二轮复习之直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)(提高篇)
高中数学：直线与圆锥曲线问题的处理方法
高中数学：直线与圆锥曲线问题的处理方法
高考要求：
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能。
重难点归纳：
1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法
2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。
二轮复习Ⅴ3大题考法——直线与圆锥曲线的简单应用及最值范围问题课件(33张)
方法例解 [典例] (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直
线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直
2．已知椭圆E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为2 3的等边三角 形的三个顶点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝
2b2 3
相切且交椭圆E于M，N两点，求
|MN|的最大值．
解：(1)由题意得，椭圆上、下两顶点与左、右顶点中的一个是边长为2 3 的
所以当―M→Q ＝3―N→Q ，即y1＝3y2时，结合③得a2＝2＞43，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1； 当―M→Q ＝－3―N→Q ，即y1＝－3y2时，结合③得a2＝12＞43，所以椭圆C的方程为1x22＋y62＝1. 综上，椭圆C的方程为x22＋y2＝1或1x22 ＋y62＝1.
题型(二) 圆锥曲线中的最值问题
－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0，
故k＞1或k＜－1.
由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－5－k23＋0k4＝5k320＋k 4，x1x2＝5k22＋5 4， 进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－5k22＋4 4， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝356k－2＋204k2. 直线AB的方程为y＋2＝y1x＋1 2x，令y＝－3， 则x＝－y1x＋1 2，故点M－y1x＋1 2，－3.
高二寒假 第七讲 直线与圆锥曲线提高篇(理科)
直线与圆锥曲线（复习）辅导教案知识点一、直线与圆锥曲线的关系1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 3．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43知识点二、弦长问题 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．知识点三、中点弦问题5.过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程．知识点一、 直线与圆锥曲线(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．知识点二、点差法涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．知识点三、定点定值问题(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标．(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证．知识点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有∪Δ>0∪直线与圆锥曲线相交；∪Δ＝0∪直线与圆锥曲线相切；∪Δ<0∪直线与圆锥曲线相离．若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点特殊情况：∪若E为椭圆，则直线与椭圆的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式∪若E为双曲线，则直线与双曲线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）与渐近线平行（3）判别式∪若E为抛物线，则直线与抛物线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式知识点二、弦长公式问题：1.弦长公式：设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：222212*********()1()41AB k x x y y k x x x x k =+-=+-=++-=+.2.弦长公式的延伸：面积问题12ABC S AB d ∆= 其中：AB 为弦长，d 为c 到AB 的距离知识点三：中点弦问题（点差法）思维升华 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出1212AB y y k x x -=-和12x x +、12y y +，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．注意：中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．知识点四：定点定值问题1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．1．若直线mx ＋ny ＝4与∪O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．02．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．已知焦点为F 的抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．4.直线y x m =+和椭圆2214x y +=相交于A 、B 两点，当m 变化时； （1） 求AB 的最大值（2） 求OAB ∆面积的最大值（O 是坐标原点）1．直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．2．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．1．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ．014449=-+y x2.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．3．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－214.直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 总有公共点，则m 的取值范围是（ ） （A ）m ＞l (B) m ＞1或0＜m ＜l(C) 0＜m ＜5或m≠l (D) m≥1且m≠55.已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的一点.斜率为2的直线BD 交椭圆C 于D B ,两点，且D B A ,,三点不重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）ABD ∆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB 、直线AD 的斜率之和为定值.6.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.C 1(1 0)F -，2(1 0)F ，12 B B 、112F B B ∆C C 22F l C P Q 、11F P FQ ⊥l7.已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。
2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第23讲怎样解圆锥曲线中的最值问题含解析
第23讲 怎样解圆锥曲线中的最值问题一、知识与方法与圆锥曲线有关的最值问题主要有以下几种类型.(1)圆锥曲线上的动点到某些定点或定直线的距离的最值问题.用几何特征转化为某一变量的函数关系通过求函数最值来解决.(2)圆锥曲线中某三角形或四边形面积的最值问题,往往转化为某一个(或两个)变量的函数关系,再通过求函数最值或运用基本不等式求最值来分析求解(3)与圆锥曲线有关的最值问题还可以用几何法求解,即利用圆锥曲线的定义转化为几何问题处理,或利用数形结合思想,挓掘表达式的几何特征进行求解.若与焦点弦有关,则可使用圆锥曲线的统一定义结合焦半径求解,或建极坐标系用极坐标方程解之更显简捷明快.上述问题中,第(1)(2)类运用的解题方法是代数法,即将圆锥曲线中的最值问题转化为函数最值问题,然后根据函数的特征选用参数法.配方法,判别式法,函数单调性法,三角换元法及基本不等式法等方法解之.二、典型例题【例1】(1)已知点(0,1)P ,椭圆2(14x y m m -+=>)上两点,A B 满足2AP PB =,则当m =________时,点B 横坐标的绝对值最大;(2)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________(3)函数2()1f x x x =-+________【分析】第(1)问,可以利用向量共线,实现点的坐标之间的转化,结合点在椭圆上,建立方程,应用二次函数的最值,求得相应的结论,也可以以軤率为参数或利用直线AB 的参数方程,运用基本不等式求解.第(2)问,数形结合,利用两平行直线的距离公式,使距离d 大于c 恒成立.则c d .第(3)问,通过构造图形,使函数的最值问题转化为解析几何中的最值问题. 【解析】(1)【解法一】设()()1122,,,A x y B x y ,由2AP PB =,得()12122,121,x x y y -=⎧⎨-=-⎩即12122,32x x y y =-=-.点,A B 在椭圆上()22222222432,4,4x y m x y m ⎧+-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩得213.44y m =+()222222159132(5)444244x m y m m m ∴=--=-+-=--+∴当5m =时,点B 横坐标的绝对值最大,最大值为2.【解法二】由条件知直线AB 的斜率存在,设()()1122,,,A x y B x y ,直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠.联立2214y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440.k x kx m +++-=由韦达定理得122841kx x k +=-+,①由2AP PB =知122x x =-.代入①式解得222288||88214141244||||k k x x k k k k =∴===+++. 此时214k =,又21222442841m x x x k -==-=-+,解得5m =. 【解法三】设直线AB 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数,α为直线AB 的倾斜角,将其代入椭圆方程化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=.设点,A B 对应的参数分别为12,t t ,则122t t =-,由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++,解得228sin 13sin t αα=+. ()222222222222264sin cos cos 4sin cos 1613sin 13sin 13sin x t αααααααα∴===⨯⋅+++ 22222cos 4sin 13sin 13sin 162αααα⎛⎫+ ⎪++⨯⎪⎪ ⎪⎝⎭4=. 此时22cos 4sin αα=,即222241cos ,sin .555t αα===,代入12122,t t t t =-=24413sin mα-+,解得 5.m =(2)设点(,)(1),P x y x 直线10x y -+=与等轴双曲线的渐近线0x y -=平行,∴点P 到直线10x y -+=的距离d恒大于直线10x y -+=与渐近线=0x y -之间的距离2=∴要使距离d 大于c 恒成立,即使22c ,故c. (3)所给函数变形得2() f x ==+22x x -- 2y x =上一点()2,P x x 到直线10x y --=和到点(3,5)A -的距离之和.如图268-所示,过点A 作直线10x y --=的垂线:20AH x y +-=交拋物线于1(2,4)P -或2(1,1)P .∴当,,A P H 三点共线时,||||||AP PH AH +=最小,进而()f x 取得最小值.|||()AHf x -==9=【例2】(1)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的拋物线22(0)y px p =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且||2||PM MF =,则直线OM 斜率的最大值为( )A.B.23D.1(2)椭圆2212516x y+=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是( ) A.11 C. D.9【分析】第(1)问,可以利用抛物线的参数方程结合基本不等式求最值,如果由条件||2||PM MF =联想到三角形重心,则可以得到巧妙的解法.第(2)问,由平面几何知识,椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离最大＝椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径,也可转化为求三角函数的最值,或者考虑222(6)x y R +-=与225x+2116y =相交的情况,用判别式法解决,下面只介绍三角法,其他解法读者可以一试. 【解析】(1)【解法一】1, 3FM FP ∴=解得22332,3pt p x pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22221131221212233OM ptt k ptp t t t ∴====+++当且仅当221t =时等号成立.则直线OM 斜率的最大值为2,故选C . 【解法二】由||2||PM MF =可以联想到三角形的重心.故特取(,)C P O .则点M 即为OPC 的重心.设点()00,.P x y 由重心公式可得点00,33p x y M +⎛⎫⎪⎝⎭, 则OMk 002000012.222y y y p y x p pp y p===+++当且仅当0y =时等号成立,故直线OM .故选C .(2)设圆22(6)1x y +-=的圆心为,(5cos ,4sin )O P θθ'是椭圆上的点. 则PO '==1259110⎛==--+= ⎝当且仅当sin 1θ=-时取等号,故所求距离最大值为11.【例3】已知圆C 经过点(2,0),(0,2)A B -,且圆心在直线y x =上,且直线:1l y kx =+与圆C 相交于,P Q 两点. (1)求圆C 的方程;(2)过点(0,1)作直线1l 与l 垂直,且直线1l 与圆C 交于,M N 两点,求四边形PMQN 面积的最大值.【分析】第(2)问,要求四边形PMQN 的面积,关键在于求出解析式,而求解析式的关键是选择合适的参数作自变量,选择直线l 的斜率k 是容易想到的,只要㧓住图形特征,得到函数()S f k =并不难.而如何求()S f k =的最值是个难点.通常需要进行一系列的变形オ能求出最值.如果结合平面几何知识和圆的有关定理可得简捷解法. 【解析】(1)设圆心(,)C a a ,半径为,r 圆经过点(2,0),(0,2),||||A B AC BC r -∴==,解得0,2,a r ==∴圆C 的方程是224x y +=.(2)【解法一】设四边形PMQN 的面积为S ,当直线l 的斜率0k =时,则1l 的斜率不存在,此时142S =⨯=当直线l 的斜率0k ≠时,设11:1l y x k=-+. 则221,4y kx x y =+⎧⎨+=⎩代入消元得()221230k x kx ++-=. ()22122122441(3)02131k k k x x k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪-⎪∴+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩12||PQ x =-==同理得到||MN ==211||||221PQ MN k =⨯=+12===== 222211172224,2122742k k S k k +++⋅=∴+=⨯=当且仅当1k =±时,等号成立,S ∴的最大值为7.【解法二】设圆心O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ,四边形PMQN的面积为S .1,l l 都经过点(0,1),且1l l ⊥,根据勾股定理,有2211;d d +=又根据垂径定理和勾股定理得到||2|2PQMN ==而1||||2S PQ MN =⨯,即1222S =⨯==2127⎛+== ⎝ 当且仅当1d d =时,等号成立. S ∴的最大值为7.三．易错警示【例】设双曲线的中心在坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为2,若点(0,5)P 到双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线方程. 【错解】52e =,则22225,24a b e a b a +==∴=. 又知准线平行于x 轴,则双曲线的方程为222214y x b b -=,设点(0,5)P 到双曲线上的点(,)Q x y 的距离为d ,则()222222215(5)4(5)(4)44d x y y b y y =+-=-+-=-25b +-∴当4y =时,2d 取得最小值25b -,由题设,得22254,1,4b b a -=∴==.因此,所求的双曲线方程为2214y x -=. 【评析及正解】上述解法是错误的,原因在2d 是y 的函数,因此,应该关注它的定义域,而上述解法没有考虑y 的取值范围. 正确的解法如下: 【解析】由双曲线的性质,有||2y b ,设2225()(4)54d f y y b ==-+-,需要考虑()f y 的图像的对称轴与y 的取值范围,即||2y b 的关系.(1)当42y b =,即02b <时,由于函数()f y 在[2,4)b 上单调递减,在[4,)+∞上单调递增,∴当4y =时,2d 取得最小值25b -.由题设,得22254,1,4b b a -=∴==.因此,所求的双曲线方程为2214y x -=. (2)当42y b =<即2b >时,函数()f y 在[2,)b +∞上单调递增.∴当2y b =时,2d 取得最小值2(2)(25)4f b b =-=,解得72b =或32b =(舍去).2249,494b a ∴==因此,所求的双曲线方程为22414949y x -=.综上所述,所求的双曲线方程为2214y x -=和22414949y x -=. 四、难题攻略【例】如图2-70所示,已知抛物线2:E x y =与圆222:(4)(0)M x y r r +-=>相交于,,,A B C D 这4点. (1)求r 的取值范围;(2)当四边形ABCD 的面积最大时,求对角线,AC BD 的交点T 的坐标.【分析】先求出四边形ABCD 面积的函数解析式,再运用导数求该函数的最大值, 【解析】(1)将2y x =代入222(4)x y r +-=并化简得227160y y r -+-=.①拋物线E 与圆M 有 4个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根12,.y y 由此可得()2212212(7)416070160r y y y y r ⎧∆=--->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩解得215164r <<且0r >, r ∴的取值范围是4.⎫⎪⎪⎝⎭(2)不妨设E 与M 的4个交点的坐标是)()(11,,Ay B y C ,))22,y Dy则直线,AC BD的方程是11,y y x y y -=-=(x +解得点T的坐标是(.设t =由t =(1)知702t <<.由于四边形ABCD 是等腰梯形,因而其面积(1212S y y =⨯⋅-,则(()221212124.S y y y y y y ⎡⎤=++⋅+-⎣⎦①将12y y t +==代入①式,并令2()f t S =得()2327()(72)4948289834302f t t t t t t t ⎛⎫=+-=--++<< ⎪⎝⎭则2()2456982(27)(67)f t t t t t '=--+=-⨯+-.令()0f t '=,解得77,62t t ==-(舍去),当706t <<时,()0f t '>;当7762t <<时,()0f t '<.故当且仅当76t =时,()f t 有最大值,即四边形的面积最大,此时点T 的坐标为70,6⎛⎫⎪⎝⎭.五、强化训练1.平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,左,右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以 3为半径的圆与以2F 为圆心,以1为半径的圆相交且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆2222:1,44x y E P a b+=为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .①求||||OQ OP 的值;②求ABQ 面积的最大值.【解析】(1)由题意知24a =，则2a =，又222c a c b a =-=，可得1b =． ∴椭圆C 的方程为22 1.4x y += (2)由(1)知椭圆E 的方程为221164x y +=． ①设()00||,,||OQ P x y OP λ=，由题意知()00,Q x y λλ--． 220014x y +=，又()()2200 1.164x y λλ--+=即222001,244x y λλ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭，即||2||OQ OP =②设()()1122,,,A x y B x y ，将y kx m =+代人椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-=，由0∆>，可得22416m k <+，①则有2121212228416,.1414km m x x x x x x k k -+=-=∴-=++直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,).mOAB ∴的面积121||2S m x x =-=== 设2214m t k =+，将y kx m =+代人椭圆C 的方程， 可得()222148440k x kmx m +++-=，由0∆，可得2214m k +．②由①②可知01t<．因此S ===在(0,1]上递增，故23S ． 当且仅当1t =，即2214m k=+时取得最大值||2||OQ OP =， 由此可知，ABQ 的面积为3,S ABQ ∴面积的最大值为2.已知两点(0,1),(0,1)M N -,平面上动点(,)P x y 满足||||0NM MP MN NP ⋅+⋅= (1)求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程;(2)设(0,),(0,)(0)Q m R m m -≠是y 轴上两点,过Q 作直线与曲线C 交于,A B 两点,试证:直线,RA RB 与y 轴所成的锐角相等.(3)在(2)的条件中,若0m <,直线AB 的斜率为1,求RAB 面积的最大值.【解析】(1)||||0,(0,2)(,1)0NM MP MN NP x y +⋅=∴-⋅+=．化简整理得24x y =，即动点(,)P x y 的轨迹C 为拋物线，其方程为24x y =．（2）证明：过点Q 作直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，l ∴的斜率存在．设直线:l y kx m =+与24x y =联立，得2,4,y kx m x y =+⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx m --=则此方程有两个不相等的实数根．216160k m ∴∆=+>设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x m +==-，要证明直线,RA RB 与y 轴所成锐角相等，只要证明0RA RB k k +=．(221222121212121121212144,,44444RA RBx x m mx x y m y m x x m m y y k k x x x x x x x ++++==∴+=+=+=+++=+)()()12212121044m x x m x x x x x m +⎛⎫+=++= ⎪-⎝⎭∴命题成立．(3)若直线AB 的斜率1k =，则直线方程为0x ym -+=． 由(2)知消去y 得2440x x m --=．由(1)式0∆>，得1m >-．10m ∴-<<，且12124,4.x x x x m+==-$||AB ==记点R 到直线AB 的距离为1,|||||2RABd d m SAB d m ==⋅== 设322(),()32f m m mf m m m '=+=+，令()0f m '>，知()f m 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭上递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴当23m =-时，()f m 有最大值，故RAB S ．1112。
高考数学二轮总复习第三部分专题七1直线与圆及圆锥曲线课件
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关键能力
(nénglì)
学案突破
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热点一
求轨迹方程
【例1】(2020北京顺义(shùn yì)二模,21节选)设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴
上滑动,且|AB|=5,
3 (O为坐标原点),求点
2
1.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤:设线、设点,联立、消元,韦达定理、代
入、化简.
第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时,设直线的方程(fāngchéng)为y=kx+b(或斜
率不为零时,设x=my+n);
第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为M(x1,y1),N(x2,y2);
= + ,
5
,
2
由|AB|=5,得02 + 02 =25,则有
2
化简,得
9
+
2
5
3
+
2
5
=25,
2
2
=1.
4
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热点一
热点二
热点三
解题心得1.如果动点运动的条件是一些几何量的等量关系(guān xì),设出动点坐标,
直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程.
8
2 -8
4
2
2 2
∴x =- 8 ,x≠0,即 x =3y(x≠0).∴圆心
N 的轨迹方程为 x
2
= y(x≠0).
3
2
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2022-2023学年高中数学二轮复习冲刺直线与圆锥曲线的位置关系问题解析版
2022-2023学年高中数学二轮复习冲刺直线与圆锥曲线的位置关系问题解析版 直线与圆锥曲线的位置关系 方法总结： 1、直线与圆锥曲线问题的特点： （1）题目贯穿一至两个核心变量 （2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设1122,,,AxyBxy，至于,AB坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂 （3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而设而不求 （4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。 3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式： （1）斜截式：ykxm，此直线不能表示竖直线。 （2）xmyb，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。 4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:lykxm，l上两点
1122,,,AxyBxy，所以2121ABkxx或21211AByyk
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。 典型例题： 例1．（2022·山东临沂·一模）已知椭圆C：22221xyab(0a，0b)的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为63，直线2x被C截得的线段长为233. (1)求C的方程： (2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且
21AFBF，求四边形12ABFF面积
的最大值及此时的值. 【答案】(1)2213xy； (2)最大面积为3，＝23. 【解析】 【分析】 (1)根据离心率表示出a、b、c的关系，再求出被2x截得的弦长，根据该弦长
第二部分专题整合高频突破专题直线与圆锥曲线高三数学二轮复习提优课件
由题设知 k1k2= ,所以 k2= ,因此直线 OC 的方程为 y= x.
联立方程
+ = ,
= ,
得
x2 =
+
,y2=
+
,
因此|OC|= + =
由题意可知 sin
∠
+
+
=+|| =
(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m,代入 +y2=1,
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
由Δ=16(4k2+1-m2)=0,得m2=1+4k2①.
设 A(x0,y0),则 x0=- +=- ,y0=kx0+m=.
因为直线 l 与圆 D 相切,
所以圆心 D 到直线 l 的距离为
2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根
据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐
标的点就是直线所过的定点.
对点训练 2 已知曲线
C:y= ,D
为直线
y=-上的动点,过
D作
C 的两条切线,切点分别为 A,B.
(1)证明直线AB过定点;
(2)若以E , 为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB
从而-3y2+y2=2,故 y2=-1,y1=3.
代入 C 的方程得 x1=3,x2=.
故|AB|=
.
题后反思设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由
高考数学二轮复习 专题五 第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系 理
解 (1)由题意，得ac＝ 22且 c＋ac2＝3， 解得 a＝ 2，c＝1，则 b＝1， 所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1. (2)当 AB⊥x 轴时，AB＝ 2，又 CP＝3，不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1， y1)，B(x2，y2)， 将 AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
则 x1，2＝2k2± 12＋（21k＋2 k2），C 的坐标为1＋2k22k2，1＋－2kk2，且
AB＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＝ （1＋k2）（x2－x1）2＝
2 2（1＋k2） 1＋2k2 .
若 k＝0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行， 不合题意. 从而 k≠0，故直线 PC 的方程为 y＋1＋k2k2＝－1kx－1＋2k22k2，
①若 a≠0，当 Δ＞0 时，直线与双曲线相交；当 Δ＝0 时，直线 与双曲线相切；当 Δ＜0 时，直线与双曲线相离. ②若 a＝0 时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线的方程联立，消去 y(或 x)，得到一个一元 方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0). ①当 a≠0 时，用 Δ 判定，方法同上. ②当 a＝0 时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.
2.有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系， “设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的 运用，以简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2 －y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系， 即作如下变形：
高考数学(理)二轮复习专题突破课件：1-6-3直线与圆锥曲线的综合问题
【例 1】 (2013·天津高考)设椭圆ax22＋yb22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，
离心率为 33，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
为43
3 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直
线与椭圆交于 C，D 两点．若A→C·D→B＋A→D·C→B＝8，求 k 的值．
将①，②代入③得 2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时 Δ>0，
∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即直线 l 过定点(1,0)．
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命题角度聚焦
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[探究提升] 1.(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量 的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决 的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键 的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情 况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 2．解直线与圆锥曲线的综合问题，要把握好以下几个“不”： ①不能缺少“Δ”；②不能忽视直线的斜率；③不能小视“基 本”变形；④不能弱化几何证明；⑤不能忘记解题结论．
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解 (1)∵焦点 F(0，c)到直线 l 的距离为322， ∴|－c－2 2|＝322且 c>0，解得 c＝1， ∴焦点 F(1,0)，抛物线 C 的方程为 x2＝4y.
(2)设切点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2＝4y，则 y′＝12x，
由导数的几何意义，
第3讲 直线与圆锥曲线的综合问题
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二轮复习之直线与圆锥曲线问题的处理方法（2）（提高篇） 适用学科 高中数学 适用年级 高三
适用区域 人教版 课时时长（分钟） 60
知识点 1、直线与圆锥曲线的交点个数 2、韦达定理（设而不求）的应用 3、求弦长公式
教学目标 1、通过讨论圆锥曲线方程推导培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力。 2、会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；
教学重点 1、韦达定理（设而不求）的应用 2、圆锥曲线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。 教学难点 1、轨迹方程的求法 2、直线与圆锥曲线的位置关系问题，点差法以及韦达定理的灵活运用。 教学过程
一、高考解读 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 二、复习预习 椭圆或双曲线的标准方程中的“定量”和“定位”。 （1）“定位”是指判断焦点在哪条坐标轴上，同时也就确定了a2、b2在方程中的位置。 （2）“定量”是指要求出椭圆的标准方程，就要求出a2、b2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a2、b2的方程组。 三、知识讲解 考点1点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系 考点2
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点. 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 考点3 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由nkxyyxF0),(，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。 则弦长公式为： d=221221)()(yyxx=2212))(1(xxk=22)1(akΔ=Δ||)1(2ak。 焦点弦长：||PFed（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的准线的距离，e是离心
率）。 四、例题精析 例题1已知抛物线方程为)0)(1(2
2pxpy，直线myxl:过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求
p的值。 【规范解答】设l与抛物线交于1122(,),(,),||3.AxyBxyAB则
由距离公式|AB|=221221)()(yyxx=21212122191||2||,().2yyyyyyk则有
由.02,).1(2,21222ppyyxxpypyx得消去
.,2.04)2(2212122pyypyypp
从而.294)2(,4)()(2221221221ppyyyyyy即由于p>0，解得.43p
【总结与思考】方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。 例题2在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和Q。
（1）求k的取值范围； （2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB，，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。 【规范解答】（1）由已知条件，直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程得22(2)12xkx。
整理得① 22122102kxkx，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
2221844202kkk
，解得22k或2
2k。即k的取值范围为22
22
，，∞∞。
（2）设1122()()PxyQxy，，，，则1212()OPOQxxyy，，由方程①，② 1224212kxxk。又③ 1212()22yykxx。 而(20)(01)(21)ABAB，，，，，。所以OPOQ与AB共线等价于
12122()xxyy，将②③代入上式，解得22k。 由（1）知22k或22k，故没有符合题意的常数k。
【总结与思考】既考察到了交点问题又考察到了韦达定理的知识 例题3 试确定m的取值范围，使得椭圆22143xy上有不同两点关于直线4yxm对称 【规范解答】设椭圆22143xy上以1122(,),(,)AxyAxy为端点的弦关于直线4yxm对称，且以00(,)Mxy为中点是椭圆
22143xy内的点
从而有 1201202,2xxxyyy 由22112222(1)3412(2)3412xyxy (1)-(2)得 2222
12124()3()yyxx
∴ 012121212033()4()4AAxyyxxkxxyyy
由0
0003113444AA
xkyxy
由00(,)Mxy在直线4yxm上00,3(,3)xmymMmm
My=4x+mA'A
oyx 从而有 222()(3)42132131(,)43131313mmmm 【总结与思考】点关于直线的对称问题 例题4 已知直线l过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)Cypxp交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，
求p的值 【规范解答】可设直线l的方程为4xmy代入22ypx
得 2280ypmyp 设1122(,),(,)PxyQxy，
则222121212122()8,16224yyyyyypxxppp 由题意知，OP⊥OQ，则0OPOQ
即 12121680xxyyp
∴2p 此时，抛物线的方程为24yx 【总结与思考】直线与圆、圆锥曲线的综合考察
PQA(4,0)oyx 例题5如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列 (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标； (3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围 F1F
2
B'
CBAoyx 【规范解答】(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=22ca=3 故椭圆方程为92522yx=1 (2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=59因为椭圆右准线方程为x=425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F2A|=54(4
25
－x1),|F2C|=54(425－x2)， 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得54(425－x1)+54(425－x2)=2×59,由此得出x1+x2=8 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=221xx=4 (3)由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 得22112222925925 925925 xyxy①② ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121xxyyyyxx=0(x1≠x2) 将kxxyyyyyxxx1,2,422121021021 (k≠0) 代入上式，得9×4+25y0(－k1)=0 (k≠0) 即k=3625y0(当k=0时也成立) 由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m, 所以m=y0－4k=y0－925y0=－916y0 由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部， 得－59＜y0＜59,所以－516＜m＜516 【总结与思考】椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围