计算力学习题(第三章)

图2 试建立以 u x1 , u y1 , u x 2 (与图中 Px 2 同向的位移)及 Px1 , Py1 , Px 2 来表示的刚度矩阵方程。
, , ,
3 某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三 角形单元建立有限元计算模型，其如图 3 所示。 试求结点 2 的等效荷载列阵 R2 。
4 试求如图 4 所示的有限元网格的整体刚度矩 阵，假设每个节点的自由度数为 1，且设 K e 表示
第三章 一 简述题
1 如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施 加的力，从而得出相应的刚度系数。其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚 度矩阵， 是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得 的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？
2 以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。 3 请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。 4 简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。 5 试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。 6 如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为 ，证明单元内 所有的应力均为零。 7 二维单元在 x,y 坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转 时又怎样？试证明之。 8 试述位移函数构造原则？并阐述其收敛准则？
二 分析计算题
1 判断有限元网格离散合理性 a) 对图 1(a)所示的有限元网格， 评论网格的优劣性， 指出模型中的错误， 并加以改正。 b) 评论图 1(b)的网格划分合理吗?为什么?请加以改正。
图1 2 如图 2 所示，平面三角形构件以 x-y 坐标系表示的刚度矩阵方程如下：
1
10 2.5 1.83 2.5 u x1 Px1 v P 2.5 5.0 2.5 4 1.83 y1 y1 10 2.5 4.5 2.5 2.5 u x 2 Px 2 v y 2 Py 2 2.5 2.5 2.5 2.5
图5
源自文库
0 3 0 0 0 －3 0 －3 0 －1 S =0 4 2 0 1.5 - 1.5 - 0.5 1.5
①
按图 5 示单元②的局部编码写出 K②，S②。 5 如图 6 所示 8 结点矩形单元(每边中点为结点), 3 点为坐 标原点，a=b=2，单元厚为 t。 1 求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收 ○ 敛性条件。 2 求在 2-6-3 边作用均布水平荷载 q 时的等效结点荷载。 ○
y
a
2
5
1
3
7
4
b
q
6
8
x
图6
3
e 第 e 个单元的单元刚度矩阵 （注意： 结果应该用 kij
图3
表示） 。
2
图4
5. 图 5 中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码 i ，j ，m 的单元 刚度矩阵 K①和应力矩阵 S①是
2 6 8 0 6 6 16 6 12 6 4 13.5 9 7.5 3 K①= 13.5 3 1.5 对 9.5 3 称 5 . 5