空中加油问题

论文题目：空中加油问题参赛选手：题目：空中加油的优化解法[摘要]本文讨论了空中加油问题中如何获取最大的作战半径的加油方式。

首先我们通过逻辑推理，算出在总辅机数n 4情况下的最佳作战方案，找出其一般规律。

然后证明了对称性方法的最优性，求解时将辅机分为两类，一类专为飞机前进服务，第二类专为飞机返回服务，通过对称性方法、逐层分析和对比，利用穷尽列举法，得出了在满足假设条件下，按照n取值不同而确定的最优作战方案，依据得出的数据结果，利用spss软件拟合函数，预测r关于n的渐进关系式。

接着在前两问的基础上，引进飞机可重复飞行的条出在n→∞时的nr。

在第4问中先通过图解法，件，通过对称性方法将模型简化为问题2的一种情况，求得nr。

最后以1架辅机确定另两个基地的位置，由于基地的不可移动性，联系问题3，讨论出n利用图解法，与前几问联系求出第5问的解。

期间用到的大部分模型都做出了选择或舍去的证明。

本模型虽然在假设条件的限制下有一定的约束性，可是其通过计算机穷尽列举的方法，在许多问题中都有所应用，具有普遍性，也不失为一种算法。

本模型对于其它运输规划问题有一定的参考价值。

关键词：图解计算机穷尽列举逐层分析渐进关系式一、问题的重述对飞行中的飞机进行空中加油，可以大大提高飞机的直航能力。

为了简化问题，便于讨论，我们作如下假设。

设A 为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和n 架加油机（简称辅机）。

主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L （公里）。

辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。

今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。

主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在n 架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地A 的最远距离。

显然当0=n 时，作战半径2/0L r =。

问题1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为n r 。

当4,3,2,1=n 时，求作战半径n r 。

问题2 在问题1的假设下，当4>n 时，尽你的可能求出n r （提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出n r 的上、下界； 讨论当∞→n 的过程中n r 与n 的渐近关系； 试给出判断最优作战方案（主机能够飞到n r 处）的必要条件或充分条件。

问题3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L 的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为n R ，讨论与问题1、问题2类似的问题。

问题4 若另有2个待建的空军基地（或航空母舰）21,A A ，有n 架辅机，主机从基地A 起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地A 降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。

其它同问题3的假设，讨论21,A A 的选址和主机的作战半径*n R 。

问题5 设ABCD 为矩形，L AB 4=，L AD 2=，D B A ,,为三个空军基地，主机从A 起飞，到C 执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A 。

假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其它同问题3的假设，试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。

二、 模型假设1． 辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油； 2． 辅机在同一时刻可以给多加飞机加油；3． 油箱装满油后的最大航程为L ，为了便于计算我们以油量代替航程，假设一架飞机每公里耗油量为1，即一架最大载油量为L ；4． 假设飞机的航速为1；5． 飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、空中加油的耗时均忽略不计；三、 符号说明i x ：第i 个加油点与基地的距离；n r ：n 架辅机时的作战半径L ：飞机最大航程或最大载油量四、 模型建立与求解问题1 问题分析：根据假设4，飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，我们不难得出，在辅机数量一定的情况下，要使主机航行最远，需使每一架飞机的油量都用于飞行，并且回到基地时无剩余。

根据条件：主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，使得辅机给主机加油只能有两种情况：○1与主机同时起飞在某一地点加过油后返回；○2接应主机，相遇后加油在与主机一起返回。

题目中要求求出n=1，2，3，4时的作战半径n r ，必须先确定此要求下的加油最优方式，然后按照最优的加油方式分别求出结果。

根据最直观的想法我们让尽可能少的辅机在空中飞行，这要求辅机在接应主机时是陆续起飞的。

模型建立和求解： 补充假设：（1）辅机可同时给其它飞机加油，并且有足够的油量使自己返回基地。

（2）某个加油机在某个地点给其它每架飞机的加油量相等（使送走的飞机的储油量最大），并且加完油后立即返回。

定理1（引理）：每次加油均将其它飞机油箱装满，所有返回基地时油量刚好用完的情况下作战半径最大。

证明：在每次加油未将其它飞机油箱均装满的情况下，设加油点为'i x ，我们知道所有飞机的油，要么用于主机飞行，要么用于辅机飞行。

即辅机飞行的越多主机飞行的越少。

第i 个辅机，其在没有其它辅机的接应情况下安全返回基地的条件1120i i i i k L T T x -=+--≥∑i T 为要使飞行距离最远，即i x 最大，则条件是应该取等号，即辅机返回基地时油量刚好用完。

又 112i k ik i L T T x -=+-=∑当存在第i 架飞机未将其它飞机油箱均装满的情况下返航，则由i T 减小推出'i x >i x ,即辅机总飞行距离增大，主机飞行距离减少。

证毕。

按照给出的最优加油方式，1k +架飞机一起起飞，到1x 点处辅机1w （第一架飞机）给其它飞机加满油并返回，则可视为i w 的油量用于1k +架飞机走完1x 的距离，即12L x k =+。

那么对于辅机i w (i ≤k),有11(3)()1i i i x k i x x --+-+-=由类推关系式得2i iLx k =+ 主机在距离基地为2+k kL 处加完油，此时主机有两种选择，○1向前飞2+k L后自行返回；○2由辅机接应返回。

当增加一架飞机时，对于第一种选择，其作战半径为()123k k Lr k +'=+， 当增加一架飞机时，对于第二种选择，由这一架飞机接应则有12322k kL L L kL k r k -++=++ 化简得()1126k k L Lr k +=++显然'1k r <1k r那么当增加i 架飞机时，其中i ≤k对于第一种选择，其作战半径为'ki r =()21++++i k Li k对于第二种选择ki r =()21++k L k +()22+i iL用数学归纳法容易证明ki r >'ki r显然ki r 是关于i 的单调递增函数。

那么，最优的加油方式是k 架辅机送主机，k 架辅机接主机。

但此时总的辅机数量n=2k 始终为偶数。

当n 为奇数时，最优的加油方式：21+n 架辅机送主机，21-n 架辅机接主机。

在此种加油方式下 当n=2k 时n r =4+n nL +2L当n=2k-1时n r =()53++n L n +()()321+-n L n则()()()()nL (2)n 42n 3121523n L n k r L n L n k n n ⎧+=⎪+⎪=⎨+-⎪+=-⎪++⎩（k=3，4，5，6…..）1. n=1时， 主机与辅机同时起飞，辅机在位置1x 为处给主机加满油， 123Lr =.如图：2. n=2时， 一辅机负责送主机，另一辅机负责接主机，这种方案满足同一时刻在空中飞行的辅机数量最少，则此时256Lr =.如图：3. n=3时，两个辅机送主机一个辅机接主机，与一个辅机送主机两个辅机接主机情况相同（对称性原则）。

作战半径31112Lr = 如图：4. n=4时，两个辅机送，两个辅机接， 此时4L r =结果如下表 1x2x3x4xn r n=1 1/3 2L/3 n=2 1/3 1/3 5L/6 n=3 1/4 1/2 1/3 11L/12 n=4 1/41/21/21/4L问题2问题分析：由第一问建立的模型对于n 比较小时是有积极意义的，但通过计算，当n>16时，增加飞机数对n r 的增大贡献不大。

并且这一模型有极值为1.5。

与实际有矛盾，那么，当15n ≥时，需要另外建立模型。

模型建立和求解： 按照第一问的结果()()()()nL (2)n 42n 3121523n L n k r L n L n k n n ⎧+=⎪+⎪=⎨+-⎪+=-⎪++⎩当∞→n 时5.1→n r L ，显然当n 到达某个值之后，在增加辅机数对作战半径的增加贡献小到没有意义了。

那么，改进模型，假设存在辅机接辅机的情况，即递返模型。

如图，最上面的一层表示k 架辅机送主机，第二层表示k 架飞机被2k 送，以此类推 得出当有i 层时（不包括主机的最后一层）。

此时2(1)2i n k =+-()2lg2*lg 122n n k L r L kk +=+++ 求导得，当k=1时n r 取最大值。

所以2lg2lg 232n n L L r +=+ 以上只讨论了每一层均为k 送1的情况，而实际情况可以每一层的几送几是一个组合情况，例如最上面一层选择2送1，则倒数第二层可选择m 送3的情况，其中m 可取大于3 的符合组合数的整数，例如6，9，12等。

由此，当n 一定时，用穷举法列举出所有可能，求其使半径最大的最优解，就是最优方案，当n 过大时，在实际过程中难以实现，没有实际意义，并且计算量过于庞大，下面，我们用MATLAB6.5编程计算出当n ≤1200，有8个加油点，由于6送1到7送1时n r ∆很小，所以只讨论最多6送1的情况下的最优解。

（程序见附录） 将数据做处理后用spss10.0作出拟合曲线并作出图像如下：结果显示其可绝系数2R=0.99194，拟合残差平方和为0.360665，拟合函数为r=0.448252ln（n）+0.268119拟合效果较好。

r处）的必要条件最优作战方案（主机能够飞到n通过解题过程，基于对第一问和第二问的认识，我们认为判断一种作战方案是否为最优方案必须满足以下条件：○1让尽可能少的辅机同时在天空飞行。

○2辅机可同时给其它飞机加油，并且有足够的油量使自己返回前一次加油地点。

○3每次加油均将其它飞机油箱装满，并且加完油后立即返回。

○4任意一架飞机返回基地时的油量为空。