材料力学(I)附录

I y
z 2dA
A
－图形对 y 轴的惯性矩
I z
y 2dA －图形对 z轴的惯性矩
A
惯性积 (product of inertia)
z
I yz
yzdA
A
－图形对 y z 轴的惯性积
极惯性矩 (polar moment of inertia of an area)
I P A 2dA －图形对 O 点的极惯性矩
于是有
Ix1
A y12dA
( y cos x sin)2dA
A
cos2 y2dA sin2 x2 d A 2sin cos xy d A
A
A
A
Ix cos2 I y sin2 Ixy sin 2
30
材料力学Ⅰ电子教案
附录
利用三角函数 sin2 1 (1 cos2 )和cos2 1 (1 cos2 ),
3.
试利用 Ip
2dA
A
(x2 y2 )dA
A
从基本概念上论证 (2)中的问题。
32
材料力学Ⅰ电子教案
y
1.定义式
z
dA
S y
zdA
A
图形对于 y 轴的静矩
Oy
Sz
ydA
A
图形对于 z 轴的静矩
z
2.形心坐标公式
zC
Sy A
A zdA A
yC
Sz A
A ydA A
2
S y AzC S z AyC
材料力学Ⅰ电子教案
附录
结论:
①静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标轴有关。 ②截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。
工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面
例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力
作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴z，y 的惯
性矩、惯性积。
d2
y2
h
y1
d1
z Oz
y b
13
材料力学Ⅰ电子教案
附录
在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心 且平行于组合截面某个轴(例如z轴)的惯性矩时，组合截面 的惯性矩可利用平行移轴公式求得。组合截面对于某对相 互垂直的轴(例如z，y轴)的惯性积也可类似地求得。
材料力学Ⅰ电子教案
附录 截面几何性质
§I-1 截面的静矩和形心 §I-2 极惯性矩·惯性矩·惯性积 §I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合
截面的惯性矩和惯性积 §I-4 惯性矩和惯性积转轴公式· 截面的主惯
性轴和主惯性矩(选讲)
1
材料力学Ⅰ电子教案
附录
§Ⅰ- 1 静矩·形心
一、静矩(static moment of an area)
cos 2
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I xy sin 2
I x1y1
Ix
Iy 2
sin 2
I xy
cos 2
式(a) ,(b) ,(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。
（b） （c）
31
材料力学Ⅰ电子教案
附录
思考:
1. 截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂 直的一对轴的惯性积是否可能是负值？ 2. 将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意 味着什么？
149.22104 mm4 24.1mm2 2030mm2
267104 mm4
24
材料力学Ⅰ电子教案
附录
于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：
I x I x1 2I x2 3690104 mm4 2 2110104 mm4 7910104 mm4
I y I y1 2I y2 431104 mm4 2 267104 mm4 965104 mm4
16
材料力学Ⅰ电子教案
附录
Ⅱ. 组合截面的惯性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于z，y
两轴的惯性矩和惯性积分别为
Iz
n
I
，
zi
i1
d2
Iy
n
I
，
yi
i1
n
I zy I ziyi i1
y2
h
y1
d1
z Oz
y b
17
材料力学Ⅰ电子教案
例题：求图示截面对形心 轴yC和zC的惯性矩
b 2
12
8
材料力学Ⅰ电子教案
附录
思考:
一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴
z
的惯性矩是否也是
Iz
bh3 12
？
9
材料力学Ⅰ电子教案
附录
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
d
o
y
z dA
z
Ip
2 d A πd 4
A
32
又因为： πd 4
y
I p I z I y 32
a
O
z
15
材料力学Ⅰ电子教案
附录
I z I zC a2 A
I y I yC b2 A
I zy I zC yC abA
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要 注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移 轴公式时要特别注意。
截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形 心轴惯性矩来换算。
24.1 mm
于是有距离 b x 24.1 mm
22
材料力学Ⅰ电子教案
附录
2. 利用平行移轴公式求Ix和Iy
槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x1 I xC a12 A 3 690.45104 mm4 0 3 690104 mm4
I y1 I yC b12 A 218.415104 mm4
解：1. 取参考轴z,y
6 cm
2. 求形心
yC
Ai y A
ci
A1 yc1 A2 yc2 A1 A2
y c1
2 cm
2 65 6 21
2 6 6 2 3 cm
则 a1＝2cm，a2＝2cm。
附录
2cm y（yc）
Ⅰ
c1
c c2
Ⅱ
6cm
zc1
a1
a2 yc2
z(zC )
yC zc2
Z0
21
材料力学Ⅰ电子教案
附录
1. 求组合截面的形心位置 组合截面的形心C在对称轴x
上。以两个角钢截面的形心连线 为参考轴先求组合截面形心C以该 轴为基准的横坐标 x ：
x Ai xi Ai
2 2 030 mm2 0 4 491 mm2 19.21 mm 26.7 mm 2 2 030 mm2 4 491 mm2
根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz 和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得
Iz
Iy
Ip 2
πd 4 64
10
材料力学Ⅰ电子教案
附录
(3) 空心圆截面
由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆
(即空心部分)的面积Ad故有
D d
Iz
y2 d A
A
y2 d A
AD Ad
O
z
在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并 不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x 轴和y轴。(本节中的x轴就是以前我们所用的z轴)
28
材料力学Ⅰ电子教案
附录
Ⅰ. 惯性矩和惯性积的转轴公式
图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的
惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O
(1)
Iy
2
I
y0
a 2
z0
2
A
(2)
Iy
2
I
y1
a 2
2
A
26
材料力学Ⅰ电子教案
附录
复习要点：
⒈ 掌握静矩、惯性矩、惯性积的概念 。
⒉掌握平行移轴公式，会计算组合截面的惯性矩、惯性积。
27
材料力学Ⅰ电子教案
附录
§Ⅰ-4 惯性矩和惯性积的转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性矩(选讲)
③截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即:
Szc 0
S yc 0
决定因素: 静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。
数值范围: 可以为正、或负、或等于零。
单
位: m3 （mm3 、cm3） 、
3
材料力学Ⅰ电子教案
二、组合图形的静矩和形心
SZ
A1 yC1
A2 yC 2
An yCn
n
Ai yCi
i 1
Sy
5
材料力学Ⅰ电子教案
附录
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
I p A2 d A A y2 d A A z 2 d A I z I y
平面图形对一点的极惯性矩的数值等于截面对以该点为原点 的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。
y
z
dA
y
O
iy
I y －图形对 y 轴的惯性半径 A
z
iz
3. 求对形心轴的惯性矩 I y I y1 I y2
Iy
I yC
6
23 12
2
63 12
4
36
40
cm 4
18
材料力学Ⅰ电子教案
附录
I Z I Z1 I Z2
6 cm
I Z1 I Zc1 a12 A1
I Z 2
I ZC 2
a
2 2
A2
y c1
2 cm
2cm y（yc）
Ⅰ
顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对 于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。
25
材料力学Ⅰ电子教案
附录
思考题: 图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。 已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴 y0的惯性矩Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩 Iy1，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于 y轴的惯性矩Iy并说明理由：
旋转
角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩
I
,
x1
I
和
y1
惯性积 。 I x1y1
29
材料力学Ⅰ电子教案
附录
由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标 的关系为
x1 OC OE BD
x cos y sin
y1 AC AD EB
y cos x sin
c1
c c2
Ⅱ
6cm
zc1
a1
z(zC )
z a2 yC
yc2
c2
Z0
I ZC
2
63 12
12
2
2
6
2 12
3
12 22
84 52 136 cm4
19
材料力学Ⅰ电子教案
附录
例题Ⅰ- 2 图示组合截 面由一个25c号槽钢截面和两 个90 mm×90 mm×12 mm等 边角钢截面组成。试求此截 面分别对于形心轴x和y的惯 性矩Ix 和 Iy 。
d2
y2
h
y1
Oz
z
d1
y b
14
材料力学Ⅰ电子教案
附录
Ⅰ. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
Iz A y2dA A yC a2 dA
y
yc
IAzcyc2dA
2a
A
yc
dAI
za
a2I
2zcAdA
A
a
2
A
b C
zc dA yc
A ycdA IAy yc I yc b2 A
zc
I zy I zcyc abA
2
2
由上式得
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos 2
I xy sin 2
同理，根据
（a）
I y1
A x12dA
(x cos y sin)2dA
A
I x1y1
A x1 y1dA
(x cos y sin)( y cos x sin)dA
A
有
I y1
Ix
Iy 2
Ix
Iy 2
19.21mm 26.7 mm 24.1mm2 4 491mm4
431104 mm4
23
材料力学Ⅰ电子教案
附录
角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x2 I xC a2 A
149.22104 mm4 98.3mm2 20.30 mm2
2110104 mm4
I y2 I yC b2 A
A1 z C1
A2 zC 2
An zCn
n
Ai zCi
i 1
n
yC zC
Sz A
Sy A
Ai yCi
i 1
n
Ai
i 1
n
Ai zCi
i 1 n
Ai
i 1
4
附录
材料力学Ⅰ电子教案
附录
§Ⅰ- 2 极惯性矩·惯性矩·惯性积
一、定义式
y
z
dA
A y
O
惯性矩 (moment of inertia)
Iz A
－图形对 z 轴的惯性半径
6
材料力学Ⅰ电子教案
附录
结论：
1、惯性矩是某一坐标轴而言；惯性积对某一对坐标轴而言；极 惯矩是对某点定义的。 2、任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂 直的轴的惯性积为零。
3、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的 越远，其惯性矩越大。
决定因素: 截面形状、尺寸、轴的位置。 数值范围: 惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为正;惯性积
20
材料力学Ⅰ电子教案
附录
解：由型钢规格表查得：
25c号槽钢截面 A 44.91cm2， I xC 3 690 .45 cm4 I yC 218 .415 cm4 形心位置如图所示
90 mm×90 mm×12 mm等边角 钢截面
A 20.30 cm2 I xC I yC 149.22 cm4 形心位置如图所示
可以为正、为负、为零。 单 位: 惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相同
均为m4（mm4 、cm4） 、
7
材料力学Ⅰ电子教案
附录
二、简单截面对于形心轴的惯性矩
(1) 矩形截面
Iz
y2 d A
A
h 2 by2 d y bh3
h 2
12
I y
z2 d A
A
b 2 hz2 d z b3h
y2 d A y2 d A
AD
Ad
πD4 πd 4 π
D4 d4
64 64 64
y
πD4 1 4
64
式中， d D 。
11
材料力学Ⅰ电子教案
附录
型钢截面及其几何性质：参见型钢表
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
12
材料力学Ⅰ电子教案
附录
§Ⅰ- 3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合 截面的惯性矩和惯性积