贝叶斯公式的发展与应用
贝叶斯公式在医学中的应用举例
贝叶斯公式在医学中的应用举例1.引言贝叶斯公式是概率论中的重要公式之一，具有广泛的应用。
在医学领域，贝叶斯公式可以用于疾病的诊断、风险评估以及治疗效果预测等方面。
本文将通过几个实际案例，介绍贝叶斯公式在医学中的具体应用。
2.疾病诊断疾病的诊断是医学中的一项重要任务。
在一些特定病症的诊断中，贝叶斯公式可以帮助医生更准确地确定患病的概率。
举例来说，在乳腺癌筛查中，女性患者常常需要进行乳房X射线检查。
假设该乳房X射线检查的灵敏度为90%，即当患者患有乳腺癌时，该检查能够正确诊断出来的概率为90%。
特定年龄段的女性患者中，乳腺癌的患病率为10%。
如果某位女性患者接受了该检查并被诊断出患有乳腺癌，我们可以使用贝叶斯公式来计算，她真正患有乳腺癌的概率是多少。
根据贝叶斯公式，患有乳腺癌的概率可以表示为：P(乳腺癌|阳性结果)=(P(阳性结果|乳腺癌)*P(乳腺癌))/P(阳性结果)其中，P(阳性结果|乳腺癌)为乳房X射线检查给出阳性结果的概率，即90%；P(乳腺癌)为特定年龄段女性患有乳腺癌的概率，即10%；P(阳性结果)为接受乳房X射线检查并得到阳性结果的概率。
根据统计数据，我们可以计算出P(阳性结果)为：P(阳性结果)=(P(阳性结果|乳腺癌)*P(乳腺癌))+(P(阳性结果|非乳腺癌)*P(非乳腺癌))假设非乳腺癌患者接受乳房X射线检查得到阳性结果的概率为5%，那么P(阳性结果)可以计算为：P(阳性结果)=(0.9*0.1)+(0.05*0.9)=0.135将上述数据代入贝叶斯公式，可以得到该女性患有乳腺癌的概率为：P(乳腺癌|阳性结果)=(0.9*0.1)/0.135≈0.667因此，该女性患有乳腺癌的概率约为66.7%。
3.风险评估贝叶斯公式在医学中的另一个应用是风险评估。
医生常常需要评估患者患某种疾病的风险，并根据风险程度制定治疗方案。
举例来说，在心脏病风险评估中，医生需要确定患者是否患有心脏病，并评估患心脏病的风险程度。
贝叶斯统计理论及其在应用统计学中的实践应用
贝叶斯统计理论及其在应用统计学中的实践应用贝叶斯统计理论是统计学中的一种重要分支，它以贝叶斯公式为基础，通过主观先验知识和观测数据的信息来进行概率推断。
贝叶斯统计理论在应用统计学中有着广泛的实践应用。
本文将介绍贝叶斯统计理论的基本原理以及其在应用统计学中的几个常见应用。
一、贝叶斯统计理论的基本原理贝叶斯统计理论的基本原理是基于贝叶斯公式，该公式描述了当我们已知某个事件发生的先验概率时，如何根据新的观察数据来更新我们对该事件概率的估计。
贝叶斯公式的数学表达如下：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的先验概率。
二、贝叶斯统计理论在应用统计学中的实践应用1. 贝叶斯分类器贝叶斯分类器是一种常见的分类算法，它基于贝叶斯统计理论来进行分类决策。
贝叶斯分类器在文本分类、垃圾邮件过滤等领域有着广泛的应用。
该分类器通过根据已知类别的观测样本来计算每个类别的概率，并根据新的观测数据来进行分类预测。
2. 贝叶斯网络贝叶斯网络是一种图模型，它用节点表示随机变量，用有向边表示变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络结合了概率模型和图模型的优势，被广泛应用于风险评估、医学诊断、机器人控制等领域。
贝叶斯网络可以通过观测数据来学习变量之间的依赖关系，并用于预测和决策。
3. 贝叶斯优化贝叶斯优化是一种黑盒优化算法，它通过不断探索和利用优化目标函数的信息来寻找最优解。
贝叶斯优化在超参数调优、机器学习模型选择等领域有着重要的应用。
该方法通过建立目标函数的高斯过程模型，并利用贝叶斯统计理论来进行优化迭代，从而高效地找到最优解。
4. 贝叶斯统计推断贝叶斯统计推断是一种利用贝叶斯统计理论进行参数估计和模型推断的方法。
在统计建模中，我们常常需要从有限的观测数据中推断未知参数的分布情况。
高中数学中的贝叶斯公式及其应用
高中数学中的贝叶斯公式及其应用【前言】高中数学学习的重点是学会运用各种数学工具和方法解决实际问题。
而贝叶斯公式在数学中是一种十分重要的工具，它可以通过先验概率和数据来推导出后验概率。
在今天的社会里，贝叶斯公式也被广泛地应用于各种领域中，如医学、金融、信号处理等，因此，学好贝叶斯公式对于我们的未来发展十分重要。
【正文】一、贝叶斯公式的定义和原理贝叶斯公式是一种根据已知概率求解未知概率的方法。
它通过已知的先验概率和新的数据来计算出后验概率，在实际应用中起到了至关重要的作用。
在贝叶斯公式中，有如下基本概念：$P(A|B)$：A在B条件下发生的条件概率，也称后验概率；$P(B|A)$：A在B条件下发生的条件概率，也称为似然概率；$P(A)$：事件A的先验概率；$P(B)$：事件B的先验概率。
根据上述基本概念，可以得到贝叶斯公式：$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$其中，$P(B)$可以通过全概率公式求解，即：$$P(B)=\sum_i P(B|A_i)P(A_i)$$二、例子说明考虑一个例子：一个医生要根据患者的症状来诊断患者是否患有某种疾病，已知该疾病的发病率为1%，该疾病有一定的特征，而这些特征又只有1%的人有，如果这个人有这种特征，那么他患上这种疾病的概率是多少？根据贝叶斯公式，我们有：设A表示该患者患有疾病，B表示该患者有某种特征，已知$P(A)=0.01$，$P(B|A)=0.01$，$P(B|A')=0.99$，其中$A'$表示不患病。
求解该患者患病的概率：$$\begin{aligned}P(A|B)&=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A ')P(A')}\\&=\frac{0.01\times0.01}{0.01\times0.01+0.99\times0.99}\\& =0.0001/0.0098\\&=0.0102\end{aligned}$$可见，该患者患病的概率为1.02%。
贝叶斯公式在经济中的应用
贝叶斯公式在经济中的应用
贝叶斯公式在经济中的应用主要体现在概率决策中，特别是在信息不完全的情况下。
贝叶斯决策是根据贝叶斯公式进行概率判断，并依此进行决策的过程。
在具体应用中，先对部分未知的状态进行主观概率估计，这时的主观概率实际上就是先验概率；然后用贝叶斯公式将先验概率转换为后验概率，最后再利用期望值和后验概率做出最优的决策。
贝叶斯公式在经济中的具体应用举例如下：
1. 营销信誉度：如果一家公司的可信度为，不可信度为，贝叶斯公式可以用来计算这家公司多次不诚信后，客户对其的信任度会有怎样的变化。
2. 生产管理：在生产线上，当产品的质量参数θ有一定的概率密度函数f(θ)时，按照产品质量的期望值大小对生产方案进行排序，则最优方案为使期望收益最大的方案。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅概率统计学相关书籍或咨询该领域专业人士。
贝叶斯的原理和应用
贝叶斯的原理和应用1. 贝叶斯原理介绍贝叶斯原理是基于概率论的一种推理方法，它被广泛地应用于统计学、人工智能和机器学习等领域。
其核心思想是通过已有的先验知识和新的观察数据来更新我们对于某个事件的信念。
2. 贝叶斯公式贝叶斯公式是贝叶斯原理的数学表达方式，它可以用来计算在观察到一些新的证据后，更新对于某个事件的概率。
贝叶斯公式的表达如下：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示在观察到事件B之后，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的前提下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别是事件A和事件B的先验概率。
3. 贝叶斯分类器贝叶斯分类器是基于贝叶斯原理的一种分类算法。
它利用已有的训练数据来估计不同特征值条件下的类别概率，然后根据贝叶斯公式计算得到新样本属于不同类别的概率，从而进行分类。
贝叶斯分类器的主要步骤包括：•学习阶段：通过已有的训练数据计算得到类别的先验概率和特征条件概率。
•预测阶段：对于给定的新样本，计算得到其属于不同类别的概率，并选择概率最大的类别作为分类结果。
贝叶斯分类器的优点在于对于数据集的要求较低，并且能够处理高维特征数据。
但是，贝叶斯分类器的缺点是假设特征之间相互独立，这在实际应用中可能不符合实际情况。
4. 贝叶斯网络贝叶斯网络是一种用有向无环图来表示变量之间条件依赖关系的概率图模型。
它可以用来描述变量之间的因果关系，并通过贝叶斯推理来进行推断。
贝叶斯网络的节点表示随机变量，边表示变量之间的条件概率关系。
通过学习已有的数据，可以构建贝叶斯网络模型，然后利用贝叶斯推理来计算给定一些观察值的情况下，其他变量的概率分布。
贝叶斯网络在人工智能、决策分析和医学诊断等领域有广泛的应用。
它可以通过概率推断来进行决策支持，帮助人们进行风险评估和决策分析。
5. 贝叶斯优化贝叶斯优化是一种用来进行参数优化的方法。
在参数优化问题中，我们需要找到使得某个性能指标最好的参数组合。
浅谈贝叶斯公式及其应用
浅谈贝叶斯公式及其应用摘要贝叶斯公式是概率论中很重要的公式,在概率论的计算中起到很重要的作用.本文通过对贝叶斯公式进行分析研究，同时也探讨贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及工厂产品检查等方面的一些实例,阐述了贝叶斯公式在医学、市场、信号估计、推理以及产品检查中的应用。
为了解决更多的实际问题,我们对贝叶斯公式进行了推广，举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广。
从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面、贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要。
关键词：贝叶斯公式应用概率推广第一章引言贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率，它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。
贝叶斯公式出现于17世纪，从发现到现在,已经深入到科学与社会的许多个方面。
它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率。
贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用,它可以帮助人们确定某结果（事件B)发生的最可能原因。
目前，社会在飞速发展,市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析越来越显示其重要性。
其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行决策的重要工具。
贝叶斯公式可以用来解决医学、市场预测、信号估计、概率推理以及产品检查等一系列不确定的问题.本文首先分析了贝叶斯公式的概念，再用贝叶斯公式来解决实际中的一些问题。
然后将贝叶斯公式推广,举例说明推广后的贝叶斯公式在实际应用中所适用的概型。
第二章叶斯公式的定义及其应用2。
1贝叶斯公式的定义给出了事件随着两两互斥的事件中某一个出现而出现的概率。
如果反过来知道事件已出现,但不知道它由于中那一个事件出现而与之同时出现，这样，便产生了在事件已经出现出现的条件下，求事件出现的条件概率的问题,解决这类问题有如下公式：2.1。
1定义设为的一个分割，即互不相容,且,如果P（ A ) > 0 ，，则。
贝叶斯公式在实际应用方面的探究
贝叶斯公式在实际应用方面的探究贝叶斯公式是一种概率理论中的重要公式，它在实际应用中起着重要的作用。
本文将从简单的理论概念入手，逐步深入探讨贝叶斯公式在实际应用中的广泛价值，并结合个人观点和理解，带领读者全面、深刻地理解这一主题。
1.贝叶斯公式的基本概念贝叶斯公式是一种用来计算条件概率的数学公式，它描述了在已知B发生的条件下A发生的概率。
具体而言，贝叶斯公式表示为P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在A发生的条件下B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B单独发生的概率。
2.在医学诊断中的应用贝叶斯公式在医学诊断中有着广泛的应用。
以乳腺癌的诊断为例，医生在进行乳腺癌检查时，需要结合患者芳龄、家族史等多个因素来进行综合评估。
贝叶斯公式可以帮助医生计算在已知特定因素的条件下，患者患有乳腺癌的概率，从而指导医学诊断和治疗方案的制定。
3.在金融风险管理中的应用金融领域也是贝叶斯公式的重要应用领域之一。
在金融风险管理中，贝叶斯公式可以帮助机构根据已知的市场数据和风险因素，计算特定投资组合在未来发生风险事件的概率，从而制定风险管理策略和投资决策，降低金融风险。
4.我对贝叶斯公式的个人观点和理解对我个人而言，贝叶斯公式是一种非常实用的工具，它可以帮助我们更准确地进行预测和决策。
在信息不完全或者存在不确定性的情况下，贝叶斯公式能够提供一种合理的推断方法，有助于我们更好地理解和应对复杂的现实问题。
贝叶斯公式也提醒我们要充分考虑条件信息，在进行判断和决策时不要忽视已有的知识和经验。
总结回顾通过本文对贝叶斯公式在医学诊断和金融风险管理中的应用进行分析，我们深入理解了贝叶斯公式在实际应用中的价值和意义。
贝叶斯公式不仅是一种重要的概率计算工具，更是一种思维方式和决策理念，它在实际应用中可以帮助我们更准确地进行推断和决策，提高决策的科学性和精准度。
贝叶斯的原理与应用
贝叶斯的原理与应用1. 贝叶斯原理的介绍贝叶斯原理是概率论中的一个重要定理，其基本思想是基于主观概率进行推理。
它用于计算在给定某些先验信息的情况下，事件发生的后验概率。
贝叶斯原理在统计学和人工智能领域中有广泛的应用。
2. 贝叶斯原理的公式贝叶斯原理的公式如下所示：$$P(A|B) = \\frac{P(B|A) \\cdot P(A)}{P(B)}$$其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
3. 贝叶斯定理的应用贝叶斯定理在许多领域有着广泛的应用，下面我们分别介绍它在统计学和人工智能领域的应用。
3.1 统计学中的应用1.贝叶斯统计：贝叶斯原理是贝叶斯统计学的基础。
贝叶斯统计学通过结合先验概率和实验数据计算出后验概率，从而对未知参数进行推断。
2.机器学习：贝叶斯方法在机器学习中有着广泛的应用。
例如，朴素贝叶斯分类器使用贝叶斯原理来进行文本分类，根据先验概率和特征的条件概率来预测文本的类别。
3.2 人工智能中的应用1.信号处理：贝叶斯原理在信号处理中有着重要的应用。
例如，贝叶斯滤波器可以根据先验概率和测量结果来估计系统状态，用于目标跟踪、语音识别等领域。
2.数据挖掘：贝叶斯方法可以用于数据挖掘中的模式识别和聚类任务。
通过计算后验概率，可以找到数据中隐藏的模式和关联性。
4. 贝叶斯原理的优缺点贝叶斯原理有许多优点，也有一些缺点。
4.1 优点•贝叶斯原理考虑到了先验概率的影响，使得推理结果更加准确。
•贝叶斯原理可以通过不断更新先验概率来逐步改进推理结果，具有适应性和迭代性。
•贝叶斯原理可以处理不完整或不准确的数据，对噪声具有一定的鲁棒性。
4.2 缺点•贝叶斯原理需要确定先验概率，这对于一些问题来说是困难的。
•贝叶斯原理在处理高维数据时计算复杂度较高，需要使用近似算法进行计算。
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二．正文： 1. 引言
贝叶斯公式是概率论中重要的公式， 主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是加法公式和乘法公 式的综合运用，它从数量上划分了事物的先验概率和后验概率，可以在不完全信息下，对部分位置的状态 用主观概率估计或统计得来的先验概率，然后用贝叶斯公式对诱发某结果的最可能原因进行概率推理，即 所谓的“逆概问题”。 首先，我们引入三个问题： 1、一台正确率为 99%的机器，它的检测结果有多大可信度？ 2、一位经验丰富的老警察，辨识小偷的正确率达到 99%，当他觉得一个人是小偷的时候，这人真是小 偷的概率是多少？ 3、美国电影的“黑衣人”特工常年与外星人打交道，辨识外星人的正确率也是 99%，请问，当他说你 是外星人的时候，你真是外星人的概率是多少？ 在学习概率论这门课之前，我们会觉得这三个问题的答案不相同，因为机器的正确率可信，小偷比较 常见，而外星人则过于离奇。这个直觉是对的—即使检验者同等精确，由于他们所验证的事情本身在先验 概率上的不同，导致其令人信服的程度也是不一样的。而经过了贝叶斯公式的学习，我们可以得出这种直 觉，完全可以通过计算来印证。
A1 {做火车来｝ A3 {坐汽车来｝ B {迟到｝ P ( A1 ) 0.3 P ( A3 ) 0.1
A2 {坐船来｝ A4 {坐飞机来｝
P ( A2 ) 0.2 P ( A4 ) 0.4 P ( B / A2 ) 0.3 P ( B / A4 ) 0
P ( B / A1 ) 0.25 P ( B / A3 ) 0.1
P ( A3 ) P ( B / A3 )
P( A ) P( B / A )
i 1 i i
4
0
比较以上四个概率值，可见他坐火车和坐船的概率大，坐汽车的可能性很小，且不可能是坐飞机过来 的。此例子运用了四次贝叶斯公式，用所求出的概率判断某人迟到了，选择了何种交通工具的可能行最大。 由果索因,果是某人迟到了，因是某人选择了那种交通工具. 随着社会的飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断， 利用概率来决策越来越显得重要。
3.2 贝叶斯公式的证明
设 H 是假设， X 是一个数据元组， 也可以看作是一个证据 P(H)是先验概率（ prior probability) ，P(H|X) 是后验概率，即在 X 条件下 H 发生的概率。由贝叶斯定理，可以根据 P(X),p(H)和 p(X|H)来计算 P(H|X)， 具体是：
P( H | X )
i 1( B)
0 ，有 P( Ai ) P( B | Ak )
P( Ai | B)
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
事件 A1 , A 2 , A 3 , , A n , 可以看作是导致事件 B 发生的各种“原因”,先验概率 P( Ak ) 是在事件 B 出现这一信息得知前 A k 的概率, 后验概率是在经过试验获知事件 B 已经发生这个信息之后事件发生的条 件概率,后验概率依赖于试验中得到的新信 息的具体情况(比如事件 B 发生还是事件 B 的对立事件发生)。 名词解释： 1）后验概率：后验概率 P(ωj|x)，即假设特征值 x 已知的条件下类别属于ωj 的概率。 2）似然函数：p(x|ωj)为ωj 关于 x 的似然函数，也成为类条件概率密度函数，表明类别状态为ω时的 x 的概率密度函数。 3）先验概率：先验概率 P(ωj)是由先验知识而获得的。 4）证据因子：证据因子的存在知识为了保证各类别的后验概率的总和为 1。
由贝叶斯公式分别可以算得
P ( A1 / B )
P ( A1 ) P ( B / A1 )
P( A ) P( B / A )
i 1 i i
4
0.3 0.25 0.3 0.25 0.2 0.3 0.1 0.1 0.4 0 0.3 0.25 0.5172 0.145 P ( A2 / B ) P ( A2 ) P ( B / A2 )
公式推导：
P( X | H ) * P( H ) P( X )
(*)
P( H | X )
P( HX ) P( X ) P( XH ) P( H )
(1)
P( X | H )
由上（1）（2）式，即得（*）式
(2)
3.3 贝叶斯公式的地位和应用
贝叶斯公式是概率论中较为重要的公式，是一种建立在概率和统计理论基础上的数据分析和辅助决策 工具，以其坚实的理论基础、自然的表示方式、灵活的推理能力和方便的决策机制受到越来越多研究学者 的重视。目前，贝叶斯网络已经广泛应用在医学、信息传递、生产、侦破案件几个方面。 我们通常的计算思维是——“假设袋子里面有 M 个黑球、N 个白球，从中摸出一个，摸出黑球的概率 是多大？”——这是“正向概率”。然而，现实世界本身就是不确定的，人类的观察能力是有局限性的， 我们日常所观察到的只是事物表面上的结果， 就好像上面我们往往只能知道从里面取出来的球是什么颜色，
四．结论
通过本次研究，我们复习了贝叶斯公式的由来，定义和证明，知道了贝叶斯公式在日常生活中的许多 应用，很多时候我们可以利用贝叶斯公式来进行决策、推理判断等。可以看出，贝叶斯公式在概率论中占 据着非常重要公式及其在概率推理中的应用》 西安邮电大学理学院 王丽 3.《浅谈贝叶斯公式及其应用》
P( A ) P( B / A )
i 1 i i
4
P ( A3 / B )
0.2 0.3 0.4184 0.145 P ( A3 ) P ( B / A3 )
P( A ) P( B / A )
i 1 1 i
4
0.1 0.1 0.0690 0.145
P ( A4 / B )
而并不能直接看到袋子里面实际的情况。这个时候，我们就需要提供一个猜测，而这个猜测就是“贝叶斯 公式”。下面我们通过一个例子来看看贝叶斯公式在概率推理中的应用： 例：有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是 0.3，0.2，0.1，0.4，而他坐火 车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是 0.25，0.3，0.1，0，实际上他是迟到了，推测他坐那种交 通工具来的可能性大。 解:设
2. 贝叶斯公式的发现
贝叶斯 Thomas Bayes， 英国数学家.1702 年出生于伦敦， 做过神甫。 1742 年成为英国皇家学会会员。 1763 年 4 月 7 日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。为了证明上帝的存在，他发明了概率统计学原 理，遗憾的是，他的这一美好愿望至死也未能实现。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推 理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出 了贡献。1763 年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作 《机会的学说概论》发表于 1758 年。 经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的 一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。
3. 贝叶斯公式在概率推理中的应用 3.1 全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式：设试验 E 的样本空间 S，事件 A1 , A 2 , A 3 , , A n , 构成样本空间 S 的一个完备事件组， 而且
P( Ai ) 0, i 1,2,3, , n
则对于任何一件事件 B，有
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
贝叶斯公式的发展与应用
一．内容摘要：
贝叶斯公式可以在不完全信息下，对部分位置的状态用主观概率估计或统计得来的先验概率，然后用 贝叶斯公式对诱发某结果的最可能原因进行概率推理，即所谓的“逆概问题”。贝叶斯统计理论有英国数 学家贝叶斯提出，对现代概率论和梳理统计有着重要作用。目前，贝叶斯网络已经广泛应用在医学、信息 传递、生产、侦破案件几个方面。 关键字：贝叶斯公式 概率 推理