中考二次函数压轴题专题分类训练

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的 坐标
解： 方法一，作PD⊥y轴，垂足为D； 易证△BOC相似于△CDP ∵OB=OC=3， ∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4， ∴P（1，-4）．
方法二：要使∠PBC＝90°，则直线 PC过点C，且与BC垂直， 又直线BC的解析式为y ＝x－3， 所以直线PC的解析式为y ＝－x－3， 当x＝1时，y＝－4， 所以P点坐标为（1，－4）．
的距离之和最小，并求此时点M的坐标； • （3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P
的坐标．
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M的坐标；
解：由于A、B关于抛物线的对 称轴直线x=1对称， 那么M点为直线BC与x=1的交点； 由于直线BC经过C（0，-3）， 可设其解析式为y=kx-3， 则有：3k-3=0，k=1； ∴直线BC的解析式为y=x-3； 当x=1时，y=x-3=-2， 即M（1，-2）；
坐标
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P 解析：让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE 是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点 三种情况探讨
点评：一个三角形是直角三角形，应分不同 顶点为直角等多种情况进行分析；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM—MC|的值最大，求出点M坐标
• 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴 于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）。
（1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运 动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面 积。
中考二次函数压轴题专题 分类训练（一）
题型一：面积问题
• 2012 如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2 +bx+c（a≠0）与y 轴交于 点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
• （1）求抛物线的表达式； 抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2 ﹣4x+3．
• （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直线BC：y=-x+3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
• ∴AD=
AC=
CD=
即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S△ACD= 1/2 AD•CD=
• （1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点 坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
• （2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别 求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距 离相比较即可；
• （3）过P作y轴的垂线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的 坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形 面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根 据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．
• 题型二：构造直角三角形
• 山东聊城 如图，已知抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且 抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．
• （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； y ＝x2－2x－3 • （2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C
当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大
易知直线AB的解折式为y=-x+1
点评：求两条线段和或差的最值， 都要考虑做其中一点关于所求的 点在的直线的对称点
• 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4）， 点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO． （1）求抛物线的解析式； （2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交 抛物线于点Q，求线段PQ的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是 以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的 坐标；如果不存在，说明理由．
• 此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆 的位置关系、图形面积的求法等知识．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
• （2014） 如图，抛物线y=﹣x2 +mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
解析：易得|AM-MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交 对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求 得点M坐标
解：抛物线的对称轴为x=3/2
∵B、C关于x=3/2对称
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∴MC=MB
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大
由三角形两边之差小于第三边得，
• （1）求抛物线的表达式；
• （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于 点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时E 点的坐标 ．
• （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从 而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积 =S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求 出结论
• 如图，已知直线 y=1/2x+1 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝1/2x2 +bx+c 与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。
• （1）求该抛物线的解析式； • （2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 • （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM—MC|的值最大，求出点M的