2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年重庆市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）

2

3．（5分）（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）

+

，而且﹣

=

4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）

5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

B

V==200

6．（5分）（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+

7．（5分）（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，

5 1 2

=5

8．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）

B﹣

=

=

10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）

，]，，

，得，则

|，∴

知

|，∴||

二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．

11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．

=

故答案为：

12．（5分）（2013•重庆）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．

，

13．（5分）（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．

14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC 的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．

，∴

15．（5分）（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．

化成直角坐标方程，再代入曲线

16．（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

+

．

=

=

+6ln2

18．（13分）（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．

的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红

=

=

=

﹣=

19．（13分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．

（1）求PA的长；

（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

，从而得到2

得，，，=，

=，）和=，﹣

的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、

=1

=，

（，

）=）

=，

•z=2

=2；

）知（﹣=（=，

的法向量为的法向量为

••，取得

同理，由•且•，解出=，﹣

、的夹角余弦值为，＞

=

=

20．（12分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；

（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．

+﹣

cosC=﹣

C=；

=

=

，

C=，，

sinAsinB=sinAsinB= sinAsinB=

tan=

21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过

左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

，∵离心率

得：

∴椭圆的标准方程为；

（

）在椭圆上，所以

整理得，．

，得

．所以，

．