整式乘法公式的灵活运用
复习课——整式乘法-公式法
2
=(-1) -(2xy) =1-4x y
2
2
2 2
解疑合探：
1. 平方差公式 (a+b) (a-b)=a2-b2
公 式 的 特 征
两个二项式相乘，其中两项相同， 另两项相反，结论是相同项的平方减去 相反项的平方. 2. 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
两项和或差的平方等于这两项 的平方和加上或减去它们积的2倍.
数形结合：
在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形 ，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部 分的面积相等，可以验证（ ） 2 2 2 2 2 ( a 2 b )( a b ) a ab 2 b A. (a b) a 2ab b B.
C.
a bБайду номын сангаас (a b)(a b)
(1) 已知:x-y=2,y-z=2, x+z=14,
求：x2-z2 (2) 已知 :a+b=8,ab=15,求下列各式的
值: (1)a2+b2 (2) (a-b)2
(3) 已知：（a+b）² =11，（a-b）² =7 则 ab=___
本节课有什么收获？ 对自己和同学有什么建议？
(1)(x+y)(x2+y2)(x-y) (2)(-3x+2y)(-3x-2y)(9x2-4y2) (3)(x+1)(x-3)-(2x+1)(2x-1)-(x-1)2 (4)(a-2b+3)(a+2b-3)
.
二、试一试，算一算
(1)先化简再求值：
(2a+b)(2a-b)+3(-b+2a)2+(-3a)(4a-3b)-(3a-b)(2a+b)
第一讲整式的乘除(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对整式的乘除运算表现出较大的兴趣，但同时也存一些问题。在导入新课环节，通过日常生活中的实例引入整式的乘除概念，学生们能够很快地进入学习状态，这让我觉得这个切入点是成功的。
然而，在理论介绍和案例分析环节，我发现部分学生对分配律和乘法公式的理解还不够透彻，导致在实际运算中容易出现错误。在今后的教学中，我需要更加注重对这部分内容的讲解和巩固，可以通过更多的例题和练习来加强学生对这些概念的理解。
突破方法：通过具体例题演示分配律的应用，让学生反复练习，加深理解。
（2）乘法公式的记忆与运用：学生对乘法公式的记忆容易混淆，导致在计算过程中公式应用错误。
突破方法：通过对比、归纳总结，帮助学生记忆乘法公式，并通过大量练习巩固应用。
（3）整式除法的步骤：整式除法的步骤相对复杂，学生容易在运算过程中出现错误。
在总结回顾环节，学生对整式的乘除运算有了更为全面的掌握，但仍有个别学生存在疑问。在课后，我会鼓励这部分学生主动提问，及时解答他们的疑惑，帮助他们更好地消化和吸收所学知识。
1.强化学生对基本概念和公式的理解和记忆。
2.通过丰富多样的教学手段，提高学生的学习兴趣和参与度。
3.加强对学生的个别辅导，关注他们的学习需求。
第一讲整式的乘除（教案）
一、教学内容
本讲主要围绕初中数学教材中“整式的乘除”这一章节展开。内容包括：
1.单项式乘单项式：介绍相同字母相乘、不同字母相乘的运算规则，以及如何简化乘积。
2.单项式乘多项式：通过分配律展开乘法运算，解决实际应用问题。
3.多项式乘多项式：运用分配律和结合律进行乘法运算，掌握乘积的简化方法。
在新课讲授过程中，我尽量将重点和难点内容进行详细讲解，但发现学生在实践活动和小组讨论中，还是会对一些细节问题产生疑惑。这说明我在教学中可能没有充分考虑到学生的接受程度，或者讲解方式不够通俗易懂。为此，我将在接下来的课程中尝试用更简洁明了的语言进行讲解，并加强对学生的个别辅导。
乘法公式
生活中的数学
有一个正方形的花园,若它的边长增加3米,则花园面积将增 加39平方米,求原来花园的面积.
x
3
解:设原正方形花园的边长x为米,那么 增加后的边长为(x+3)米由题意得
x
3
x2
3x
3x
32
(x+3)2-x2=39
X2+6x+9-x2=39 6x=30
∵X=5
∴X2=25 答:原来花园的面积为25平方米.
整式的乘法 公式（1）
温
故
多项式与多项式相乘的法则
2
(x+y)(c+d) = xc +xd +yc +yd
3 4
1
1
2
3
4
多项式与多项式相乘，先用其中 一个多项式的每一项去乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加。
学习目标：
2、会计算形如（x+a）(x+b)
练习&反馈
1、理解形如（x+a)(x+b)的两个一次二项式相乘法则
—
2
长方形的面积=(45+15) ×(45-15) =60×30 =1800
结论： (45+15)(45-15)=452-152
几何意义
a a
b
a
2
b2
剩下的面积=a2-b2
长方形的面积=(a+b)(a-b)
结论： (a+b)(a-b)=a2-b2
典型例题
利用平方差公式计算 (1) (5+6x) (5-6x)
( x 5)
2
2
2 2 4 x 12 mx 9 m (2x 3m)
整式的乘法
整式的乘法教学目标1、 掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的算理。
2、 灵活运用公式，简化计算。
例练结合1、单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
【例1】计算（1）)6()a 232ab b -∙（ （2）2222)x 3()x 2(y -∙- 解：（1）原式)()()]6()2[(32b b a a ∙∙∙∙-⨯-=4312b a =（2）原式44292y x x ∙-= 442)](9)2[(y x x ∙⨯-=4618y x -=练1、计算)34()16(2ab bc a -∙-2、单项式乘以多项式的运算法则单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.【例2】计算（1）)133()2(23+-∙-xy xy y x （2）)24()3(2y y x y --∙-解：（1）原式1)2()3()2(323323∙-+-∙-+∙-=y x xy y x xy y xy x y x y x 32434266-+-=（2）原式)2()3()4()3(2y y y x y -∙-+-∙-=2226y x 12y +=练2、计算)123()2(222--∙-ab b a ab3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。
【例3】计算（1）)2)(42(-+n n （2）)53)(32(n m n m --解：（1）原式)2(44)2(222-⨯++-⨯+=n n n84422-+-=n n n8-n 22=（2）原式)5()3(3)3()5(262n n m n n m m -∙-+∙-+-∙+=2215910mn m 6n mn +--=2215196n mn m +-=练3、计算（1）5)-1)(x (2x + （2）)4)(32(-+-x x4.综合运算【例4】先化简，再求值：)152()2)(96(22+-----a a a a a a ，其中2a -=。
整式的乘法公式教案
整式的乘法公式教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解并掌握整式的乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式；（2）能够运用整式的乘法公式进行简便计算。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示和练习，引导学生发现整式乘法公式；（2）培养学生运用公式进行计算的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生积极主动探究问题的习惯。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）掌握整式的乘法公式；（2）能够运用整式的乘法公式进行计算。
2. 教学难点：（1）整式乘法公式的推导过程；（2）灵活运用整式乘法公式解决实际问题。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）教学课件或黑板；（2）练习题。
2. 学生准备：（1）预习整式乘法公式；（2）准备笔记本，记录重点知识。
四、教学过程：1. 导入：（1）复习相关知识，如整式的加减法；（2）提问：能否将整式的加减法推广到乘法？2. 知识讲解：（1）通过实例演示，引导学生发现整式乘法公式；（2）讲解平方差公式和完全平方公式的推导过程；（3）强调公式中的各项系数和指数的变化规律。
3. 练习与讲解：（1）让学生分组讨论，互相解答疑问；（2）选取典型题目进行讲解，分析解题思路；（3）引导学生运用整式乘法公式进行计算。
4. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结整式乘法公式的特点；（2）强调学生在练习中需要注意的问题。
五、课后作业：1. 请学生完成课后练习题，巩固整式乘法公式的运用；2. 鼓励学生自主探究，发现整式乘法公式的拓展应用。
六、教学拓展：1. 平方差公式的拓展：（1）引导学生发现平方差公式的推广形式；（2）举例说明平方差公式在实际问题中的应用。
2. 完全平方公式的拓展：（1）引导学生发现完全平方公式的推广形式；（2）举例说明完全平方公式在实际问题中的应用。
七、课堂练习：1. 请学生独立完成练习题，检验对整式乘法公式的掌握程度；2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。
初中数学整式的乘法教案设计
初中数学整式的乘法教案设计一、教学目标1. 让学生理解整式乘法的概念和意义。
2. 掌握整式乘法的基本方法和技巧。
3. 能够应用整式乘法解决实际问题。
二、教学内容1. 整式乘法的定义和性质。
2. 整式乘法的基本方法：平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式。
3. 整式乘法的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：整式乘法的概念、方法和应用。
2. 难点：整式乘法的灵活运用和解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲解法、示范法、练习法、问题驱动法等教学方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
五、教学过程1. 导入：通过复习整式的相关知识，引出整式乘法的学习。
2. 新课讲解：讲解整式乘法的定义、性质和基本方法，并通过示例进行演示。
3. 课堂练习：让学生进行整式乘法的练习，巩固所学知识。
4. 应用拓展：引导学生运用整式乘法解决实际问题，提高学生的应用能力。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：对课堂教学进行反思，为下一步教学做好准备。
1. 评价内容：学生对整式乘法概念的理解、方法的掌握和应用能力的提高。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、学生讲解等。
3. 评价标准：能正确理解和运用整式乘法，解决实际问题，思维敏捷，计算准确。
七、教学资源1. 教材：人教版《数学》八年级上册。
2. 多媒体课件：整式乘法的相关图片、动画、例题等。
3. 练习题：课后习题、同步练习册等。
4. 教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解整式乘法的定义、性质和基本方法。
2. 第3-4课时：练习整式乘法，巩固所学知识。
3. 第5-6课时：应用整式乘法解决实际问题。
九、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、学生学习情况等。
2. 反思方法：自我反思、学生反馈、同行评价等。
3. 反思改进：针对存在的问题，调整教学方法，优化教学内容，提高教学质量。
十、课后作业1. 完成课后习题，巩固整式乘法知识。
整式的乘法运算
整式的乘法【内容介绍】本次资料主要包含数学科目，重点指导学生了解整式的乘法，掌握整式乘法的解题方法；主要是通过要点梳理，帮助大家综合掌握整式乘法的解题方法，再通过典型例题的分析，帮助大家了解常考题型。
建议大家深入学习掌握要点梳理，认真研读例题，并在日常学习中注重练习，实现对学习目标的综合把握。
【学习目标】1. 掌握正整数幂的同底数幂的乘法法则；并能运用它们熟练地进行运算和逆运算；2. 能用幂的乘方运算法则进行运算，并能运用它们熟练地进行运算和逆运算；3. 能用积的乘方运算法则进行运算，并能运用它们熟练地进行运算和逆运算；4. 运用同底数幂的除法运算法则，熟练、准确地进行计算和逆运算.【要点梳理】知识要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.知识要点二、同底数幂的逆运算法则逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的a a a m n m n ⋅=+m n ,⋅⋅=++a a a a m n p m n p m n p ,,底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即（都是正整数）.知识要点三、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 公式的推广： (，均为正整数) 知识要点四、同底数幂的逆运算法则 逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识要点五、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.公式的推广： (为正整数). 知识要点六、积的乘方逆运算法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识要点七、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.=⋅+a a a m n m n m n ,a a m n mn =()m n ,a a m n p mnp =(())a ≠0m n p ,,==a a a mn m n nm)()(ab a b n n n =⋅()n abc a b c n n n n =⋅⋅()n =a b ab n n n )(⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⨯=⨯=⎛⎫⎛⎫2222 1.11101010（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简负号的习惯. 知识要点八：同底数幂相除运算法则同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，即：÷=−a a a m n m n （a≠0，m,n 都是整数且m ＞n ） 注意事项：（1）因为零不能作除数，所以底数a ≠0；（2）同底数幂的除法运算与同底数幂的乘法运算互为逆运算；（3）运用法则的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该法则，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；（4）注意指数是“1”的情况，如a a a ÷=−551而不是a −50；（5）该法则可以推广运用，如÷÷=−−a a a a m n p m n p （a ≠0，m 、n 、p 为正整数，m ＞+n p ）；（6）底数a 可以取除零之外的任何数、单项式或多项式；（7）注意同底数幂的除法法则的逆用，−=÷a a a m n m n （a ≠0，m 、n 为正整数，m ＞n ）；（8）同底数幂的除法的结果可用乘法来验证. 要点九：零指数、负指数的意义1．零指数的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即=≠a a 1(0)0 2. 负整数指数的意义：任何不等于零的数的－P （P 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数，即：=−a a pp1（a≠0,P 是正整数）【典型例题】类型一、同底数幂相乘1．计算．（1）25×22 （2）a 3•a 7 （3）5m ×5n （4）x 2•x 6 【答案】（1）27；（2）a 10；（3）5m+n ；（4）x 8.【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m ⋅a n =a m+n ，计算即可.解：（1）25×22=25+2=27； （2）a 3⋅a 7=a 3+7=a 10；（3）5m ×5n =5m+n ； （4）x 2⋅x 6=x 8.【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键.举一反三： 【变式1】计算：（1）−x x 43（2）⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫221123（3）−a a a a 6253 （4）−−x y x y 32)()(【答案】（1）−x 7；（2）321；（3）0；（4）−x y 5)( 【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,逐一计算即可.解：（1）−=−=−+x x x x 43437（2）⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+2222321111123235（3）−=−=−=++a a a a a a a a 06253625388 （4）−−=−=−+x y x y x y x y 32325)()()()(.【点拨】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.类型二、同底数幂相乘的逆运算2．已知a x ＝－2，a y ＝3．求：(1) a x ＋y 的值； (2) a 3x 的值； (3) a 3x ＋2y 的值． 【答案】(1)－6；(2)－8；(3)－72试题分析：（1）逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答； （3）逆运用幂的乘方，底数不变指数相乘解答；（3）逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可得解．解：(1) a x ＋y =a x •a y =－2×3=－6；(2)a 3x =(a x )3=(－2)3=－8； (3) a 3x ＋2y =(a 3x )•(a 2y )=(a x )3•(a y )2 =(－2)3×32 =－8×9 =－72．举一反三：【变式1】 已知2x =3，2y =5， 求2++x y 3的值． 【答案】120.【分析】根据同底数幂乘法的逆用求解即可．解：∵2x=3，2y=5，∴2++x y3=2x·2y ·23=3×5×8=120.【点拨】此题考查同底数幂乘法的逆用，解题关键在于掌握运算法则.类型三、用科学记数法表示数的乘法3．废旧电池是危险的固体废弃物之一，如果处理不当，不但会严重污染土壤和水源，还将直接危害人体健康. 一粒纽扣电池可使6×105kg水受到污染，相当于一个人一生的饮水量！我国每年约有8000万粒纽扣电池报废，如果处理不当，每年将会有多少水受到污染(请用科学记数法表示)？【答案】4.8×1013kg.【分析】先列式计算，再用科学记数法表示.解：由题意，得6×105×80000000=6×105×8×107=48×1012=4.8×1013(kg).答案为：4.8×1013kg.【点拨】本题考查用科学记数法表示大数．用科学记数法表示数的关键是确定a与10的指数n，确定a时，要注意范围，n等于原数的整数位数减1.举一反三：【变式1】1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤完全燃烧放出的热量，据估计地壳里含9.2×109千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤完全燃烧放出的热量？【答案】3.45×1015【解析】试题分析：根据题意可得：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×105×9.2×109千克煤放出的热量，利用同底数幂的乘法计算即可求得答案．解：3.75×105×9.2×109=34.5×1014=3.45×1015（千克）.答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.45×1015千克煤完全燃烧放出的热量.点拨：本题考查了同底数幂的乘法的应用，解决本题时要掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．类型四、幂的乘方运算4．计算题（结果用幂的形式表示）： （1）⨯2223（2）x 23)(（3）−⋅332532)()(【答案】（1）25；（2）x 6；（3）−316 【分析】（1）（2）（3）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则计算即可． 解：（1）⨯2223=+223 =25；（2）x23)(=⨯x 23 =x 6；（3）−⋅332532)()(=−⋅⨯⨯332352 =−⋅33610 =−+3610 =−316【点拨】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．举一反三： 【变式1】计算：（1）1032)(（2）−n n n 32)(【答案】（1）106；（2）n 6． 【分析】（1）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案； （2）先计算−=n n ,22)( 再利用同底数幂的乘法计算即可得到答案．解：（1）==⨯10101033262)(；（2）−==++n n n n n n n n =33213262)(．【点拨】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．类型五、幂的乘方的逆运算5．根据已知求值：（1）已知=a m 2，=a n 5，求+a m n 的值； （2）已知⨯⨯=m 39273221，求m 的值.【答案】（1）10；（2）=m 8 【分析】（1）根据同底数幂的乘法公式的逆运算即可求解；（2）把等式左边全部化为以3为底的数即可求解.解：（1）==⨯=+a a a m n m n 2510•（2）⨯⨯=⨯⨯m m 39273(3)32223 =⨯⨯m 333223=+m 352∴=+m 335221∴+=m 5221 ∴=m 8【点拨】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的逆用. 举一反三：【变式1】已知：=m 35，=n 310，求值：（1）m 32 （2）+m n 3 【答案】（1）25；（2）50 【分析】（1）根据幂的乘方法则求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求解即可． 解：（1）原式＝m 32)(＝52＝25；（2）原式＝⨯m n 33＝⨯510＝50．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方法则的逆运用，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则．类型六、幂的混合运算6．计算：（1）−⋅+a a a a 232333293)(； （2）⋅−÷÷x x x x ()()()()33432332． 【答案】（1）−a a 11695；（2）−x 9 【分析】（1）先进行幂的运算再合并同类项；（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算． 解：（1）原式=−+=−a a a a a 86311695995；（2）原式=⋅−÷÷=−=−+−−x x x x xx 91266912669)(． 【点拨】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．举一反三： 【变式1】计算题．（1）⋅a a 2432)(． （2）⋅−÷−x xy x y 2522232)()()(．【答案】（1）a 411；（2）−10． 【分析】（1）先计算积得乘方，再按单项式的乘法法则运算即可； （2）先计算积得乘方，再按单项式的乘除法则运算即可． 解：（1）原式=⋅a a 483=a 411．（2）原式=⋅−÷x xy x y 8543242)()(=−÷x y x y 4044242)()( =−10．【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．类型七、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方综合7．计算：（1）⋅a a (2)233； （2）÷a a ()334； （3）−⋅+−⋅−a a a a a (3)(4)(5)3232733． 【答案】（1）a 89；（2）a 5；（3）−a 1009【分析】(1)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则，直接运算得结果．(2)利用积的乘方法则、同底数幂的除法法则，直接运算得结果．(3)利用积的乘方法则、积的乘方法则，直接运算得结果． 解：a a a a a (1)(2)88233639，故答案为：a 89；a a a a a (2)()334945，故答案为：a 5；a a a a a (3)(3)(4)(5)3232733a a a a a 916.12563279a a a 916125999a 1009，故答案为：−a 1009．【点拨】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘除法法则，合并同类项等知识点．掌握幂的相关运算法则是解决本题的关键．举一反三：【变式1】计算：（1）⋅+a a a 342235)()()(； （2）++−x x x x 2542362)(； （3）−+⨯⋅x x x 332444)()(． 【答案】（1）a a +1810；（2）x x x −++42642；（3）x 212【分析】（1）先根据幂的乘方的性质计算，再合并即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可；（3）原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算，再合并即可得到结果． 解：（1）原式=⋅+=+a a a a a 612101810．（2）++−x x x x 2542362)( =++−x x x x 254266=−++x x x 42642．（3）原式=−+⨯⋅x x x 31284=−+x x 31212=x 212．【点拨】本题考查了幂的乘方，积的乘方，合并同类项，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．类型八、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方综合逆运算综合8．计算：若=a a m n （>a 0且≠a 1，m 、n 是正整数），则=m n ．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果÷⋅=x x 281625，求x 的值；（2）如果+=++x x 222421，求x 的值；（3）若=−x m 53，=−y m425，用含x 的代数式表示y ． 【答案】（1）=x 4；（2）=x 2；（3）=−−−y x x 652【分析】（1）先将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算； （2）利用积的乘方逆运算解答；（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为+=x m 35，−==y m m 42552，即可得到x 与y 的关系式，由此得到答案．解：（1）∵÷⋅=x x 281625，∴÷⋅=x x 2222345，∴−+=x x 1345，解得=x 4；（2）∵+=++x x 222421，∴⋅+⋅=x x 2222242，+=x 2(42)24，==x 2422，=x 2；（3）∵=−x m 53，=−y m425， ∴+=x m 35，−==y m m 42552，∴−=+y x (3)42，∴−−=+=−−x x y x 4(3)6522．【点拨】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．举一反三：【变式1】比较下列各题中幂的大小：（1）已知===a b c 81,27,9314161，比较a 、b 、c 的大小关系；（2）比较2,3,5,655443322这4个数的大小关系；（3）已知==P Q 99,9911999099，比较P ，Q 的大小关系； 【答案】（1）a ＞b ＞c ；（2）<<<263555224433；（3）P =Q【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较； （2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断．解：（1）∵===a 813331412431)(， ===b 273341312341)(， ===c 39361212261)(， ∴a ＞b ＞c ；（2）==32225551111)(， ==81334441111)(， ==512553331111)(， ==36662221111)(， ∵<<<32368112*********， ∴<<<263555224433；（3）∵=÷=⨯=⨯=⨯Q P 999119111991199991199990999999999909990， ∴P =Q ．【点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键．类型九、同底数幂相除运算9．计算：（1）⋅÷−a a a 222345)()()(； （2）−÷−⋅−p q q p p q ()()()432； 【答案】（1）−a 4；（2）−−p q ()3；【分析】（1）先根据幂的乘方法则计算，再利用同底数幂的乘除法则计算；（2）先提取负号，再利用同底数幂的乘除法则计算；解：（1）⋅÷−a a a 222345)()()( =⋅÷−a a a 6810)(=−+−a 6810=−a 4；（2）−÷−⋅−p q q p p q ()()()432=−−÷−⋅−p q p q p q ()()()432=−−−+p q ()432=−−p q ()3；举一反三：【变式1】化简：（x ﹣y ）12×（y ﹣x ）2÷（y ﹣x ）3．【答案】−−x y 11)(【分析】同底数幂的乘除，底数不变指数相加减，注意提负号即可．解：⎣⎦−⨯−÷−=−÷−−=−−⎡⎤x y x y y x y x x y x y 122314311)()()()()()(． 【点拨】此题考查的是同底数幂的乘除法，掌握同底数幂相乘除法则是解题的关键．类型十、同底数相除的逆运算10．（1）若==m n 26,23，求−m n 22的值；（2）已知+−=x y 2330，求⋅x y 48的值．【答案】（1）12；（2）8．【分析】（1）逆运用同底数幂的除法和幂的乘方运算对所求代数式变形后，将==m n 26,23直接代入计算即可；（2）利用幂的乘方公式和同底数幂的乘法计算后，再将+=x y 233整体代入计算即可．解：（1）∵==m n 26,23，∴=÷=÷=÷=−m n m n m n 222(2)263122222；（2）∵+−=x y 2330，∴+=x y 233，∴⋅=⋅===+x y x y x y 482222823233．【点拨】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方运算．熟练掌握运算公式，并能逆运用是解题关键．举一反三：【变式1】已知==a b m n 9,27．求：（1）+m n 323的值；（2）−m n 346的值、（用含a ，b 的代数式表示）【答案】（1）ab ；（2）ba 22 【分析】（1）由已知逆运用幂的乘方公式可得==ab m n 3,323，再逆运用同底数幂的乘法变形后代入计算即可；（2）逆运用幂的乘方和同底数幂的除法给所求代数式变形，再将==a b m n 3,323代入计算即可．解：（1）∵==a b m n 9,27，∴==a b m n 3,323，∴=⋅=+ab m n m n 3332323；（2）由（1）得==a b m n 3,323， ∴==÷==−−b b a a n m n m n m )3(3)(33()46223223222． 【点拨】本题考查幂的乘方公式、同底数幂的除法和乘法．熟练掌握公式，并能逆运用给代数式正确变形是解题关键．。
《整式的运算——整式的乘法》数学教学PPT课件(3篇)
运算过程用到哪些运算性质？
归纳
单项式与单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的 系数、相同字母分别相乘，对于只在 一个单项式里含有的字母，连同它的 指数作为积的一个因式。
范例 例1.计算：
(1)3x2 5x3 (2)4y (2xy2 ) (3)(5a2b)(3a)
(2x 3)( x 2) (x 1)2
解：原式 2x2 4x 3x 6 (x2 12 )
2x2 7x 6 x2 1 x2 7x 7
火眼金睛
判别下列解法是否正确， 若错请说出理由。
(2x 3)( x 2) ( x 1)2
解：原式 2x2 4x 3x 6 (x 1)( x 1)
幂的乘方 (1)先算乘方
积的乘方 (2)再算乘法 单项式乘以单项式
巩固 3.计算：
(1)(2x)3 (3x)2 (2)( 1 x2 y)3 (3xy2 )2
2
范例 例3.计算：
(2x3)2 x (3x4 )2
运算顺序该怎样？ 先算乘方，再算乘法，后算加减。
归纳 运算顺序： 先算乘方，再算乘法，后算加减。
变式：
化简求值：-2a2·(ab+b2)-5a(a2b-ab2)， 其中a=1,b=-1.
解:原式＝-2a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2
＝-2a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2
＝-7a3b+3a2b2
当a=1,b=-1 时， 原式＝-7×13×（-1）+3×12×（-1）2
=-7×1×（-1）+3×1×1 =7+3=10
∵ x2－4＝0 ∴ x2＝4 ∴ 原式＝4－7＝－3
1.4整式的乘法(教案)
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过整式乘法的运算，使学生能够理解和掌握同类项的概念，运用分配律进行推理和计算，从而提高逻辑推理能力。
2.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握整式乘法的运算规则，提高解题速度和准确性，培养数学运算能力。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式乘法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力：通过整式乘法的学习，使学生能够将实际问题抽象为数学模型，进一步发展空间想象力和抽象思维能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-同类项的概念：确保学生理解同类项的定义，即含有相同字母且相应字母的指数相同的项，如3x^2和5x^2是同类项。
-单项式乘以单项式的法则：学生需要掌握如何将两个单项式相乘，包括系数相乘和字母部分相乘，如(3x^2)(4x) = 12x^3。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量和计算，演示整式乘法在解决几何问题中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
《整式的乘法复习》课件
学习建议与展望
深入理解概念
建议学生深入理解整式乘法的 概念和性质，掌握其本质，以
便更好地应用所学知识。
提高运算能力
强调学生应通过多做练习题提 高整式乘法的运算能力，掌握 常用的运算技巧。
拓展应用领域
建议学生将整式乘法的应用拓 展到其他学科领域，如物理、 化学等，以增强跨学科应用能 力。
展望未来发展
$(x+y)(x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x+y)$，可用于交换多项式相乘的顺序。
整式乘法的综合练
04
习
基础练习题
总结词
掌握基本概念和规则
详细描述
包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与 多项式相乘等基础题型，旨在帮助学生掌握整式乘法的基本 概念和规则。
提高练习题
总结词
学习方法总结
主动参与
强调在学习整式乘法过程中，学 生应积极参与课堂讨论，主动思
考问题，提高自主学习能力。
实践应用
建议学生在课后多做练习题，通过 实践应用加深对整式乘法的理解， 提高运算能力和解决问题的能力。
归纳总结
鼓励学生对所学知识进行归纳总结 ，形成知识体系，以便更好地掌握 整式乘法的核心概念和运算规则。
小。
整式乘法的技巧与
03
注意事项
乘法公式的运用
01
02
03
平方差公式
$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，可用于简化整式 乘法。
完全平方公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可用于展开整 式和简化整式乘法。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可用于展开整式 和简化整式乘法。
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整式乘法公式的灵活运用
1. 平方差公式：(a+b)(a－b)a2－
b
2
文字叙述：两数和与这两数差的积，等于他们的平方差
2. 完全平方公式：(a+b)2a2+2ab+
b
2
⑴ 记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
（2）变式公式：① ________________
=_________________
② ________________
③ ________________
④ =____________________
⑤ ____________________
【基础演练】
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【灵活运用】
1. .
2. (x-1)(+1)( )=-1.
3. (a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].
4．(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]
5. =_________,403×397=_________.
6．下列式子中是完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．8 B．4 C．±8 D．±4
8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．
9. 如果，那么_________
10. 如果，，那么_______
【能力提升】
1. 若x+y=7, x-y=3, 求xy、 x2-y2 和x2+y2的值
2. 已知实数、满足，，
求 提示：
3. 计算：(a+1)(a-1)(+1)(+1)(+1).
4. 计算：.
5. 计算：.
6. 已知，则
⑴=____________ ⑵ =____________
方差公式（二）
基础练习
1.198×202=___________，1295×1305=________．
2.有一个长为123cm，宽117 cm的长方形，欢欢想出了计算它的面积的一种简单方法，请
你用这种方法算一算，这个矩形的面积为_______．
3.李明作业本上有这样一道题：，其中横线部分被墨水遮住了，
请你帮他计算一下，被墨水遮住的横线部分是_________.
4.下列用平方差公式计算错误的是( )
A. (x-2)(x+2)=x2－4 B.( 2+ x)(x-2)=x2－4
C.(ab+c)(-c+ab)=a2b2-c2 D.(-x-y)(x+y)= x2-y2
5. 计算（x2 + ）（x+）(x-)的结果为( )
A.x4+ B.x4- C. x4-x2+ D .x4-x2+
6.如果x+y=5, x-y=3 ，则2x2-2 y2=（ ）
A.15 B.30 C.5 D.2
7. 计算：
（1）1001×999； （2）；
（3）(2x-3y)(3y+2x)－(4y－3x)(3x+4y)；（4）.
8.（2009年宁波市）先化简，再求值：，其中．
综合运用
9.计算：49×51－2500=________19922-1991×1993=________.
10.明明计算两个代数式的乘积，结果为9-m4，如果其中一个因式为（m2+3），则另一个因
式为___________.
11.如果a2-b2=50，-a-b=25，则a-b=________.
12.下列代数式的值是1的是（ ）
A.20092-2008×2010 B. 20092-2009×2010 C.20092-2009×2008 D.20092-20082
13.（2008浙江金华）如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式的值是 .
14.计算：
（1）9×11×101×10001； （2）；
（3）；
（4）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1．
15．(2009年甘肃定西)若，，试不用．．将分数化小数的方法比较a、
b
的大小．