排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） 例1、由0,,,2,3, 4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有 C 3种组合；然后排首位，从 2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有 C 4种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有 A 种排列。

由分步计数原理得 C 3C 1A 3= 288 O变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几 个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

共有不同排法种数为:A气=840OA ；（空位法）设想有 7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A ；种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有1种坐法。

总共有 A 4 =840种排法。

思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以） （插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有就坐，共有A 4种坐法。

总共有 C ^A4=840种排法。

变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。

若排成一排，则只有一种排法； 现排成前后两排，因此共有 C 1o =252种排法。

分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有 分步计数原理得 疋A5 =1440 O二、 相邻问题捆绑法 例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一 个复合元素， 再与其它元素 进行排列，同时 在两对 相邻元素 内部进行自排 。

由分步 计数原理得 A5A 2A 2 =480O变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为分析：命中的三枪捆绑成一枪，三、 相离问题插空法 例3、一个晚会节目有4个舞蹈， 分析：相离问题即不相邻问题。

A 种排列，再种其它葵花有 A 种排列。

由与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有A 种排列。

舞蹈插入第一步排好后形成的A 5A 4 =43200O 变式3、某班新年联欢会原定的2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？ 分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有 A'种排列，第二步将4个6个空位中（包含首尾两个空位）共有A 4种排列，由分步计数原理得分析：将2个新节目插入原定 由分步计数原理得 A2=30O四、定序问题除序（去重复） 例4、7人排队，其中甲、乙、丙5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节 那么不同插法的种数为 _______________________ o 5个节目排好后形成的 6个空位中（包含首尾两个空位）共有 A 种排列,、空位、插入法3人顺序一定，共有多少种不同的排法?C ；种选法；余下四个空座位让其余四人五、平均分组问题倍除法（去重复法） 例5、6本不同的书平均分成 3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？分析：分三步取书有 C ；C 2C ；种分法，但存在重复计数。

记 6本书为ABCDEF ，若第一步取 AB ， 第二步取CD ，第三步取EF ，该分法记为（AB, CD ，EF ），则在cfcfc ；中还有（AB, CD ，EF 卜 （AB , CD ，EF 卜（AB ，CD ，EF 卜（AB , CD ，EF 卜（AB ，CD ，EF ）共 A 种分法，而这些分C 2C 2C 2法仅是（AB, CD , EF ）一种分法。

总共应有3 2种分法。

平均分成的组，不管它们的顺序如何，都A是一种情况，分组后一定要除以 A n （ n 为均分的组数），避免重复计数。

变式5①、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？分析：分三步。

第一步取5个队为一组，有C ；3种分法；余下8个队平均分成两组，每组4个队，有C ；C ： 种分法，但存在重复计数。

记 8个队为ABCDEFGH ，若第二步取 ABCD ，第三步取EFGH ，该分法 记为（ABCD ,EFGH ），则在C ；C ：中还有（EFGH , ABCD ）共A 种分法，而这 A 种分法是同一种分 法。

总共应有G ；“G C 4种分法。

A变式5②、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不 同的分组方法？分析：㈠总的分组方法：分三步。

第一步取4人为一组，有Cw 种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有CC 种分法，但存在重复计数。

记6个人为ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF , 该分法记为（ABC , DEF ），则在CC 中还有（DEF , ABC ）共A 种分法，C 3C 3法。

总共应有 Go '^7^=2100种分法。

A㈡正、副班长同分在 4人一组：分三步。

第一步在 8人中取2人，组，有G2种分法；余下6个人平均分成两组，每组 3个人，有C 3C3种分法， 为ABCDEF ，若第二步取 ABC ，第三步取 DEF ，该分法记为 （ABC ,（DEF , ABC 共 A 种分法，而这 A 种分法是同一种分法。

总共应有㈢正、副班长同分在 3人一组：分三步。

第一步在 8人中取4人，有C ；种分法；第二步在余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。

总共应有e 'e 3㈠减㈡减㈢得：总共有Cw'—A 广 变式5③、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入 4名学生，排2名，则不同的安排种数为 ______________ 。

分析：分三步。

前两步将转入的 4名学生平均分成两组，每组 复计数。

记4名学生为ABCD ，若第一步取 AB ，第二步取CD ,还有（CD , AB ）共A 种分法，而这A 种分法是同一种分法。

第三步将分成的两组分配到而这A 种分法是同一种分加上正、副班长共 4人为一 但存在重复计数。

记 6个人DEF ），则在CeC ：中还有CC ： = 280种分法。

ACl 的4人中取3人，有C ；种分法；第三步余下eg ： =280种分法。

C 3C 3 -C ；-C ；C ： =2100-280-280 = 1540种分法。

A 要安排到该年级的两个班级且每班安2名学生，有CC 种分法，但存在重该分法记为（AB , CD ），则在C ：C ；中A2 2种分法。

总共应有C^ •A f =90种分法。

A2六、元素相同问题隔板法例6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？分析：隔板法也就是档板法。

分两步。

第一步：每班分配 3个名额分配给7个班。

取7-1=6块相同隔板，连同3个相同名额排成一排，共 在9个位置中任取6个位置排上隔板，有 C ：种排法。

每一种插板方法对应一种分法， 共有c 9 =84种分法。

变式6①、10个相同的球装入5个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？分析：分两步。

第一步：每盒先装入1个球，只有1种装法；第二步：将剩下的取5-1=4块相同隔板，连同 5个相同的球排成一排，共 9个位置。

由隔板法知，在 位置排上隔板，有C ；种排法。

每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知， 变式6②、x + y +z + w=100 ,求这个方程的自然数解的组数。

分析：取4-1=3块相同隔板，连同100个相同的1排成一排，共103个位置。

由隔板法知，在103个 位置中任取3个位置排上隔板，有 G 303种排法。

每一种插板方法对应一组数，共有G 'OS =176851组数。

七、 正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，贝U 用间接法）例7、从01,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中取出三个，使其和为不小于 10的偶数，不同的取法有多少种？分析：直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。

十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数字含有3个偶数的取法有 d ，只含有1个偶数的取法有c 5c|，和为偶数的取法共有 c 5c|+c 3。

淘 汰和小于10的偶数共9种（0+2+4卜（0+2+6卜（0+1+3卜（0 + 1 + 5卜（0 + 1 + 7卜（0 + 1 +9卜 1 2 3（2+1+3卜（2+1+5》（4 + 1+3），符合条件的取法共有 C s Cs+G —9。

变式7、一个班有43名同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种？分析：未抽到正、畐U 班长、团支部书记的抽法有 C 4O种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有C ：3 -C ：o 种。

八、 重排问题求幕法例8、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有 76种不同的分法。

变式8①、某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新 节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 _______________________ 。

分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定 5个节目排后形成的六个空中，有 6种插法；把 第二个新节目插入前面 6个节目排后形成的七个空中，有 7种插法。

由分步计数原理共有 6^7 = 42种不 同的插法。

变式8②、某8层大楼一楼电梯上来 8名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有 7种下法，第二名乘客下电梯也有 7种下法，依此类推，由分步计数原理共有 78种不同的下法。

九、 环（圆）排问题直排法① 环形排列问题：如果在圆周上 m 个不同的位置编上不同的号码， 个不同的元素排在圆周上不同的位置， 这种排列和直线排列是相同的； 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变， 线排列是不同的，这就是环形排列的问题。

② 环形排列数：一个m 个元素的环形排列，相当于一个有 m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着 设从n 个元素中取出 m 个元素组成的环形排列数为 N ③环形排列数公式:1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的9个位置。

由隔板法知, 由分步计数原理知， 5个球装入5个盒中。

9个位置中任取4个共有Cg =126种装法。