量子力学考研2021配套考研真题集

量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析

设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研]

【解题思路】

①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关；

②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理；

③轨道角动量力学量的本征方程。

【解析】

（1）对于中心力场，由维里定理可得

因为

所以

（2）令

所以

因此

所以

【知识储备】

①氢原子本征方程

本征能量为

其中

本征波函数为

ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ）

②维里定理

如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ）

角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为

相应的本征方程分别为

【拓展发散】

假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。

7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。

（1）写出t时刻系统的波函数；

（2）求出t时刻系统的平均能量。

[中国科学技术大学2012研] 【解题思路】

根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。

【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为：

其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为：

容易解得

相应的能量本征值为：

可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。

对于态，先归一化。利用，可得，从而

我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出：

（2）t时刻系统的平均能量为：

其中。

【知识储备】 ①薛定谔方程

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U （r →

，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →

）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。

②在某一表象下，算符F ∧

在ψ态中的平均值为

8设有一个质量为m 的粒子处于（0，a ）区域的一维无限深势阱中，其状态波函数为

，试求解以下问题：

（1）一维无限深势阱的本征值；

（2）测量到的粒子处于不同能量本征态的几率； （3）测量到的粒子能量平均值。

[南京大学2014研]

【解题思路】

①对于一维无限深势阱中的粒子，一般假定势能不随时间变化，这是定态问题，显然，这可以直接使用薛定谔方程来求解本征波函数和本征能量；

②由薛定谔方程求解出的一维无限深势阱中的粒子的本征波函数构成正交归一完备集，所有的波函数都可以用此完备集展开；

③量子力学中一个力学量的测量会引起波包塌缩，各个对应本征态的几率可以对相应完备展开式做傅里叶变换得出。

【解析】

（1）由题意可知，在一维无限深势阱中运动的粒子所受的势能为

当时，由定态薛定谔方程可得

即

令

所以

解得

本征能量为

（2）由波函数的归一性

可得

即

由的完备性可得

由傅里叶变换可得

即

所以测量到的粒子处于的几率为

（3）由能量平均值公式可得

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②力学量完备集

任一函数ψ（x ）可以用一组完全系{f n （x ）}来表示

其中，c n 常被称为概率振幅，可由下式计算

同时满足

其物理意义是：当体系处于波函数ψ（x ）描写的状态时，测量力学量F ⌒

所得的值，必定是算符F ⌒

的本征值之一，测得F ＝λn 的概率为|c n |2。 力学量F ⌒

的平均值称为期望值，可表示成

【拓展发散】

①由于外力的作用，分为两种方式改变一维无限深方势阱的阱宽，一种是缓慢改变，另外一种是急剧改变，缓慢改变的方式还可以结合绝热近似进行考察； ②借助一维无限深方势阱的物理模型，也可以考察在本征态中一些力学量对应的矩阵形式。

9试给出以下量子力学基本概念的中文翻译、定义与相关公式： （1）Eigen-function （2）Stationary state （3）Superposition principle

[南京大学2013研]

【解题思路】

对于量子力学中的重要的概念和定义需要了解对应的英文表达，注重平常在这方面的积累。

【解析】

（1）Eigen-function：本征波函数

本征方程，其中为本征波函数，f为本征值。

（2）Stationary state：定态

定态波函数的形式为

（3）Superposition principle：叠加原理

如果y1、y2、…、y n、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c1y1＋c2y2＋…＋c n y n＋…，也是微观粒子的可能状态。

【知识储备】

①量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

a．当算符的本征函数组成分立谱时，有

b．当算符的本征函数组成连续谱时，有

②波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出