牛顿插值法算法
牛顿插值法介绍
牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。
首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。
一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。
这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。
插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。
二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。
牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。
牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。
牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。
因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。
三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。
牛顿均差差值
f ( n ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x n ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) n!
的函数表如下， 例 f(x)的函数表如下，用三次牛顿插值计算 的函数表如下 用三次牛顿插值计算f(0.596)的近似值 的近似值
←
y ← y+t*A(k,k) k ← k+1
N
k>N
Y
输出y 输出
§2 Newton’s Interpolation
等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制. 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制.不过当 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.首先介绍 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化. 差分概念. 差分概念. x −x 当节点等距分布时: 等距分布时 当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) h =
0.62)+0.21303(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80) f(0.596) ≈N3(0.596)=0.63192
牛顿插值算法设计
N n ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + ...
f [ x 0 , x 1 , x 2 ,⋯ , x n] =
MPPT算法在光伏发电中的应用
MPPT算法在光伏发电中的应用1Newton插值法1．1最大功率点附近的多项式推导分析光伏电池模型实际是由单个电池串并联组成，其中并联电阻很大，串联电阻很小，两者之比几乎为104倍，因此，在实际应用中忽略了因并联电阻存在的漏电流和因内电阻引起输出电压下降。
那么光伏电池数学模型可以简化为。
光伏发电系统稳定工作点在恒压区，也就是工作点的电压变化很小，因此光伏电池最大功率点附近的工作电压U可近似等于最大功率点处的工作电压Um。
根据简化的模型可以得到在最大功率点附近的输出功率。
1．2Newton插值MPPT算法Newton插值算法利用二次插值的思想，仅通过一步就可以跟踪到最大功率点，在跟踪速度和精准度上有很大优点。
Newton插值MPPT算法原理:采集系统最大功率点附近3个工作点(U0，P(U0))，(U1，P(U1))，(U2，P(U2))，应用Newton插值法构造出光伏电池V－P曲线。
Newton插值法的实现过程如表1所示。
1．3改进型MPPT算法通过对以上两种方法的分析和研究，扰动观察法简单易实现但存在振荡，Newton插值法实现跟踪精度高，所以本文提出了一种将两者相结合的改进型MPPT算法，能够提高系统最大功率跟踪的稳态精度和跟踪的精度。
该算法具体实现的思想是首先用变步长扰动观察法快速跟踪到最大功率点附近。
0时，说明最大功率点在所取的三个点之间，此时用Newton插值法快速拟合出三点之间的曲线，精确的跟踪到最大功率点处。
该算法实现的流程图如图3所示。
情况(1)如图4所示，说明此时在最大功率点的左侧正在上坡，那么需要沿着同方向扰动，扰动量是变步长的，步长扰动量为h=ak1k2，a为扰动速度因子，文中取2，扰动后令电压:uout=u(k－2)+h。
情况(2)如图5所示，说明此时在最大功率点的右侧正在下坡，那么需要向相反方向扰动，扰动后的电压为uout=u(k)－h。
当k1k2＜0时，k1＞0，k2＞0或者k1＜0，k2＞0，如图6中③所示，说明此时最大功率点在这三点之间，那么用Newton插值法快速跟踪到最大功率点处，用DSP来控制输出电压。
牛顿插值的算法流程
牛顿插值的算法流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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2. 计算差商表。
3. 根据差商表，计算插值多项式的系数。
线性Newton插值
例1 作一不高于4阶的Newton插值多项式，使得
N 4 (0) = 1, N 4 (1) = 1, N 4 (2) = 2, N 4 (3) = 3, N 4 (4) = 3.
解： 作（传统）差商表 c1 c2 0 0 1 0 c3 0.5 1 1 1 c4 1 -0.5 0 0 2 2 2 1 -0.5 -0.5 3 3 3 0 4 4 3 根据Newton插值多项式定义有： N 4 ( x) = c0 + c1 ( x − x0 ) + c2 ( x − x0 )( x − x1 )
待插值点坐标zl (l = 1,2, L , m).
输出 N n ( zl ), l = 1,2, L, m 步骤 S1 对j = 1,2,L, n; i = 0,1,L, n − j
置yi 0 = yi 计算 yij = ( yi +1, j −1 − yi , j −1 ) ( xi + j − xi ) C j = y0 j S2 对l = 1,2, L, m 计算 N n ( zl ) = ∑ ci ∏ ( zl − x j )
N 4 ( x) = 1 + x + x( x − 1) + 1.5 x( x − 1)2 + 3.25 x( x − 1)2( x − 2)
作业： 教材P135 习题10 P136 习题11
y2 − y1 y1 − y0 − y1 − y0 x2 − x1 x1 − x0 N 2 ( x ) = y0 + ( x1 − x0 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) x1 − x0 x2 − x0
(2)
三、n次Newton插值 次 插值
牛顿后插公式
2012-2013（1）专业课程实践论文牛顿后插公式王瑜，0818180218，R数学08-2班一、算法理论由牛顿前插公式)()!1())...(1()()1(1ξ+++--=n a n n f h n n t t t x R ，),(0n x x ∈ξ如果要求表示函数在n x 附近的值)(x f ，此时应用Newton 插值公式，插值点应按的次序排列，有)()](,,,[))(](,,[)](,[)()(1011211x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N n n n n n n n n n n n n n --++--+-+=----- 作变换)01(≤≤-+=t th x x n 错误！未找到引用源。
，并利用公式代入上式带入得n n n n n n n f n n t t t f t t f t f th x N ∇-++++∇++∇+=+!)1()1(!2)1()(2称为Newton 后插公式，其余项。
。
),(,)!1()()()1()()()(0)1(1n n n n n n x x n f h n t t t th x N x f x R ∈+++=+-=++ξξ 若用Newton 后插公式求)(x f 的值，因x 在n x 附近，则其系数)(x f 在点n x 的各阶向后差分。
二、算法框图结束判断是否继续输入提示是否继续输入输出结果判断输入区间合法性Input x 提示正确的X 区间信息开始是否是否三、算法程序class Interpolation{public:Interpolation(int num, double x1, double x2, double func[]);double ComputeBackwardValue(double x); // compute backward interpolation value ~Interpolation();private:// Check(); // checking the inputsvoid GetBackwardTable(); // get the backward differential tableprivate:int m_num; // the number of interpolation pointsdouble m_x1, m_x2; // the first point m_x1 and last point m_x2double m_step; // the interpolation stepdouble* m_func; // the function value of interpolation pointsdouble* m_btable; // the backward differential table};#include <iostream>#include <limits>using namespace std;#define NUM 15//样本个数#define MIN 4000//上面输入区间下限#define MAX 11000//上面输入区间上限int main(){double func[NUM]={1.38, 1.48, 1.58, 1.69, 1.81,1.94,2.10, 2.28, 2.50, 2.76,3.06, 3.41, 3.83,4.33, 4.93};//输入对应的函数值double x1=MIN, x2=MAX, x;int num=NUM;char flag='Y';Interpolation test(num, x1, x2, func);while(flag=='Y'){cout<<"Input x: ";cin>>x;if (!cin){cin.clear();cin.ignore(numeric_limits<int>::max(), '\n'); // clear input buffercontinue;}if(x<x1 || x>x2){cout<<"---Invalid input: "<<x<<"---"<<endl;cout<<"Only the number between "<<x1<<" and "<<x2<<" is valid..."<<endl; }else{cout<<"Backward interpolation value:"<<puteBackwardValue(x)<<endl;}cout<<endl<<"Do you want to process? please input(Y/N):"<<endl;cin>>flag;}return 0;}Interpolation::Interpolation(int num, double x1, double x2, double func[]) {m_num = num;m_x1 = x1;m_x2 = x2;m_step = (m_x2-m_x1)/(num-1);m_func = new double[m_num];m_btable = new double[m_num];for (int i=0; i<m_num; ++i){m_func[i] = func[i];m_btable[i] = func[i];}GetBackwardTable();}Interpolation::~Interpolation(){delete m_func;delete m_btable;}void Interpolation::GetBackwardTable(){// get the backward differential tableint i, j;double tmp;for (i=1; i<m_num; ++i) {tmp = m_btable[m_num-1];for (j=m_num-1; j>=i; --j) {m_btable[j] = m_btable[j]-m_btable[j-1];}m_btable[i-1] = tmp;}}double Interpolation::ComputeBackwardValue(double x){// compute backward interpolation valuedouble* coef; //coefficient talbedouble result, t;int i;coef = new double[m_num];t = (x-m_x2)/m_step;for (i=1, coef[0]=1; i<m_num; ++i) //compute the coefficient table {coef[i] = coef[i-1]*(t+i-1)/i;}for (i=0, result=0; i<m_num; ++i){result += m_btable[i]*coef[i];}delete coef;return result;}四、算法实现例1．在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表如图是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值，下面要解决B从4000到11000区间的查表问题书上给出的可以用后插公式的区间为10500＜B≤11000解：在此谨以10500以上的数为例，首先输入样本个数和所在区间然后逐一输入对应的函数值。
2.2 牛顿插值法
f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ]( x - x 0 ) + f [ x , x 0 , x 1 ]( x - x 0 )( x - x 1 )
又
f [ x , x 0 , x1 , x 2 ] =
f [ x 0 , x1 , x 2 ] - f [ x , x 0 , x1 ] x2 - x
a2=
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式, 均差定义
2.3.2 均差及其性质
1、均差的定义 称 f [ x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x ) 关于点 x 0 , x k 的一阶差商。 称 f [ x 0 , x1 , x k ] =
注：均差与节点的排列次序无关——均差 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x 0 , x 1 , , x k ] = f [ x 1 , x k - 1 , x 0 , x k ]
= f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x 0 ] xk - x0 f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 0 , x 1 , x 2 , , x k -1 ] xk - x0
f (xj)
k
j=0
j=0
( x j - xi )
i=0 j i
1ºn 阶均差可表示为函数值f(x0), f(x1),…, f(xn) 的线性组合
matlab牛顿插值法三次样条插值法
(){}21()(11),5,10,20:12521()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()235,20:1100(i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x nx y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+=L L 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。
已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max()n k n k n k n k n k n k kkN x S x k E N y N x E S y S x ==-=-L 和；、计算，；解释你所得到的结果。
算法组织:本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。
如此，则第三、四问则迎刃而解。
计算两种插值多项式的算法如下：一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下：Newton 插值多项式的表达式如下：)())(()()(110010--⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N其中每一项的系数c i 的表达式如下：1102110),,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-根据i c 以上公式，计算的步骤如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----),,,,(1),,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下：所谓三次样条插值多项式)(x S n 是一种分段函数，它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=分成的每个小区间1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：22331111111()[()()]()()666[,]1,2,,.i i i i i i i i i i i i i i ii i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=⋅⋅⋅，， 因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下： 令：11111111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++⎧===-⎪++⎪⎨--⎪=-=⎪+⎩， 则i M 满足如下n-1个方程：1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==⋅⋅⋅-，方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式)(x S n 。
第1章插值方法
3.一般情况 一般情况 一般情况 我们看到， 我们看到 ， 两个插值点可求出一次插值多项 式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式 2(x)。 ，而三个插值点可求出二次插值多项式p 。 当插值点增加到n+1个时 ， 我们可以利用 个时， 当插值点增加到 个时 我们可以利用Lagrange 插值方法写出n次插值多项 插值方法写出 次插值多项 式pn(x)，如下所示： ，如下所示：
［例６］ 给定
(x∈［-5,5］)。 ∈ ］。
取等距节点x 取等距节点 i=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形 观察 10(x)对f(x)的逼近效果。 并作图形, 观察L 的逼近效果。 对 的逼近效果
图1-3 例6的图形 的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
Aitken插值算法为二重循环。外循 插值算法为二重循环。 插值算法为二重循环 环为k循环 ， 用于计算Aitken插值表中 环为 循环， 用于计算 循环 插值表中 的第k列 内循环为 循环 循环， 的第 列 ； 内循环 为 i循环 ， 用于计算 Aitken插值表中的第 列中的第 个元素。 插值表中的第k列中的第 个元素。 插值表中的第 列中的第i个元素
Newton插值算法中的 循环由 插值算法中的j循环由 三部分组成： 计算(x-xj)的累积 ， 存 的累积， 三部分组成 ： 计算 的累积 单元； 入t单元；内套一个 循环用来依次计 单元 内套一个i循环用来依次计 算差商表中的各阶差商，存入y 单元； 算差商表中的各阶差商，存入 i单元； y单元用于存放 单元用于存放Newton公式中各项累 单元用于存放 公式中各项累 加之和。 加之和。
1.2 牛顿插值公式
差商表
相位展开的6种算法比较
相位展开的6种算法比较
一、零阶样条展开法：该算法通过对相位曲线的零次导数进行展开，从而实现相位的展开。
二、首阶样条展开法：该算法通过对相位曲线的一阶导数进行展开，将有限的数据点，转化为连续的曲线段，从而实现相位展开。
三、贝塞尔型曲线展开法：该算法使用贝塞尔曲线对相位曲线作
展开，从而获得由多段曲线组成的准确展开结果，实现相位展开。
四、分段直线展开法：该算法将相位点连接成直线段进行展开，
利用首阶导数连续性的性质，较好的实现了相位的展开。
五、重叠分段展开法：该算法通过重叠实现多段分段连续性来展
开相位，这种方法能解决贝塞尔曲线振荡、抖动以及拐弯锐变等问题，实现相位展开。
六、牛顿插值法：该算法采用牛顿插值的思想实现数据的平滑展开，从而较好的实现了相位的展开。
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牛顿插值法(算法)
Newton Interpolation
牛顿插值算法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)与函数値f(x0), f(x1) , ... , f(x n)求出n次多項式p(x)。
再通过次多項式p(x)求出任意的点x所对应的f(x)的算法。
１．求n阶差分商f[x0, x1, ... x n]。
使用递归调用。
#define N 20
typedef struct TagXYVALUE
{
double x;
double y;
} XYVALUE;
XYVALUE val[N+1];
//階差分商(Divided Differences)
double f(int n0, int ni)
{
if (n0 == ni)
return val[n0].y;
if (n0 + 1== ni)
return (val[ni].y - val[n0].y) / (val[ni].x - val[n0].x);
else
return (f(n0+1, ni) - f(n0, ni-1)) / (val[ni].x - val[n0].x);
}
２．牛顿插值算法的主程序，求p(x
)的程序。
n
double NewtonInterpolation(double x)
{
double t = 1.0;
double ft;
double p = val[0].y; //P(0) = f[0]
for(int i = 1; i <= N; i++)
{
t = t * (x - val[i-1].x);
ft = f(0, i) * t;
p = p + ft;
}
return p;
}
３．测试。
用正弦波的20个采样点，还原出正弦波曲线。
计算速度很慢，需要改进程序。
void CNewtonInterpolationTestView::OnDraw(CDC* pDC)
{
for (int i = 0; i <= N; i ++)
{
val[i].x = i * 15 * atan(1.0) / 45.0 * 2;
val[i].y = sin(val[i].x);
pDC->Rectangle((int)(val[i].x*20)- 2, 150-(int)(val[i].y*50)- 2,
(int)(val[i].x*20)+2,
150-(int)(val[i].y*50)+2);
}
for (int j = 0; j <= N*15; j += 5)
{
double x = j * atan(1.0) / 45.0 * 2;
double y = NewtonInterpolation(x);
pDC->SetPixel((int)(x*20)-2, 150-(int)(y*50)-2, 0x000000ff);
}
}
４．n阶差分商的计算方法的改善。
上面的递归算法虽然很好读，但速度太慢不能实用。
n阶差分商与、x和f(x)没有关系，所以可以事先把它一次算好，以提高整体処理速度。
因为是事先计算，所以用递归算法，或迭代算法都无所谓。
不过为了记录算法，用迭代算法计算。
这回速度提高了。
double dd[N+1];
void CallDividedDifferences()
{
for (int n = 0; n <= N; n ++)
dd[n] = val[n].y;
for (int i = 1; i <= N; i ++)
{
for (int j = N; j >= i; j --)
dd[j] = (dd[j]-dd[j-1]) / (val[j].x-val[j-i].x);
}
}
double NewtonInterpolation_DD(double x)
{
double t = 1.0;
double ft;
double p = val[0].y; //P(0) = f[0]
for(int i = 1; i <= N; i++)
{
t = t * (x - val[i-1].x);
ft = dd[i] * t;
p = p + ft;
}
return p;
}。