3静力学第三章习题答案
静力学习题及答案
04
平面任意力系
平面任意力系简化及结果分析
主矢和主矩的概念及计算 简化结果的判断方法
简化中心的选取原则
举例分析平面任意力系的 简化过程
平面任意力系平衡条件及方程
平面任意力系平衡的必要与 充分条件
平衡方程的应用举例
平衡方程的建立及求解方法
特殊情况下平衡方程的应用
平面任意力系平衡问题解法举例
01
力偶性质
力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡；力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力 偶矩，且与矩心位置无关；在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等 效。
平面力偶系合成与平衡条件
平面力偶系合成
若干个在同一平面内的力偶组成平面力偶系，可依次用矢量合成的方法求出各力偶的合力偶矩，再求 出这些合力偶矩的矢量和。
80%
解法一
几何法。通过作力多边形或力三 角形，利用几何关系求解未知力 。
100%
解法二
解析法。根据平衡方程列出方程 组，通过求解方程组得到未知量 。
80%
解法三
图解法。在图上按比例作出各力 的图示，利用平行四边形法则或 三角形法则求解未知力。
03
平面力偶系
力偶及其性质
力偶定义
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
力的单位
在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。
静力学公理及其推论
01
02
静力学公理：作用于刚体 的两个力，使刚体保持平 衡的必要和充分条件是： 这两个力大小相等、方向 相反，且作用在同一直线 上。
静力学公理的推论
03
04
05
二力平衡条件：作用在刚 体上的两个力平衡的必要 和充分条件是：这两个力 的大小相等、方向相反， 且作用在同一直线上。
工程力学第3章 静力学平衡问题答案
第 3 章 静力学平衡问题3－1 图 a 、b 、c 所示结构中的折杆 AB 以 3 种不同的方式支承。
假设 3 种情形下，作用在折杆 AB 上的力偶的位置和方向都相同，力偶矩数值均为 M 。
试求 3 种情形下支承处的 约束力。
习题 3－1 图BB习题 3－1a 解图习题 3－1b 解图BD习题 3－1c 解 1 图习题 3－1c 解 2 图)解：由习题 3－1a 解图M F A = F B = 2l由习题 3－1b 解图MF A = F B = l将习题 3－1c 解 1 图改画成习题 3－1c 解 2 图，则MF A = F BD =l∴ F B M= F BD = l，F D =2 M2 F BD =l3－2 图示的结构中，各构件的自重都略去不计。
在构件 AB 上作用一力偶，其力偶矩 数 值 M ＝800 N·m 。
试求支承 A 和 C 处的约束力。
FCAB '习题 3－2 图习题 3－2 解 1 图习题 3－2 解 2 图解：BC 为二力构件，其受力图如习题 3－2 解 1 图所示。
考虑 AB 平衡，由习题 3－2 解图，A 、B 二处的形成力偶与外加力偶平衡。
F = F ′ = M = 800 = 269.4 N A BBD 1.2 × 1.83－3 图示的提升机构中，物体放在小台车 C 上，小台车上装有 A 、B 轮，可沿垂导轨 ED 上下运动。
已知物体重 2 kN 。
试求导轨对 A 、B 轮的约束力。
F A F B习题 3－3 图解：W = 2kN ，T = W ΣF x = 0， F A = F B习题 3－3 解图ΣM i = 0， W × 300 − F A × 800 = 0 ，方向如图示。
F = 3 W = 0.75kN A 8，F B = 0.75 kN ，3－4 结构的受力和尺寸如图所示，求：结构中杆 1、2、3 杆所受的力。
3静力学第三章习题答案
第三章部分习题解答3-10 AB,AC和DE三杆连接如图所示。
杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。
试求在水平杆DE的一端有一铅垂力F作用时，杆AB所受的力。
杆重不计。
解：假设杆AB，DE长为2a。
取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：5：Me =0 F By "2a = 0FBy取杆DE为研究对象,2 M B =0取杆AB为研究对象，Fy"M B =03-12 AB, AC, AD 和F By =0受力如图所示,F Dy "a - FF D X‘a—F受力如图所示,F A^F Dy列平衡方程:I F FB X45Jr[FcyJ .. Fcxa = 0 F py = F•2a =0 F DX=2F列平衡方程:F DX D* FDy+ FBy =0F Ay = -F （与假设方向相反F D X £+F BX •羽=0F B X = -F （与假设方向相反"F AX”2a-F DX£ = 0F AX = -F （与假设方向相反BC四杆连接如图所示。
在水平杆AB上作用有铅垂向下的力F。
接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆AC总是受到大小等于F的压力。
解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Z Me =0 F D b-F x=0F-；F设AD = DB, DH = HE,BC = DE，3-20如图所示结构由横梁 AB, BC 和三根支承杆组成, 束力及杆1，2，3所受的力。
解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。
选梁BC 为研究对象，受力如图所示。
其中均布载荷可以向梁的中点 简化为一个集中力， 大小为2qa ,作用在BC 杆中点。
列平 衡方程：取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:Z MA =0 FB b — F ”x = 0F^-F b 杆AB 为二力杆，假设其受压。
取杆 AB 和AD 构成 的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 送 M E =0（F B +F D ）卫 +F ・（b —X ）-F AC P =0 2 2 2 解得FAC = F ,命题得证。
工程力学(静力学答案)
精品文档，放心下载，放心阅读第一章习题下列习题中，凡未标出自重的物体，质量不计。
接触处都不计摩擦。
1-1 试分别画出下列各物体的受力图。
精品文档，超值下载1-2 试分别画出下列各物体系统中的每个物体的受力图。
1-3 试分别画出整个系统以及杆BD ，AD ，AB（带滑轮 C，重物 E 和一段绳索）的受力图。
1-4 构架如图所示，试分别画出杆HED ，杆 BDC 及杆 AEC 的受力图。
1-5 构架如图所示，试分别画出杆BDH ，杆 AB ，销钉 A 及整个系统的受力图。
1-6 构架如图所示，试分别画出杆AEB ，销钉 A 及整个系统的受力图。
1-7 构架如图所示，试分别画出杆AEB ，销钉 C，销钉 A 及整个系统的受力图。
1-8 结构如图所示，力 P 作用在销钉 C 上，试分别画出 AC ，BCE 及 DEH 部分的受力图。
参考答案1-1 解：1-2 解：1-3 解：1-4 解：1-5 解：1-6 解：1-7 解：1-8 解：第二章 习题参考答案2-1 解：由解析法， F RX X P 2 cos P 3 80NF RYY P 1 P 2 sin 140NF R F 2 F 2 161.2N故： RX RY(F R , P 1) arccos F RY 29 44F R2-2 解：即求此力系的合力，沿OB建立 x 坐标，由解析法，有F RX X P1 cos45 P2P3 cos453KNF RY Y P1 sin45 P3 sin 450故：F R F RX2F RY23KN 方向沿OB。
2-3 解：所有杆件均为二力杆件，受力沿直杆轴线。
（a）由平衡方程有：X 0 F AC sin 30F AB0Y 0 F AC cos30W0联立上二式，解得：F AB0.577W （拉力）FAC 1.155W（压力）（b）由平衡方程有：X 0 F AC F AB cos700Y 0 F AB sin 70W0联立上二式，解得：FAB 1.064W（拉力）F AC0.364W （压力）（c）由平衡方程有：X 0 F AC cos60F AB cos300Y 0 F AB sin 30F AC sin 60 W0联立上二式，解得：FAB 0.5W(拉力)FAC 0.866W（压力）（d）由平衡方程有：X 0 F AB sin 30F AC sin 300Y 0 F AB cos30F AC cos30 W0联立上二式，解得：FAB 0.577W(拉力)FAC 0.577W(拉力)2-4 解：（ a）受力分析如图所示：x 0 F RA4P cos 45 0 42由22F RA15.8 KNF RA2F RB P sin 45 042由Y 022F RB7.1KN(b)解：受力分析如图所示：由x 0 F RA 3F RB cos45 P cos45 0 10FRA 1F RB sin 45 P sin 45 0Y 010联立上二式，得：F RA22.4KNF RB10KN2-5 解：几何法：系统受力如图所示三力汇交于点 D，其封闭的力三角形如图示所以：FRA5KN（压力）F RB 5KN（与X轴正向夹150度）2-6 解：受力如图所示：已知， F R G1，F AC G2x 0F r 0由F AC coscos G1 G2由Y 0 F AC sinF N W 0F N W G2 sin W G22G122-7 解：受力分析如图所示，取左半部分为研究对象x 0由P F RA cos 45 F CB cos45 0 Y 0 F CB sin 45F RA sin 450联立后，解得：FRA0.707 PF RB0.707 P由二力平衡定理FRBFCBFCB0.707 P2-8 解：杆 AB，AC均为二力杆，取 A 点平衡x 0由F AC cos 60 F AB cos30 W 0Y 0 F AB sin 30F AC sin 60 W0联立上二式，解得：F AB7.32KN （受压）FAC 27.3KN（受压）2-9 解：各处全为柔索约束，故反力全为拉力，以D， B 点分别列平衡方程（1）取 D 点，列平衡方程x 0T DB sinW cos0由T DB Wctg0（2）取 B 点列平衡方程由Y 0 T sinT BD cos0T T BD ctg Wctg 230KN 2-10 解：取 B 为研究对象：FBC由Y 0 F BC sinP 0Psin取 C 为研究对象：x 0F DC sin F CE sin0由F BC cos由Y 0F BC sin F DC cos F CE cos0联立上二式，且有FBCFBC解得：P cos1 FCEsin2cos2取 E 为研究对象：由 Y 0 F NH F CE cos0F CE F CE 故有：F NH P cos 1 P2 sin 2 cos cos22sin 2-11 解：取 A 点平衡：x 0F AB sin 75 F AD sin 75 0Y 0 F AB cos75 F AD cos75 P 0PF AD F AB联立后可得： 2cos 75取 D 点平衡，取如图坐标系：x 0F AD cos5 F ND cos80 0cos5F ND F ADcos80由对称性及F AD F ADF N2F ND2 cos5FAD2 cos5P166.2KNcos80cos802cos 75 2-12 解：整体受力交于O点，列 O点平衡x 0由F RA cosF DC P cos30 0Y 0 F RA sin P sin 300联立上二式得：F RA 2.92 KNFDC 1.33KN（压力）列 C点平衡4x0FDC FAC53Y0FBCFAC5联立上二式得：FAC1.67KN（拉力）F BC 1.0KN （压力）2-13 解：（1）取 DEH部分，对 H点列平衡x 0 F RD 2F RE 0 5Y0FRD1Q 05联立方程后解得：FRD5QF RE2Q（2）取 ABCE部分，对 C 点列平衡x0F RE F RA cos 450Y 0 F RB F RA sin 45 P0且F RE F RE联立上面各式得：FRA2 2QF RB 2Q P（3）取 BCE 部分。
第三章流体静力学(流体的平衡)
1.流体的平衡：绝对平衡、相对平衡 2.流体平衡时的压强 3.流体平衡的条件 3.1.平衡的微分方程 ∂ p dx ∂ p dx −∂ p dydz − p dydz = dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x 表面力： −∇ p dxdydz d 体积力： f b =∇ p 绝对平衡方程： f x 方向表面力： p −
∫ gy sin dA= g sin ∫ y dA= g y c sin A= P c A
A A
设压力中心坐标为
x D , y D = x C f , y C e ,其中 f 和 e 称为纵向和横向偏心矩。
则总合力对形心坐标轴的力矩：
F e =∫ dF = g sin ∫ y dA F f =∫ dF = g sin ∫ y dA∇ p d r =0
d 考虑到绝对平衡方程，得出等压面的微分方程： f b r = 0 ，即在等压面上体力处处与等压面 垂直。
3.3.流体平衡的必要条件
b =∇× 由绝对平衡方程得 ∇× f 1 −1 ∇ p = 2 ∇ ×∇ p
−1 ∇ p⋅∇ ×∇ p =0 3 ⋅∇ × f =0 流体平衡的必要条件 f b b b⋅∇ × f b = 于是 f
均质流体 =constant
≡0 ∇× f b
−∇ =
1 ∇p
=
−p
非均质流体：正压流体 = p ，如等温或绝热气体 定义压力函数 P p ： ∇ P =
=∇ P 由绝对平衡方程得， f b 4.流体静力学基本方程（静力学规律）
由 P =− gz C 得
∇p p ≡0 ，故 f 有势，势函数 =− P p ∇× f b b
静力学练习题及参考答案
静力学练习题及参考答案1. 问题描述：一根长度为L的均质杆以一端固定在墙上，另一端悬挂一重物。
重物造成的杆的弯曲应力最大为σ。
杆的质量可以忽略不计。
计算重物的质量m。
解答：根据静力学原理，杆的弯曲应力可以用公式计算：σ = M / S，其中M是杆的弯矩，S是杆的截面横截面积。
因为杆是均质杆，所以它的截面横截面积在整个杆上都是相等的。
设杆的截面横截面积为A。
杆的弯矩M可以通过杆的长度L和重物的力矩T计算得到：M = T * (L/2)。
代入上面的公式，我们可以得到：σ = (T * (L/2)) / A。
根据题目的描述，我们可以得到如下等式：σ = (m * g * (L/2)) / A，其中g是重力加速度。
我们可以将这个等式转换成求解未知质量m的方程。
将等式两边的A乘以m，并将等式两边的m乘以g，我们可以得到如下方程：m^2 = (2 * σ * A) / (g * L)解这个方程，我们可以求得未知质量m。
2. 问题描述：一根均质杆的长度为L，质量为M。
杆的一端固定在墙上，另一端悬挂一重物。
杆与地面的夹角为θ。
重物造成的杆的弯曲应力最大为σ。
求重物的质量m。
解答：在这个问题中，除了重物的力矩，还需要考虑到重力对杆的力矩。
由于杆是均质杆，其质量可以均匀分布在整个杆上。
假设杆上的每个微小质量元都受到与其距离一致的力矩。
重物造成的力矩可以用公式计算：M1 = m * g * (L/2) * sinθ，其中g 是重力加速度。
由于杆是均质杆，它的质心位于杆的中点。
因此重力对杆的力矩可以用公式计算：M2 = M * g * (L/2) * cosθ。
根据静力学的原理，杆的弯曲应力可以用公式计算：σ = M / S，其中M是杆的弯矩，S是杆的截面横截面积。
在这个问题中，我们可以将弯曲应力的计算公式推广到杆的中点（也就是质心）：σ = (M1 + M2) / S代入上面的公式，我们可以得到：σ = ((m * g * (L/2) * sinθ) + (M *g * (L/2) * cosθ)) / S根据题目的描述，我们可以得到如下等式：σ = ((m * g * (L/2) * sinθ) + (M * g * (L/2) * cosθ)) / (A / 2)，其中A是杆的横截面积。
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第3章 力系的平衡
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第3章 力系的平衡3－1 试求图示两外伸梁的约束反力FRA 、FRB ，其中（a ）M = 60kN ·m ，FP = 20 kN ；（b ）FP = 10 kN ，FP1 = 20 kN ，q = 20kN/m ，d = 0.8m 。
知识点：固定铰支座、辊轴支座、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答：图（a-1） 0=∑x F ，FAx = 00=∑A M ，05.34R P =⨯+⨯--B F F M 05.342060R =⨯+⨯--B F FRB = 40 kN （↑）=∑y F ，0P R =-+F F F B Ay20-=Ay F kN （↓）图（b-1），M = FPd 0=∑A M ，03221P R P =⋅-⋅++⋅d F d F d F dqd B即 032211P R P =-++F F F qd B 02032108.02021R =⨯-++⨯⨯B FFRB = 21 kN （↑）=∑y F ，FRA = 15 kN （↑）3－2 直角折杆所受载荷，约束及尺寸均如图示。
试求A 处全部约束力。
A MB Ay F B R F CAx F PF(a) M A B B R F A R F P 1F C qdBD(b)（a ）（b ） 习题3－1图FMB习题3－3图sF W A F ABF BF AN F(a)知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答： 图（a ）： 0=∑x F ，0=Ax F=∑y F ，=Ay F （↑）0=∑A M ，0=-+Fd M M AM Fd M A -=3－3 图示拖车重W = 20kN ，汽车对它的牵引力FS = 10 kN 。
试求拖车匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力。
知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般解答： 图（a ）：0)(=∑F A M 08.214.1NB S =⨯+⨯-⨯-F F W6.13NB =F kN=∑y F ，4.6NA =F kN3－4 图示起重机ABC 具有铅垂转动轴AB ，起重机重W = 3.5kN ，重心在D 。
理论力学3
第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
Theoretical Mechanics
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第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
例3-1 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力 F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。
解：画受力图
m A F 0 FNB 4 q 4 2 m F sin 6 0
m = 0
三力平衡汇交定理 刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线 必共面，且汇交于一点。
Theoretical Mechanics
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第3章 力系的平衡
3.1.5 静定问题与超静定问题
3.1 主要内容
•物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连 接而成的系统 。 •静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好 等于它的独立的平衡方程的数目。
M y F 0
Fx 0, Fy 0, Fz 0
结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及 各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。
Theoretical Mechanics
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第3章 力系的平衡
1. 空间汇交力系 如果使坐标轴的原点与各力的汇交点重合，则有 Mx≡My≡Mz≡0，即空间汇交力系平衡方程为
F
F
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD
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第3章 力系的平衡
解：几何法
F
3.4 例 题 分 析
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD FA
作力多边形，求未知量
选力比例尺F=5 kN/cm作封
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第三章 部分习题解答3-10 AB ,AC 和DE 三杆连接如图所示。
杆DE 上有一插销H 套在杆AC 的导槽内。
试求在水平杆DE 的一端有一铅垂力F 作用时，杆AB 所受的力。
设DE BC HE DH DB AD ===,,，杆重不计。
解：假设杆AB ，DE 长为2a 。
取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：∑=0C M02=⋅a F By0=By F取杆DE 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0HM0=⋅-⋅a F a F DyF F Dy =∑=0B M 02=⋅-⋅a F a F DxF F Dx 2=取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0y F0=++By Dy Ay F F FF F Ay -=(与假设方向相反)∑=0A M02=⋅+⋅a F a F Bx DxF F Bx -=(与假设方向相反) ∑=0B M02=⋅-⋅-a F a F Dx AxF F Ax -=(与假设方向相反)3-12AD AC AB ,,和BC 四杆连接如图所示。
在水平杆AB 上作用有铅垂向下的力F 。
接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F 的位置如何，杆AC 总是受到大小等于F 的压力。
解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0C M0=⋅-⋅x F b F DF bx F D =F CF C yF DF CxF CyF BxF ByF DxF DyF HyF BxF ByF DyF DxF Ax F Ay取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0A M0=⋅-⋅x F b F BF bx F B =杆AB 为二力杆，假设其受压。
取杆AB 和AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0E M02)2(2)(=⋅--⋅+⋅+bF x b F b F F AC D B解得F F AC =，命题得证。
注意：销钉A 和C 联接三个物体。
3-14两块相同的长方板由铰链C 彼此相连接，且由铰链A 及B 固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M 的力偶。
如b a >，忽略板重，试求铰链支座A 及B 的约束力。
解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：∑=0A M0)(=+-M M F M B A即B F 必过A 点，同理可得A F 必过B 点。
也就是A F 和B F 是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。
取板AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0C M045cos 45sin 00=-⋅-⋅M b F a F A A解得：ba MF A -=2(方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁BC AB ,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。
试求A 处的约束力及杆1，2，3所受的力。
解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。
选梁BC 为研究对象，受力如图所示。
其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa ，作用在BC 杆中点。
列平衡方程：F ABxF AByF BF Ex F EyF ACF BF AF BF CxF Cy F BxF By F 3∑=0B M0245sin 03=-⋅-⋅M a qa a F )2(23qa aMF +=(受压) 选支撑杆销钉D 为研究对象，受力如右图所示。
列平衡方程：∑=0x F045cos 031=-F Fqa aMF 21+=(受压) ∑=0y F045sin 032=--F F)2(2qa aMF +-=(受拉)选梁AB 和BC 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0x F 045cos 03=+F F Ax)2(qa aMF Ax +-=(与假设方向相反) ∑=0y F0445sin 032=--++qa P F F F Ayqa P F Ay 4+=∑=0A M0345sin 242032=-⋅+⋅-⋅-⋅+M a F a qa a P a F M AM Pa qa M A -+=242(逆时针)3-21二层三铰拱由DG BC AB ,,和EG 四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。
试求支座B A ,的约束力。
解：选整体为研究对象，受力如右图所示。
列平衡方程：∑=0A M 022=⋅-⋅a F a F By F F By =∑=0B M 022=⋅-⋅-a F a F Ay F F Ay -=∑=0x F0=++F F F Bx Ax(1)由题可知杆DG 为二力杆，选GE 为研究对象，作用于其上的力汇交于点G ，受力如图所示，画出力的F AxF AyF BxF ByDF 3F 2F 1xyF Ax F Ay F 3 F 2M A三角形，由几何关系可得：F F E 22=。
取CEB 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0C M045sin 0=⋅-⋅+⋅a F a F a F E By Bx2F F Bx -= 代入公式(1)可得：2F F Ax -=3-24均质杆AB 可绕水平轴A 转动，并搁在半径为r 的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC 拉在销钉A 上，杆重16N ，r AC r AB 2,3==。
试求绳的拉力和杆AB 对销钉A 的作用力。
解：取杆AB 为研究对象，设杆重为P ，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0A M060cos 23301=⋅-⋅rP r N )(93.61N N = ∑=0x F 060sin 01=-N F Ax)(6N F Ax =∑=0y F060cos 01=-+P N F Ay)(5.12N F Ay =取圆柱C 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0x F030cos 30cos 001=-T N)(93.6N T =注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A 处的约束力不是杆AB 对销钉的作用力。
3-27均质杆AB 和BC 完全相同，A 和B 为铰链连接，C 端靠在粗糙的墙上，如图所示。
设静摩擦因数353.0=s f 。
试求平衡时θ角的范围。
F EF G F EF G F F EF BxF ByF CxF CyP F AxF AyN 1 N 2 N 1T解：取整体为研究对象，设杆长为L ，重为P ，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0A M 0cos 22sin 2=⋅-⋅θθLP L F N θtan 2P F N =(1)取杆BC 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0B M0cos cos 2sin =⋅-⋅+⋅θθθL F LP L F s NP F S =(2)补充方程：N s s F f F ⋅≤，将(1)式和(2)式代入有：2tan s f ≤θ，即010≤θ。
3-29不计重量的杆AB 搁在一圆柱上，一端A 用铰链固定，一端B 作用一与杆相垂直的力F ，如图所示。
试：（1） 不计圆柱重量，求证各接触面的摩擦角大于2α时，不论F 多大，圆柱不会被挤出，而处于自锁状态。
（2） 设圆柱重为P ，则圆柱自锁条件为：ααcos 1sin +≥SC f)cos 1)((sin αα++≥Pa Fl Fl f SD证明：（1）不计圆柱重量法1： 取圆柱为研究对象，圆柱在C 点和D 点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力2α F RD F RC 2αF NDF SDo F Ax F Ay F AxF AyF NF sPPF BxF ByF NF sPRD RC F F ,来表示，如图所示。
如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则RD RC F F ,等值，反向，共线。
由几何关系可知，RD RC F F ,与接触点C ，D 处法线方向的夹角都是2α，因此只要接触面的摩擦角大于2α，不论F 多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。
法2（解析法）：首先取整体为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0A M 0=⋅-⋅l F a F NDF al F ND =再取杆AB 为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：∑=0A M0=⋅-⋅l F a F NCND NC F F alF ==取圆柱为研究对象，受力如图所示。
假设圆柱半径为R ，列平衡方程：∑=0O M 0=⋅-⋅R F R F SD SC SD SC F F =∑=0x F0cos sin =--SD SC NC F F F ααND NC SD SC F F F F ααααcos 1sin cos 1sin +=+==由补充方程：ND SD SD NC SC SC F f F F f F ⋅≤⋅≤,，可得如果：2tan ,2tan cos 1sin αααα≥=+≥SD SC f fF NC F SC F NC F SC F NDF SD则不论F 多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。
证明：（2）圆柱重量P 时取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P ，C 点和D 点处的全约束力RD RC F F ,。
如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D 点（如图所示）。
全约束力RC F 与C 点处法线方向的夹角仍为2α，因此如果圆柱自锁在C 点必须满足： 2tan cos 1sin ααα=+≥SC f(1)该结果与不计圆柱重量时相同。
只满足(1)式时C 点无相对滑动，但在D 点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。
再选杆AB 为研究对象，对A 点取矩可得F a lF NC =，由几何关系可得： F alF SC ⋅=2tanα2cosα⋅=a FlF RC (2)法1（几何法）：圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。
由几何关系可知：ϕαϕsin )]2180(180sin[00RC F P=--- 将(2)式代入可得：)cos 1)((sin tan ααϕ++=Fl Pa Fl因此如果圆柱自锁在D 点必须满足：)cos 1)((sin tan ααϕ++=≥Fl Pa Fl f SD(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。
法2（解析法）：取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Pφ2α F RD F RC Pφ F RDF RC 2αF NC F SC∑=0x F0cos sin =--SD SC NC F F F αα∑=0y F0cos sin =---ααNC SC ND F F P F解得：F alF F SD SC ⋅==2tanα， )2tan sin (cos ααα⋅++=a Fl P F ND代入补充方程：ND SD SD F f F ⋅≤，可得如果圆柱自锁在D 点必须满足：)cos 1)((sin tan ααϕ++=≥Fl Pa Fl f SD(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。