高二-数学-《圆锥曲线方程》知识点总结

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1

（0a b >>）。方程22

Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A

≠B ）。

如（1）已知方程1232

2=-++k y k x 表示椭圆，

则k 的取值范围为____（答：11

(3,)(,2)22

---）；

（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（2）

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。

方程22

Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，

则C 的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：开口向右时2

2(0)y px p =>，开口向左时2

2(0)y px p =->，开口向上时

22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。4

5 4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是__（答：3或325）；

（2）双曲线（双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越

大；两条渐近线：b

y x a

=±

。

（3）如 （1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（答：

2

或

3

）；

（3）抛物线（抛物线⇔1e =。

如设R a a ∈≠,0，则抛物线2

4ax y =的焦点坐标为________（答：)161

,0(a

）；

6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交

例如：直线y ―kx ―1=0与椭圆

22

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；

（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；

（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82

=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；

（3）过双曲线12

2

2

=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的

直线l 有____条（答：3）；

7、焦半径

如（1）已知椭圆116

252

2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____

（答：

35

3

）； （2）已知抛物线方程为x y 82

=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）； （5）抛物线x y 22

=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；

（6）椭圆13

42

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之

值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3

6

2(-）；

10、弦长公式：

若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝

12x -，

若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121

1y y k

-+

，

若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转

化为 两条焦半径之和 后，利用第二定义求解。

如（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；

（2）过抛物线x y 22

=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22

221x y a b -=中，以

00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

20

2y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点

的弦所在直线的斜率k=0

p

y 。

如（1）如果椭圆22

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；

（2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点

在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

（答：2

）；

特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！

13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =； 如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；