2021年数学归纳法经典例题及答案之欧阳学文创编

数学归纳法（2016.4.21）

欧阳光明（2021.03.07）

一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：

（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；

（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．

综合（1）、（2），……

注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：

题型1.证明代数恒等式

例1．用数学归纳法证明：

证明：①n=1时，左边31311=⨯=，右边3

1121=+=，左边=右边，等式成立．

②假设n=k 时，等式成立，即：

()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式

例2．证明不等式n n 21

31

21

1<++++ (n ∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n=k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++

．

那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．

说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

1211

1

31

21

1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：

1211

2+<++k k k ．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

题型3.证明数列问题

例 3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n≥2，n ∈N*)．

(1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．

(2)设bn ＝a22n －3

，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3

. 解：(1)当n ＝5时，

原等式变为(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5

令x ＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.

(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a2＝Cn2·2n －2

bn ＝a22n －3

＝2Cn2＝n(n －1)(n≥2) ①当n ＝2时．左边＝T2＝b2＝2，

右边＝2(2＋1)(2－1)3

＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k(k≥2，k ∈N*)时，等式成立，

即Tk ＝k(k ＋1)(k －1)3

成立 那么，当n ＝k ＋1时，

左边＝Tk ＋bk ＋1＝k(k ＋1)(k －1)3

＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k(k ＋1)(k －1)3

＋k(k ＋1) ＝k(k ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫k －13＋1＝k(k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3

＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．

综上①②，当n≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3

.