圆锥曲线二轮复习全部题型总结
高考数学二轮复习专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(解析版)
专题13圆锥曲线压轴解答题常考套路归类【命题规律】解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．【核心考点目录】核心考点一：轨迹方程核心考点二：向量搭桥进行翻译核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译核心考点四：斜率之和差商积问题核心考点五：弦长、面积范围与最值问题核心考点六：定值问题核心考点七：定点问题核心考点八：三点共线问题核心考点九：中点弦与对称问题核心考点十：四点共圆问题核心考点十一：切线问题核心考点十二：定比点差法核心考点十三：齐次化核心考点十四：极点极线问题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．【解析】（1）设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+ ⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故PH的最大值是11.（2）设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,A x y x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-==66231555k ==⋅⨯+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为的直线与过Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．∴C 的方程为：2213y x -=；（2）由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-+=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y x ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=-⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）抛物线的准线为2px =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p +=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-，34223434444AB y y k y y y y -==+-，直线112:2x MD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===，若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--==≤+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ-最大时，2AB k =，设直线:AB x n =+，代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以直线:4AB x =+.[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =-由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得：()2222240k x k x k -++=，121x x =,同理，124y y =-.直线MD :11(2)2y y x x =--,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =.代入抛物线方程可得:138y y =-,所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得：()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x ---====--⎛⎫- ⎪⎝⎭（下同方法一）若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--==≤+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ-最大时，22AB k =，设直线:AB x n =+，代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以直线:4AB x =+.[方法三]：三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),0P t ,若P 、M 、N 三点共线，由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得124y y t =-，反之，若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =-，由M 、D 、A 三点共线，得138y y =-，由N 、D 、B 三点共线，得248y y =-，则3412416y y y y ==-，AB 过定点（4,0）（下同方法一）若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--==≤+++当且仅当12k k =即k =所以当αβ-最大时，2AB k =，所以直线:4AB x =+.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,)3M -，(1,)3N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,)3T -，由MT TH =得到(5,)3H --.求得HN方程：(22y x =-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【解析】（1）因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=．易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()222222Δ16422210120m k m k m k =-+->⇒-+>且22≠±k ．所以由0AP AQ k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP AQ k k +=，所以παβ+=，由（1）知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+-，解得tan 2α=（负值舍去）此时PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α=（负值舍去），于是，直线):21PA y x =-+，直线):21QA y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，)23241002x x ++-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d ==，故PAQ △的面积为1162339⨯⨯=．［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠=由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==1112y x --联立1112y x --，及221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2x =2y =12203x x +=，12689x x =而1||2|AP x =-，2||2|AQ x -，由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=，故1212116||||sin 2()4|.29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++=【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 优解；法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．【方法技巧与总结】1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．【核心考点】核心考点一：轨迹方程【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，(1)求双曲线方程；(2)过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程.【解析】（1）由渐近线为y =知，ba=(),0c 到直线y =2==，所以2c =，224a b +=②，联立①②，解得21a =，23b =，则双曲线方程为2213y x -=.（2）因为直线l 与双曲线交于异支两点,P Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过()01，点，可设直线:1l y kx =+，与双曲线联立得：()223240k x kx ---=，设()()()1122,,,,,M x y P x y Q x y ，则有122122Δ023403k x x k x x k ⎧⎪>⎪⎪+=⎨-⎪-⎪⋅=<⎪-⎩解得k <<由OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r 知，()1221212223623k x x x k y y y k x x k ⎧=+=⎪⎪-⎨⎪=+=++=⎪-⎩两式相除得3x k y =，即3x k y =代入263y k=-得22230y y x --=，又k <<2y，所以点M 的轨迹方程为()222302y y x y --=.例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x -=于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．【解析】（1）由题得l 方程为：1y x =+，将其与2214yx -=联立有22114y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：23250x x --=，解得=1x -或53x =.则令A ()1,0-，B 5833⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则AB3=.（2）由题，直线l 存在，故设l 方程为：1y kx =+.将其与2214y x -=联立有：22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()224250k x kx ---=因l 与双曲线有两个交点，则2240Δ80160k k ⎧-≠⎨=->⎩，得205k ≤<且24k ≠.设()()1122,,A x y B x y ，.又设M 坐标为()00x y ，，则12120022，x x y y x y ++==.因A ，B 在双曲线上，则有()221112012212120222144414y x x x x y y k y y x x y y x ⎧-=⎪+-⎪⇒=⇒=⎨+-⎪-=⎪⎩.又M ，()01P ，在直线l 上，则001y k x -=.故000014y x x y -=2200040x y y ⇒-+=由韦达定理有，12224k x x k +=-，12284y y k +=-.则M 坐标为22444,k k k ⎛⎫ --⎝⎭.又0244y k=-，205k ≤<且24k ≠，则01y ≥或04y <-.综上点M 的轨迹方程为：2240x y y -+=，其中()[)41y ⋃∞∈-∞-+，，.例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形，所以点P 在以O 为圆心，||OP长为半径的圆上，且|||OP OA =，进而动点P 的轨迹方程为2222x y r +=（2）设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-22194x y +=，得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得22222000018()4(49)9[()4]0k y kx k y kx --+⋅--=，化简，2222200009()(49)()(49)40k y kx k y kx k --+-++=，进而2200()(49)0y kx k --+=，所以222000(9)240--+-=x k x y k y 所以k 是方程222000(9)240--+-=x k x y k y 的一个根，同理1k-是方程222000(9)240--+-=x k x y k y 的另一个根，202041()9y k k x -∴⋅-=-，得220013x y +=，其中03x ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直，可知：P 点坐标为：(3,2)±±，P 点坐标也满足220013x y +=，综上所述，点P 的轨迹方程为：220013x y +=．（3）动点Q 的轨迹方程是222200x y a b+=+以下是证明：设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则0x a ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22221x y a b+=，得2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得()222222220000222()4()[()]0a k y kx k y kx b a a b --+⋅--=，化简，222220002222202()()()()0a b a b a k y kx k y kx b k --+-++=，进而220220()()0y x b k a k --+=，所以222000022()20x k x y k y a b --+-=所以k 是方程22200022()20x k x y k y a b --+-=的一个根，同理1k-是方程222000022()20x k x y k y a b --+-=的另一个根，2020221()y k ax b k -∴⋅-=-，得222200x y a b +=，其中0x a ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直，可知：P 点坐标为：(,)a b ±±，P 点坐标也满足222200x y a b +=+，综上所述，点P 的轨迹方程为：222200x y a b +=+．核心考点二：向量搭桥进行翻译【规律方法】把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．【典型例题】例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，倾斜角为30︒的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题可知()22231122b c a c b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪+=+⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，设()0,1P ，()0,1Q -，()0M m ，，由2PM MQ = ，()()0120,1m m -=--，，得13m =-，同理，当()0,1Q ,()0,1P -时，得13m =，所以13m =±，当直线l 的斜率存在时，即13m ≠±时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222148440kxkmx m +++-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点P 、Q ，所以()()222Δ(8)414440km km=-+->，即22410k m -+>①.设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++②，则()()1122,,,PM x m y MQ x y m =--=- ，由2PM MQ =，得122x x -=③，③代入②得()22222(8)4421414km m k k --⨯=++，化简整理得2221364m k m -=-④，将④代入①得2221191m m m ->--，化简得2119m <<，解得113m -<<-或113m <<.综上，m 的取值范围为111,,133⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U.例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率2e =，点(),0A a 、()0,B b(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ + 与AB共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为点(),0A a 、()0,B b=2e =，所以有2c a =，而222a b c =+，因此组成方程组为：22222221a c a b a b c =⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩2212x y +=；（2）设l的方程为y kx =22221(12)202x y k x y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=⎩，于是有2221)4(12)202k k -+⋅>⇒>，此时设1222(,),(,)P x y Q x y ，于是有12x x +=，假设存在常数k ，使得OP OQ + 与AB共线，因为1212(,)OP OQ x x y y +=++，(,)(AB a b =-= ，12121212)()()y y x x kx kx x x +=-++=-+，1212()4()x x x x ⇒++=-+，因为12212x x k -+=+，22412122k k k --⋅+=-⇒=++，不满足212k >，因此不存在常数k ，使得OP OQ + 与AB共线.例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1）若A x =b 的值；（2）当b =，2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ⋅ ，并求OM ON ⋅的取值范围．【解析】（1）由A x =A 为曲线1Γ与曲线2Γ的交点，联立222222144A A AA x y bx y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，解得A y =2b =；（2）由题意可得1F ，2F 为曲线1Γ的两个焦点，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，又18PF =，24a =，所以2844PF =-=，因为b =3c =，所以126F F =，在12PF F △中，由余弦定理可得22212121212||||cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅6416361128416+-==⨯⨯，由120F PF π<∠<，可得1211arccos16F PF ∠=；（3）设直线24:22b b l y x +=-+，可得原点O 到直线l的距离d =所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以2OM k b=，并设2:OM y x b =与圆2224x y b +=+联立，可得222244x x b b+=+，可得x b =，2y =，即(),2M b ，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144A A AA x y b x y b⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，可得422A b y a b =+，所以有4244b b <+，解得22b >+22b <-舍去)，因为OM 为ON 在OM 上的投影可得，24OM ON b ⋅=+，所以246OM ON b ⋅=+>+则()6OM ON ⋅∈++∞．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=，NB BM μ=，求证：λμ+为定值．【解析】（1）设C 的焦距为2c ，则1228F F c ==，即4c =，()14,0F -，()24,0F ；由双曲线的定义，得1224a PF PF =-==，即2a =，所以b ===C 的方程为221412x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),N m n ，显然直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为()11y k x -=-，代入22312x y -=，得()()2223212130k x k k x k k ---+--=．由过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，得230k -≠，由韦达定理，得()122213k k x x k -+=-，21222133k k x x k --=-；①由(),N m n 在直线:312l y x =-上，得312n m =-，即1230m n -+=；②由(),N m n 在直线AB 上，得()11n k m -=-．③由NA AM λ=，得()()1111,1,1x m y n x y λ--=--，即()111x m x λ-=-解得111x m x λ-=-．同理，由NB BM μ= ，得221x mx μ-=-，结合①②③，得()()()()12121212121221111m x x x x m x m x m x x x x λμ++----+=+=----()()()()()()()22212122121312221626331111k k k k m m k m m k k x x x x ---+⋅-⨯---+--==----()()()()()()121221626231201111n m n m x x x x --+-+===----．故λμ+是定值．核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译【规律方法】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【典型例题】例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =.(1)求C 的方程；(2)设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅.【解析】（1）由题意知，28a >，得a >当1PF x ⊥轴时，设00(,)(0)P c y y ->，代入椭圆方程，得220218y c a +=，解得08y a =，即18PF a =，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，又2103PF =，所以81023a a +=，由a >3a =，故椭圆C 的方程为22198x y +=；（2）当切线斜率不存在时，切线方程为3x =±，此时点P 与点Q 重合，等式成立；当切线斜率为0时，切线与x 轴不相交，不符合题意；当切线斜率存在时，设00(,)P x y ，由22198x y +=，得y =2)y x ''=-=所以切线的斜率为k =00)y x x y =-+，即2003x y +=+，整理得220000)x y y x =+-，即008972x x y y +=，所以切线方程为00198+=x x y y，令0y =，得09x x =，即09(,0)Q x ，由(1)知，12(1,0),(1,0)F F -，则12PF PF ==0012000099991,1x x QF QF x x x x +-=+==-=，又2200198x y +=，得2200889y x =-，所以01002009999x QF x x QF x x x ++==--，102099PF x PF x +=-，所以1122PF QF PF QF =，即1221PF QF PF QF ⋅=⋅，即证.例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，直线l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C(1)求C 的方程；(2)若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，60PAB ∠=︒，求PAB 的面积.【解析】（1）不妨设直线l 过C 的右焦点(),0c ，则直线l 的方程为x c =，由22221x cx ya b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，22221c y a b +=解得2b y a =±，故22b a =①，由于椭圆的离心率ce a ==由①②解得2293,22a b ==，所以椭圆C 的方程为2219322x y +=.（2）由（1）得2P ⎛ ⎝⎭，设(),0,0A t t <，020PAk t -==-，由于PA PB ⊥，所以PB k ==所以直线PB的方程为32y x =+，由2219322x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消去y 并整理得()221260t x tx ++=，解得2266,1212B B t t x y t t --=⨯++由于60PAB ∠=︒，所以PB PA=223PB PA =，222226312t t t ⎡⎤⎫⎫-⎛⎫⎢⎥+=+⎪⎪ ⎪⎪⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得212t =.所以22213222PA t =+=+=⎝⎭，而21122PAB S PA PB PA =⨯⨯=⨯⨯==例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22:143x y C -=上一点()4,3P ，直线()0y x b b =-+<交C 于A ，B 点.(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值；(2)若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积.【解析】（1）证明：设()11,A x y ，22(,)B x y ，联立22143x y y x b ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩得()228430x bx b -++=，则()()222641634810b b b ∆=-+=-，又0b <，所以1b <-，所以128x x b +=、()21243x x b =+，从而1212121233334444PA PB y y x b x b k k x x x x ---+--+-+=+=+----()()()1212122183(4)()4x x b x x b x x -+++---=-()()()()()212838183044b b b b x x +-++-==--为定值.（2）设AB 的中点为C ，PAB 外接圆的圆心为D ，由128x x b +=，则()121226y y x x b b+=-++=-所以()4,3C b b -，所以AB 的中垂线方程为34y b x b +=-，即7y x b =-，又34OP k =，OP 的中点为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以OP 的中垂线方程为()34223y x -=--，即86250x y +-=，联立786250y x b x y =-⎧⎨+-=⎩解得2531425414x b y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即25253,41414D b b ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，由22222AB DO DB DC ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得()2222122525253421414142x x b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222221212641634252522142142b b x x x x b b -++-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得27252470b b --⨯=，解得7b =（舍去），247b =-，所以直线AB ：247y x =--，过P 作x 轴的平行线交直线AB 于点E ，令3y =则457x =-，即45,37E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()()121212|y y x b x b x x -=-----=-====所以1211454227PAB S PE x x ⎛⎫=⋅-=+⋅⎪⎝⎭.核心考点四：斜率之和差商积问题【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C上的任意一点到点)F和直线5x =的距．(1)求曲线C 的方程；(2)记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）设曲线C 上一点的坐标为(),x y=，化简得：2214x y -=；（2）依题意作上图，设PQ 方程为4x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则m 必定是存在的，联立方程22144x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得2212304m y my ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，12122223,1144m y y y y m m +=-=--，()()221212121212228168,4161144m x x m y y x x m y y m y y m m ++=++=-=+++=--- AP 的方程为()110022y y x x --=++，令x =0，则M 点的坐标为1120,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理，N 点的坐标为2220,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，()()()12111212121212121222002211,,0404422424y y x x y y y y k k k k x x x x x x --++∴===⨯=⨯--+++++ 2222311341684144241144m m m m -=⨯=-+--⨯+--，是定值；综上，曲线C 的方程为2214x y -=，123144k k =-是定值.例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D．(1)若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；(2)在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）抛物线24y x =的焦点为1,0F （），因为直线l 的斜率不为0，所以可设l 的方程为1x my =+，设()()1122,,A x y B x y ，，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩消x ，得2440y my --=，方程2440y my --=的判别式216160m ∆=+>，12124,4y y m y y +==-，21212()242x x m y y m +=++=+，2221212(4)14416y y x x -=⋅==，∴212||2445AB x x m =++=+=，∴214m =，设直线l 的斜率为k ，则10k m =>，所以12m =，所以直线l 的方程为220x y --=；（2）设()2,2M a a ，1122121122424MA y a y a k x a y a y a --===-+-，，同理，242MBk y a =+，又联立11x my x =+⎧⎨=-⎩可得12x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即点D 的坐标为21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2221MDa m k a +=+，∵直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，所以21222442122a m a y a y a +⨯=++++恒成立；∴122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++=++++，又∵12124,4y y m y y +==-，所以221121a a m m a a am ++=++-，()()()221121am m a a a am m +++=+-，()2110a m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为10m m+≠，所以1a =±，所以存在点1,2M （）或1,2M -（），使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列．例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值.【解析】（1）依题可得22222311,4,c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设()()1122:,,,,PQ y kx m P x y Q x y =+，由221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()222148440k x mkx m +++-=，所以()222121222844,,Δ164101414mk m x x x x k m k k--+===+->++，即2241k m +>，而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ⋅=--，化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++化简得2260k mk m +-=，所以2m k =-或3m k =，所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+，因为直线PQ 不经过点A ，所以直线PQ 经过定点()3,0-.所以直线PQ 的方程为()3y k x =+，易知0k ≠，设定点()1212153,0,22APQ ABP ABQ B S S S AB y y k x x -=-=-=-52=52==因为Δ0>，且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以53APQS =≤ ，当且仅当97t =，即2114k =时取等号，即APQ △面积的最大值为53.例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，1,2H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.【解析】（1）由题意，椭圆的离心率为2，2H ⎛ ⎝⎭是椭圆C 上一点，所以22222222123121c e a a b c a b⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2224,2,2a b c ===，所以椭圆的方程为22142x y +=；（2）①因为过点()1,0D 且斜率不为0，所以可设l 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程22142x y +=得()222230t y ty ++-=，方程()222230t y ty ++-=的判别式()2241220t t ∆=++>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+.两式相除得121223y y t y y +=，()121232ty y y y =+．因为,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，所以点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()2,0，所以1111123y y k x ty ==++，2222221y y k x ty ==-从而()()()()1211211212221122313123393323y y y y ty k y y y y k y ty y y y +--+====++++；②由①知1231k k =，设1k m =，则23k m =，所以直线AP 的方程为：2y mx m =+，直线BQ 的方程为36y mx m =-，联立236y mx m y mx m =+⎧⎨=-⎩可得46x y m =⎧⎨=⎩，所以直线AP 与直线BQ 的交点M 的坐标为()4,6m ，所以点M 在定直线4x =上.核心考点五：弦长、面积范围与最值问题【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OAB S AB OH =⋅ （随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OAB S OM y y =⋅- （横截距已知的条件下使用）③121||2OAB S ON x x =⋅- （纵截距已知的条件下使用）【典型例题】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C.(1)已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程；(2)证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;(3)求线段AC 长的取值范围.【解析】（1）22:184x y C +=的左焦点为(2,0)-，当1l 过左焦点时，1l 的方程为124x y +=-，即240x y -+=.（2）由题意知1l 斜率存在，设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+，则()()1122,,,D x y C x y --，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()221216240k x kx +++=，需满足2225696(12)0k k ∆=-+>，即2230k ->，1212221624,1212k x x x x k k -∴+=⋅=++，又212111,BQ DQ y y k k x x --==-，212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-，()21212248312222202412kx x k k k k k x x k -++=+=+=-=+，BQ DQ k k ∴=，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证AQ CQ k k =,即点A ，C ，Q 三点共线，即直线AC 经过点(0,1)Q ，故直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;（3）由（2）可知()()()()22222212121212AC x x y y x x k x x =++-=++-()()2221212124x x k x x x x ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦()()22222222221616244121212k k k k k k ⎡⎤⋅⋅⎢⎥=+-⨯⎢⎥+++⎣⎦42242424106116161441441k k k k k k k ⎡⎤⋅+-=⨯=⨯+⎢⎥++++⎣⎦令261t k =-，则216t k +=，又由()22216424120k k ∆=-⨯⨯+>得232k >，所以8t >，22216991611611681611844166t t AC t t t t t t ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=+=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎛⎫ ⎪+++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭，设216168,()()1h t h t t t t'==-++，(8,)t ∈+∞时，()0h t '>恒成立，168t t ∴++在(8,)t ∈+∞上单调递增，16818t t∴++>，9101628t t ∴<<++，93111628t t∴<+<++，21624AC ∴<<，4AC ∴<<例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，椭圆2:16x E +214y =.设点P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(1)求OQ OP的值；(2)求ABQ 面积的最大值.【解析】（1）设()00OQP x y OPλ=，，，由题意知()00Q x y λλ--，.因为220014x y +=，又()()22001164x y λλ--+=，即22200()144λ+=x y ，所以2λ=，即2OQ OP=.（2）由(1)知，ABQ 的面积为3OAB S ，设()()1122A x y B x y ，，，.将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-=，由Δ0>，可得22416m k <+，①则有212122284161414km m x x x x k k -+=-=++，.所以12x x -=.因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0m ，，所以OAB 的面积1212S m x x =-==.设2214m t k=+，将y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得()222148440k x kmx m +++-=，由Δ0 ，可得2214m k + ，②由(1)(2)可知01t <，因此S ==，故S ，当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值.所以ABQ 面积的最大值为.例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切.。
2023高考数学二轮专题复习——圆锥曲线点差法求斜率
F 1F 2PABOxy4P x 0,y 0 是椭圆E ：x 24+y 2=1上的动点，设椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，若直线PF 1,PF 2与椭圆E 的另一个焦点分别为A ,B ，求△PAB 面积的最大值.定比点代法设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ，由对称性不妨设0<y 0≤1设PA =λAF 1 ，PB =μBF 2 ，则A x 0-3λ1+λ,y 01+λ将A 代入E 整理得：λ=23x 0+4 ，同理μ=23x 0-4 S △PAB =λλ+1⋅μμ+1⋅S △PF 1F2=3y 0x 02-64x 02-4912=3y 0y 02+13y 02+148设f y 0 =3y 0y 02+13 y 02+148，y 0∈0,1 下面证明f x ≤f 1 =64349，x ∈0,1只需证：f x =3x x 2+13 x 2+148=483x 3+163x48x 2+1≤64349，即证3x 3+x 48x 2+1≤449⟺x -1 147x 2-45x +4 ≤0，x ∈0,1 ，显然成立.故f x max =f 1 =64349.故△PAB 面积的最大值为64349.5椭圆x 25+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，P x 0,y 0 x >0,y >0 为椭圆上一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于M ,N 两点，则当直线MN 的斜率为-19时，x 0y 0=.不联立 对偶式求斜率设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，MN 中点Q m ,n ，由点差法k OQ ⋅k MN =n m ⋅-19 =-15，所以n m =95x 0y 1-x 1y 0=-2y 1-y 0 ①x 0y 1+x 1y 0=-52y 1+y 0 ② ，x 0y 2-x 2y 0=2y 2-y 0③x 0y 2+x 2y 0=52y 2+y 0④①+③：x 0y 1+y 2 -y 0x 1+x 2 =2y 2-y 1 ⑤②+④：x 0y 1+y 2 +y 0x 1+x 2 =52y 2-y 1 ⑥⑥+⑤得：2x 0y 1+y 2 =92y 2-y 1⑥-⑤得：2y 0x 1+x 2 =12y 2-y 1两式相除：x 0y 0⋅y 1+y 2x 1+x 2=9，即x 0y 0⋅n m =9，所以x 0y 0=5.F 1F 2PMNOxyQF 1F 2PA BO xyQP x 0,y 0 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1上一点，PF 1,PF 2交椭圆于A ,B 两点.结论1PF 1 F 1A +PF 2F 2B =2a 2+c 2 b 2=21+e 2 1-e 2.结论2k AB ⋅k OP =-1-e 221+e 2 .结论3Q 在以F 1,F 2为焦点的椭圆上，且k AB ⋅k PQ =-1-e 21+e 2 2.结论4△PAB 面积问题.证明：1y 0y 1=2cx 0+a 2+c 2-b 2，y 0y 2=-2cx 0+a 2+c 2-b 2，PF 1 F 1A +PF 2F 2B =-y 0y 1+y 0y 2=2a 2+c 2 b 2.2 设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2x 0y 1-x 1y 0=-c y 1-y 0 x 0y 1+x 1y 0=-a 2c y 1+y 0可得x 1=-2a 2c -a 2+c 2 x 02cx 0+a 2+c 2y 1=-b 2y 02cx 0+a 2+c 2 ，同理x 2=2a 2c -a 2+c 2 x 0-2cx 0+a 2+c 2y 2=-b 2y 0-2cx 0+a 2+c 2于是k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-b 2y 0-2cx 0+a 2+c 2--b 2y 02cx 0+a 2+c 22a 2c -a 2+c 2 x 0-2cx 0+a 2+c 2--2a 2c -a 2+c 2 x 02cx 0+a 2+c 2=-b 2y 0⋅4cx 02a 2c -a 2+c 2 x 0 2cx 0+a 2+c 2 --2a 2c -a 2+c 2 x 0 -2cx 0+a 2+c 2=-4b 2cx 0y 04c a 2+c 2 a 2-x 02 =-4b 2cx 0y 04c a 2+c 2a 2-a 21-y 02b 2=-b 4x 0a 2a 2+c 2 y 0=-1-e 2 21+e 2 ⋅x 0y 0.证法二：不联立设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，MN 中点Q m ,n ，由点差法k OQ ⋅k MN =n m ⋅-19 =-15，所以n m =95x 0y 1-x 1y 0=-c y 1-y 0 ①x 0y 1+x 1y 0=-a 2c y 1+y 0②，x 0y 2-x 2y 0=c y 2-y 0③x 0y 2+x 2y 0=a 2c y 2+y 0④①+③：x 0y 1+y 2 -y 0x 1+x 2 =c y 2-y 1 ⑤②+④：x 0y 1+y 2 +y 0x 1+x 2 =a 2cy 2-y 1 ⑥⑥+⑤得：2x 0y 1+y 2 =a 2c +c y 2-y 1 ，⑥-⑤得：2y 0x 1+x 2 =a 2c-cy 2-y 1两式相除：y 0x 0⋅x 1+x 2y 1+y 2=b 2a 2+c 2，又y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a2，所以y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=-b 4a 2a 2+c 2 ，即k AB ⋅k OP =-1-e 2 21+e 2.3AF 2：x =x 1-cy 1y +c BF 1：x =x 2+c y 2y -c，可得y Q =2c x 2+c y 2-x 1-c y 1=2c x 2+c y 2-x 1-c y 1=-b 23a 2+c 2y 0x Q =12x 1-c y 1+x 2+c y 2y Q =-a 2+3c 23a 2+c2x 0于是点Q 在椭圆x 2a 3+3ac 23a 2+c 2 2+y 2b 33a 2+c 22=1上.k PQ =y Q -y 0x Q -x 0=-b 23a 2+c 2y 0-y0-a 2+3c 23a 2+c2x 0-x 0=a 2a 2+c 2⋅y 0x 0=11+e 2⋅y 0x 0k AB ⋅k PQ =11+e 2⋅y 0x 0⋅-1-e 2 21+e 2 ⋅x 0y 0=-1-e 21+e 22.4 记S 1=S △PAB ，S 2=S △PF 1F 2S 1S 2=12PA ⋅PB ⋅∠Psin 12PF 1⋅PF 2⋅∠P sin =y 0-y 1y 0⋅y 0-y 2y 0=1-y 1y 0 1-y 2y 0，由S 2=12⋅2c ⋅y 0=cy 0从而S 1=1-y 1y 0 1-y 2y 0cy 0，把y 0y 1=2cx 0+a 2+c 2-b 2，y 0y 2=-2cx 0+a 2+c 2-b 2代入,即可求函数S 1=f y 0 的最值，经验证在y 0=±b 时取得面积最大值4a 4bca 2+c 22.。
高考二轮小专题圆锥曲线题型归纳
高考二轮小专题 ：圆锥曲线题型归纳基础知识：1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a 、b 、c 、e 、p 、渐近线。
基本方法：1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等；2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例. 【浙江理数】设1F 、2F 分别为双曲线22221,x y a b+=（a >0、b >0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B.C.D. 【答案】C例. 【辽宁文数】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D例．（14分）已知椭圆22221x y a b+=(0)ab.过点（2，—1）且方向向量为11(,)22a =-的直线L 交椭圆与A 、B两点。
高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是24F -E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F-E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内， ｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.椭 圆 双曲线 抛物线轨迹条件 点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶 点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)轴 对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=焦 点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦 距｜F 1F 2｜=2c ，c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2+准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在x=±ca 2准线垂直于实轴，且在x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离曲 线 性 质椭圆外.两顶点的内侧.相等.离心率e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程焦 点 焦 线对称轴 椭圆22h)-(x a +22k)-(y b=1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2+kx=h y=k 双曲线22h)-(x a -22k)-(y b=1 (±c+h,k)=±c a 2+kx=h y=k 22k)-(y a -22h)-(x b=1 (h,±c+h)y=±ca 2+kx=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k) x=-2p +h y=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k) x=2p +h y=k (x-h)2=2p(y-k)(h, 2p+k)y=-2p +kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k) y=2p +k x=h二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、 考纲中对圆锥曲线的要求： 考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程； . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质； . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质； 考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质； . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质； . (4)了解圆锥曲线的初步应用。
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。
高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)
xR＝m＋2
m2＋3
3
.
所以||PPQR||＝xxQR＝22
11＋＋mm3322－＋11＝1＋2
2 1＋m32－1.
基础知识
题型分类 第18页，共88页。 思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
此时 1＋m32>1，且 1＋m32≠2，
所以 1<1＋ 2
1＋2 m32－1<3，且
1＋ 2
1＋2 m32－1≠53，
【例 2】 已知椭圆 C 经过点 A1，32， 两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程；
思维启迪
解析
探究提高
可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率，通过推理计算消参．
(2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，
如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率
互为相反数，证明直线 EF 的斜率
圆锥曲线中的探索性问题
难圆点锥正 曲本线P中1的(疑x函点1数清，思源想y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
圆锥曲线中的探索性问题
1＋k |x －x | ＝ 圆数直锥学线曲 和线圆R 中锥A（的曲文探线）索问性题问解题法的2一般1规律
2
圆锥曲线中的范围、最值问题
1 圆锥曲线中的范围、最值问题
p y0.
2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ>0 是否成立．
基础知识
题型分类 第6页，共88页。 思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
2020新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳(压轴题全解析)
MA MB
AB
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
( x,4
2
y)
( x,2)
0
，即
y
1
x2
2
。
4
【例 3】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，
交 C 的准线于 P，Q 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
5 轨迹 C 的方程.
解 析 设 M 的 坐 标 为 (x, y) ， P 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， 因 为 M 为 PD 上 一 点 ， 且
|MD|=
4 5
|PD|，所以
x
y
x0
4 5
y0
x0 y0
x 5 4
y
，又
P (x0 ,
y0 )
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线
A圆
B 椭圆
C 线段
D 一段抛物线
解析
设点
M
(x0
,
y0
),
P(x,
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
专题11：圆锥曲线(七大题型)-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义
2024届新高考二轮复习第十一讲：圆锥曲线1.（2）椭圆x 22y a a+=>21(1)的离心率为 1，则a =2（）A.B.C.D. 2x y 22222. （8）设双曲线C a b :1(0,0)-=>>的左、右焦点分别为F F a b,12，过坐标原点的直线与C 交于,A B两点， 11222,4F B F A F A F B a =×=uuur uuur 2，则C 的离心率为（）A.B. 2C.D.23. 已知抛物线:4C y x =,两点，过F 与l 垂直的直线交C 于的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A B ,D E ,在x 轴上方，两点，其中B D M N ,分别为,AB DE 的中点．（1）证明：直线MN 过定点；（2）设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求V GMN 面积的最小值．题型一：椭圆的方程【典例例题】x 例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C ：42+=y 21的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，则（1.（2024春·河南省）若椭圆C 1和C 2的方程分别为x y 22a b +=>>ab 221(0)x y 2222+=和a b l （a b >>>l 0,0222212:1,:(01)4343x y x y 且l ¹1）则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C Cl l +=+=<< ，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且uuuu r uuu rPM PN +=0，则△MON 的面积最大时，l 的值为（）A.13B.12C.34D.·湖南长沙）题型二：椭圆的离心率【典例例题】1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆C ：x y 2222+=1（a b >>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2a b，左、F MF 212p右顶点分别为A 1，A 2，点M 在C 上，且Ð=7 A MA 1212p，则椭圆C ，Ð=的离心率为（）A.2B.4-C.12·湖北武汉）已知椭圆3.（2024春·广东汕头市）已知椭圆x 22y a 21(1)，V ABC 是以点B (0,1)a+=>为直角顶点的等腰直角三角形，直角边,BA BC ,．若这样的V ABC 与椭圆分别交于另外两点A C 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是______．4.（2024春·河北）如图，已知椭圆C 1和双曲线C 2具有相同的焦点1F c (,0)，A 、B 、C 、D (-,0)，2F c 是它222+=上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q 们的公共点，且都在圆x y c ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若椭圆C 1×，则k k 12的值为（）A. 2 B.23C.4 D. 34题型三：双曲线的方程【典例例题】A ．4πB ．5πC ．9πD ．13π【变式训练】题型四：双曲线的离心率【典例例题】x y 22:1(0,0)22C a b a b -=>> 的一条弦AB 所在直线的倾斜角为75o，点B2.（2024春·新高考）如图，已知双曲线关于原点O 的对称点为B 1，若ÐBAB 1=30o，双曲线C 的离心率为e ，则e 2=（）A ．3B ．2+3.（2024·新疆乌鲁木齐）设双曲线满足12AF AF ^，直线AF 2交双曲线于另一点题型五：抛物线【典例例题】题型六：直线与圆锥曲线的位置关系【典例例题】22x 22y 例1.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学）已知椭圆C :a =1(a >b >0)b+的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，(0,是椭圆上的点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为C 的左顶点，过F 2的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 分别交直线x =4于M 、N 两点，B 是线段MN 的中点，在x 轴上求出一定点D ，使得BD PD ^.【变式训练】·广州市华南师大附中第一次调研）已知椭圆22x 22y 2.（2024春·广东惠州）已知椭圆C :a =1(a >b >0)b +，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1（1）求椭圆C 的方程：2=2相交于（2）直线l （不过原点O ）与抛物线x y M N ,两点，以MN 为直径的圆经过原点O ，且此直,两点，求V OAB 面积的最大值及此时直线l 的方程线l 也与椭圆C 相交于A B .)3.（2024春·广东广州市）在平面直角坐标系xOy 中，点F ((,)是平面内的动点.若以，点P x y PF 22+=内切，记点P 的轨迹为曲线E 为直径的圆与圆O x y :4．（1）求E 的方程；（2）设点A (0,1)，M t (,0)，()(4,02N t t )，直线AM ，AN 分别与曲线E 交于点S ，T （S ，T -¹异于A ），AH ST ^，垂足为H ，求OH 的最小值．的焦点为F ，圆M ：x y 22++=(4)1．点T (2,1)2=4.（2024春·河北廊坊）已知抛物线C ：x py 2是抛物线C 上一点，（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 在圆M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求V PAB 面积的最大值．题型七：圆锥曲线新颖题型【典例例题】【变式训练】(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和双曲线的标准方程；(2)过点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，与BE 的中点．问：22CD HF BE GF ××一、单项选择x y 1.（2024春·江西省）椭圆25922+=1x y )22(k +=<19 与椭圆259--k k 的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等A ．椭圆C 的中心不在直线C ．直线O O 12与椭圆D ．椭圆C 的离心率为6.（2024春·广东广州）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角三、简答题(0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于2229.（2024春·广东惠州市）如图，已知半圆C 1：x y b y +=£E点，半椭圆C 2：2222y x +=1(y a b >>>0,0)的上焦点为F ，并且△ABF a b的等边三角形，将由C 1、C 2构成的曲线，记为“Γ”．（1）求实数a 、b的值；（2）直线l ：y =与曲线Γ交于M 、N 两点，在曲线Γ上再取两点S 、T （S 、T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT 的面积最大，求此最大面积；(0,)(t ÎR )，P 是曲线Γ（3）设点K t 上任意一点，求 PK 的最小值．22++-=2150的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 10. （2024春·广东省潮州市）设圆x y x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.11.（2024春·广东省深圳市龙岗区）已知双曲线x y 2222a b 的左、右焦点分别为F 1，F 2-=>>a b 1(0,0)，离心32^时，△BF F 12，过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．当2BF l 的面积为率为5．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线l 与y 轴交于点M ，且=MA AF l uuu r uuur 1，MB BF uuur uuur =m 1，求证：l m +为定值．。
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圆锥曲线1、几何定义：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言： 1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
思考：【做】例1、（14年3月13校联考14题）设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且1sin 2ABC ∠=，则点A 的轨迹为（ ） （A ）圆或椭圆 （B ）抛物线或双曲线 （C ）椭圆或双曲线 （D ）以上均有可能4、书本上基本的定义 在平面内1)圆：到定点的距离等于定长；2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）； 4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.2、求动点轨迹方程的几种方法(1)直接法：(2)定义法：(3)代入法：(4) 参数法：（5）点差法： 典型例题 一：直接法此类问题重在寻找数量关系。
例1： 一条线段AB 的长等于a 2,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？二：定义法例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
2:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例1．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
四：代入法例1.点B 是椭圆12222=+by a x 上的动点，)0,2(a A 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.五、点差法例1直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()21y x =+的相交弦是AB ，求弦AB 的中点轨迹方程.三、方程识别1、 平面直角坐标方程2、参数方程（1）圆 {cos sin x a r y b r θθ=+=+ （2）椭圆{cos sin x a y b θθ== （3）双曲线{sec tan x a y b θθ== （4）抛物线{222x pt y pt==例1、当m,n 满足什么条件时，方程122=+nym x 分别表示圆、椭圆、双曲线？【做】例2、（20XX 年上海徐汇区一模18）【理】对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （ ） A ．一定共线； B ．一定共圆；C ．要么共线，要么共圆；D ．既不共线，也不共圆．四、圆锥曲线的概念与几何性质注：与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22a x －22y bλ=（0λ≠）;经典例题例1．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k= 。
变式：1．与椭圆14922=+y x 共焦点，且过点（3，-2）的椭圆标准方程是 。
2．双曲线14922=-x y 的渐近线为 ; 两渐近线夹角为 。
3．过点（-6，3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线的双曲线方程为4.若双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，3），则k 的值是 。
例2.给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的 距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. .1、位置关系①几何方法 ②代数方法 ③利用x y 、进行范围锁定 2、 最值问题①一定一动（动点在圆锥曲线上）：利用两点间的距离公式.（圆可用加减半径求解）②两定一动（其中一定为焦点、动点在圆锥曲线上）：利用焦点转化（抛物线利用焦点与准线转换） 经典例题例1. 某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是例2.已知M 是椭圆14922=+y x 上的动点，N 是圆1)1(22=+-y x 的动点，求|MN|的最小值例3.(1)P 是椭圆22+143x y =上一点，1F 是椭圆右焦点，)1,1(A ，求PA PF +1的范围.(2) P 是双曲线1222=-y x 上一点，1F 是双曲线右焦点，)1,2(A ,求PA PF +1的最小值.（3）P 是椭圆22+143x y =上一点，1F 是椭圆右焦点，)3,3(A ，求1PF PA -的最小值方法一 是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.方程解的个数为交点个数。
方法二是几何的观点（以双曲线为例） 直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.经典例题例1.已知直线y=kx-1与双曲线122=-y x ,试列出实数k 需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点 。
例2.过点P(3,4)与双曲线1169:22=-y x c 只有一个交点的直线的条数为 （ ） A ．4 B. 3 C.2 D. 1例3．若对任意k ∈R ，直线b x k y +-=)2(与双曲线122=-y x 总有公共点，则b 范围 。
变式：1.过原点与双曲线 13422-=-y x 交于两点的直线斜率的取值范围是 2．若方程x+k-21x -=0只有一个解，则实数k 的取值范围是 _ 。
4.曲线)0(0622>=-+y x y x 与直线)2(+=x k y 有公共点的充要条件是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,43k ； B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,0k ； C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈43,0k ； D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43k ．5.已知两点M （—5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|—|PN|=6，则称该直线为“B 型直线”。
给出下列直线：①1+=x y ；②2=y ；③x y 34=；④.12+=x y 其中为“B 型直线”的是 （填上所有正确的序号）6.已知双曲线方程为2222=-y x 与点P(1,2),（1）求过点P （1，2）的直线l 的斜率k 的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。
1、到定直线的距离最值：方法一：作定直线的平行线与圆锥曲线相切，两平行线之间的距离为最值。
方法二：直接利用参数方程，用点到直线的距离公式来进行解决。
2、弦长问题若直线b kx y +=与二次曲线的交点为A(1,1,y x )和B (2,2,y x ) 方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点⇒两点间距离方法二：利用弦长公式：||1||212x x k AB -+==212212x x 4)x x (k 1+•+||21211y y k -+==212212y y 4)y y (k 11+•+方法三：（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（—只适用于圆） 注意：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦 3、面积（1）、普通三角形：（注意）d AB S ⨯⨯=21注意：有时需要将三角形拆成两个三角形. （2）、焦点三角形：椭圆：2tan 2θb S = ，双曲线：122cot2PF F S b θ=⋅△经典例题例1．椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．变式：1、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ．例2. 经过双曲线1222=-y x 的右焦点2F 作直线l 交双曲线与A 、B 两点，若|AB|=4, 则这样的直线存在的条数为 （ ）（A ）４； （B ）3； （C ）2；（D ）１变式：1.一直线l 过椭圆12422=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的方程为 ；A ；B ；CD ．常涉及距离和斜率以及截距，另外方程解的问题也会涉及，通常结合圆锥曲线的图像，但要注意变量的范围。
典型例题例1. 如果实数y x ,满足方程3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值为 （ ） (A)21 (B)33(C)23 (D) 3变式：1若方程x+k-21x -=0只有一个解，则实数k 的取值范围是 _ _。
2.若关于x 的方程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿.1、角：借助向量，转化为坐标运算。
2、垂直问题：（1）斜率乘积为-1 （2）向量数量积为0.3、与向量有关问题：转化为坐标运算典型例题例1．设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF •2PF 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.变式：1. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【做】2.倾角为3π的直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线 准线上的动点.（1）△ABC 能否为正三角形？（2）若△ABC 是钝角三角形，求点C 纵坐标的取值范围.弦中点问题：1、韦达定理；2、点差法.对称问题：垂直、平分。