信息论与编码[第七章保真度准则下的信源编码]山东大学期末考试知识点复习
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第七章 保真度准则下的信源编码
7．1．1 失真度(失真函数)与平均失真度
1．离散信源单符号的失真度与平均失真度
设离散无记忆信源输出随机变量U，U={u1，u2，…，ur}，概率分布为
P(u)=[P(u1)，P(u2)，…，P(ur)]，其通过某信道传输到信宿，接收的随机变量为V，
V={v1，v2，…，vs}。
(1)离散信源单个符号的失真度
它是对应于每一对(u，v)所指定的一个非负函数
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3．连续信源的失真度和平均失真度
设连续信源输出随机变量U，U取值于实数域R，其概率密度分布为p(u)。
通过某连续信道传输到信宿，接收的随机变量为V，V也取值于实数域R。
(1)连续信源的失真度
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7．1．2 信息率失真函数
1．离散信源的信息率失真函数
设离散信源输出随机变量U，其概率分布为P(u)，接收随机变量为V，失真
测度为d(u，v)，则信息率失真函数
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7．1．3 信息率失真函数的特性
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7．1．4 R(D)函数的参量表述及其计算
1．离散信源
已知信源的概率分布P(u)和失真函数d(u，v)，离散信源的R(D)函数是选取
试验信道P(v|u)满足
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斜率S必为非正的。当D由Dmin增大到Dmax时，S的数值也随之Smin= -∞增至
Smax=0。除某些特例外，S在D=Dmax处是不连续的，从某一负值跳到零。
2．连续信源
已知连续信源概率密度函数p(u)和失真函数d(u，v)，连续信源的R(D)函数
是在概率密度函数p(v|u)满足
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3．差值失真度下连续信源的香农下界限
连续信源U，u∈R，概率密度函数pU(u)。其失真函数为差值量度的函数
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4．高斯波形信源
信源输出的是一个均值为零的平稳高斯随机过程{U(t)，-∞
真度下，信息率失真函数和平均失真度的参量表达式
7．1．5 常见信源的R(D)函数 注意：(1)上述R'为编码后的信源输出信息率，R'和R(D)都以比特／信源符 (2)限失真信源编码定理证实，R(D)函数是在允许失真D的条件下，信源可 2．限失真编码定理和数据压缩 信息率失真理论正是从理论上指出信源的限失真的数据压缩是存在的、可能 7．1．7 信息—传输定理(联合有失真信源信道编码定理) 定理可推广到有记忆和连续的情况。
1．二元离散对称信源U
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7．1．6 保真度准则下信源编码定理(香农第三定理)
1．保真度准则下信源编码定理及其逆定理
保真度准则下信源编码定理又称限失真信源编码定理：
离散信源的信息率失真函数为R(D)，并有有限的失真函数。在允许失真度
D确定后，若R'=R(D)+ε(ε≥0的任意小数，即R'≥R(D))则码长n足够长，一
定存在一种信源编码，码字个数M=2nR'，而码的平均失真度小于或无限接近于允
许失真D。反之，若R'
号为单位。
达的信息传输率。
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(3)此定理及其逆定理可推广到连续信源的情况，它对连续信源更具实用意
义。
限失真编码定理及其逆定理是信源数据压缩的理论基础，在实际工程中具有
重要的指导作用。从定理可知，当信源给定后，无失真信源数据压缩(D=0)的下
限值是信源熵H(S)；而允许失真为D的情况下，限失真信源数据压缩的下限值
是信息率失真函数R(D)。一般情况，给定某D后，有R(D)
的。因此，限失真编码定理和R(D)函数在实际工程中可作为衡量实际中数据压
缩编码方法好坏的一个标尺。
1．信息—传输定理
2．信息—传输定理的实际工程意义
类似于信源信道编码定理，信息-传输定理指出，在单用户通信(无论数字或
模拟)的实际工程中能做到有效可靠地传输信息。同样，可以将信源编码和信道
编码分别进行考虑。而认为信源编码和信道编码之间只是一些数据流。信源编码
只需针对信源，考虑在满足允许一定失真D的条件下尽可能用最少的数据流来
表述信源的信息。无需考虑数据流将流向何方。对信道编码只需针对信道，研究
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各种纠错编码方法，使信道干扰引起的错误任意地小。只要信道的信息传输速率
大于限失真下信源编码后的信息传输速率，通信系统就能做到既有效又可靠(允
许失真下)地传输信息。
第七章：信息率失真函数与限失真信源编码
✓ 不同的p(v|u)有不同的 D
R(D)
✓ 对我们有意义的：具有最小的 D 的
p(v|u)
R(D)>0
✓ 利用该p(v|u)求得使R(Dmax)=0时的 Dmax
✓ R=0时，U,V统计独立p(v|u)只是v的 函数,则有： p(v|u)＝P(v)
R(D)=0
D Dmax
§7.3:率失真函数－5
]
• 失真函数：均方误差失真，即： d (u, v) (u v)2
–求解步骤：
• 计算平均失真度 D • 当 D ≤D，求互信息 • 求互信息的下限值得到包含有D和σ2 的R(D)表达式 • 讨论D和σ2 比值不同时R(D)的取值
–验证：找到满足R(D)的试验信道，验证其正确性 –结果分析：R(D)曲线分析
• 允许一定的失真度下，能将信源信息压缩到什么程 度？（最少需要多少比特才能在收端描述信源？）
• 一定的信息传输率R下，可能达到的最小的平均失 真是多少？
– 相关问题
• 失真如何度量？ • 率失真函数如何计算？
§7.1:概述－6
• 方法：
– 抽象：将与讨论重点关系小的部分抽象
• 因为涉及信源编码，对信道进行抽象
最好地利用C
消息 压缩冗余度
信 源
最佳分布 无噪无损信道
编 码
R=C;PE=0,
限：平均码长最小值Hr(S) 每个码符号平均能够携带的最大信息量
§7.1:概述－2
• 有噪信道编码定理回顾：
– 只要R<C，总可以找到一种信道编码方法，使在信道 上能够以尽可能小的PE传输信息。
增加冗余度，最好地匹配信 道特性
• P(u)=[ω，1－ ω]， ω≤1/2
信息论与编码基础知识点下
信息论与编码基础知识点
（仅供复习参考，不作为出卷依据）
1．当代文明的三大科学支柱
2．信息论发展的过程
3．信息论的奠基人,代表作?
4．信息理论中度量信息的基本观点
5．一个通信系统中常用的编码有哪些?其目标是什么？6．信源符号自信息量的含义与计算
7．信源符号间互信息量与平均互信息量的三个含义(对应公式)
8．信源熵的三种物理含义。
9．离散信源的联合熵、条件熵、平均互信息量的含义及相互之间的关系。
10．平均互信息量的三种物理含义、性质及相应的公式，与信道容量、信息率失真函数的关系
11．信源的平稳性和无记忆性的含义
12．离散无记忆信源的信源熵、N次扩展的信源熵计算。
N 阶马尔科夫信源的定义
14．低阶（1、2）马尔科夫信源的状态转移图、各状态的稳态分布概率(状态极限概率)、极限熵H∞=H n+1
15．信道容量的含义
16．常见信道（无噪信道、强对称、对称、准对称）容量的计算，达到信道容量时对应信源的概率分布情况。
17．二进制香农编码、费诺编码、哈夫曼编码方法及步骤，其编码效率的计算
18．信息率失真函数的含义
19．D max的含义
20．二、三元离散信源的R max R min D min、D max计算，及等概
率信源分布信息率失真函数R(D)的计算
21．在信道编码中检错与纠错的含意是什么？
22．最小码距?最小码距与检错、纠错的能力关系
理解相关基本概念（定理、性质）多练习课后习题（作业和讲解）。
信息论与编码复习整理1
信息论与编码1.根据信息论的各种编码定理和通信系统指标，编码问题可分解为几类，分别是什么？答：3类，分别是：信源编码，信道编码，和加密编码。
2.对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。
答：通信系统模型如下：数据处理定理为：串联信道的输入输出X 、Y 、Z 组成一个马尔可夫链，且有，。
说明经数据处理后，一般只会增加信息的损失。
3.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？答：平均自信息为:表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息:表示从Y 获得的关于每个X 的平均信息量，也表示发X 前后Y 的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
4.简述最大离散熵定理。
对于一个有m 个符号的离散信源，其最大熵是多少？答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
最大熵值为。
5.熵的性质什么？答：非负性，对称性，确定性，香农辅助定理，最大熵定理。
6.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？答：信息传输率R 指信道中平均每个符号所能传送的信息量。
信道容量是一个信道所能达到的最大信息传输率。
信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分布。
平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的U 型凸函数。
7.信道疑义度的概念和物理含义？答：概念：)|(log )()|(j i j i jib a p b a p Y XH ∑∑-=物理含义：输出端收到全部输出符号Y 以后，对输入X 尚存在的平均不确定程度。
8.写出香农公式，并说明其物理意义。
当信道带宽为5000Hz ，信噪比为30dB 时求信道容量。
答：香农公式为 ，它是高斯加性白噪声信道在单位时 间内的信道容量，其值取决于信噪比和带宽。
由得，则9.解释无失真变长信源编码定理?答：只要，当N 足够长时，一定存在一种无失真编码。
信息论与编码7----限失真信源编码1
信息论与编码-限失真信源编码
称为D允许信道(或D失真许可的试验信道),记 为 PD = { p( y / x) : D ≤ D} 对于离散无记忆信道,有 PD = { p( y j / xi ) : D ≤ D; i = 1,2, L, n; j = 1,2,L, m} 我们的目的,就是要在上述允许信道 PD 中,寻找 到一个信道P(Y/X),使得从输入端传送过来的 信息量最少,即I(X;Y)最小.这个最小的互信息 就称为信息率失真函数R(D),简称为率失真函 数,即
信息论与编码-限失真信源编码
设信源输出的符号序列为 x = [x1 , x 2 ,L, x L ] ,其 中的每一个随机变量 x i 取自同一符号集 x i ∈ [ x1 , x2 ,L , xr ] ,所以X共有 r L 种不同的符号 序列,记为α i ,接收到的符号为Y = [Y1 , Y2 ,L , YL ] 式中每一个符号取自符号集 Yi ∈ [ y1 , y 2 , L, y s ] , 所以Y共有 s L 种不同的符号序列,记为 β j ,则
求 Dmax 解:D
max
= min d ' ( y ) = min
Y Y
∑ p ( x )d ( x, y )
X
= min
j =1, 2
∑
i =1
2
1 2 1 2 p ( xi ) d ( xi , y j ) = min { × 0 + × 1, × 1 + × 0} j =1, 2 3 3 3 3
信息论与编码-限失真信源编码
xi = y j 0 d ( xi , y j ) = a a > 0 xi ≠ y j
由于输入符号有n个,输出符号有m个,所以d ( xi , y j ) 共有 n × m 个,写成矩阵形式,就是
现代通信原理(第二版) 第7章 信源编码
1 x
f (x)
2
0 其它
量化噪声平均功率Nq，可由下式求得
Nq E[e2 t ]
2
x2
f
xdx
2
2
2
x2
1 dx
2 12
1937年：由法国工程师瑞维斯（A.H.Reeves）提出。 1946年：美国Bell实验室制造出第一台PCM数字电话终端机。
上世纪60年代以后，晶体管PCM终端机开始大量应用于 市话网的中继线路中，使市话电缆传输电话的路数扩大了几 十倍。以后随着超大规模集成电路的PCM编、解码器的出现， 使得PCM在通信系统中获得了更广泛的应用。
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信息与通信工程系
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7.2.4 带通信号的抽样定理
fS与fH的关系曲线
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信息与通信工程系
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7.2.4 带通信号的抽样定理
话音信号: 300~3400赫兹 国际上，CCITT建议[1993年3月，国际电信联盟（ITU）
对其内部进行了重大改革，CCITT已不复存在，取而代之的是 ITU-T（国际电信联盟-电信标准部门）]，对话音信号进行 PCM编码时的抽样频率为8千赫兹，相应地，抽样间隔125微 秒。
解：
编码的结果为：A：0；B：10；C：110；D：111。
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信息与通信工程系
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7.1.2 不等长编码
该信源的熵为
H
x
[ 1 2
log2
1 2
1 4
log2
1 4
1 8
log2
1 8
1 8
log2
1] 8
1.75
比特/符号
信息论与编码复习重点整理(1页版)
1第1章 概论1. 信号(适合信道传输的物理量）、信息（抽象的意识/知识，是系统传输、转换、处理的对象）和消息(信息的载体)定义；相互关系：(1信号携带消息，是消息的运载工具(2信号携带信息但不是信息本身(3同一信息可用不同的信号来表示(4同一信号也可表示不同的信息。
2. 通信的系统模型及目的:提高信息系统可靠性、有效性和安全性，以达到系统最优化.第2章 信源及信息量1. 单符号离散信源数学模型2. 自信息量定义：一随机事件发生某一结果时带来的信息量I(xi)=-log2P(xi)、单位：bit 、物理意义：确定事件信息量为0；0概率事件发生信息量巨大、性质：I(xi)非负；P(xi)=1时I(xi)=0；P(xi)=0时I(xi)无穷；I(xi)单调递减；I(xi)是随机变量。
3. 联合自信息量：I(xiyi)=- log2P(xiyj) 物理意义：两独立事件同时发生的信息量=各自发生的信息量的和、条件自信息量：I(xi/yi)=- log2P(xi/yj)；物理意义：特定条件下(yj 已定)随机事件xi 所带来的信息量。
三者关系：I(xi/yi)= I(xi)+ I(yi/xi)= I(yi)+ I(xi/yi)4. 熵：定义(信源中离散消息自信息量的数学期望)、单位(比特/符号)、物理意义(输出消息后每个离散消息提供的平均信息量；输出消息前信源的平均不确定度；变量的随机性)、计算:(H(X)=-∑P(xi)log2 P(xi)) 1)连续熵和离散的区别：离散熵是非负的2)离散信源当且仅当各消息P相等时信息熵最大H (X )=log 2 n 。
3)连续信源的最大熵:定义域内的极值. 5.条件熵H(Y/X) = -∑∑P(xiyj) log2P(yj/xi)，H (X /Y )= -∑∑P(xiyj) log2P(xi/yj) 、物理意义：信道疑义度H(X/Y)：信宿收到Y 后，信源X 仍存在的不确定度，有噪信道传输引起信息量的损失，也称损失熵。
ch5率失真理论和保真度准则下的信源编码
Dmax
q ( x| x ) QI 0
min
E[d ( X , X )]
min p ( x ) p ( x ) d ( x, x )
p( x)
x
x
min p ( x ) d ( x, x )
x x
0 1 0.5 Dij 1 0 0.5
信源U＝{0,1,2},接收变量V＝{0,1,2},均方失 真函数为d(ui,vj)＝(ui－vj)2,求失真矩阵。
0 1 4 Dij 1 0 1 4 1 0
平均失真
定义
D E[d ( X , X )] p( x, x)d ( x, x) p( x) p( x | x)d ( x, x)
失真矩阵
d ( x , x ) d ( x , x ) d ( x , x ) 1 1 1 2 1 m d ( x , x ) d ( x , x ) d ( x , x ) 2 2 2 m Dij 2 1 d ( xn , x1 ) d ( xn , x2 ) d ( xn , xm ) nm
简单信源的率失真函数计算
贝努利信源是一个二元无记忆信源，其中输 出符号0的概率为1-p，输出符号1的概率为p。 求在Hamming失真度量下，贝努力信源的率 失真函数。
率失真函数的性质
R(D)的非零区域(Dmin , Dmax)
R(D)的向下凸性
R(D)为单调递减的连续函数
Dmin p( x) min d ( x, x )
信息论与编码复习总结
p ( xi , y j ) log p ( xi , y j )
ij
联合熵 H(X,Y)表示 X 和 Y 同时发生的不确定度。 H(XY)与 H(X)、H(X/Y)之间的关系 H(X,Y)＝H(X)＋H(Y|X) H(X,Y)＝H(Y)＋H(X|Y)
单符号序列 马尔科夫信源，m 阶马尔科夫信源（了解） 马尔科夫信源：一类相对简单的离散平稳信源，该信源在某一时刻发出字母的概率除与该 信源有关外，只与此前发出的有限个字母有关。
信息论与编码理论复资料
By 疯狂阿德
第一章 绪论
考点： 信息、消息、信号的区别 通信系统模型 香农
1.
信息、消息、信号的区别 信息：指事物运动的状态或存在方式的不确定性的描述。 消息：包含信息的语言、文字、图像等。 信号：信息的物理体现。 在通信系统中，实际传输的是信号，但实质内容是信息，信息包含在信号中，信号是信息 的载体，通信的结果是消除或部分消除不确定性，从而获得信息。
–
信源的基本特性：具有随机不确定性。
香农信息论的基本点： 一、用随机变量和随机矢量来表示信源； 二、用概率论和随机过程来研究信息。 信源的分类：
连续信源：指发出在时间和幅度上都是连续的消息（模拟消息）的信源。 离散信源：指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散消息的信源。
离散无记忆信源：所发出的各个符号是相互独立的，发出的符号序列中的各个符号之间没 有统计关联性，各个符号的出现概率是它自身的先验概率。
第二章
考点： 自信息 概率空间
信源与信息熵
X x1 P p( x ) 1
x2 p ( x2 )
xn p ( xn )
样本空间：某事物各种可能出现的不同状态。 先验概率 p(xi)：选择符号 xi 作为消息的概率。 • 对 xi 的不确定性可表示为先验概率 p(xi)的倒数的某一函数。 自信息
第7章 限失真信源编码(08)
中国矿业大学信电学院
School of Information and Electrical Engineering, CUMT
7.1.2 平均失真
由于X,Y都是随机变量，故单个符号失真度 d ( xi , y j ) 也是随机变量。 显然，规定了单个符号失真度 d ( xi , y j ) 之后，传输一个符号引起 的平均失真，即信源的平均失真度 平均失真度为 平均失真度
在离散对称信道(r=s)中，定义单个符号失真度为汉明失真。 汉明失真矩阵D通常为方阵，且对角线上的元素为0。即
0 1 D= ⋮ 1 1 1 ⋯ 1 0 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 0
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j
i
j
i
j
j
i
2. R(D)是关于 的下凸函数 是关于D的下凸函数 是关于 R(D)是关于D的下凸函数，即对于任意 0 ≤ α ≤ 1, D1 , D2 ≤ Dmax 有 R[α D + (1 − α ) D ] ≤ α R( D ) + (1 − α ) R ( D )
1 2 1 2
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7.2 信息率失真函数
7.2.1 D失真许可信道 失真许可信道
如果要求信源符号的平均失真度小于我们所允许的失真D， 即 D ≤ D ，称为保真度准则。N维信源序列的保真准则是
我们总希望在满足保真度准则以后，压缩后的信息传输率 R∗ 尽可 能地小。把信源的压缩编码的过程看成一个信道，从这个信道的 接收端来说，R∗ 可以用平均互信息I(X;Y)来表示，压缩过程中引 入的失真可以用H (X|Y)表示。 我们的任务就是在满足保真度准则的所有D失真许可的试验信道 集合 BD 中寻找某一个信道 p ( y j | xi ) ，使I(X;Y)达到最小，即
信息论基础-第七章
12
信息论与编码-限失真信源编码
也可以按其它的标准，如引起的损失、风险、主观感觉 上的差别等来定义失真函数。 二、平均失真 由于信源X和信宿Y都是随机变量，所以符号失真度 函数也是一个随机变量，传输时引起的平均失真应该是 符号失真度函数 d(xi , y j )在信源概率空间和信宿概率空间 求平均，即：
信息论与编码-限失真信源编码
第七章 限失真信源编码
1
信息论与编码-限失真信源编码
第五章我们讨论了无失真信源编码。但是， 在很多场合，特别是对于连续信源，因为其绝对 熵为无限大，若要求无失真地对其进行传输，则 要求信道的信息传输率也为无限大，这是不现实 的。因此也就不可能实现完全无失真传输。 另一方面，从无失真信源编码定理来考虑， 由于要求码字包含的信息量大于等于信源的熵， 所以对于连续信源，要用无限多个比特才能完全 无失真地来描述。
d被称为失真矩阵。
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信息论与编码-限失真信源编码
{ 0 ,1 } ,编码器的输出符号 例4-1-1 设信源符号 X Y { 0 , 1 ,2 } ，规定失真函数为：
d(0,0)=d(1,1)=0;d(0,1)=d(1,0)=1;d(0,2)=d(1,2)=0.5 求失真矩阵d. 解：由失真矩阵定义：
d ( 0 , 0 )d ( 0 , 1 )d ( 0 , 2 ) 010 . 5 d d ( 1 , 0 ) d ( 1 , 1 ) d ( 1 , 2 ) 1 0 0 . 5
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信息论与编码-限失真信源编码
失真函数 d(xi , y j ) 的函数形式可以根据需要适当选 取，如平方代价函数、绝对代价函数、均匀代价 函数等： 2 d ( x , y ) ( x y ) i j i j 平方失真： (x yj i,y j)x i 绝对失真： d ( x x y 相对失真： d i,y j) i j /x i 0 , x y i j d ( x , y ) ( x , y ) 误码(汉明)失真： i j i j 1 , 其它