2013年上海高考理科数学(答案详解)
2013年上海高考数学试题(理科)解析
4 2013年上海市秋季高考理科数学2•设R , m 2・m-2 • （m 2-1）i 是纯虚数，其中■ ■ 2m m -2 二 0—2 二 m = —2m 2-1 = 0【解答】x 2 y 2 = -2xy= x y = 0 .2 2 24.已知△ ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为 a 、b 、c ,若3a - 2ab - 3b -3c = 0 ,则角C 的 大小是 _______________ （结果用反三角函数值表示）2 2 2 2 2 22 11 【解答】3a 2ab 3b -3c =0= c 二 a b ab ，故 cosC ,C-= -arccox .3 33f a f5 .设常数a E R ，若.x 2十一 I 的二项展开式中x 7项的系数为—10，则a = __________I x 丿 【解答】下 1 =c 5（x 2）5」（a ）r ,2（5-r ）-r =7二 r =1, 故 C s a = -10n a = -2 .x316.方程 ------ +丄=3乂」的实数解为 _________3x -1 3【解答】原方程整理后变为 32x -2 3x -8 =0= 3x =4= x = log 34 .7 .在极坐标系中，曲线 P =COS 日+1与卩COS 。
=1的公共点到极点的距离为 ____________1 + \!51 + xf 5【解答】联立方程组得 「（『-1）=1=『--—,又］_ 0 ,故所求为 --------- .228. ____________________________ 盒子中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6,乙8, 9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编 号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）C 213【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1 -电=13 .C| 189. 设AB 是椭圆-的长轴，点C 在-上,且• CBA ，若AB=4 , BC 二 2 ，则】的两个焦点1.计算：lim n +2° =n—F 3n 13一、填空题【解答】根据极限运算法则,2 2x yx x若 -1 1 = y -y3 • lim^20 J J ：3n 13 3i 是虚数单位，则 m = _________【解答】之间的距离为__________4110.设非零常数 d 是等差数列X | ,X 2, X 3,| |(, X !9的公差，随机变量■等可能地取值X | ,X 2, X 3,| |(,捲9 ,【解答】E =x 10,D 「d (9282 川 12 02 12 川 92) = • 30|d |.V 191 211.若 cosxcosy sinxsiny ,sin 2x sin2y，贝U sin(x y)二2 2 ,sin2x sin2y = 2sin(x y)cos(x - y) ，故 sin(x y)=332二f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 X .0时，f(x)=9x ・^・7，若xf (x) _ a T 对一切x _0成立，则a 的取值范围为2a【解答】f(0)=0，故 0 亠 a1=a_-1 ;当 x 0 时，f(x)=9x 7_a1x8 即 6|a|_a 8，又 a_-1，故 a 岂 72 213.在xOy 平面上，将两个半圆弧(x-1) y =1(x^1)和29(x -3) y =1(x_3)、两条直线y=1和y - -1围成的封 闭图形记为D ，如图中阴影部分•记 D 绕y 轴旋转一周而成 的几何体为 门，过(0, y)(| y 任1)作门的水平截面，所得截面面积为4二'...1 -y 2• 8二，试利用祖暅原理、 一个平放的圆 柱和一个长方体，得出 Q 的体积值为 ____________【解答】根据提示，一个半径为1,高为2二的圆柱平放，一个高为 2，底面面积8二的长方体，这两个几何体与 门放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等， 即门的体积值为二12 2二，2 8二-2二2 *16二. 14.对区间I 上有定义的函数g(x)，记g( I) = {y | y = g(x), I}，已知定义域为[0,3]的函数y 二 f (x)有反函数 y 二 f '(X )，且 f 4([0,1)) =[1,2), f _1((2,4]) =[0,1)，若方程 f (x)-x = 0 有解 X 0，贝V X 。
13年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载
列 a1, a2 , a3,满足 an1 f (an ), n N * 。⑴若 a1 c 2 ，求 a2 及 a3 ；⑵求证：对任意 n N ， an1 an c ；⑶是否存在 a1 ，使得 a1, a2 ,an , 成等差数列？若存在，求出
所有这样的 a1 ，若不存在，说明理由。
厂应该选取何种生产速度?并求最大利润。
21．（6 分+8 分）已知 f x 2sin x，常数 0 ；⑴若 y f x在
1
4, 2 3上单调递增，求 的取值范围；⑵令 2 ，将函数 y f x的图像左移
个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y g x的图像，区间a,b( a,b R 且 a b )
别为 a1, a2 , a3, a4 , a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3, d4 , d5 。若
m, M 分别为 ai a j ak dr ds dt 的最小值、最大值，其中i, j, k 1, 2,3, 4,5，
f 1 2, 4 0,1，若方程 f x x 0 有解 x0 ，则 x0 _____ 。
二．选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
15．设常数 a R ，集合 A x | x 1x a 0， B x | x a 1，若
的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）。
9．设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 CBA ，若 AB 4 ， BC 2 ， 4
则 的两个焦点之间的距离为________。
10．设非零常数 d 是等差数列 x1, x2 , x3,, x19 的公差，随机变量 等可能地取值m来自 ________ 。x2
2013年高考理科数学上海卷-答案
【解析】复数【解析】22 11x y= -【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论【考点】二阶行列式的定义【解析】232a ab+1arccos3-，故答案为2.7x的系数是【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第方程求解即可.x-=，即2380，CBA∠=43b-=-3322x y【解析】cos cosx，sin2sinx+276a x x -=面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为2π16π+.【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值. 【考点】反函数，函数的零点 二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时AB =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围.【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法 16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件. 【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mna a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，i j i a a a a ++为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，，m ()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，m ∴【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 13222223=，所以的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=令1v =，可得，可得(2,1,2)n =-由于(1,0,BC '=-0n BC '∴=-，故有n BC '⊥内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D 的距离|||2||n CB d n ⨯==的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线||||n BC n '的值，即为直线【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定110x ≤≤（2）设利润为110≤≤x故甲厂应以【提示】（）函数11 / 11③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求. 综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明； （3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。
2013年高考理科数学上海卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．计算：limn →∞20313n n ++＝______.答案：13 根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+. 2．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝______.答案：－2 222010m m m ⎧+-=⎪⎨-≠⎪⎩⇒m ＝－2.3．若221 1x y -＝ x x y y-，则x ＋y ＝______.答案：0 x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则角C 的大小是______(结果用反三角函数值表示)．答案：π－arccos13 3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0⇒c 2＝a 2＋b 2＋23ab ，故cos C ＝13-，C ＝1arccos 3π-. 5．设常数a ∈R .若25()a x x +的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.答案：－2 T r ＋1＝255C ()()r r ra x x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2.6．方程31313x+-＝3x －1的实数解为______． 答案：log 34 原方程整理后变为32x －2·3x －8＝0⇒3x ＝4⇒x ＝log 34.7．在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为______．联立方程组得ρ(ρ－1)＝1⇒ρ，又ρ≥0. 8．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．答案：1318 9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1－2529C 13C 18=.9．设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BCΓ的两个焦点之间的距离为______．(如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为2224x y b +＝1，于是可算得C (1,1)，得b 2＝43，2c＝.10．设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方程Dξ＝______.答案：30|d | Eξ＝x 10，Dξ|.d =11．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y )＝______.答案：23 cos(x －y )＝12，sin2x ＋sin2y ＝2sin(x ＋y )cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.12．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝9x ＋2a x＋7.若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．答案：(－∞，87-] f (0)＝0，故0≥a ＋1⇒a ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝9x ＋2a x－7≥a ＋1，即6|a |≥a＋8，又a ≤－1，故a ≤87-.13．在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为48π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．答案：2π2＋16π 根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.14．对区间I 上有定义的函数g (x )，记g (I )＝{y |y ＝g (x )，x ∈I }．已知定义域为[0,3]的函数y ＝f (x )有反函数y ＝f －1(x )，且f －1([0,1))＝[1,2)，f －1((2,4])＝[0,1)．若方程f (x )－x ＝0有解x 0，则x 0＝______.答案：2 根据反函数定义，当x ∈[0,1)时，f (x )∈(2,4]；x ∈[1,2)时，f (x )∈[0,1)，而y ＝f (x )的定义域为[0,3]，故当x ∈[2,3]时，f (x )的取值应在集合(－∞，0)∪[1,2]∪(4，＋∞)，故若f (x 0)＝x 0，只有x 0＝2.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案：B 集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B.16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件答案：B 根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B. 17．在数列{a n }中，a n ＝2n －1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij ＝a i ·a j ＋a i ＋a j (i ＝1,2，…，7；j ＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A ．18B ．28C ．48D ．63答案：A a i ，j ＝a i ·a j ＋a i ＋a j ＝2i ＋j－1，而i ＋j ＝2,3，…，19，故不同数值个数为18，选A.18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记为A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、d 4、d 5.若m 、M 份别为(a i ＋a j ＋a k )·(d r ＋d s ＋d t )的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1,2,3,4,5}，{r ，s ，t }⊆{1,2,3,4,5}，则m 、M 满足( )A ．m ＝0，M ＞0B ．m ＜0，M ＞0C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0答案：D 作图验证知，只有AF DE ⋅ ＝AB DC ⋅＞0，其余均有i r a d ⋅ ≤0，故选D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝2，AD ＝1，AA ′＝1.证明直线BC ′平行于平面D ′AC ，并求直线BC ′到平面D ′AC 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A (1,0,1)，B (1,2,1)，C (0,2,1)，C ′(0,2,0)，D ′(0,0,0)．设平面D ′AC 的法向量n ＝(u ，v ，w )，则n ⊥D A '，n ⊥D C ' .因为D A ' ＝(1,0,1)，D C ' ＝(0,2,1)，n ·D A '＝0，n ·D C ' ＝0， 所以0,20,u w v w +=⎧⎨+=⎩解得u ＝2v ，w ＝－2v .取v ＝1，得平面D ′AC 的一个法向量n ＝(2,1，－2)．因为BC ' ＝(－1,0，－1)，所以n ·BC ' ＝0，所以n ⊥BC ' .又BC ′不在平面D ′AC 内，所以直线BC ′与平面D ′AC 平行．由CB ＝(1,0,0)，得点B 到平面D ′AC 的距离d ＝||||CB ⋅ n n ＝23，所以直线BC ′到平面D ′AC 的距离为23. 20．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解：(1)生产该产品2小时的利润为100(5x ＋1－3x )×2＝200(5x ＋1－3x)． 由题意，200(5x ＋＋1－3x )≥3 000，解得x ≤－15或x ≥3.又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)生产900千克该产品，所用的时间是900x小时， 获得利润为3900100(51)x x x +-⋅＝23190000(5)x x-++，1≤x ≤10.记f (x )＝231x x-+＋5,1≤x ≤10，则f (x )＝21113()5612x --++，当且仅当x ＝6时取到最大值． 最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元． 21．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图像．区间[a ，b ](a ，b ∈R ，且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为函数y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ω＞0， 所以2πω≥23π，且－2πω≤4π-，所以0＜ω≤34.(2)f (x )＝2sin2x ， 将y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin2()6x π+＋1的图像，所以g (x )＝2sin2()6x π+＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋512π或x ＝k π＋34π(k ∈Z )， 所以两个相邻零点之间的距离为3π或23π.若b －a 最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，π＋a ]，[a,2π＋a ]，…，[a ，m π＋a ](m ∈N *)上分别恰有3,5，…，2m ＋1个零点，所以在区间[a,14π＋a ]上恰有29个零点，从而在区间(14π＋a ，b ]上至少有一零点，所以b －a －14π≥3π. 另一方面，在区间55,1412312ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上恰有30个零点，因此，b －a 的最小值为431433πππ+=. 22．如图，已知双曲线C 1：22x －y 2＝1，曲线C 2：|y |＝|x |＋1.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1、C 2都有公共点，则称P 为“C 1C 2型点”．(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y ＝kx 与C 2有公共点，求证|k |＞1，进而证明原点不是“C 1C 2型点”；(3)求证：圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 解：(1)C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x＝y＝(k x ，其中|k |(2)因为直线y ＝kx 与C 2有公共点， 所以方程组,||||1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此|kx |＝|x |＋1，得|k |＝1||x x +＞1.若原点是“C 1C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点．考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx (|k |＞1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx (|k |＞1)，则由方程组22,12y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得x 2＝2212k -＜0，矛盾．所以直线y ＝kx (|k |＞1)与C 1也无公共点．因此原点不是“C 1C 2型点”． (3)记圆O ：x 2＋y 2＝12，取圆O 内的一点Q .设有经过Q 的直线l 与C 1、C 2都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y ＝kx ＋b .若|k |≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝－x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝－kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k |＞1.因为l 与C 1有公共点，所以方程组22,12y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解， 得(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为|k |＞1，所以1－2k 2≠0，因此Δ＝(4kb )2－4(1－2k 2)(－2b 2－2)＝8(b 2＋1－2k 2)≥0， 即b 2≥2k 2－1.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d，所以221b k +＝d 2＜12，从而212k +＞b 2≥2k 2－1， 得k 2＜1，与|k |＞1矛盾． 因此，圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．给定常数c ＞0，定义函数f (x )＝2|x ＋c ＋4|－|x ＋c |.数列a 1，a 2，a 2，…满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)若a 1＝－c －2，求a 2及a 3；(2)求证：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ≥c ；(3)是否存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．解：(1)a 2＝2，a 3＝c ＋10.(2)f(x)＝8,,338,4,8, 4.x c x cx c c x cx c x c++≥-⎧⎪++--≤<-⎨⎪---<--⎩当a n≥－c时，a n＋1－a n＝c＋8＞c；当－c－4≤a n＜－c时，a n＋1－a n＝2a n＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝c；当a n＜－c－4时，a n＋1－a n＝－2a n－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c.所以，对任意n∈N*，a n＋1－a n≥c.(3)由(2)，结合c＞0，得a n＋1＞a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥－c，从而，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8.由于{a n}为等差数列，因此其公差d＝c＋8.①若a1＜－c－4，则a2＝f(a1)＝－a1－c－8，又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，故－a1－c－8＝a1＋c＋8，即a1＝－c－8，从而a2＝0. 当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2＝0＞－c，所以，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，而a2＝a1＋c＋8，故当a1＝－c－8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若－c－4≤a1＜－c，则a2＝f(a1)＝3a1＋3c＋8，又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，所以，3a1＋3c＋8＝a1＋c＋8，得a1＝－c，舍去；③若a1≥－c，则由a n≥a1得到a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上，a1的取值集合为[－c，＋∞)∪{－c－8}．。
2013年上海高考数学试题(理科)含详细解析解答
2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71rrr r a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，|D d ξ==．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j == ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j += ，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅> ，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=C 11A而1ADC ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”． 【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于(±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。
2013年数学高考题上海理解析精校版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：lim n →∞20313n n ++＝______.答案：13 根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+. 2．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝______.答案：－2 222010m m m ⎧+-=⎪⎨-≠⎪⎩⇒m ＝－2.3．若221 1x y -＝ x x y y-，则x ＋y ＝______.答案：0 x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则角C 的大小是______(结果用反三角函数值表示)．答案：π－arccos13 3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0⇒c 2＝a 2＋b 2＋23ab ，故cos C ＝13-，C ＝1arccos 3π-.5．设常数a ∈R .若25()a x x +的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______. 答案：－2 T r ＋1＝255C ()()r r ra x x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2.6．方程31313x+-＝3x －1的实数解为______． 答案：log 34 原方程整理后变为32x －2·3x －8＝0⇒3x ＝4⇒x ＝log 34.7．在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为______．联立方程组得ρ(ρ－1)＝1⇒ρ，又ρ≥0. 8．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．答案：1318 9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1－2529C 13C 18=.9．设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BCΓ的两个焦点之间的距离为______．答案：3(如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为2224x y b +＝1，于是可算得C (1,1)，得b 2＝43，2c＝3.10．设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方程Dξ＝______.答案：30|d | Eξ＝x 10，Dξ|.d =11．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y )＝______.答案：23 cos(x －y )＝12，sin2x ＋sin2y ＝2sin(x ＋y )cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.12．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝9x ＋2a x＋7.若f (x )≥a＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．答案：(－∞，87-] f (0)＝0，故0≥a ＋1⇒a ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝9x ＋2a x－7≥a＋1，即6|a |≥a ＋8，又a ≤－1，故a ≤87-.13．在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为48π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．答案：2π2＋16π 根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.14．对区间I 上有定义的函数g (x )，记g (I )＝{y |y ＝g (x )，x ∈I }．已知定义域为[0,3]的函数y ＝f (x )有反函数y ＝f －1(x )，且f －1([0,1))＝[1,2)，f －1((2,4])＝[0,1)．若方程f (x )－x ＝0有解x 0，则x 0＝______.答案：2 根据反函数定义，当x ∈[0,1)时，f (x )∈(2,4]；x ∈[1,2)时，f (x )∈[0,1)，而y ＝f (x )的定义域为[0,3]，故当x ∈[2,3]时，f (x )的取值应在集合(－∞，0)∪[1,2]∪(4，＋∞)，故若f (x 0)＝x 0，只有x 0＝2.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案：B 集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B.16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：B 根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B.17．在数列{a n }中，a n ＝2n －1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij ＝a i ·a j ＋a i ＋a j (i ＝1,2，…，7；j ＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A ．18B ．28C ．48D ．63答案：A a i ，j ＝a i ·a j ＋a i ＋a j ＝2i ＋j－1，而i ＋j ＝2,3，…，19，故不同数值个数为18，选A.18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记为A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、d 4、d 5.若m 、M 份别为(a i ＋a j ＋a k )·(d r ＋d s ＋d t )的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1,2,3,4,5}，{r ，s ，t }⊆{1,2,3,4,5}，则m 、M 满足( )A ．m ＝0，M ＞0B ．m ＜0，M ＞0C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0答案：D 作图验证知，只有AF DE ⋅ ＝AB DC ⋅ ＞0，其余均有i r a d ⋅≤0，故选D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝2，AD ＝1，AA ′＝1.证明直线BC ′平行于平面D ′AC ，并求直线BC ′到平面D ′AC 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A (1,0,1)，B (1,2,1)，C (0,2,1)，C ′(0,2,0)，D ′(0,0,0)．设平面D ′AC 的法向量n ＝(u ，v ，w )，则n ⊥D A '，n ⊥D C ' .因为D A ' ＝(1,0,1)，D C ' ＝(0,2,1)，n ·D A '＝0，n ·D C ' ＝0， 所以0,20,u w v w +=⎧⎨+=⎩解得u ＝2v ，w ＝－2v .取v ＝1，得平面D ′AC 的一个法向量n ＝(2,1，－2)．因为BC ' ＝(－1,0，－1)，所以n ·BC ' ＝0，所以n ⊥BC '. 又BC ′不在平面D ′AC 内，所以直线BC ′与平面D ′AC 平行．由CB ＝(1,0,0)，得点B 到平面D ′AC 的距离d ＝||||CB ⋅n n ＝23，所以直线BC ′到平面D ′AC 的距离为23. 20．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解：(1)生产该产品2小时的利润为100(5x ＋1－3x )×2＝200(5x ＋1－3x)． 由题意，200(5x ＋＋1－3x )≥3 000，解得x ≤－15或x ≥3.又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)生产900千克该产品，所用的时间是900x小时， 获得利润为3900100(51)x x x +-⋅＝23190000(5)x x-++，1≤x ≤10.记f (x )＝231x x-+＋5,1≤x ≤10，则f (x )＝21113()5612x --++，当且仅当x ＝6时取到最大值． 最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元． 21．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图像．区间[a ，b ](a ，b ∈R ，且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为函数y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ω＞0， 所以2πω≥23π，且－2πω≤4π-，所以0＜ω≤34.(2)f (x )＝2sin2x ， 将y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin2()6x π+＋1的图像，所以g (x )＝2sin2()6x π+＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋512π或x ＝k π＋34π(k ∈Z )， 所以两个相邻零点之间的距离为3π或23π.若b －a 最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，π＋a ]，[a,2π＋a ]，…，[a ，m π＋a ](m ∈N *)上分别恰有3,5，…，2m ＋1个零点，所以在区间[a,14π＋a ]上恰有29个零点，从而在区间(14π＋a ，b ]上至少有一零点，所以b －a －14π≥3π. 另一方面，在区间55,1412312ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上恰有30个零点，因此，b －a 的最小值为431433πππ+=. 22．如图，已知双曲线C 1：22x －y 2＝1，曲线C 2：|y |＝|x |＋1.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1、C 2都有公共点，则称P 为“C 1C 2型点”．(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y ＝kx 与C 2有公共点，求证|k |＞1，进而证明原点不是“C 1C 2型点”；(3)求证：圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 解：(1)C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x＝y＝(k x ，其中|k |(2)因为直线y ＝kx 与C 2有公共点， 所以方程组,||||1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此|kx |＝|x |＋1，得|k |＝1||x x +＞1.若原点是“C 1C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点．考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx (|k |＞1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx (|k |＞1)，则由方程组22,12y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得x 2＝2212k -＜0，矛盾．所以直线y ＝kx (|k |＞1)与C 1也无公共点．因此原点不是“C 1C 2型点”． (3)记圆O ：x 2＋y 2＝12，取圆O 内的一点Q .设有经过Q 的直线l 与C 1、C 2都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y ＝kx ＋b .若|k |≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝－x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝－kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k |＞1.因为l 与C 1有公共点，所以方程组22,12y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解， 得(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为|k |＞1，所以1－2k 2≠0，因此Δ＝(4kb )2－4(1－2k 2)(－2b 2－2)＝8(b 2＋1－2k 2)≥0， 即b 2≥2k 2－1.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d，所以221b k +＝d 2＜12，从而212k +＞b 2≥2k 2－1， 得k 2＜1，与|k |＞1矛盾． 因此，圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．给定常数c ＞0，定义函数f (x )＝2|x ＋c ＋4|－|x ＋c |.数列a 1，a 2，a 2，…满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.(1)若a 1＝－c －2，求a 2及a 3；(2)求证：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ≥c ；(3)是否存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．解：(1)a 2＝2，a 3＝c ＋10.(2)f (x )＝8,,338,4,8, 4.x c x c x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪++--≤<-⎨⎪---<--⎩当a n ≥－c 时，a n ＋1－a n ＝c ＋8＞c ；当－c －4≤a n ＜－c 时，a n ＋1－a n ＝2a n ＋3c ＋8≥2(－c －4)＋3c ＋8＝c ； 当a n ＜－c －4时，a n ＋1－a n ＝－2a n －c －8＞－2(－c －4)－c －8＝c . 所以，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ≥c .(3)由(2)，结合c ＞0，得a n ＋1＞a n ，即{a n }为无穷递增数列． 又{a n }为等差数列，所以存在正数M ，当n ＞M 时，a n ≥－c ， 从而，a n ＋1＝f (a n )＝a n ＋c ＋8.由于{a n }为等差数列，因此其公差d ＝c ＋8. ①若a 1＜－c －4，则a 2＝f (a 1)＝－a 1－c －8，又a 2＝a 1＋d ＝a 1＋c ＋8，故－a 1－c －8＝a 1＋c ＋8，即a 1＝－c －8，从而a 2＝0. 当n ≥2时，由于{a n }为递增数列，故a n ≥a 2＝0＞－c ， 所以，a n ＋1＝f (a n )＝a n ＋c ＋8，而a 2＝a 1＋c ＋8，故当a 1＝－c －8时，{a n }为无穷等差数列，符合要求； ②若－c －4≤a 1＜－c ，则a 2＝f (a 1)＝3a 1＋3c ＋8， 又a 2＝a 1＋d ＝a 1＋c ＋8，所以，3a 1＋3c ＋8＝a 1＋c ＋8，得a 1＝－c ，舍去；③若a 1≥－c ，则由a n ≥a 1得到a n ＋1＝f (a n )＝a n ＋c ＋8， 从而{a n }为无穷等差数列，符合要求．综上，a 1的取值集合为[－c ，＋∞)∪{－c －8}．。
2013年高考理科数学上海卷-答案
3322面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π12π28π2π16π+=+g g g ，故答案为2π16π+.【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞U U ，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值. 【考点】反函数，函数的零点 二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞U ，[1,)B a =-+∞，若A B =R U ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时A B =R U ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞U ，[1,)B a =-+∞，若A B =R U ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围.【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法 16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件. 【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mna a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，11 / 11③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求. 综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞U .【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明； （3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。
2013年高考理科数学上海卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.计算：20lim313n n n →∞+=+ .2.设m ∈R ,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m = .3.若2211x xx y y y =--,则x y += . 4.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）.5.设常数a ∈R .若25()ax x+的二项展开式中7x 项的系数为10-,则a = .6.方程1313313x x -+=-的实数解为 .7.在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为 .8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）. 9.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为 .10.设非零常数d 是等差数列1x ,2x ,…,19x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1x ,2x ,…,19x ,则方差D ξ= .11.若1cos cos sin sin 2x y x y +=,2sin 2sin 23x y +=,则sin()x y += .12.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++.若()1f x a +≥对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 .13.在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直 线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ,如 图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的 几何体为Ω.过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水 平截面,所得截面面积为48π,试 利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方 体,得出Ω的体积值为 .14.对区间I 上有定义的函数()g x ,记(){|()g I y y g x ==,}x I ∈.已知定义域为[0,3] 的函数()y f x =有反函数1()y f x -=,且1([0,1))[1,2)f -=,1((2,4])[0,1)f -=.若 方程()0f x x -=有解0x ,则0x = .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设常数a ∈R ,集合{|(1)()0}A x x x a =--≥,{|1}B x x a =-≥.若A B =R ,则a 的取值范围为( )A .(,2)-∞B .(,2]-∞C .(2,)+∞D .[2,)+∞16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 ( )A .充分条件B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件17.在数列{}n a 中,21n n a =-.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素 ,i j i j i j c a a a a =++（1i =,2,…,7；1j =,2,…,12）,则该矩阵元素能取到的 不同数值的个数为( ) A .18B .28C .48D .6318.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d .若m 、M 分别为()()i j k r s ta a a d d d ++++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m ,M 满足--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）( )A .0m =,0M >B .0m <,0M >C .0m <,0M =D .0m <,0M <三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,=2AB ,1AD =,1AA '=.证明直线BC '平行于平面C D A ',并求直线BC '到平面C D A '的距离.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）,每一小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x 的取值范围；（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>.（Ⅰ）若()y f x =在,π2π[]43﹣上单调递增,求ω的取值范围；（Ⅱ）令2ω=,将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象.区间[,]a b （,a b ∈R ，且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.如图,已知双曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“12C C -型点”.（Ⅰ）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （Ⅱ）设直线y kx =与2C 有公共点,求证：||1k >,进而证明原点不是“12C C -型点”； （Ⅲ）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+.数列1a ,2a ,3a ,…满足 1()n n a f a +=,n ∈*N .（Ⅰ）若12a c =--,求2a 及3a ；（Ⅱ）求证：对任意n ∈*N ,1n n a a c +-≥；（Ⅲ）是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…,n a ,…成等差数列？若存在,求出所有这样的 1a ；若不存在,说明理由.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析一、填空题1.【答案】13【解析】201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++，故答案为13. 【提示】由数列极限的意义即可求解. 【考点】数列的极限 2.【答案】2-【解析】复数2(2)(1)i z m m m =-+-+为纯虚数，220m m ∴+-=，210m -≠，解得2m =-，故答案为2-.【提示】根据纯虚数的定义可得210m -=，210m -≠，由此解得实数m 的值. 【考点】复数的基本概念 3.【答案】0 【解析】2211x x x y y y =--，222x y xy ∴+=-，2()0x y ∴+=，0x y ∴+=，故答案为0.【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论. 【考点】二阶行列式的定义 4.【答案】1πarccos 3- 【解析】22232330a ab b c ++-=，22223a b c ab∴+-=-，222213cos 223aba b c C ab ab -+-∴===-.1πarccos 3C ∴=-，故答案为1πarccos 3-.【提示】把式子22232330a ab b c ++-=变形为22223a b c ab +-=-，再利用余弦定理222cos 2a b c C ab+-=即可得出. 【考点】余弦定理 5.【答案】2-【解析】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为102103155rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1037r -=得1r =，7x ∴的系数是15aC .7x 的系数是10-，1510aC ∴=-，解得2a =-，故答案为2-. 【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r +项，令x 的指数为7求得7x 的系数，列出方程求解即可. 【考点】二项式系数的性质 6.【答案】3log 4【解析】方程1313313x x -+=-，即3193133(31)x x-+-=-，即11833(33)x x x --+=-，化简可得232380x x --=，即(34)(32)0x x-+=.解得34x =，或32x =-（舍去），3log 4x ∴=，故答案为3log 4.【提示】化简方程1313313x x -+=-为3193133(31)x x-+-=-，即(34)(32)0x x -+=，解得34x =，可得x 的值. 【考点】函数的零点 7.【答案】12【解析】由cos 1ρθ=+得，cos 1θρ=-，代入cos 1ρθ=得(1)1ρρ-=，解得ρ=或ρ=，所以曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=，.【提示】联立cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=消掉θ即可求得ρ，即为答案. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，两点间的距离公式 8.【答案】1318【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为2936C =种；取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为2510C=种；则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为105368=；所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是51311818-=；故答案为13 18.【提示】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式9.【解析】如图，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由题意知，24a=，2a=，π4CBA∠=，BC=∴点C的坐标为(1,1)C-，因点C在椭圆上，222(1)114b-∴+=，243b∴=，22248433c a b∴=-=-=，3c=，则Γ的两个焦点之间的距离为3，故答案为.【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质10.【答案】230d【解析】由题意可得112191191819291919x dx x xE x dξ⨯++++===+….11(1)(9)(10)nx E x n d x d n dξ∴-=+--+=-，222222222212[(9)(8)()0(2)(9)](129)1919dD d d d d d dξ∴=-+-++-+++++=+++………2229101930196dd⨯⨯=⨯=，故答案为230d.【提示】利用等差数列的前n项和公式可得121911918192x x x x d⨯+++=+…和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出22212191[()()()]19D xE x E x Eξξξξ=-+-++-…即可得出.【考点】极差，方差与标准差11.【答案】23【解析】1cos cos sin sin2x y x y+=，1cos()2x y∴-=，2sin2sin23x y+=，2sin[()()]sin[()()]3x y x y x y x y∴++-++--=，22sin()cos()3x y x y∴+-=，122sin()23x y∴+⨯=，2sin()3x y∴+=，故答案为23.【提示】利用两角差的余弦公式及1cos cos sin sin2x y x y+=，可得1cos()2x y-=，再利用和差化积公式2sin2sin23x y+=，得到22sin()cos()3x y x y+-=，即可得出sin()x y+.【考点】三角函数的和差化积公式，两角和与差的余弦函数12.【答案】87a≤-【解析】因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以当0x=时，()0f x=；当0x>时，则0x-<，所以2()97af x xx-=--+，因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以2()97af x xx=+-；因为()1f x a≥+对一切0x≥成立，所以当0x=时，01a≥+成立，所以1a≤-；当0x>时，2971ax ax+-≥+成立，只需要297axx+-的最小值1a≥+，数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）因为29776||7a x x a x x+-≥-=-，所以6||71a a -≥+，解得85a ≥或87a ≤-，所以87a ≤-，故答案为87a ≤-.【提示】先利用()y f x =是定义在R 上的奇函数求出0x ≥时函数的解析式，将()1f x a ≥+对一切0x ≥成立转化为函数的最小值1a ≥+，利用基本不等式求出()f x的最小值，解不等式求出a 的范围. 【考点】函数奇偶性的性质，基本不等式 13.【答案】22π16π+【解析】因为几何体为Ω的水平截面的截面积为48π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为22π16π+.【提示】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可. 【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值.【考点】反函数，函数的零点 二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若AB =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时A B =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mn a a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值.故选A . 【提示】由于该矩阵的第i行第j列的元素数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）,(21)(21)212121i j i j i j i j i j i j a a a a a +=++=--+-+-=-(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，要使(,1,2,,7;,1,2,,12)ij mn i m j a n a ===…….则满足2121i j m n ++-=-，得到i j m n +=+，由指数函数的单调性可得：当i j m n +≠+时，ij mn a a ≠，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，即可得出. 【考点】数列的函数特性 18.【答案】D【解析】由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，0m ∴<，0M <，故选D .【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，从而可结论.【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 三、解答题 19.【答案】23【解析】解法一：因为-ABCD A B C D ''''为长方体，故AB C D ''∥，AB C D ''=，故A B CD''为平行四边形，故BC AD ''∥，显然BC '不在平面D AC '内，于是直线BC '平行于平面D AC '.直线BC '到平面D AC '的距离即为点B 到平面D AC '的距离，设为h ，考虑三棱锥-D ABC '的体积，以ABC 为底面，可得三棱锥-D A B C '的体积为111111323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，而A DC '△中，AC D C '==AD '=C A D '△的底边AD '上的高为，故C A D '△的面积1322223CAD S '==△，所以13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC '到平面D AC '的距离为23.解法二：以D A ''所在的直线为x 轴，以D C ''所在的直线为y 轴，以D D '所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、(0,2,0)C '、(0,0,0)D '.设平面D AC '的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=，020u w v w +=⎧∴⎨+=⎩，解得22u vw v =⎧⎨=-⎩. 令1v =，可得2u =，2w =-，可得(2,1,2)n =-. 由于(1,0,1)BC '=--，0n BC '∴=-，故有n BC '⊥再由BC '不在平面D AC '内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D AC '的距离||23||n CB d n ===，故直线BC '到平面D AC '的距离为23. 【提示】解法一：证明ABC D ''为平行四边形，可得BC AD ''∥，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC '平行于平面D AC '.所求的距离即点B 到平面D AC '的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的值；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D AC '的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线BC '平行于平面D AC '.求出点B 到平面D AC '的距离||||n BC d n '=的值，即为直线BC '到平面D AC '的距离.【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定 20.【答案】（1）135x ≤≤-（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元【解析】（1）生产该产品2小时获得的利润为3310051220051x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据题意，3200513000x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即251430x x --≥3x ∴≥或15x ≤- 110x ≤≤，135x ∴≤≤-；（2）设利润为y 元，则生产900千克该产品获得的利润为390010051y x x x ⎛⎫=+-⨯⎪⎝⎭数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）2423111619000059103612x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦110x ≤≤，6x ∴=时，取得最大利润为46191045750012⨯⨯=元 故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.【提示】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x 的取值范围； （2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润. 【考点】函数模型的选择与应用 21.【答案】（1）304ω<≤ （2）43π3【解析】（1）函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，π2π23ω∴≥，且ππ24ω-≤-，解得304ω<≤； （2）()2sin 2f x x =，∴把()y f x =的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到π2s i n 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴函数π()2s i n 216y g x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，令()0g x =，得5ππ12x k =+，或3ππ4x k =+()k ∈Z .∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a a +，[,2π]a a +，…，*[,π]()a m a m +∈N 分别恰有3，5，…，21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，π14π3b a ∴--≥.另一方面，在区间5ππ5π,14π12312⎡⎤++⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，因此b a -的最小值为π43π14π33+=. 【提示】（1）已知函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，利用正弦函数的单调性可得π2π23ω≥，且ππ24ω-≤-，解出即可； （2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到π()2sin 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a m a +*()m ∈N 恰有21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件.进一步即可得出b a -的最小值.【考点】正弦函数的单调性，根的存在性及根的个数判断，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换22.【答案】（1）C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x =(y k x =，其中||k ≥； （2）证明：因为直线y kx =与C 2有公共点，所以方程组||||1y kxy x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此||||1kx x =+，得||1||1||x k x +=>.若原点是“12-C C 型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点.考虑过原点与C 2有公共点的直线0x =或(||1)y kx k =>，显然直线0x =与C 1无公共点.如果直线为(||1)y kx k =>，则由方程组221y kx x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222012x k =<-，矛盾.所以直线(||1)y kx k =>与C 1也无公共点.因此原点不是“12-C C 型点”. （3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l ：y kx b =+.若||1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以||1k >.因为l 与C 1由公共点，所以方程组221y kx b x y x=+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得222(12)4220k x kbx b ----=.因为||1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l的距离d =，所以222112k b d =<+，从而2221212kb k +>≥-，得21k <，与||1k >矛盾.因此，圆2212x y +=内的点不是“12-C C 型点”.【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为(，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“12-C C 型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）该焦点与(0,1)连线的斜率；（2）由直线y kx =与C 2有公共点联立方程组有实数解得到||1k ≤，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C 1和C 2有公共点； （3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线1y x =±与1y x =-±之间，进而说明当||1k ≤时过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2无公共点，当||1k >时，过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k 的范围，结果与||1k >矛盾.从而证明了结论.【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 23.【答案】（1）21()(2)2|24||2|422a f a f c c c c c ==--=--++---+=-=，31()(2)2|24||2|2(6)(2)10a f a f c c c c c ===++-+=+-+=+；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩当n a c ≥-时，18n n a a c c +=-+>；当4n c a c --≤<-时，12382(4)38n n n a a a c c c c +=++≥--++=-； 当4n a c <--时，1282(4)8n n n a a a c c c c +=-->------=-. ∴对任意*n ∈N ，1n n a a c +-≥；（3）假设存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列. 由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列. 又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，n a c ≥-，从而1()8n n n a f a a c +==++，由于{}n a 为等差数列，因此公差8d c =+. ①当14a c <--时，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--， 从而20a =，当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20n a a c ≥=>-，1()8n n n a f a a c +=∴=++，而218a a c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；②若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118a a d a c =+=++，113388a c a c ∴++=++， 得1a c =-，应舍去；③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求.综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。
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2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71r r r r a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-．6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ±-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C，得24,233b c ==．10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，|D d ξ==．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-．13．在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A)(,2)-∞ (B)(,2]-∞ (C)(2,)+∞ (D)[2,)+∞ 【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ． 17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j == ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j += ，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s ta a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A)0,0m M => (B)0,0m M <>(C)0,0m M <= (D)0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅> ，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=而1ADC ∆中，11AC DC AD ===132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max457500y =元．C 11A21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”． 【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于()2±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则 (||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则 2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。