充要条件
充分条件和必要条件 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(1)若直线l与圆O有且仅有一个交点，则l为圆O的一条切线； (2)若x是无理数，则x2也是无理数. 解：(1) q是p的必要条件；(2) q不是p的必要条件.
P20练习3 如图，直线a和b被直线l所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和 ∠4. 请根据这些信息，写出几个“a//b”的充分条件和必要l 条件.
一、充分条件与必要条件:
一般地，如果已知p q
那么我们就说
p是q的充分条件， q是p的必要条件。
注意：
(1)“p是q的充分条件”意味着： p成立就足以推出q成立。 (2)“q是p的必要条件”意味着：若p要成立则q必不可少。 (3)对同一个真命题“若p，则q”，有
“p是q的充分条件” “q是p的必要条件”
3.假命题：判断为假的语句叫做假命题.
4.命题的形式：命题的主要有“若p，则q”，“如果p，那么 q” ，“只要p，就有q”等形式. 其中p称为命题的条件，q称 为命题的结论.
思考 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（真命题） （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（假命题）
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若x2=1，则x=1； （5）若a=b，则ac=bc； （6）若x,y为无理数，则xy为无理数.
，又有 q p
这时，p是q的充分条件，又是q的必要条件。 我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。
充要 条件
§ 1.4 充要条件（13-14）【教学目标】知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．【教学重点】（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“⇒”，“⇐”，“⇔”的正确使用．【教学难点】“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．【教学设计】（1）以学生的活动为主线.在条件与结论的关系的判断上，尽可能多的教给学生在独立尝试解决问题的基础上进行交流；（2）由易到难，具有层次性.从内涵上引导学生体会复合命题中条件和结论的关系.【教学过程】*揭示课题 1.4充要条件*问题引领深入探究问题1.由条件p：1x=是否可以推出结论q：210x-=是正确的？2.由条件p：(3)(1)0x=是正确的？x x--=是否可以推出结论q：13. 由条件p：2x-<是正确的，同x<是否可以推出结论q：240时，由结论q：240x<是正确的？x-<是否可以推出条件p：2*动脑思考探索新知概念设条件p和结论q．（1）如果能由条件p成立推出结论q成立，则说条件p是结论q的充分条件，记作p q⇒．如问题1中，“条件p：1x=”是“结论q：210x-=”的充分条件．（2）如果能由结论q成立能推出条件p成立，则说条件p是结论q的必要条件，记作p q⇐．如问题2中，“条件p ：(3)(1)0x x --=”是“结论q ：1x =”的必要条件．（3）如果p q ⇒，并且p q ⇐，那么p 是q 的充分且必要条件，简称充要条件，记作“p q ⇔”．如问题3中，“条件p ：2x <”是“结论q ：240x -<”的充要条件. *巩固知识 典型例题例1 指出下列各组条件和结论中，条件 p 与结论q 的关系．（1）p ：x y =，q ：x y =； （2）p ：2x <，q ：0x <．说明 可以看到，由“p 是q 的充分条件”并不一定能够得到“p 是q 的必要条件”的结论，同样由“p 是q 的必要条件”也不一定能够得到“p 是q 的充分条件”的结论．例2 指出下列各组结论中p 与q 的关系．（1）p ：3x >，q ：5x >； （2）p ：20x -=，q ：()()250x x -+=；（3）p ：63x ->，q ：12x <-．*运用知识 强化练习 教材练习1.4*巩固知识 典型例题例3 确定下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：(x -2)(x +1)=0 ，q ：x -2=0； (2) p ：内错角相等，q ：两直线平行；(3) p ：x =1，q ：x 2=1； (4) p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形.*理论升华 整体建构1．正确把握条件和结论：p 是q 的充分条件，是把p 看作条件，把q 看作结论；p 是q 的必要条件，是把q 看作条件，把p 看作结论.2.体会充分条件、必要条件与充要条件的判断：充分条件的特征是条件不可少，有之必真，无之未必假.必要条件的特征是条件不可少，无之必假，有之未必真．充要条件的特征是有之必真，无之必假．重点和难点各是什么？*继续探索活动探究(1)读书部分：教材章节1.4，学习与训练1.4；(2)书面作业：教材练习题1.4，学习与训练1.4训练题；(3)实践调查：了解充要条件在生活中的应用．*教学后记。
1.2充分条件与必要条件
充要条件(定义法)
(2)log3x2=2是log3x=1成立的
必要而不充分条件(集合法)
(3)甲是乙的必要条件,丙是乙的充分不必要 条件,则丙是甲的
充分而不必要条件(集合法)
(4)p:x≠3或y≠4;q:x+y≠7;则p是q的 充分而不必要条件(等价命题法) (5)p,q都是r的必要条件,s是r的充分 条件,非s是非q的充分条件,那么p是 q的
如果p q，那么p与q互为充要条件。
例如：p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
例3：下列各题中，哪些 p是q的充要条件？ （ ）p : b 0，q : 函数f ( x) ax 2 bx c是偶函数; 1 （2）p : x 0，y 0，q : xy 0; (3) p : a b，q : a c b c.
上节课我们研究了两个符号:“”“” 、
“” 表示: “充分”的意义; “” 表示: “必要”的意义.
对于命题“若 p , 则 q”来说，
⑴“若 p , 则 q ”是真命题记为“ p q ” ， 我们说 p 是 q 的充分条件； (“有 p 就可推出 q ”之意） ⑵“若 p , 则 q ”的逆命题是真命题记为“ p q ” ， 我们说 p 是 q 的必要条件； (“没有 p 就推不出 q ”之意)
证充分性即证A =>B，
证必要性即证B=>A
课堂小结
（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念. （2）判断“若p，则q”命题中，条件p是q的什么条
件.
充要条件判断：
如果p q，那么p与q互为充要条件。
前面我们接触了许多概念:命题、真命 题、假命题、逆命题、否命题、逆否命题、 充分条件、必要条件、充要条件、„„等这 些概念在问题中是会经常出现的，下面通过 做一些习题来把握以上概念及其相关思考. 特别是对于充要条件的把握在数学学习 中相当重要,有位专家说: “学不会充要条 件,就等于没学会数学.”由此可见其重要性, 充要条件渗透到了数学的各个分支和角落.
充要条件
充分条件与必要条件知识点梳理要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p 是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题； ②p 是q 的充分条件； ③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件； ③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件； ③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件. 要点三.充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =； (2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点 (3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【答案】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件； (2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.例2. “x <－1”是“x 2－1>0”的________条件．【解析】2101,1x x x ->⇒<->，故2110x x <-⇒->，但2101x x ->⇒<-/， ∴“x <－1”是“x 2－1>0”的充分而不必要条件．例3.判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab > （2）p :1>yx, q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件. ∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可. ∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.例4 设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（ ）.A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A ；【解析】由已知有甲⇔乙，丙⇒乙且乙⇒/丙.于是有丙⇒乙⇒甲，且甲⇒/丙（否则若甲⇒丙，而乙⇒甲⇒丙，与乙⇒/丙矛盾）故丙⇒甲且甲⇒/丙，所以丙是甲的充分非必要条件.练习题1.设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <2．已知x 1，x 2∈R ，则“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1·x 2>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下面四个条件中，使a >b 成立的必要不充分条件是( )A ．a －1>bB ．a ＋1>bC ．|a |>|b |D ．a 3>b 3 4．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)6．设x ∈R ，则“x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9.下列叙述中正确的是( )A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β10．已知a>0，b∈R，那么a＋b>0是a>|b|成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件类型二：充要条件的探求与证明例1. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B⌝⇒⌝；A B⇔与⌝⇒⌝；B A⇒与B A⇒与A B⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运A B用等价法.⊆，则A是B的充分条件或B是A的（3）利用集合间的包含关系判断，若A B必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.例2.已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2,∵c<0, ∴x 1·x 2=ac<0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0，则x 1·x 2=ac<0，∴ac<0综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.例3. 求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】 （1）a=0时适合.（2）当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足100440a aa ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足10201440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩ 综上知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1； 反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1类型三：充要条件的应用 例1.已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥例2.已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.例3.已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】－2≤a ≤2【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴p q ⇒，即AB ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2.综合练习1. 设x 为实数，则0x <“”是 “12x x+≤-”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2. 设a 是实数，则1a >“”是11"a<“的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 设,0M N >，01a <<，则“log log a b M N >”是“1M N <+”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.“512m =π”是“函数()cos(2)6f x x π=+的图象关于直线x m =对称”的( ) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.设 ,,,a b c d 为实数，则“ ,a b c d >>”是“a c b d +>+”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 写出“12x x+-≤”的一个充分不必要条件______7.已知函数()a f x x= ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞0上存在零点”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8.已知a b <，则下列结论中正确的是( ) (A) 0,c a b c ∀<>+ (B) 0,c a b c ∀<<+ (C) 0,c a b c ∃>>+ (D) 0,c a b c ∃><+ 9．设命题p ：(0,),ln 1x x x ∀∈+∞-≤，则p ⌝为( ) （A ）(0,),ln 1x x x ∀∈+∞>- （B ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞-≤ （C ）(0,),ln 1x x x ∀∉+∞>-（D ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞>-10 已知平面向量(,2),(1,1),a k b k ==∈R ，则2k =是a 与b 同向的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件12.不等式组1,24x y x y +⎧⎨-⎩≤≥表示的平面区域为D ，则( )(A) (,),22x y D x y ∀∈+≥ (B) (,),22x y D x y ∀∈+≤ (C)(,),22x y D x y ∃∈+-≥(D) (,),22x y D x y ∃∈+-≤13.设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的( ) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件14. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的( )A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件15.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的( )(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 16．已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件17.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件18.设函数()f x 的定义域为R ，则“函数()y f x =的图像关于y 轴对称”是“函数()f x 为奇函数”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 19.“m m >3”是“关于x 的方程sin x m =无解”的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件20.“2a >”是“函数()log (0,1)a f x x a a =>≠且的图象与函数2()44f x x x =-+的图象的交点个数为2个的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 21.已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，21x >，则p ⌝为 .22.已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件23．已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24.已知a ，b 为正实数，则“1a >，1b >”是“lg lg 0a b +>”的( ) (A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件25.设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 26. “1a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件27．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件28.设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29.设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 30.设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件31.已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件32.设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件33.能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．34.命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤535.设a >0且a ≠1，则“log a b >1”是“b >a ”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件36．已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件37.设p ：ln (2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．0，12B ．0，12C ．(－∞，0]∪12，＋∞D ．(－∞，0)∪12，＋∞38. 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0．若a <0且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．39.已知条件p：|5x－1|>a(a>0)和条件q：12x2－3x＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给出的两个条件作为A，B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．充分条件与必要条件练习题答案1.【答案】A2.答案 A解析 由x 1>1且x 2>1得x 1＋x 2>1＋1＝2，x 1·x 2>1×1＝1，所以x 1>1且x 2>1是x 1＋x 2>2且x 1·x 2>1的充分条件；设x 1＝3，x 2＝12，则x 1＋x 2＝72>2且x 1·x 2＝32>1，但x 2<1，所以不满足必要性．故选A ． 3.答案 B解析 寻找使a >b 成立的必要不充分条件，若a >b ，则a ＋1>b 一定成立，a 3>b 3也一定成立，但是当a 3>b 3成立时，a >b 也一定成立，故选B ． 4.答案 B解析 “若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”显然是假命题，所以“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”是假命题．因为“若a ＝1且b ＝2，则a ＋b ＝3”是真命题，所以“若a ＋b ≠3，则a ≠1或b ≠2”是真命题，故“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的必要不充分条件．故选B ． 5.答案 充分 充要解析 由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，q ⇒s ⇒t ，故p 是t 的充分条件，r 是t 的 6.答案 A解析 由x －12<12得－12<x －12<12，解得0<x <1．由x 3<1得x <1．当0<x <1时能得到x <1一定成立；当x <1时，0<x <1不一定成立．所以“x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A ．7.【答案】A【解析】|2|1x -<的解集为（1，3），220x x +->的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，故|2|1x -< 是220x x +->的充分不必要条件。
高考数学充分条件与必要条件
（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提 条件推出B；
（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提 条件推出A。
例1．（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中， p是q的什么条件？ （1）（2）（3）在P32考例1 （1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC； 充要 （2）对于实数x、y，p：x+y≠8 q：x≠2或充分不必要 y≠6； （3）在△ABC中，p：SinA>SinB 即不充分又不必要 q：tanA>tanB； （4）已知x、y∈R p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0 充分不必要 练习 1. 设 f(x)=x2-4x(x∈R) ，则 f(x)>0 的一个必要而不 充分条件是（ C ） A、x<0 B、x<0或x>4 P32例1变式 C、│x-1│>1 D、│x-2│>3
A B
（二）充要条件的判断 第一种方法：定义法 1若 A B成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的 必要条件。 2．若A B且B A，则A是B成立的充分且不必要条 件，B是A成立必要且非充分条件。 3．若 A B 成立则A、B互为充要条件。 第二种方法：给定两个命题，p、q, 它们是范围，可以考 虑集合A=｛x︱x满足p｝,集合B=｛x︱x满足q｝,则有 1．若A
若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。
例4．（证明充要条件）设x、y∈R， 求证：|x+y|=|x|+∣y∣成立的充要条件是xy≥0. 说明： 搞清哪个是充分性命题： xy≥0 推得|x+y|=|x|+∣y∣
哪个是必要性命题：|x+y|=|x|+∣y∣推得xy≥0.
充分条件与必要条件(课堂PPT)
6
1.2.2 充要条件
已p知 :整a是 数 6的倍 q： 数整 a ， 是 2和 数 3的倍 那p是 么 q的什么 q又 条 p的 是 件 什 ？ 么条件
一 般 地 ， 如 p 果 q，既又有 q 有p， 就 记 作 pq
（1）若 xa2b2，则 x2ab； 真
xa2b2 x2ab
（2）若ab0，则 a0； 假
（3）全等三角形的面积相等； 真
两三角形全等两三角形面积相等
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 假
（5）若方程a2x b x c0 (a0 )有两个不等的实数解，
则b24a c0． 真
方程有 a2x b x c0 (a0 )两个不等的实数解 b24a c0
1、命题：可以判断真假的陈述句
复 可以写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系
习
原命题
互逆
逆命题
旧
若 p则 q
若 q则 p
知引 互否 互为
逆否 互否
入 否命题 新 若 p则 q
互逆 逆否命题 若 q则 p
课
1
1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
2
判断下列命题是真命题还是假命题：
条件。
2
6
5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的__充__分___条件， r是t的___充__要___条件。
17
习题1.2
4.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件。
分别证明,各个击破即可!
充要条件
§1.2.2 充要条件自主学习：预习课本11-12页, 完成下列问题1．一般地, 如果既有p q ⇒, 又有q p ⇒, 就记作：p q ⇔, 这时p 既是q 的充分条件, 又是q 的必要条件, 则p 是q 的 条件, 简称 条件。
其中⇔叫做等价符号。
p q p q q p ⇔⇒⇒表示且2．传递性：若,,p q q r ⇔⇒则 。
思考：判断充要条件关系的主要方法有哪些？自主探究：【题型一】 充要条件的判断例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >(3) p : a b > , q :a c b c +>+变式：下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?（1）在△ABC 中, p :∠A>∠B,q :BC>A C ；(2) p : a+b<0,且ab>0, q :a<0,b<0；【题型二】 充要条件的证明已知A, B 是直线L 上任意两点, O 是L 外一点。
求证：点在直线上的充要条件是,,op xOA yOB x y R =+∈其中, 且x+y=1。
课堂小结：巩固练习：1. 下列命题为真命题的是（ ）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠, q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根, 则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.(1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的6 .求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++, 这里,,a b c 是ABC ∆的三边.。
必要条件是什么意思
必要条件是什么意思
关于对充分条件、必要条件、充要条件的最简单扼要的理解：
充分条件：有A就一定有B，则A是B的充分条件；
必要条件：无A就一定无B，则A是B的必要条件；
充要条件：有A就一定有B，无A就一定无B，则A是B的充要条件。
例如：烧火一定会发热，烧火是发热的充分条件；
反过来，不烧火就不会发热，这不成立。
感冒也会发热，所以，烧火
不是发热的必要条件。
又例如：手机没电就开不了手机。
那么，手机有电就是开手机的必要
条件，但不是充分条件，手机有电也可以不开手机。
再例如：有生就一定有死，没有生就必然没有死，所以，生是死的充
要条件。
反过来，有死就一定有生，没有死就必然没有生。
所以，死也是生的
充要条件。
生与死是互为充要条件。
充要条件
创新思维
• 假设我们利用“如果· · · · · · ，那么······”语句，将两个命题 链接起来，组成一个新的命题.
• 例如，“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行” . • 这类命题的一般形式为“如果p，那么q”，如果后面接 的是条件p，那么后面接的是结论q .
• 我们就得到了关于命题的不仅仅是对错判断的一种新 的关系概念.
充要 条件 (5)同旁内角互补是两直线平行的______
充分不必要 条件 (6)“aN”是“a Z”的__________
四边形两组对边平行 命题q
p 是 q 的充要条件
二、填空题：
x y (1)与命题|x|=|y|等价的命题__________
(2)a和b都是奇数是a+b是偶数的_充分 ___条件
必要不充分 (3)xy=0是x2+y2=0的______________ 条件
(4)a>b是a2>b2的既不充分也不必要 ______________条 p ： ( x 3)( x 1) 0 ； q ： x 1 ．由条件 p 成立能推出 结论 q 成立吗？由结论 q 成立能推出条件 p 成立吗？
问题 2 设 p ： ( x 3)( x 1) 0 ； q ： x 1 ．由条件 p 成立不能推出 结论 q 成立，由结论 q 成立能推出条件 p 成立.
pq
地湿了不一定是 因为下雨，故q不 能推出p.
充分必要条件
• 如果条件p成立，那么结论q一定成立；并且，如果条件q 成立，那么结论p一定成立，即命题“ p q ”、“ q p ”都 为真命题，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件， 又叫做p与q等价，记作“ p q ”.
充分条件、必要条件判断的五个途径
ʏ顾 艳充分条件㊁必要条件的判断与应用贯穿于高中数学的始终,是高中数学中最基本的内容之一㊂下面结合实例,就充分条件㊁必要条件的常见判断技巧与方法加以剖析,意在 抛砖引玉㊂一㊁特值法特值法判断充分㊁必要条件时,直接通过特殊值的选取,代入分析与判断㊂特值法的关键是起到筛选作用,利用特殊值来确定不成立问题,由此判断命题之间的推不出关系㊂例1 设a ,b 是实数,则 a >b 是 a 2>b 2的( )㊂A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析:直接选取特殊值判断,进而确定命题成立的条件㊂解:当a >b 时,如a =0,b =-1,a 2>b2不成立;反之,当a 2>b 2时,如a =-1,b =0,a >b 不成立㊂所以 a >b 是 a 2>b 2的既不充分也不必要条件㊂应选D㊂由于特值法判断充分㊁必要条件的片面性和局限性,经常用于判断命题不成立时的情况,而命题成立时就不能用特值法了㊂二㊁定义法定义法判断充分㊁必要条件时,直接判断 若p ,则q 和 若q ,则p 的真假情况即可㊂定义法的关键是看由条件推出结论,还是由结论推出条件,还是互相推出㊂例2 (多选题)下列结论中正确的是( )㊂A . x 2>4 是 x <-2的必要不充分条件B .在әA B C 中, A B 2+A C 2=B C 2是 әA B C 为直角三角形的充要条件C .若a ,b ɪR ,则 a 2+b 2ʂ0 是 a ,b 不全为0 的充要条件D . x 为无理数 是 x 2为无理数的必要不充分条件分析:通过不等式的求解㊁三角形的形状的判断㊁代数关系式的值,以及数的性质特征等,结合充分㊁必要条件的定义,进而确定结论的正确性㊂解:A 中,x <-2⇒x 2>4,但x 2>4⇔x >2或x <-2,不一定只有x <-2,A 正确㊂B 中,A B 2+A C 2=B C 2⇒әA B C 为直角三角形,反之,若әA B C 为直角三角形,当B 或C 为直角时,不能推出A B 2+A C 2=B C 2,B 错误㊂C 中,a 2+b 2ʂ0⇒a ,b 不全为0,反之,由a ,b 不全为0⇒a 2+b 2ʂ0,C 正确㊂D 中,当x 2为无理数时,x 为无理数,反之不成立,D 正确㊂应选A C D㊂定义法判断充分㊁必要条件的本质就是判断两个命题之间的推出关系㊂三㊁集合法集合法判断充分㊁必要条件,就是利用命题中对应集合的包含关系来分析与求解的㊂集合法的本质是回归命题的集合本源,借助所对应的集合加以转化求解㊂例3 设U 为全集,A ,B 是集合,则 存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C 是 A ɘB =⌀ 的( )㊂A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析:利用集合法的思维切入,结合集合性质进行正向推理判断,再利用集合中的V e n n 图,进行逆向推理判断㊂解:若存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁UC ,02 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则可以推出A ɘB =⌀㊂若A ɘB =⌀,由V e n n 图(如图1)可知,存在A =C ,同时满足A ⊆C ,B ⊆∁UC ㊂图1所以 存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁UC 是 A ɘB =⌀的充要条件㊂应选C㊂集合A ={x |x 满足条件p },B ={x |x 满足条件q },若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件;若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件;若A =B ,则p 是q 的充要条件;若A ⫋B ,则p 是q 的充分不必要条件;若A ⫌B ,则p 是q 的必要不充分条件㊂四㊁等价法等价法判断充分㊁必要条件,就是利用原命题与其对应的逆否命题的等价关系来分析与求解的㊂例4 给定两个条件p ,q ,若 p 是q 的必要不充分条件,则p 是 q 的()㊂A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析:利用 p 是q 的必要不充分条件 无法直接判断,通过对逆否命题的判断,结合等价关系可使问题迎刃而解㊂解:因为 p 是q 的必要不充分条件,所以q ⇒ p ,但 p ⇒/q ㊂其逆否命题为p ⇒ q ,但 q ⇒/p ㊂所以p 是 q 的充分不必要条件㊂应选A㊂等价法判断充分㊁必要条件的本质就是建立原命题与其逆否命题之间的关系,即从逆向思维进行分析与判断㊂p 是q 的充分不必要条件(必要不充分条件㊁充要条件),等价于 q 是 p 的充分不必要条件(必要不充分条件㊁充要条件)㊂五㊁传递法传递法判断充分㊁必要条件,就是利用充分㊁必要条件具有传递性,即由p 1⇒p 2⇒⇒p n ,可得p 1⇒p n ㊂传递法是判断含有三个及以上命题之间的关系时必须采用的一种基本方法㊂例5 已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的( )㊂A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析:通过命题p ㊁q ㊁r ㊁s 之间的递推关系,结合传递性,可得p 与q 之间的递推关系㊂解:依题意得p ⇒r ,r ⇒s ,s ⇒q ,且r ⇒/p ,结合传递性得p ⇒r ⇒s ⇒q ㊂因为r ⇒/p ,所以q ⇒/p ,所以p 是q 成立的充分而不必要条件㊂应选A㊂若p 是q 的充分(必要)条件,q 是r 的充分(必要)条件,则p 是r 的充分(必要)条件,即 p ⇒q 且q ⇒r ,所以 p ⇒r ( p ⇐q 且q ⇐r ⇒ p ⇐r)㊂传递法判断充分㊁必要条件时,要正确构建命题间的链接,同时考虑相互之间是否等价㊂设甲是乙的必要条件,丙是乙的充分但不必要条件,那么( )㊂A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B .丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C .丙是甲的充要条件D .丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件提示:甲是乙的必要条件,所以乙是甲的充分条件,即乙⇒甲㊂丙是乙的充分但不必要条件,则丙⇒乙,乙⇒/丙,显然丙⇒甲,甲⇒/丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件㊂应选A ㊂作者单位:江苏省宜兴中学(责任编辑 郭正华)12知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。