实数及其运算——专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

实数及其运算——专题培优、能力提升讲义

中考考点梳理：

一、实数的分类

.⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎨⎩⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩⎩

正有理数有理数零有限小数和无限循环小数.负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：

（1

等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如

23π+等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o 等

二、数轴

规定了正方向，原点和单位的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体实数一一对应．

三、相反数

只有符号不同，而数字相同的两个数称为互为相反数． a ，b 互为相反数⇔a ＋b ＝0．

四、倒数

1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． a ，b 互为倒数则ab ＝1．

五、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

六、平方根

如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ±

”。

正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。0)(0)

(a a a a a ≥-≤⎧==⎨

⎩ 七、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

（1）0一个正数有一个正的立方根；

（2）一个负数有一个负的立方根；

（3）零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

八、实数的运算

实数的运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里的．

中考考点典例精选

考点典例

一、实数的分类

【例1】下列各数中为无理数的是（ ）

A ．﹣2019

B ．3.14

C ．π

D ．0 【答案】C.

【解析】

试题分析：无限不循环小数无理数，π是无限不循环小数是无理数．故答案选C.

考点：无理数．

【点睛】理解有理数的概念，一定要同时理解无理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项.

【举一反三】

1. 在：0，﹣2，1，

21这四个数中，最小的数是（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．1 D ．2

1 【答案】B.

【解析】

试题分析：根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即可判定在0，﹣2，1，

2

1这四个数中，

最小的数是-2，故答案选B.

考点：有理数的大小比较.

2.下列实数中，是无理数的为（）

1

3

C.0

D.－3

【答案】A

【解析】

考点：无理数

考点典例

二、绝对值

【例2】﹣6的绝对值是（）

A．﹣6 B．6 C．

6

1

D．

6

1

【答案】B.

【解析】

试题分析：负数的绝对值是它相反数，-6的绝对值是6.故选B.

考点：绝对值.

【点睛】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

【举一反三】

1.﹣3的绝对值是（）

A．3 B．﹣3 C．﹣

1

3

D．

1

3

【答案】A．

【解析】

试题分析：根据绝对值的定义可得﹣3的绝对值是3．故选A．

考点：绝对值.

2.计算：|1﹣3|= ．

【答案】2．

【解析】

试题分析：|1﹣3|=|﹣2|=2．故答案为：2．

考点：有理数的减法；绝对值．

考点典例

三、相反数

【例3】3

1-

的相反数是【 】 （A ）31- （B ）31 （C ）3- （D ）3 【答案】B.

【解析】 试题分析：根据相反数的定义可得31-的相反数是3

1，故答案选B. 考点：相反数. 【点睛】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0.

【举一反三】

1.－4

3的相反数是（ ） A. －43 B. －34 C. 4

3 D. 3

4 【答案】C.

【解析】 试题分析：根据相反数的定义可得答案．－

43的相反数是43.故答案选C. 考点：相反数.

考点典例

四、倒数

【例4】2

1的倒数是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．21 D ．﹣2

1

【答案】A.

【解析】 试题分析：根据乘积为的1两个数互为倒数，可得

21的倒数是2，故答案选A. 考点：倒数.

【点睛】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．

【举一反三】

1.﹣5的倒数是（ ）

A ．51

B ．5

1 C ．﹣5 D ．5 【答案】A

【解析】

试题分析：根据倒数的定义可得-5的倒数是-15

.故选A. 考点：倒数.

2.23的倒数是（ ）

A ．32

B ．-32

C ．23

D ．-23

【答案】A.

【解析】

试题分析：根据倒数的定义可得23的倒数是32

，故选A. 考点：倒数.

考点典例

五、平方根、立方根

【例5】（﹣2）2

的平方根是（ ）

A ．2

B ．﹣2

C ．±2 D．

【答案】C.

考点：平方根的定义.