

答 ： ( 1 ) 对 。

( 2 ) 增 大 n ， 使 概 率 分 布 更 集 中 ， 使 H 1 的 拒 绝 域 及 H 0 的 接 受 域
均 变 小 ， 二 者 交 集 也 变 小 。

4、 甲 制 药 厂 进 行 有 关 麻 疹 疫 菌 效 果 的 研 究 ， 用 X 表 示 一 个 人
用 这 种 疫 菌 注 射 后 的 抗 体 强 度 。

假 定 X ~ N ( μ， σ2 ) 另 一 家 与
之 竞 争 的 乙 制 药 厂 生 产 的 同 种 疫 菌 的 平 均 抗 体 强 度 是 1.9 ，
若 甲 厂 为 证 实 其 产 菌 有 更 高 的 平 均 抗 体 问 ： ( 1 ) 如 何 提 出 零
假 设 和 配 择 假 设 ？ ( 2 ) 从 甲 厂 取 容 量 为 16 的 样 本 ， 测 得
x s ==22250268666
72.,. 检 验 ( 1 ) 的 假 设 。

α = 0.05。

( 已 知 t 0.95 ( 15 ) = 1.7531 )
解：( 1 ) H 0： μ = μ0 = 1.9； H 1 ： μ > μ0 = 1.9
( 2 ) t x s n =-=-=μ02225190268666716
25081.... 由 于 t = 2.5081 > 1.7531 ===== t 0.95 ( 15 ) = t 1-α( n -1 )
故拒绝H 0，即在α = 0.05下可以认为甲厂的产品有更高的平均抗体。

5、某 装 置 的 平 均 工 作 温 度 据 制 造 厂 讲 是 190。

C ， 今 从 一 个 由 16 台 装 置 构
成 的 随 机 样 本 得 出 的 工 作 温 度 平 均 值 和 标 准 差 分 别 为 195。

C 和 8。

C 。

这
些 数 据 是 否 提 供 了 充 分 证 据 ， 说 明 平 均 工 作 温 度 比 制 造 厂 讲 的 要 高 ？ 取 α = 0.05 ， 可 以 假 定 工 作 温 度 服 从 正 态 分 布 。

( 已 知 t 0.95 ( 15 ) = 1.7531 ) 解: 这 问 题 即 是 在 α = 0.05 下 ， 检 验
H 0： μ = μ0 =190； H 1： μ > μ0 =190 ( σ2 末 知 )
由 于 t = 2.5 > 1.7531 === t 0.95( 15 ) === t 1-α ( n -1 )
故拒绝H0，即认为该装置的平均工作温度高于190。

C。

6、测定某种溶液中的水份，由它的10 个测定值，算得.%
.0=
x设
=s
452
%
.0
037
,
测定值总体服从正态分布，能否认为该溶液含水量小于0.5% ？( α= 0.05 )，( 已知t0.95 ( 9 ) = 1.833 )
解: 这问题即是在( α = 0.05 ) 下，检验假设
H0：μ = μ0 = 0.5%；H1：μ < μ0 = 0.5%
由于t = -4.102 < -1.8331 == -t0.95( 9 ) = tα( n-1 )
故拒绝H 0即认为溶液的含水量小于0.5%
7、某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算得s = 9.5 kg ，问新产品的强力标准差是否有显著变化？(α=0.05，0.01 )
解：
要检验的假设为
H0：σ2 = σ02 = 7.52；H1：σ2 > σ02 = 7.52
在α = 0.05 时，x 2 =38.51 > 36.415 == x0.952 ( 24 ) = x1-α2 ( n- 1 )
故在α = 0.05 时，拒绝H0认为新产品的强力的差较原来的有
显著增大。

当α = 0.01 时，χ2 =38.51 < 42.98 == χ0.992 ( 24 ) = χ1-α2 ( n- 1 )
故在α = 0.01 下接受H0，认为新产品的强力的标准差与原来的无
显著差异。

注：H1：σ2 > σ02 = 7.52 改为H1：σ2≠σ02 = 7.52 也可。