2013年高考数学总复习(苏教版)：第1章1.2.4 两平面垂直
高中数学第1章立体几何初步1.2.4平面与平面的位置关系第二课时两平面垂直课件苏教版必修2
2．如图，在三棱锥A-BCD中，BD＝ 2a， AB＝AD＝CBபைடு நூலகம்CD＝AC＝a. 求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：法一：∵△ABD与△BCD是全等的等腰直角三角形． ∴取BD的中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE， ∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角， 在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝ 22a，
当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面 面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到 线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两 平面的交线，有目的的在平面内找交线的垂线．
[活学活用] 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的 平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB ＝ 2，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE.
平面与平面垂直的判定
[典例] 已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝
AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD. [证明] 如图，取PD的中点E，连结
AE，NE. ∵E，N分别是PD，PC的中点， ∴EN綊12CD.
又AB∥CD，AM＝12AB.
∴EN綊AM.∴四边形AMNE是平行四边形．
平面与平面垂直性质的运用
[典例] 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一 点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为 AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.
[证明] 由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD. ∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形． ∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质第一章：两个平面垂直的判定1.1 教学目标理解两个平面垂直的概念。
学习两个平面垂直的判定方法。
能够运用判定方法解决实际问题。
1.2 教学内容两个平面垂直的定义。
两个平面垂直的判定定理。
判定定理的应用。
1.3 教学步骤1. 引入两个平面垂直的概念，引导学生思考如何判定两个平面是否垂直。
2. 引导学生学习两个平面垂直的判定定理，解释定理的意义和应用。
3. 提供一些实际问题，让学生运用判定定理解决问题，巩固理解。
1.4 练习题判断下列两个平面是否垂直：1. 平面P：方程为x+y=02. 平面Q：方程为x-y=0解决问题：一个长方体的底面是平面P，侧面是平面Q，求长方体的高。
第二章：两个平面垂直的性质2.1 教学目标学习两个平面垂直的性质定理。
能够运用性质定理解决实际问题。
2.2 教学内容两个平面垂直的性质定理。
性质定理的应用。
2.3 教学步骤1. 引导学生回顾两个平面垂直的概念和判定方法。
2. 引导学生学习两个平面垂直的性质定理，解释定理的意义和应用。
3. 提供一些实际问题，让学生运用性质定理解决问题，巩固理解。
2.4 练习题判断下列两个平面是否垂直：1. 平面P：方程为x+y=02. 平面Q：方程为x-y=0解决问题：一个长方体的底面是平面P，侧面是平面Q，求长方体的对角线长度。
第三章：空间中的直线与平面垂直3.1 教学目标理解直线与平面垂直的概念。
学习直线与平面垂直的判定方法。
能够运用判定方法解决实际问题。
3.2 教学内容直线与平面垂直的判定定理。
判定定理的应用。
3.3 教学步骤1. 引入直线与平面垂直的概念，引导学生思考如何判定一条直线是否与一个平面垂直。
2. 引导学生学习直线与平面垂直的判定定理，解释定理的意义和应用。
3. 提供一些实际问题，让学生运用判定定理解决问题，巩固理解。
3.4 练习题判断下列直线是否与给定的平面垂直：1. 直线l：方程为y=02. 平面P：方程为x+y=0解决问题：一个正方体中，一条直线l通过顶点A且与面ABCD垂直，求直线l与对角线BD的交点E的坐标。
苏教版数学高一必修2试题 1.2.4.2两平面垂直
1.2.4.2 两平面垂直一、填空题1．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________．【解析】如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行，也可能相交．【答案】平行或相交2．已知平面α⊥平面β，则以下说法正确的是________．(填序号)①平面α内的直线垂直平面β内的无数条直线；②在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作平面α与平面β的交线的垂线，此直线必垂直于α.【解析】①正确，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C⊂平面BB1C1C中，且平面BB1C1C⊥平面ABCD，所有与直线AB平行的直线均满足与直线B1C垂直；②正确，由面面垂直的判断可知；③不正确，如图中B1C与BC不垂直；④正确，由面面垂直的性质可知．【答案】①②④图1－2－693．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，如图1－2－69所示，图中互相垂直的平面有________对．【解析】∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD.【答案】 5图1－2－704．如图1－2－70所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．【解析】如图：因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.【答案】面面垂直的判定定理5．已知直线l、m、n与平面α、β，则下列叙述错误的是________．(填序号)①若m∥l，n∥l，则m∥n②若m⊥α，m∥β，则α⊥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α【解析】①正确，平行线的传递性；②正确，∵m∥β，∴存在直线n，使得n⊂β，且n∥m，又m⊥α，所以n⊥α.从而α⊥β.③不正确，满足条件的直线m，n可能平行，也可能相交，还可能异面；④正确．【答案】③6．下列命题中错误的是________(填序号)．①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】如果平面α⊥平面β，平面α内的直线有的平行于平面β，有的与平面β相交，故④错误．【答案】④图1－2－717．如图1－2－71长方体中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1－BD －C 的大小为__________．【解析】 如题图，取BD 中点O ，连结OC 、OC 1，∵AB ＝AD ＝23，∴CO ⊥BD ，CO ＝ 6.∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B ，∴C 1O ⊥BD.∴∠C 1OC 为二面角C 1－BD －C 的平面角．tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33. ∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1－BD －C 的大小为30°.【答案】 30°图1－2－728．三棱锥P －ABC 的所有棱长都相等，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是________(填序号)．①BC ∥平面PDF ②DF ⊥平面PAE ③平面PDF ⊥平面ABC ④平面PAE ⊥平面ABC【解析】 由BC ∥DF 得BC ∥平面PDF ，故①正确；由BC ⊥AE ，BC ⊥PE 得BC ⊥平面PAE ，所以DF ⊥平面PAE ，平面PAE ⊥平面ABC ，故②④都正确．排除①②④，故选③.【答案】 ③二、解答题9．求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；【解】 已知：a ⊥α，a ∥β，求证：α⊥β.证明 过a 作平面γ与平面β相交于b⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊂γβ∩γ＝b ⇒a ∥b⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒⎭⎬⎫b ⊥αb ⊂β⇒α⊥β图1－2－7310．如图1－2－73，四棱锥P －ABCD 是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC ，PD ＝1，PC ＝ 2.(1)求证：PD ⊥面ABCD ；(2)求二面角A －PB －D 的大小．【解】 (1)证明 ∵PD ＝DC ＝1，PC ＝ 2.∴△PDC 是直角三角形，即PD ⊥CD ，又∵PD ⊥BC ，BC∩CD ＝C ，∴PD ⊥面ABCD.(2)连结BD ，设BD 交AC 于点O ，过O 作OE ⊥PB 于点E ，连结AE.∵PD ⊥面ABCD ，∴AO ⊥PD ，又∵AO ⊥BD ，∴AO ⊥面PDB.∴AO ⊥PB ，又∵OE ⊥PB ，OE∩AO ＝O ，∴PB ⊥平面AEO ，从而PB ⊥EO.故∠AEO 就是二面角A －PB －D 的平面角．∵PD ⊥面ABCD ，∴PD ⊥BD ，∴在Rt △PDB 中，PB ＝PD 2＋BD 2＝1＋2＝3，又∵OEPD ＝OB PB ，∴OE ＝66， ∴tan ∠AEO ＝AD OE ＝2266＝3，∴∠AEO ＝60°. 故二面角A －PB －D 的大小为60°.图1－2－7411．已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)． (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?【解】 (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC 且AB∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC.又AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)， ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC.又EF ⊂平面BEF.∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.(2)由(1)知，EF ⊥BE ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，AB ⊥平面BCD ，∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7，由AB 2＝AE·AC 得AE ＝67，∴λ＝AEAC＝67，故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.。
2013年高考数学总复习(苏教版)：第1章1.2.1 平面的基本性质
栏目 导引
第1章
立体几何初步
重点难点
用．
重点：点、线、面之间的位置关
系的表示及三个公理和三个推论的理解与应
难点：平面基本性质的理解与应用．
栏目 导引
第1章
立体几何初步
新知初探思维启动
1.平面的概念及相关知识 (1)平面： 几何里所说的“平面”是从生活中的一 些物体中抽象出来的，是________的． 无限延展 (2) 画 法 ： 通 常 把 水 平 的 平 面 画 成 一 个 平行四边形 __________，并且其锐角画成___，且横边长 45° 2倍 等于邻边长的___，为了增强立体感，被遮挡 部分用_____画出来． 虚线
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴T∈AC. ∴直线EG、FH、AC相交于一点T.
栏目 导引
第1章
立体几何初步
备选例题
1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是
棱AA′、CC′的中点，试画出平面D′EF与平面 ABCD的交线．
栏目 导引
第1章
立体几何初步
解：依据公理 2，应找出平面 D′EF 和平面 ABCD 的两个公共点．如图所示，延长 D′E 交 DA 的延长线于点 M，延长 D′F 交 DC 的延长 线于点 N，则 M、N 就是平面 D′EF 与平面 ABCD 的两个公共点，直线 MN 就是两个平面 的交线．
栏目 导引
第1章
立体几何初步
(4)推论 1： 经过一条直线和这条直线外的一点， 有且只有一个平面 __________________． 相交 推论 2：经过两条______直线，有且只有一个 平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平 面．
高中数学 1.2.4 第2课时两平面垂直的判定课时作业 苏教版必修2
第2课时 两平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．2．平面与平面的垂直①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫l⊥α ⇒α⊥β．一、填空题 1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是________(填序号)． 2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条． 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①若m∥n，n⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m⊥n，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的大小为________． 6．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE ；③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC ．7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．二、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥ 平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．第2课时两平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线每个半平面0°≤α≤180°2．①直二面角②垂线l⊂β作业设计1．②④解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．2．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．3．①③解析②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．4．1或无数解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．5．60°解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°．6．①②④解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴①正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴②正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴④正确．7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。
2013年高考数学总复习(苏教版)：第1章1.2.2 空间两条直线的位置关系 课时闯关(含解析)
课时作业[A级基础达标]1.下列说法中正确的是________(填序号)．①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．解析：对于①，两直线无公共点，可能平行，也可能异面；对于②，由两直线的位置关系知其正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线与平面内经过线面交点的直线是相交直线而不是异面直线；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线．答案：②2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．解析：∵在△ABC中，AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.答案：平行3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：①错误，AM与CC1是异面直线．②错误，取DD1中点P，则AP∥BN.∵AP与AM相交，∴AM与BN不平行．③正确．④正确．答案：③④4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________．解析：如图，B 1D 与CC 1所成的角为∠BB 1D .∵△DBB 1为直角三角形．∴tan ∠BB 1D ＝BD BB 1＝ 2. 答案： 25.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AA 1，AB ，CC 1的中点．试判断以下各对线段所在的直线的位置关系：(1)AB 与DD 1：________．(2)D 1E 与BC ：________．(3)D 1E 与BG ：________．(4)D 1E 与CF ：________．解析：(1)因为D 1∉面ABCD ，D ∈面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，D ∉AB ，所以AB 所在直线与DD 1所在直线是异面直线，依据是异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)依据异面直线的判定定理，D 1E 的延长线与DA 的延长线相交，交点不在BC 所在直线上．(3)取D 1D 的中点M ，连结MA ，MG (图略)，可证四边形MABG 为平行四边形，所以MA ∥GB ，又D 1E ∥MA ，所以由公理4知，D 1E ∥BG .(4)延长D 1E ，CF ，与DA 的延长线交于同一点．答案：(1)异面直线 (2)异面直线 (3)平行直线(4)相交直线6.已知不共面直线a ，b ，c 相交于点P ，A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，E ∈c .求证：BD 和AE 是异面直线．证明：假设BD 与AE 不是异面直线，则BD 与AE 确定一个平面α，则A ，B ，D ，E ∈α，则A ，D 确定的直线a ⊂α.又∵P ∈a ，∴P ∈α.∴P ，E 确定的直线c ⊂α，P ，B 确定的直线b ⊂α.∴a ，b ，c 共面，与已知a ，b ，c 不共面矛盾，所以BD 与AE 是异面直线．7.(2012·启东中学质检)如图，E 、F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、C 1C 的中点． 求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：如图，设Q 是DD 1的中点，连结EQ 、QC 1，∵E 是AA 1的中点，∴EQA 1D 1，又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1B 1C 1，∴EQ B 1C 1(平行公理)，∴四边形EQC 1B 1为平行四边形，∴B 1E C 1Q ， 又∵Q 、F 是矩形DD 1C 1C 的两边的中点， ∴QD C 1F ， ∴四边形DQC 1F 为平行四边形， ∴C 1Q DF ，又∵B 1EC 1Q ，∴B 1E DF ， ∴四边形B 1EDF 是平行四边形．[B 级 能力提升]8.如图所示的是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 是异面直线；③DM 与BN 垂直．以上三个命题中，正确的是________(填序号)．解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系．答案：①③9.(2012·镇江质检)空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R ，且PQ ＝2，QR ＝5，PR ＝3，那么异面直线AC 和BD 所成的角是________．//////////////////解析：如图，∵PQ12AC ，QR 12BD ，∴∠PQR 为异面直线AC 与BD 所成的角，由勾股定理得∠PQR ＝90°.答案：90°10.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)若AC ⊥BD ，求证：EFGH 为矩形；(2)若BD ＝2，AC ＝6，求EG 2＋HF 2；(3)若AC ，BD 成30°角，AC ＝6，BD ＝4，求四边形EFGH 的面积．解：(1)∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，FG ∥BD 且EH ＝FG ＝BD 2， ∴四边形EFGH 为平行四边形．又∵AC ⊥BD ，HG ∥AC ，∴EH ⊥HG ，∴四边形EFGH 为矩形．(2)由(1)知四边形EFGH 为平行四边形，∴EG 2＋HF 2＝2(EH 2＋EF 2)＝2×10＝20.(3)∵AC ，BD 成30°角，EH ＝12BD ＝2，HG ＝12AC ＝3， ∴四边形EFGH 的面积为EH ·HG sin30°＝3.11.(创新题)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)求A 1B 与B 1D 1所成的角；(2)求AC 与BD 1所成的角．解：(1)如图，连结BD ，A 1D ，A 1B .∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴DD 1 BB 1，∴四边形DBB 1D 1为平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.∵A 1B 、BD 、A 1D 是全等的正方形的对角线，∴A 1B ＝BD ＝A 1D ，即△A 1BD 是正三角形，∴∠A 1BD ＝60°.∵∠A 1BD 是锐角，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角，∴A 1B 与B 1D 1所成的角为60°.(2)取DD 1的中点E ，连结EO ，EA ，EC .∵O 为BD 的中点，∴OE ∥BD 1.∵∠EDA ＝90°＝∠EDC ，AD ＝DC ，∴△EDA ≌△EDC ，∴EA ＝EC . ////在等腰△EAC中，∵O是AC的中点，∴EO⊥AC，∴∠EOA＝90°.∵∠EOA是异面直线AC与BD1所成角．∴AC与BD1所成的角为90°.。
高中数学第一章1.2.4第2课时两平面垂直学业分层测评苏教版必修60
1.2.4 第2课时两平面垂直(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是__________．(1)若m⊥n，n∥α，则m⊥α；(2)若m∥β，β⊥α，则m⊥α；(3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；(4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解析】(1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；(2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；(3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；(4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】(3)2．如图1－2－98，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1－BD－C的大小为________．图1－2－98【解析】如图，取BD中点O，连结OC，OC1，∵AB＝AD＝23，∴CO⊥BD，CO＝ 6.∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC为二面角C1－BD－C的平面角，∴tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33， ∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1－BD －C 的大小为30°.【答案】 30°3．下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中真命题的序号是________.【解析】 根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；根据平面与平面平行的性质定理知③正确；根据两个平面垂直的性质知④正确．从而正确的命题有①③④.【答案】 ①③④4．如图1－2－99所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B －PA －C 的大小为________．图1－2－99【解析】 ∵PA ⊥平面ABC ，BA ，CA ⊂平面ABC ，∴BA ⊥PA ，CA ⊥PA ，因此，∠BAC 即为二面角B －PA －C 的平面角．又∠BAC ＝90°，故二面角B －PA －C 的大小为90°.【答案】 90°5．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D －BC －A 的大小为________．【解析】 如图，由题意知AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2.取BC 的中点E ，连结DE ，AE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠DEA 为所求二面角的平面角．易得AE ＝DE ＝2，又AD ＝2，AD 2＝AE 2＋DE 2，所以∠DEA ＝90°.【答案】90°6．如图1－2－100所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是________．图1－2－100【解析】连结B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′C＝AC＝2a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°.【答案】90°7．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．【解析】因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．【答案】 58．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝2，则平面α与平面β的位置关系是________.【解析】因为PC⊥α，AB⊂α，所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点为H，连结CH，DH.因为AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C－AB－D的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝2，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.【答案】垂直二、解答题9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.图1－2－101求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.10．如图1－2－102，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．图1－2－102(1)求证：平面MNF ⊥平面NEF ；(2)求二面角M －EF －N 的平面角的正切值．【解】 (1)证明：连结MN ，∵N ，F 均为所在棱的中点，∴NF ⊥平面A 1B 1C 1D 1.而MN ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴NF ⊥MN .又∵M ，E 均为所在棱的中点，∴△C 1MN 和△B 1NE 均为等腰直角三角形，∴∠MNC 1＝∠B 1NE ＝45°，∴∠MNE ＝90°，∴MN ⊥NE .又NF ∩NE ＝N ，∴MN ⊥平面NEF .而MN ⊂平面MNF ，∴平面MNF ⊥平面NEF .(2)在平面NEF 中，过点N 作NG ⊥EF 于点G ，连结MG .由(1)得知MN ⊥平面NEF .又EF ⊂平面NEF ，∴MN ⊥EF .又MN ∩NG ＝N ，∴EF ⊥平面MNG ，∴EF ⊥MG .∴∠MGN 为二面角M －EF －N 的平面角．设该正方体的棱长为2.在Rt △NEF 中，NG ＝NE ·NF EF ＝2×26＝233， ∴在Rt △MNG 中，tan ∠MGN ＝MN NG ＝2233＝62. ∴二面角M －EF －N 的平面角的正切值为62. [能力提升]1．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________.【解析】由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性质定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n.【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①)2．如图1－2－103，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC.底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.图1－2－103【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.【答案】a或2a3．如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的________心．【解析】三侧面两两垂直，则三条侧棱也两两垂直，∴PC⊥平面PAB，∴AB⊥PC，作PO⊥平面ABC于点O，则AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，∴AB⊥OC，同理，OB⊥AC，∴O为△ABC的垂心．【答案】垂4．如图1－2－104，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.图1－2－104(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【证明】(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连结PG.∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，且PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：F为PC的中点时，在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.易知PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.。
高中数学 第一章 1.2.4平面与平面的位置关系第二课时配套课件 苏教版必修2
∠GBH 是二面角的平面角．
又∠GAH 是 AG 与 β 所成的角，
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设 AG＝a，
则 GB＝ 22a，GH＝12a，
sin∠GBH＝GGHB＝
2 2.
所以∠GBH＝45°，
故二面角 α－EF－β 的平面角为 45°.
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例 2 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O
4．已知三条不重合的直线 m、n、l，两个不重合的平面 α， β，有下列命题： ①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α； ②若 l⊥α，m⊥β 且 l∥m，则 α∥β； ③若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β； ④若 α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α. 其中正确的命题是__②__④____(填序号)．
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1.2.4(二)
问题 2 如图，设 α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α， AB⊥CD，AB∩CD＝B，求证：AB⊥β.
答 证明：在 β 内引直线 BE⊥CD，垂足为 B， 则∠ABE 是二面角 α—CD—β 的平面角．由 α⊥β 知，AB⊥BE， 又 AB⊥CD，BE 与 CD 是 β 内的两条相交直线，所以 AB⊥β.
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练一练·当堂检测、目标(mùbiāo)达成落实 处
1.2.4(二)
3．平面 α⊥平面 β，a⊂α，b⊂β，且 b∥α，a⊥b，则 a 和 β 的位置关系是__垂__直__(_ch_．uízhí)
第二十七页，共30页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成落 实处
1.2.4(二)
高中数学 第一章 1.2.4平面与平面的位置关系第一课时配套课件 苏教版必修2
问题 4 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定 理？ 答 符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β
图形表示：
第十六页，共35页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.4（一）
问题 5 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？
因此，直线 B′D′与平面 AC 内的所有直线要么是异面直线， 要么是平行直线．
第二十二页，共35页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.4（一）
问题 2 在长方体 ABCD—A′B′C′D′中，平面 AC 内哪 些直线与直线 B′D′平行？如何找到它们？
答 平面 AC 内的直线只要与直线 B′D′共面就平行． 在平面 AC 中，与 BD 平行的直线也平行直线 B′D′.
1.2.4（一）
问题 4 你能写出面面平行的性质定理的已知与求证，并给 出证明吗？ 答 已知：如下图，平面 α，β，γ 满足 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ ＝b， 求证：a∥b.
证明：∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂β. ∵α∥β，∴a，b 没有公共点， 又∵a，b 同在平面 γ 内，所以，a∥b.
第十页，共35页。
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1.2.4（一）
跟踪训练 1 两平面 α、β 平行，a⊂α，下列四个命题： ①a 与 β 内的所有直线平行；②a 与 β 内无数条直线平行； ③直线 a 与 β 内任何一条直线都不垂直；④a 与 β 无公共点． 其中正确命题的个数有____2____个． 解析 ①中 a 不能与 β 内的所有直线平行而是与无数条平行， 有一些是异面； ②正确； ③中直线 a 与 β 内的无数条直线垂直； ④根据定义 a 与 β 无公共点，正确．
高中数学第一章立体几何初步1.2.4.1两平面平行课件【苏教版】
同理,GE∥平面BCD.
又GE∩EF=E,GE,EF⊂平面EFG,
∴平面BCD∥平面EFG.
答案：平行
典例导学 即时检测 一 二 三
2.如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是 A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.(导学号51800038)
求证:(1)E,F,B,D四点共面; (2)平面AMN∥平面EFDB.
同理A'C'∥平面ABC. 又A'B'∩A'C'=A',
∴平面ABC∥平面A'B'C'.
典例导学 即时检测 一 二 三
证明：(1)连结B1D1.
∵∴EEF,F���分��� 别12 是B1BD1C1.1,C1D1的中点, ∵四边形D1B1BD是平行四边形, ∴D1B1∥BD. ∴EF∥BD,
即EF,BD确定一个平面. 故E,F,B,D四点共面.
典例导学 即时检测 一 二 三
(2)∵M,N分别是A1B1,A1D1的中点, ∴MN∥D1B1∥EF. ∵MN⊄平面EFDB, ∴MN∥平面EFDB.
解析：∵α∥β,C为AB的中点,∴当A,B移动时,C点在过线段AB中点的
平面上,故选项D对. 答案：D
典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6
3.对于平面α和直线m,n,下列命题中假命题的个数是 ( )
①若m⊥α,m⊥n,则n∥α;②若m∥α,n∥α,则m∥n;③若m∥α,n⊂α,则 m∥n;④若m∥n,n∥α,则m∥α.
思路分析：本题的条件中给出了面面平行,需证明线线平行,故(1)
可直接利用面面平行的性质定理,(2)要借助(1)的结论,利用平行线
分线段成比例定理求PD.
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直于交线的直线这样的辅助线，这是法一、
法二的关键．
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第1章
立体几何初步
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第1章
立体几何初步
变式训练 3.如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形，侧 面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD，并证明你的结 论．
第1章
立体几何初步
第二课时
两平面垂直
第1章
立体几何初步
学习导航
学习目标 1.了解二面角及其平面角的概念， 能确认图形中的已知角是否是二面角 的平面角． 2． 掌握两个平面垂直的定义． 通过直观感知， 操作确认，归纳出面面垂 直的判定定理及性质定理． 3．会通过定理进行“线线垂直”、 “线面垂直” 及“面面垂直”相互之间的转化， 达到证明“线线垂直”、 “线面垂直”、 “面面 垂直”的目的．
a⊥β 符号表示： a⊂α ⇒α ⊥β ________
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第1章
立体几何初步
(4)性质定理 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一 垂直于它们交线 个平面内______________的直线垂直于另一 个平面． α ⊥β α ∩β ＝l ⇒a⊥β a⊂α a⊥l
符号表示：
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第1章
立体几何初步
想一想 1.两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直 线与另一个平面一定垂直吗？ 提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两 平面交线的直线才能垂直于另一个平面．
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第1章
立体几何初步
2.由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平
面的两条直线平行；试问垂直于同一个平面 的两个平面平行吗？
立体几何初步
∵∠ASB＝∠BSC， ∴△ASB≌△CSB，∴AB＝CB. ∴BD⊥AC.∴∠SDB 为二面角 S－AC－B 的平 面角． 2 设 SA＝a，则易知 SD＝DB＝ a， 2 于是 SD2＋DB2＝SB2， ∴∠SDB＝90°.∴平面 ASC⊥平面 ABC.
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立体几何初步
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立体几何初步
【证明】
法一：
设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在 γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图．
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥α，n⊥β， 又∵α∩β＝l，(8分)
∴m⊥l，n⊥l，∴l⊥γ.
(14分)
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立体几何初步
名师微博
这里一定要在γ内作直线m，n，你知道为什么 吗？
DEF⊥平面ABCD， 取PC的中点F，连结DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE， 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝ E. ∴平面DEF∥平面PGB.
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第1章
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由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD， ∴平面DEF⊥平面ABCD.
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第1章
立体几何初步
②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个
垂直于棱的射线 面内分别作_________________，这两条射线 二面角的平面角 所成的角叫做________________．
③二面角α的大小范围是0°≤α≤180°. 直二面角 ④平面角是直角的二面角叫做_________．
又CE⊥AB，∴∠VEC就是二面角的平面角．
∵VE＝EC＝VC＝1，∴∠VEC＝60°.
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立体几何初步
【名师点评】
角来计算．
(1)本例是根据二面角的平面
角的定义作出平面角，将空间角转化为平面
(2)求二面角的大小，其步骤一般有三步：
①“作”：作出二面角的平面角． ②“证”：证明所作的角是二面角的平面角． ③“求”：解三角形，求出这个角．
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变式训练
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面A1BD 和平面BB1D1D所成的二面角的正弦值．
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解：如图，设正方体棱长为 a，连结 A1C1 交 B1D1 于 O1. 设 O 为 BD 中点，连结 OO1， 则 O1O⊥BD. 又 A1D＝A1B＝ 2a， ∴A1O⊥BD， ∴∠A1OO1 是所求二面角的平面角． 3 2 2 在 Rt△A1OO1 中， 1O＝ A1B －BO ＝ a， ∵A 2 1 3 A1O1＝ a，∴sin∠A1OO1＝ . 3 2
是解决立体几何问题的一个基本原则，解题 时要抓住几何图形自身的特点，如等边三角
形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线
互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生 一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的 问题，注意应用转化思想解决问题．
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立体几何初步
(2)法一、法二都是利用“两平面垂直时，在一
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系之 间的枢纽，要注意垂直关系之间的相互转化
要有定理作保证．
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知能演练轻松闯关
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立体几何初步
本部分内容讲解结束
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题型探究
求简单的二面角
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立体几何初步
例1
如图，在三棱锥 V－ABC 中，VA＝VB
＝AC＝BC＝2，AB＝2 3，VC＝1，试画出二 面角 V－AB－C 的平面角，并求它的度数．
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【解】
取AB的中点E，连结VE，CE.
∵VA＝VB＝AC＝BC＝2， ∴VE⊥AB，
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面面垂直性质定理的应用
例3 (本题满分14分)已知：α、β、γ是三个 不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求 证：l⊥γ.
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【思路点拨】 法一：面面垂直 → 线面垂直 → 线线垂直 → 线面垂直 法 二 ： 面面垂直 → 线面垂直 → 线线平行 → 线面平行 → 线面垂直
法二：同上可证得 BA＝BC＝BS. 作 BD⊥平面 ASC 交于 D，连 DA，DC，DS. ∵BA＝BC＝BS，∴DA＝DC＝DS. ∴D 为△ACS 的外心． ∵△ACS 中，AS⊥CS， ∴△ACS 的外心落在斜边的中点上， D∈AC， 即 ∵BD⊂平面 ABC.∴平面 ASC⊥平面 ABC.
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面面垂直的判定
例2 如图， 在四面体 SABC 中， ∠ASC＝90°， ∠ASB＝∠BSC＝60°，SA＝SB＝SC. 求证：平面 ASC⊥平面 ABC.
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【证明】
法一：取AC的中点D，连BD，SD.
∵SA＝SC，∴SD⊥AC.
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第1章
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立体几何初步
法二：如图，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α内作 m⊥a，在β内作n⊥b. ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n. (8分) 又∵n⊂β，m⊄β，∴m∥β.(10分) 又α∩β＝l，m⊂α，∴m∥l，∴l⊥γ. (14分)
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立体几何初步
【名师点评】
(1)空间问题转化成平面问题
提示：可能平行，也可能相交．
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做一做 3.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°， 连结PB，PC，则互相垂直的平面有________
对．
解析：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面 ABC，平面PAC⊥平面PBC.
答案：3
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典题例证技法归纳
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立体几何初步
方法感悟
方法技巧
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立体几何初步
2.立体几何中实现平行与垂直转化的结论常有
以下几种： (1)若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
(2)若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
(3)若a⊥α，a⊥β，则α∥β； (4)若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
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失误防范
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解：(1) 证明：如图，设G为AD的中点，连结PG，
BG.
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB. ∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
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立体几何初步
(2)如图，当F为PC的中点时，满足平面
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立体几何初步
2.在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，E 为 BC 中点，把△ABE 与△CDE 分别沿 AE，DE 折起ห้องสมุดไป่ตู้使 B 与 C 重合于点 P. (1)求证：平面 PDE⊥平面 PAD； (2)求二面角 P－AD－E 的大小．
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立体几何初步
解：(1)证明：∵ABCD 是矩形，∴∠DCE＝∠ ABE＝90°，折起后得∠APE＝∠DPE＝90°. PE⊥PD PE⊥PA ⇒ PA∩PD＝P PDE⊥平面 PAD. PE⊥平面PAD ⇒平面 PE⊂平面PED