江西省南昌县莲塘第一中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题理(扫描版,无答案)
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
莲塘一中2019-2020学年上学期高二年级期末质量检测理科数学试题一、选择题（仅有一个选项是正确的.）1.已知复数z 满足()34i 12i z -=+，则z 的共轭复数是（ ） A. 12i 55-- B. 12i 55-+ C.12i 55+ D.12i 55- 【答案】A 【解析】 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由()34i 12i z -=+得到()()()()1234i 12i 5101212,i 34i 34i 34i 25555i i i z z +++-+-+=====----+ 故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ） A. ()()()21232n n n n n ++++++-= B. ()()()21231n n n n n ++++++-=C. ()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D. ()()()()2123121n n n n n ++++++-=-【答案】C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2，右边均为2n-1的平方. 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 3.()1xx ee dx -+=⎰ ( )A. 1e e +B. 2eC.2eD. 1e e-【答案】D 【解析】由微积分基本定理可得：()1101()x xx xe e dx e ee e--+=-=-⎰，故选D.4.“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-. 若1a <-，得1tan θ>，可知倾斜角θ大于4π； 由倾斜角θ大于4π得1a ->，或0a -<，即1a <-或0a >， 所以“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.5.函数ln y x x =的单调递减区间是 （ ） A. 1(,)e -+∞ B. 1()e --∞,C. 1(0)e -,D. (,)e +∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得()f x '和定义域，由()0f x '<，即可求解函数的递减区间.【详解】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0)e -,.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用()0f x '<求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.若函数43219(),(,)42f x x ax x b a b R =++-∈仅在0x =处有极值，则a 的取值范围为（ ） A. [2,2]- B. [1,1]- C. (2,2)- D. [1,4]-【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，要保证函数()f x 仅在0x =处有极值，必须满足'()f x 在0x =两侧异号．【详解】由题意，322'()39(39)f x x ax x x x ax =++=++ 要保证函数()f x 仅在x ＝0处有极值，必须满足'()f x 在x ＝0两侧异号，所以要2390x ax ++≥恒成立，由判别式有：2(3)360a -≤，∴2936a ≤，∴22a -≤≤， ∴a 的取值范围是[2,2]-. 故选A ．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7.下列命题正确的是( )A. “1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B. 若给定命题:p x ∃∈R ,使得210x x +-<,则:p x ⌝∀∈R ,均有210x x +-≥C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题D. 命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+=,则2x ≠” 【答案】B【解析】因为2320x x -+>，所以2,1x x ><或，因此“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；命题:p x R ∃∈,使得210x x +-<的否定为x R ∀∈,均有210x x +-≥； 若p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个为假命题；命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠,则2x ≠”； 选B. 8.曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A. 在直线2y x =上B. 在直线2y x =-上C. 在直线1y x =-上D. 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.9.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）A. sin y x =B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x时，y ′＝e x＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．考点：导数及其性质. 10.已知函数()()2ln f x x kx k =-∈R ，若()f x 在定义域内不大于0，则实数k 的取值范围为（ ）.A. 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. ⎫+∞⎪⎭D. ⎫+∞⎪⎭【答案】A 【解析】 【分析】由()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，分离参数2ln ,(0,)xk x x≥∈+∞上恒成立，设2ln ()xg x x=，只需max ()k g x ≥，求()g x '，求出单调区间，进而求出极值，最大值，即可求解.【详解】依题意()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，即2ln ,(0,)xk x x≥∈+∞上恒成立， 设2ln (),(0,)xg x x x=∈+∞，只需max ()k g x ≥，432ln 12ln ()x x x xg x x x --'==，令()0,g x x '==当()0,0g x x '><<，当()0,g x x '<>()g x单调递增区间是，单调递减区间是)+∞，所以x =()g x 取得极大值为12e，也是最大值， 所以12k e≥. 故选:A.【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数，构造函数，转化为参数与函数的最值关系，考查应用导数求最值，属于中档题. 11.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ）A. {|1}x x ≠±B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,1)-D. (1,0)(0,1)-【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数()()22g x x f x x =-，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数x 的取值范围即可.【详解】()f x 是R 上的偶函数，则函数()()22g x x f x x =-也是R 上的偶函数，对任意的实数x ，都有()()2'2f x xf x +<恒成立， 则()()()'2'2g x x f x xf x ⎡⎤=+-⎣⎦.当0x ≥时，()'0g x <，当0x <时，()'0g x >，即偶函数()g x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()0,∞+上单调递减， 不等式()()2211x f x f x -<-即()()2222111x f x x f -<-，据此可知()()1g x g <，则1x <-或1x >. 即实数x 的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 本题选择B 选项.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 12.已知函数()()()2ln 20f x x ax a x a =+++<，()2x xg x e=-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，则实数a 的取值范围为（ ）（其中2.71828e =为自然对数的底数）.A. 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. [),0e -D. (],e -∞-【答案】C 【解析】 【分析】 设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，通过求导数法，求出1(2,2]A e=--， 设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，由已知可得A B ⊆，当0,()x f x +→→-∞，只需函数()f x 在(]0,e 上的最大值1()2max f x e≥-，用导数法求()f x 的最大值，解关于a 的不等式，即可求出结论.【详解】()2,(0,2]x xg x x e=-∈,()21()x x x x e xe x g x e e --'==, 令()0,1g x x '==，当0g x 时，01x <<，当0g x时，12x <≤，当1x =时()g x 取得极大值为12e-，也是最大值，22(0)2,(2)22g g e=-=->-，设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，则1(2,2]A e=--，设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，所以A B ⊆.当0,()x f x +→→-∞，所以只需1()2max f x e≥-， ()()1(21)(1)22x ax f x ax a x x++'=+++=， 令1()0,f x x a '==-或12x =-（舍去），当11,0e a a e-≥-≤<时，()f x 在(]0,e 上是增函数， 2max 1()()122f x f e ae e ae e==+++≥-解得3221()e a e e e -≥-++，10a e ∴-≤<， 当11,e a a e -<<-时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,]e a -上单调递减，max 11121()()ln()12f x f a a a a e =-=-+--≥-，111ln()1a a e --≥-，令()ln h x x x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，而11()1h e e =-， 于是11a e -≥，解得1e a e-≤<-.综上，0e a -≤<. 故选:C.【点睛】本题考查方程的根，等价转化为两个函数的值域关系，考查用导数求函数的最值，考查分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（把正确答案填写在横线上.）13.【答案】> 【解析】【详解】试题分析：的大小，只须比较213=+21313=+=+13+13+两数的大小，只须>>．考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．14.20191i 1i--=_________．【答案】i ． 【解析】 【分析】由41i =结合复数的除法运算求解即可.【详解】解法一：2019321i 1i 1i (1i)2ii 1i 1i 1i (1i)(1i)2--++=====----+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题.15.若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.【答案】-18 【解析】 【分析】先求()'f x ，再令2x =求出()'2f 后得到()f x ，最后根据莱布尼兹公式计算定积分. 【详解】()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，从而()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-.【点睛】定积分的计算，需要找出被积函数的原函数，因此知道一些常见函数的原函数是求定积分的基础，比如()1xαα≠-的原函数为111x αα++，1x的原函数为ln x ，x e 的原函数为x e .16.对于函数()y f x =，若存在区间,a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()x f x e x =+是x ∈R 上k 倍值函数，则实数k 的取值范围是______.【答案】()1,e ++∞ 【解析】 【分析】由已知可得()xf x e x =+，当[],x a b ∈时，值域为[](),0ka kb k >，而()y f x =在[],a b 上单调递增，所以有(),()f a ka f b kb ==，,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx+=在R 由两个解，显然0x =不是方程的解，分离参数可得1xe k x=-，设(),1xe g x y k x==-，转化为(),1g x y k =-的图像有两个交点，通过求导，求出()g x 的单调区间，极值，分析函数值的变化趋势，即可求出k 的取值范围.【详解】()xf x e x =+在[],a b 上单调递增，依题意(),()f a ka f b kb ==，所以,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx +=在R 有两个解，显然0x =不是方程的解，1xe k x=-，设(),1x e g x y k x ==-，只需(),1g x y k =-的图像有两个交点，2(1)()x e x g x x'-=，当()0g x '<时，0x <或01x << 当()0g x '>时，1x >，所以()g x 单调递减区间是(0,1)，(,0)-∞，递增区间是(1,)+∞， 所以1x =时，()g x 取得极小值为(1)g e =，当0x <时，()0<g x ，当0,x >时，()g x e ≥，当0,()x g x +→→+∞，,()x g x →+∞→+∞， 要使(),1g x y k =-的图像有两个交点， 需1,1k e k e ->>+.故答案为:()1,e ++∞.【点睛】本题考查新定义问题，等价转化为方程的解，分离参数，构造函数，利用导数求函数的单调区间、极值，考查数形结合思想，属于中档题. 三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤.）17.设命题():220p a x a a -≤≤+>，2:60q x x +-≤．（1）若1a =，且p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)(]3,12,3-⋃；（2）5a ≥ 【解析】 【分析】（1）1a =时，:13p x ≤≤； 2:60q x x +-，解得32x -．根据p q ∧为假，p q ∨为真，可得p 与q 必然一真一假． （2）q 是p 的充分不必要条件，则2322a a --⎧⎨+⎩，0a >，解得a 范围．【详解】（1）当1a =时，:13p x ≤≤，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以“p ，q ”一真一假．p 真q 假时，得1332x x x ≤≤⎧⎨-⎩或，∴23x <≤．p 假q 真时，得1332x x x ⎧⎨-≤≤⎩或，∴31x -≤<．综上，实数x 的取值范围是[)(]3,12,3-⋃． （2）由260x x +-≤得32x -≤≤ 若q 是p 的充分不必要条件，则[][]3,22,2a a --+，即023a a >⎧⎨-≤-⎩，所以5a ≥．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线12:(12x t l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线C 交于,A B 两点，于y 轴交于点E ，求11EA EB+的值． 【答案】（1）22(1)(1)2x y -+-= （2）5 【解析】 【详解】（1）则的直角坐标方程为，即．（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得， 设点对应的参数分别为，则．19.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值， 并求出此定值． 【答案】(1) f(x)＝x ＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解 f′(x)＝a －，()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x ＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线方程为y －＝[1－] (x －x 0)．令x ＝1，得y ＝， 切线与直线x ＝1的交点为 (1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2. 20.已知函数()()()354log 0,1x ax a af x a a -+-=>≠．（1）当3a =时，方程()log a f x k =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）()9,13k ∈；（2）4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，利用导数求出函数的极值，即可得到参数的取值范围.（2）分01a <<和1a >两种情况讨论，参变分离即可求出参数的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，()233g x x '∴=-令()()()2333110g x x x x '=-=+-=1x ∴=-或1x =，易得：()()113g x g =-=极大值，()()19g x g ==极小值， 欲使方程()log a f x k =有三个不同的实数解， ∴()9,13k ∈．（2）令()354g x x ax a =-+-，∵()f x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， ①若01a <<，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，即()230g x x a '=-≤在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，∴213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 又因为()0gx >在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()()405405g x g a a >=-≥⇒≥，此时，451a ≤<． ②若1a >，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，须使()230g x x a '=-≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≤在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立，即0a ≤，不合题意，故舍去． 综上，4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，属于中档题.21.设椭圆G 的中心在坐标原点O ，其中一个焦点为圆22:20F x y x +-=的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.已知椭圆G 与直线:10l x my --=相交于A 、B 两点，延长AO 与椭圆G 交于点C . （1）求椭圆的方程；（2）求ABC 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】 【分析】（1）求出22:20F x y x +-=圆心，以及与x 轴的的交点（圆心右侧），为椭圆的右顶点，即可求出椭圆方程；（2）根据椭圆的对称性2ABC AOB S S ∆∆=，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 过(1,0)，122||ABC AOB S S y y ∆∆==-，椭圆方程与直线方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，利用韦达定理，求出ABC S ∆关于m 为变量的函数，运用换元法，结合求导，求出函数的最值，即为ABC 面积的最大值.【详解】（1）圆22:20F x y x +-=，化为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)F ，与x 轴交点坐标(0,0),(2,0)，右顶点为(2,0)，所求的椭圆方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，||2||,2ABC AOB AC OA S S =∴=△△，由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得，()2234690m y my ++-=. 122634m y y m -+=+，122934y y m -=⋅+12234y y m -==+122122234ABC AOBS S OF y y m ==⋅⋅⋅-=+△△， t =，则1t ≥，221m t =-，212121313ABC t S t t t==++△，设1()3,1f t t t t =+≥，21()30,1f t t t '=->≥恒成立，1()3,1f t t t t =+≥单调递增，当1t =时，()f t 取得最小值，此时ABC S ∆取得最大值为3.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查用函数思想求最值，正确表示三角形的面积是关键，属于中档题. 22.已知函数()()1ln f x a x x =--，()xg x e =.（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =⋅在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】 （1）求()1ax f x x-'=，()0,x ∈+∞，对参数a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解的区间，即可得出结论；（2）根据条件即求()0F x '≥在[)1,+∞恒成立a 的取值范围，求出()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭，即1ln 0ax x x --≥，分离参数2ln 1x a x x ≥+，在[)1,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln 1x h x x x=+，只需max ()a h x ≥，通过二次求导判断()h x '的正负，进而判断()h x 的单调性，求出max ()h x ；或()1ln h x ax x x=--，则至少有()10h ≥，1a ≥，然后求()h x '，求出单调区间，进而求出min ()h x ，解不等式min ()0h x ≥，即可得出结论.【详解】（1）()y f x =的定义域为()0,∞+，()1ax f x x-'=， 当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，所以()y f x =在()0,∞+上递减； 当0a >时，令()10,f x x a'==， 当()0f x '<时，10x a <<，当()0f x '>时，1x a>， 则()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. （2）()()1ln xF x a x x e =--⋅⎡⎤⎣⎦()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭在[)1,+∞恒成立，所以1ln 0ax x x --≥，即2ln 1x a x x≥+ 令()2ln 1x h x x x =+，则有()()31ln 2x x h x x--'=， 令()()1ln 2g x x x =--，则有()ln 0g x x '=-≤在[)1,+∞上恒成立. 故()g x 在[)1,+∞上为减函数，所以()()()()11,0,g x g h x h x '≤=-∴<∴在[)1,+∞上为减函数， 则()()max 11h x h ==，故1a ≥. 另解令()1ln h x ax x x=--，则至少有()10101h a a ≥⇒-≥⇒≥. 当1a ≥时，则有()222111ax x h x a x x x-+'=-+=， 令()21x ax x ϕ=-+，开口向上，对称轴110,22x a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，故()x ϕ在[)1,+∞上为增函数， 所以()()()()10,0,x a h x h x ϕϕ'≥=>∴>∴在[)1,+∞上为增函数， 则()()110h x h a >=-≥，故1a ≥.【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用，涉及到单调区间、最值，解题的关键要注意等价转化构造函数，考查分类讨论思想，属于较难题.。
江西省南昌县莲塘第一中学2020_2021学年高一数学3月质量检测试题理202105200166
某某省某某县莲塘第一中学2020-2021学年高一数学3月质量检测试题 理时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –102、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．213、已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则2021a =（ ）A0B 3-C 3D23 4、周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则芒种日影长为（ ）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺 5、在ABC ∆中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么ABC ∆一定是 Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形 6、 在等比数列{}n a 中，123423159,88a a a a a a +++==-，则12341111a a a a +++等于（ ）A.53 B. 53- C. 35 D. 35- 7、如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足3,AD BD AD AC BD BC =+=+2,2cos CD A ===，则（ ）A ． 13B ． 24C ． 14D ． 08、设A 和B 是△ABC 的内角，)cos(,135cos ,53sin B A B A +==则的值是（ ）A ．6516 B ．－6516 C ．－6556 D ．－6516或－6556 9、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinA －bsinB=4csinC ，cosA=－14，则bc=（ ） A. 6B. 5C. 4D. 310、若数列｛a n ｝是等差数列，数列｛b n ｝满足()*12n n n n b a a a n N ++=⋅⋅∈，｛b n ｝的前n 项和用S n 表示，若｛a n ｝中满足512380a a =>，则当S n 取得最大值时，n 的值为（ ） 11、已知在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，则A. B.C.D.12、已知数列满足设,为数列的前n 项和若对恒成立,则实数t 的最小值是 A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若递减等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，26a =，321S =则公比q =。
莲塘第一中学高一数学上学期第一次月考试题(扫描(2021年整理)
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江西省南昌县莲塘第一中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题 答案和解析
江西省南昌县莲塘第一中学【最新】高一上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若2019α︒=，则点(tan ,cos )P αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则该扇形的面积是（ ）2cm A ．40π B ．80π C ．40 D ．80 3．已知1sin cos 2αα+=-，则sin cos αα⋅=（ ） A ．38- B ．38± C ．34- D ．34± 4．下列函数中，既是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的是（ ） A ．cos 2y x = B ．|sin |y x = C ．|sin 2|y x = D ．sin ||y x =5．若角α的终边落在直线0x y +=上，（ ） A ．0 B ．2- C ．2 D ．2-或2 6．已知函数()5sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图像关于（ ）对称A ．直线3x π= B ．直线4x π= C ．点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知tan1a =，tan2b =，tan3c =，则（ ）．A ．a b c ＜＜B ．c b a ＜＜C ．b c a ＜＜D ．b a c ＜＜ 8．函数()()()sin 0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A． B ．12- C ．12D9．要得到函数3cos y x =的图像，只需将函数3sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的（） A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移23π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是 （ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ< 11．函数()||sin f x x x =-在R 上零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．已知函数()252sin ,3036{log ,0x x f x x x ππ⎛⎫+-≤≤ ⎪=⎝⎭>，若方程()f x a =有四个不同解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．71,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．71,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题13．232313sin cos tan(2019)cos 673ππππ⎛⎫-+⋅-= ⎪⎝⎭_______.14．函数()f x =______.15．已知函数3cos 1()cos 2x f x x +=+，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为_____. 16．以下说法中，正确的是_____.（填上所有正确说法的序号）：①已知角α终边上一点(4,3)P -，则3sin tan 20αα+=； ②函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是π； ③把函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到cos 2y x =的图象； ④数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ⑤函数sin 23y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数m的取值范图是22⎡-⎢⎣⎦.三、解答题17．已知11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)37sin()cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （1）化简()f α；（2）若()5f α=，求11sin cos αα+的值. 18．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（1）请用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的区间上的简图；（2）求()f x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值和相应的x 的值. 19．已知函数()sin()(,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+><的一段图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在(2,2)ππ-上的单调递减区间.20．已知函数2()12cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()g a ，a R ∈，（1）求()g a 的表达式；（2）若1()2g a =-，求a 及此时()f x 的最大值. 21．已知点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））是函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）002πωϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，＜＜图象上的任意两点，且角φ的终边经过点(1P ，，若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4时，|x 1﹣x 2|的最小值为3π． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，不等式mf （x ）+2m ≥f （x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 22．设D 是函数()y f x =定义域的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，则称0x 是()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点，已知()()12log 421x x f x a =+⋅-，[]0,1x ∈.（1）若1a =，求函数()f x 的准不动点；（2）若函数()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】根据终边相同的角确定α终边所在象限，由三角函数的符号确定点所在的象限即可.【详解】=53602019+219︒⨯︒︒，∴2019α︒=的终边在第三象限，tan 0,cos 0αα∴><，∴点(tan ,cos )P αα位于第四象限，故选：D【点睛】本题主要考查了终边相同的角，三角函数在各象限的符号，属于容易题.2．D【分析】根据扇形面积公式及角度制与弧度制的互化求解即可.【详解】由扇形面积公式可知；221172208022180S r παπ==⨯⨯=， 故选：D【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，角度制与弧度制的互化，属于容易题.3．A【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的关系即可求解.【详解】1sin cos 2αα+=-， 221(sin cos )()2αα∴+=-，即112sin cos 4αα+⋅=， 3sin cos 8αα∴⋅=-， 故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题.4．B【分析】直接利用正余弦函数的单调性和奇偶性的性质依次判断．【详解】对于A ：在(0,)2π上的减函数，周期为π，是偶函数．故A 不对．对于B ：是偶函数，在(0,)2π上的增函数，sin x 加了绝对值，函数sin y x =图象x 轴下部分翻折到上面来，周期变为π．故B 对．对于C ：sin 2x 加了绝对值，函数sin 2y x =图象x 轴下部分翻折到上面来，周期变为2π，是偶函数，在(0,)2π上不是增函数，故C 不对．对于D ：x 加了绝对值，函数sin y x =图象保留y 轴部分，再作关于y 对称的图象，不是周期函数，在 (0,)2π上是增函数，故D 不对．故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，涉及周期、单调性、奇偶性，图象的翻折、对称变换．比较基础．5．A【分析】由角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，求得sin ,cos αα的值，代入即可求解．【详解】由题意，若角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，当角α的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin2cos2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，=；当角α的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sincosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，=，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答中熟记三角函数的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.6．D【分析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】函数()5sin()(0)3f x xπωω=+>的最小正周期为π，∴2ππω=，2ω∴=，()sin(2)3f x xπ=+，令3xπ=，则23xππ+=，()0f x=，故函数的图象关于点(3π，0)对称，故D满足条件，A不满足条件；令4xπ=，则5236xππ+=，1()2f x=，故函数的图象不关于直线4x π=对称，也不关于点(4π，0)对称，故B 、C 不满足条件，故选：D ．【点睛】 本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题．7．C【分析】根据角的范围，利用诱导公式和正切函数的单调性，即可判断,,a b c 的大小关系．【详解】由题意可知tan11a =>，tan2tan(π2)0b ==--<，tan3tan(π3)0c ==--<． 再根据ππ2π302>->->，∴tan(π2)tan(π3)0--＞＞，∴tan(π2)tan(π3)0----＜＜．综上可得，0a c b ＞＞＞，故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和正切函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．A【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得1256x x π+=,从而可得()12f x x +的值. 【详解】 由函数()sin()()0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈><⎪⎝⎭的部分图象, 可得122,2236πππωω⨯=-∴=, 再根据五点法作图可得20,63ππϕϕ⨯+=∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为122,,63x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上，且()()12f x f x =， 所以()12216322x x ππ++=,1256x x π∴+=，()1254sin 2sin sin 6333f x x ππππ⎛⎫+=⨯-==-= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点. 9．C 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果 【详解】因为3cos 3sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以将函数3sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移23π个单位长度，就可得到函数3cos y x =的图像. 故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的变换，注意伸缩变换时不变换初相． 10．D 【分析】由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°,即0°＜α＜90°-β，从而有0＜sinα＜sin （90°-β）=cosβ＜1，由f （x ）满足f （2-x ）=f （x ）函数为偶函数，即f （-x ）=f （x ），可得f （2-x ）=f （x ），即函数的周期为2，因为函数在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断. 【详解】∵α，β是钝角三角形的两个锐角，可得0°＜α+β＜90°， 即0°＜α＜90°-β， ∴0＜sinα＜sin （90°-β）=cosβ＜1，∵f （x ）满足f （2-x ）=f （x ），∴函数关于x=1对称 ∵函数为偶函数，即f （-x ）=f （x ）， ∴f （2-x ）=f （x ），即函数的周期为2， ∴函数在在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增， 根据周期性可知在0，1]单调递增， ∴f （sinα）＜f （cosβ） 故选D.点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f （2-x ）=f （x ），偶函数满足的f （-x ）=f （x ），可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°，即0°＜α＜90°-β．本题是综合性较好的试题． 考点：偶函数；函数单调性的性质． 11．B 【分析】结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．作出函数的图象可得答案． 【详解】由()||sin 0f x x x =-=，得||sin x x = 作出sin ,||y x y x ==的图象；由图象可知sin ,||y x y x ==的图象只有一个交点(0,0)， 所以()||sin f x x x =-在R 上零点只有1个，故选：B 【点睛】本题考查的是函数零点的个数判定问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题． 12．A 【解析】试题分析：作()f x 的图象，易知1x =-是52sin()36x y ππ=+图象的一个对称轴，最大值为2，所以122x x +=-，又2324log log x x =，则2324log log x x -=，所以341x x =，31142x <≤，()3122341x x x x x ++ 3312x x =-+．显然3312y x x =-+是减函数，因此当31142x <≤时，3317122x x ≤-+<．故选A ．考点：函数与方程．【名师点睛】本题考查函数与方程．在解决与方程根有关问题，常常把方程的根转化为函数图象交点（特别是一个函数的图象与一条直线的交点），在方程含有参数时，利用它们相交的情况可以确定交点个数即方程根的个数，在方程不含参数（象本题）要讨论根的范围时，由图象可以很快估计出其中根的范围，根的关系，如122x x +=-，341x x =，31142x <≤等等，从而有助于问题的解决． 13．0 【分析】先利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】232313sin cos tan(2019)cos 673ππππ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭2sin(4)cos(2)tan2019cos(4)673ππππππππ=-++++-+sin0cos63ππ=+-11022=+- 0=故答案为：0 【点睛】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 14．(,)()26k k k Z ππππ-+∈【分析】先求出函数的定义域，再根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】()f x =∴10x ≥,解得26k x k ππππ-<≤+，k Z ∈,当(,)()26x k k k Z ππππ∈-+∈时， 3tan y x =是增函数，y ∴=即()f x =(,)()26k k k Z ππππ-+∈， 故答案为：(,)()26k k k Z ππππ-+∈【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，单调性，属于中档题. 15．4[1,]3【分析】函数式变形为5()3cos 2f x x =-+，再根据余弦函数的图象和性质及不等式的性质求解即可. 【详解】3cos 13(cos +25()3cos 2cos +2cos +2x x f x x x x +===-+)-5, 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos 12x ≤≤，5523cos +2x ∴≤≤， 54()3[1,]cos 23f x x ∴=-∈+，故答案为：4[1,]3【点睛】本题主要考查了余弦函数的图像和性质，不等式的性质，分式的化简变形，属于中档题. 16．③④ 【分析】①由角的三角函数定义求解，判断即可；②由函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知最小正周期；③由函数图象的平移变换即可判断；④计算12232πππ⨯+=，可判断函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；⑤计算函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域即可. 【详解】①已知角α终边上一点(4,3)P -，则33sin ,tan 54αα==-,所以3sin tan 20αα+=-，故错误；②函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象x 轴下方的翻折到x 轴上方，最小正周期是2π，错误； ③把函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到cos[2()]cos 263y x x ππ=-+=的图象，正确；④令12x π=，21232πππ⨯+=，tan 23y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，正确；⑤0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42[,]333x πππ∴+∈，∴函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范图是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误. 故答案为：③④ 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，周期性，对称性，值域，平移变换，属于中档题. 17．（1）()sin cos f ααα=+（2）2- 【分析】（1）利用诱导公式化简即可求出（2）根据同角三角函数关系求解. 【详解】（1）11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)37sin()cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos sin (sin )cos sin (sin )cos αααααααα-=+-sin cos αα=+（2）()5f α=，即sin cos 5αα+=， 两边平方得：112sin cos 5αα+⋅=， 所以2sin cos 5αα⋅=-，11sin cos 5()sin cos sin cos 2αααααα+∴+==-= 【点睛】本题主要考查了三角函数值的化简和求值，利用诱导公式及同角三角函数的关系是解决本题的关键.18．（1）见解析（2）1，12- 【分析】（1）利用列表、描点、连线法画出()f x 在一个周期上的图象；（2）利用正弦函数的性质求出()f x 在[12x π∈，]2π上的最大、最小值；【详解】 （1）列表如下：画出函数()f x 在[12π，]2π上的图象如图所示；（2）由()sin(2)6f x x π=+知，因为122xππ，所以72366x πππ+， 当262x ππ+=，即6x π=时，sin(2)6x π+最大值等于1，即()f x 的最大值等于1； 当7266x ππ+=，即2x π=时，sin(2)6x π+最小值等于12-，即()f x 的最小值等于12-； 所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为12-； 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．19．（1）()2sin()66f x x ππ=+（2）(2,4)π--和(2,2)π【分析】（1）首先，确定振幅A ，然后，根据周期公式确定2ωπ=，最后，利用特殊点，确定ϕ的值，即可得解函数解析式（2）利用正弦函数的单调性即可得解． 【详解】（1）由题意得：2A =，12T =，∴26T ππω==， 可得：()2sin()6f x x πϕ=+．由图象可知()2sin()6f x x πϕ=+经过点(2,2)，所以2sin(2)26πϕ⨯+=即sin()13πϕ+=，所以232k ππϕπ+=+，且||ϕπ<，所以6π=ϕ 故函数()f x 的解析式为：()2sin()66f x x ππ=+．（2）由图可知()2sin()6f x x πϕ=+的单调减区间为：[212k +，812]()k k Z +∈利用数轴可知函数()f x 在(2,2)ππ-上的单调递减区间：(2,4)π--和(2,2)π． 【点睛】本题重点考查了由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，属于中档题．解题关键是准确理解所给图象的信息．20．（1）21(2)()21(22)214(2).a ag a a a aa <-⎧⎪⎪=----⎨⎪->⎪⎩（2）1,5- 【分析】（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①2a 小于1-时②2a大于1-而小于1时③2a大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出()f x 的最小值g （a ）的值即可；（2）把12代入到第一问的g （a ）的第二和第三个解析式中，求出a 的值，代入()f x 中得到()f x 的解析式，利用配方可得()f x 的最大值．【详解】（1）2()122cos 2(1cos )f x a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )2122a a x a =----．若12a<-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 有最小值g （a ）222(1)21122a a a =-----=；若112a -，即22a -，则当cos 2a x =时，()f x 有最小值g （a ）2212aa =---； 若12a >，即2a >，则当cos 1x =时，()f x 有最小值g （a ）222(1)211422a a a a =----=-．21(2)()21(22)214(2).a ag a a a aa <-⎧⎪⎪∴=----⎨⎪->⎪⎩（2）若g （a ）12=，由所求g （a ）的解析式知只能是212122a a ---=或1142a -=．由222112122a a a a -⎧⎪⇒=-⎨---=⎪⎩或3a =-（舍)． 由2118142a a a >⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩（舍)．此时211()2(cos )22f x x =++，得()5max f x =． ∴若g （a ）12=，应1a =-，此时()f x 的最大值是5． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性，属于难题． 21．（1）()233f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）252,183183k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，；（3）13m ≥ 【分析】（1）由ϕ角终边所过点求出tan ϕ，从而确定ϕ角，由|x 1﹣x 2|的最小值确定函数的周期，从而确定ω，得函数解析式；（2）由正弦函数的单调性可得f （x ）的单调递增区间；（3）先得出()f x 的范围，知()2f x +大于0，因此恒成立的不等式可用分离参数法变为()()()2122f x m f x f x ≥=-++，因此只要求得()212f x -+的最大值即可得m 的取值范围． 【详解】（1）角φ的终边经过点(1P ，∴tan ϕ= ∵02πϕ-＜＜，∴3πϕ=-． 由|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4时，|x 1﹣x 2|的最小值为3π，得23T π=， 即223ππω=，∴ω＝3 ∴()233f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ （2）由232232k x k πππππ-+≤-≤+， 可得252183183k k x ππππ-+≤≤+， ∴函数f （x ）的单调递增区间为252183183k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k ∈z（3 ） 当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()1f x ≤，于是，2+f （x ）＞0，∴mf （x ）+2m ≥f （x ）等价于()()()2122f x m f x f x ≥=-++由()1f x ≤≤，得()()2f x f x +的最大值为13 ∴实数m 的取值范围是13m ≥． 【点睛】本题考查求三角函数解析式，求单调区间，考查不等式恒成立问题．三角函数求解析式一般要结合“五点法”求解，三角函数的性质一般结合正弦函数性质求解，本题中不等式恒成立可采用分离参数法把问题转化为求函数的最值．22．（1）00x =；（2）(]0,1【分析】（1）由题意，当1a =时，可得()12()log 421x x f x x =+-=-，[]0,1x ∈，可解得函数()f x 的准不动点．（2）依()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，可得4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根．通过分离变量，可转化为1212x x a -=--，令[]21,2x t =∈，只需求出11y t t =--在[]1,2上的值域，即可得112a -≤≤，最后根据4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，解得0a >，取交集得实数a 的最终范围．【详解】（1）由题意，可得()12()log 421x x f x x =+-=-，即4212x x x +-=，41x ∴=，0x ∴=．故当1a =，函数()f x 的准不动点为00x =．（2）由题意知，()12()log 421x x f x a x =+⋅-=-即4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根， 4212x x x a +⋅-=变形为1212xx a -=--，令[]21,2x t =∈，而11y t t=--在[]1,2上单调递增，所以112y -≤≤，即112a -≤-≤，所以112a -≤≤． 又4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，所以122x x a >-．令[]21,2x t =∈，而1y t t =-在[]1,2上单调递减，所以max 0y =，即有0a >，综上，01a <≤，即实数a 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，新定义的理解，含参的不等式在闭区间上恒成立问题的解法，以及分离参数法的应用，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题．。
2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|A y y y N ==∈，()(){}2|log 12B x y x x ==+-，则A B =I （ ）A ．{}|02x x ≤<B ．{}2|0x x ≤≤C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【解析】对于集合A ，先求出定义域，再求出y =y N ∈，得到集合A ；对于集合B ，令真数大于0，求出x 得范围，然后求集合A 和集合B 的交集即可. 【详解】对于集合A ，令240x -≥，解得22x -≤≤，所以2044x ≤-≤，所以02y ≤=≤， 又因为y N ∈，所以{}0,1,2A =；对于集合B ，()()120x x +->，解得12x -<<， 所以{}|12B x x =-<<， 故{}0,1A B =I . 故选：C 【点睛】本题主要考查求解函数的定义域和值域，以及集合的基本运算，注意求解值域时要优先求解函数的定义域，属于基础题.2．“23k παπ=+”是“sin α=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由23k παπ=+可得sin α=；反之，sin α=，不一定得23k παπ=+，再结合充分必要条件的判定可得答案. 【详解】当23k παπ=+，k Z ∈时，sin α=成立，当sin α=时，23k παπ=+或223k παπ=+，k Z ∈，所以sin 2α=时，不一定有23k παπ=+，k Z ∈，所以“23k παπ=+”是“sin α=”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判定，属于基础题. 3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】 由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且22a b ==r r ，则a b +=r r （ ）A ．3BC ．7D【答案】D【解析】由()22a b a b +=+r r r r 展开计算得到2a b +r r 的值，从而得到答案.【详解】由题意，平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ， 所以()22222a b a ba ab b +=+=+⋅+r r r r r r r r222221cos173π=+⨯⨯⨯+=，所以a b +=r r.故选：D 【点睛】本题主要考查求向量的模长和向量的数量积运算，属于基础题.5．在ABC ∆中，若4a =，3c =，ABC S ∆=cos2B =（ ）A ．3B ．3C ．13D ．23【答案】C【解析】由三角形面积公式求得sin B ，再由二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由三角形面积公式，1sin 2ABC S ac B ∆==sin B =， 由二倍角的余弦公式，2cos 212sin B B =-，解得1cos 23B =. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和二倍角的余弦公式，属于基础题.6．已知函数()()xf x x m e =+，m R ∈，若函数()f x 的极值点为1x =，则关于x 的不等式()24f x x <-的解集为（ ） A ．{}|ln 22x x << B ．{}2|0x x ≤≤ C ．{}|02x x <<D ．{}|0ln 2x x <<【答案】A【解析】由函数()f x 的极值点为1x =，求导解出2m =-，再将()24f x x <-变形整理得()()220xx e --<，解不等式即可.【详解】由题意，求导得()()()1xxxf x e x m e x m e '=++=++，当1x =时，()f x 取极值，所以()()11110f m e '=++=，解得2m =-，所以()()2xf x x e =-，所以()24f x x <-即()()222xx e x -<-，移项整理得，()()220xx e --<，解得ln 22x <<.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及不等式求解，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.7．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．8 B ．9C ．6D ．7【答案】B【解析】利用已知条件得到211y x +=，再化简()212x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得2x y +的最小值，然后再利用恒成立，得到m 的最大值. 【详解】由2x y xy +=可得211y x+=，()21222255549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当22x yy x=时，等号成立， 所以2x y +的最小值为9，又因为2x y m +≥恒成立，所以9m ≤， 即m 的最大值为9. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题和不等式的恒成立问题，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.8．如图，函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上一个周期内的A ，B 两点，满足()()()01A B f x f x m m =-=<<.若2A B x x π-=，要得到函数()f x 的图象，则需将函数sin y x ω=的图象（ ）A ．向左移动3π个单位 B ．向右移动3π个单位 C ．向左移动6π个单位 D ．向右移动6π个单位 【答案】C【解析】利用()()A B f x f x =-和诱导公式构建等式关系，得到A x 和B x 的关系，再利用2A B x x π-=，解出ω，最后由三角函数图象的变换规律得到结果.【详解】由()()A B f x f x =-和()sin sin παα+=-， 得sin sin sin 333AA B x x x πππωωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以33A B x x ππωπω++=+，得()B A x x ωπ-=，由图象B A x x >，所以2B A x x π-=，解得2ω=，所以()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故需要将sin 2y x =向左移动6π个单位得到得到函数()f x 的图象.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数的平移变换，注意平移不包括平移x 的系数，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.9．已知函数12log (1),0()21,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪-≥⎩，若3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,2骣琪-琪桫 B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+?【答案】C【解析】根据函数()f x 的单调性，当0a ≥时，不等式恒成立；当10a -<<时，构造函数3()()2g a f a f a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减，302a +>恒成立，323212a f a +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，若[)0,a ∈+∞，显然3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立；若()1,0a ∈-，由函数()f x 的单调性，可知函数32123()()21log (1)2a g a f a f a a +⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭在()1,0-上单调递增，又12111()(1)()21log 0222g f f -=--=--=，即1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3()()02g a f a f a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭.综上，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算能力，属10．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的取值为（ ） A ．14 B ．74C ．14或74D ．1或74【答案】C【解析】由函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，解出3124k ω=+，再结合()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求得ω的范围，对选项检验即可.【详解】由题意，函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以sin 062233f πππω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即236k πππω⋅-=，k Z ∈， 解得，3124k ω=+，k Z ∈， 又因为()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以4422Tπππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭,2T πω=， 解得，02ω<≤， 所以k 可以取0或1，即14ω=或74ω=.故选：C 【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，利用好正弦函数的对称中心、单调区间和周期的关系式解题的关键，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 11．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，记集合(){}|sin ,121,i M x x a i n i N +==≤≤+∈，且()0,n a π∈，若集合M 中有1n +个元素，则21n S +=（ ）A ．n πB ．2n πC ．12n π+ D ．212n π+ 【答案】D【解析】由题意，()sin i x a =，集合M 中有1n +个元素，可以得到()sin i x a =有n 项重复，数列{}n a 关于2x π=对称，所以()1sin 1n a +=，解出1n a +，再由等差数列前n 项和公式求解21n S +即可. 【详解】由题意，121i n ≤≤+，i N +∈，所以()sin i x a =共有21n +项， 因为集合M 中有1n +个元素，所以()sin i x a =有n 项重复，{}n a 关于2x π=对称，由()0,n a π∈和()sin sin απα=-，所以()()121sin sin n a a +=，()()22sin sin n a a =，⋅⋅⋅ ，()()2sin sin n n a a +=， 所以()1sin 1n a +=，即12n a π+=，所以()()()1211212122121222n n n a a n a n n S π+++++++===.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质、等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的分析转化能力，属于中档题.12．已知函数()()()()2100xx x e ax x f x e x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若不等式()()f x f x +-≤立，则a 的取值范围为（ ） A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B．⎛ ⎝ C．⎫+∞⎪⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】令()()()g x f x f x =+-，则()g x 是偶函数，所以考虑0x >的情况即可，由()()f x f x +-≤0x >时()g x 的解析式并分离参数，构造新的函数()h x ，利用导数求得()h x 的最大值即可. 【详解】令()()()g x f x f x =+-，()()()()g x f x f x g x -=-+=， 所以()g x 是偶函数，()()002(0)20102g f e a -⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦成立，所以考虑0x >的情况即可，当0x >时，()()()()212xx x g x f x f x x eax e xe ax ---=+-=--+=-，()()f x f x +-≤2xxeax --≤恒成立，分离参数，即2xea -≤恒成立， 令()2xh x e-=0x >， 则()2xh x e-'=-，0x >，()0h x '=，即20x e --=，解得12x =， ()0h x '<，解得12x >，所以()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()0h x '>，解得102x <<，所以()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()h x 在12x =处取得极大值即最大值，12112122h e -⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 又因为()2xh x e a -=≤恒成立，所以a ≥故选：C 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用导数求最值，考查学生构造函数和分离参数的应用，同时还考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题.二、填空题13．等比数列{}n a 中，3S 21=，232a a =则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】n 132-⨯【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，用首项和公比q 表示出已知条件，计算即可求解． 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，3S 21=Q ，232a a =，()21a 1q q 21∴++=，2q =，解得1a 3=．数列{}n a 的通项公式n 1n a 32-=⨯．故答案为：n 132-⨯． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，()0f ()'0f =，且则曲线()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为______.【答案】y =+【解析】由()()20f x f x -+=得到()f x 的对称中心，再根据()f x 是偶函数，求出()2f -，对()()20f x f x -+=两边求导，得到()f x ¢的对称轴，再根据()f x ¢是奇函数，得到()'2f -，最后求出切线方程即可. 【详解】因为()()20f x f x -+=，所以()f x 关于()1,0中心对称， 又()f x 是偶函数，所以()f x 关于()1,0-中心对称，所以()2f -=，对()()20f x f x -+=两边求导，得()()20f x f x ''--+=， 所以()f x ¢关于1x =对称，又()f x 是偶函数，所以()f x ¢是奇函数，所以()f x ¢关于1x =-对称，因为()0f '=，所以()2f '-=所以()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为：()(2)(2)2y f f x '--=-+，即()332y x +=+，所以切线方程为：33y x =+.故答案为：33y x =+【点睛】本题主要考查函数和导函数的奇偶性和对称性以及利用导数求函数的切线方程，考查学生的转化分析能力，属于中档题.15．在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90C ∠=︒，2BC CD ==，则四边形ABCD的对角线AC 的最大值为______. 【答案】31+【解析】求解出BD 为定长，又60A ∠=︒，所以点A 在以BD 为弦的圆上运动，建立直角坐标系，利用数形结合找到对角线AC 最大值时点A 的位置，再求解即可. 【详解】根据题意，90C ∠=︒，2BC CD ==，所以2BD =，由于60A ∠=︒，2BD =为定长，所以A 在以BD 为弦的圆上运动， 以点D 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系，画出图象如图所示， 则()2,0B ，()1,1C ，BD 中点()1,0E在ABD △中，由正弦定理232sin sin 602BD R A ===o，得33R =， 圆心O 在BD 的垂直平分线上，2222OE EB OB R +==，所以3OE =，即1,O ⎛ ⎝⎭， 延长CO 交圆O 于点A '，所以对角线AC 的最大值即A C '的长度，因为1CE =,OE =,OA '=所以11A C CE OE OA ''=++=+=，即四边形ABCD 的对角线AC 1.1 【点睛】本题主要考查正弦定理求外接圆半径，直线与圆的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于难题.16．已知ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，2PB PC +=u u u r u u u r，AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，那么2λμ+的取值范围为______.【答案】3322⎡⎢⎣⎦【解析】利用余弦定理解出ABC ∆是等腰直角三角形，由向量的坐标形式表示出2PB PC +=u u u r u u u r ，得到点P 的轨迹，再由向量的坐标形式表示出AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，最后由线性规划求解2λμ+的范围即可. 【详解】根据题意，在ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，由余弦定理，222222cos 2224AB BC AC BC AC ACB π=+-⋅∠=+-⨯以点A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，)B，(C ，设点(),P x y ，),PB x y =--u u u r ，()PC x y =-u u u r ，(),AP x y =u u u r，(AC =u u u r ，)AB =u u u r，所以)22PB PC x y +=u u u r u u u r ，)AB AC λμ+=u u u r u u u r ，由2PB PC +=u u u r u u u r，得()()2222222x y-+-=，整理得，2222122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以点P 的轨迹在以点22,22O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径1R =的圆上， 由AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得()(),2,2x y λμ=，所以22x λ=，22y μ=，所以2222x y λμ+=+， 在点M 时，2λμ+取得最大值，在点N 时，2λμ+取得最小值， 此时圆心O 到2222x y λμ+=+的距离为半径R ， 由点到直线的距离公式，()()22222222221222λμ⨯+⨯-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得31022λμ+=±，所以3103102,2222λμ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：31031022⎡-⎢⎣⎦【点睛】本题考查了余弦定理、向量的表示、向量模长的计算、点到直线的距离公式和线性规划的应用，考查学生的分析转化能力、数形结合能力和计算能力，是一道综合性很强的题目，属于难题.三、解答题17．已知m R ∈，设命题p ：(]1,7x ∈-，方程()22log 12x m m +=-存在实数解；命题q ：不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈恒成立. （1）若p 为真命题，则m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 取值范围. 【答案】（1）13m -≤≤（2）532m <≤或1m <- 【解析】（1）在命题p 中，由x 的范围求解出()2log 1x +的范围，根据命题p 是真命题，求解关于m 的一元二次不等式即可；（2）利用恒成立分离参数得到411222x xx xm +≤=+，构造函数()1g t t t =+，[]2,4t ∈，利用单调性求得()g t 的最小值，从而得到m 的范围，再由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得p 、q 中必有一真一假，分情况讨论，得到最后的答案. 【详解】（1）因为17x -<≤，所以018x <+≤，则()2log 13x +≤， 由已知条件可得223m m -≤，解得13m -≤≤， 故p 为真命题时，13m -≤≤.（2）因为不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈，则411222x x x xm +≤=+，令2xt =，[]2,4t ∈， 则1m t t≤+，[]2,4t ∈，令()1g t t t=+，可知()g t 在[]2,4上为增函数，()()min 152222g t g ==+=. 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题， 则p 、q 中必有一真一假， 若p 为真命题，q 为假命题时，则532m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题时，则1m <-，综上所述532m <≤或1m <-. 【点睛】本题主要考查对数不等式求解、一元二次不等式求解、恒成立问题和命题的概念，注意分离参数和构造函数的应用，是考试中常出现的问题，还考查学生的分析转化能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy ，O 为坐标原点，()1,0A -，()()()cos ,sin 0,B θθθπ∈，(Q ，C 为平面内一点，且满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，设四边形OACB 的面积为S .（1）若OQ OC ⊥，求θ的值；（2）记()f OA OC S θ=⋅+u u u r u u u r，求()f q 的取值范围.【答案】（1）23πθ=（2）()(1f θ⎤∈⎦【解析】（1）由已知条件求出OC u u u r，再由OQ OC ⊥，得到cos 10θθ-=，利用辅助角公式化简，求出θ即可；（2）根据向量关系得到四边形OACB 是平行四边形，并根据三角形面积公式求出S 的表达式，再求出OA OC ⋅u u u r u u u r，化简()f q ，根据角θ的范围求出()f q 的取值范围即可. 【详解】（1）由题，()1,0OA =-u u u r ，()cos ,sin OB θθ=u u u r，(OQ =u u u r ，由已知条件()cos 1,sin OC OA OB θθ=+=-u u u r u u u r u u u r，因为OQ OC ⊥，所以0OQ OC ⋅=u u u r u u u r，即cos 10θθ-=，由辅助角公式得，2sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为∵0θπ<<，∴7666πππθ<+<，所以566ππθ+=， 得23πθ=. （2）由（1）知，1cos OA OC θ⋅=-u u u r u u u r，由OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可知四边形OACB 为平行四边形，向量OA u u u r 和向量OB uuu r的夹角为πθ-，所以()()12sin sin sin 2S OA OB πθπθθ=⨯-=-⋅=u u ur u u u r .所以()1cos sin OA OC S f θθθ=⋅+=-+u u u r u u u r 14πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0θπ<<，∴3444πππθ-<-<， 当44ππθ-=-时，()0fθ=，当42ππθ-=时，()max 1fθ=即()(1f θ⎤∈⎦. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，辅助角公式和三角函数求值域，考查学生的分析转化能力，属于基础题.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos a b c B +=. （1）求角C 的值；（2）若c =D 为线段AB 的中点，且满足cos 7ACD ∠=，求a ，b . 【答案】（1）23C π=（2）2a =，3b = 【解析】（1）22cos a b c B +=由正弦定理边化角得到2sin sin 2sin cos A B C B +=，在三角形中，利用()sin sin A B C =+，展开后化简求值即可；（2）在ACD ∆中利用用正弦定理表示出sin b AD ADC =∠，同理在BCD ∆中利用正弦定理表示出sin a BDC =∠，根据sin sin ADC BDC ∠=∠，AD BD =，求出求a 和b 的关系，在ABC ∆中，根据余弦定理求解即可.【详解】（1）因为22cos a b c B +=，在三角形ABC ∆中由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B +=， 又因为∵A B C π++=，∴()A B C π=-+， 得()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=， ∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-.又因为()0,C π∈，∴23C π=. （2）∵cos 7ACD ∠=，∴sin ACD ∠==7=， 在ACD ∆中由正弦定理得：sin sin AD b ACD ADC =∠∠即sin b ADC =∠，∵23BCD ACD π∠=-∠， ∴2cos cos 3BCD ACD π⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭1cos 2ACD ACD =-∠+∠，∴1cos 2BCD ∠=-=， 在BCD ∆中由正弦定理得：sin sin BD aBCD BDC=∠∠，即sin a BDC =∠， 又因为AD BD =，ADC BDC π∠+∠=，sin sin ADC BDC ∠=∠， 即32a b =.在ABC ∆中由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即22223322a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得2a =，3b =.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 为等比数列，且1123n n n a a -+-=.（1）求公比q 和1a 的值；（2）设数列()31log n n n b a a +=⋅，设121321n n n n n T b a b a b a b a --=++++L ，求n T .【答案】（1）11a =，3q =.（2）31nn T n =--【解析】（1）由等比数列通项公式展开1n a +和n a 并化简，求出公比q 和1a ；（2）先求出n b 的通项公式，利用错位相减求和求出n T 即可. 【详解】（1）设等比数列的首项为1a ，公比为q ， 则()111111112223nn n n n n a a a q a q a q a q ---+-=-=-=，所以11213q a q a ==-⎧⎨⎩ ，解得11a =，3q =.（2）由（1）得，13-=n n a ，所以1211333n n n n n a a --+⋅==，所以()()21313log log 321n n n n b a a n -+===-，()()123133353233211n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，()()234111333532312133n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯， 两式相减得()()12342132333312133n n n n n T n ----=++++⋅⋅⋅++--⨯，()111132213231333n n n n T --⨯-=+⋅-+-，所以31nn T n =--.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用和错位相减求和，考查学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()()()121102x x a e a f x x ax -=---+≥. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x x =取得极小值，若()12f x e ≥-，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[)(]0,11,2a ∈U【解析】（1）对()f x 求导，求出()f x ¢的零点，对a 进行分类讨论，讨论每种情况下()f x 的单调性即可；（2）讨论a 三种情况下()f x 的极小值，1a =时，()f x 无极小值；01a ≤<时，()f x 的极小值122e ->-，所以成立；1a >时，()f x 的极小值1212a e a --+，构造函数()()12112x e x x x ϕ-=-+>，判断()x ϕ的单调性求出a 的范围即可.【详解】（1）由题意，()()()11x f x x a e-'=--.令()0f x ¢=解得1x a =，21x =，①当01a ≤<时，(),x a ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a -∞为增函数；(),1x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在(),1a 为减函数； ()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在()1,+?为增函数；②当1a =，x ∈R 时，()0f x ¢³，则()f x 在R 为增函数；③当1a >时，(),1x ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1-∞为增函数；()1,x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在()1,a 为减函数；(),x a ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a +∞为增函数；综上所述：当01a ≤<时，()f x 在(),1a 为减函数，在(),a -∞和()1,+?为增函数；当1a =时，()f x 在R 为增函数；当1a >时，()f x 在()1,a 为减函数，在(),1-∞和(),a +∞为增函数； （2）由（1）可当1a =函数()f x 不存在极值点， 当01a ≤<时，可知函数()()1122f x f e ==->-极小值， 所以01a ≤<成立；当1a >时，可知函数()()12212a f x f a e a a -==--+极小值1212a e a -=-+， 令()()12112x ex x x ϕ-=-+>， 则()1x x ex ϕ-'=-+，()11x x e ϕ-''=-+，当1x >时，()0x ϕ''<，即()x ϕ'在()1,+?为减函数， 所以()()10x ϕϕ''<=，所以()x ϕ在()1,+?上为减函数，又因为()22e ϕ=-，所以()()22a e ϕϕ≥=-， 由()x ϕ在()1,+?上为减函数，得12a <≤.综上所述，当[)(]0,11,2a ∈U ，()12f x e ≥-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，还考查学生分类讨论的思想和分析转化能力，属于中档题. 22．设函数()22xx xef x e -=-.（1）求函数()f x 的极值点； （2）设函数()()12xg x f x e k =++有两个零点，求整数k 的最小值. 【答案】（1）()f x 的极大值点为0（2）2 【解析】（1）对()f x 求导，()()2212xxf x ex e -'=--，因为xe -恒大于0，所以()f x¢的正负等价于212x x e --的正负，构造新的函数，求导判断212x x e --的正负，从而求出()f x 的极值点；（2）将()g x 的零点问题转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-图像的交点问题，判断2322x x y xe e -=-的极大值的范围，构造关于2322xx y xe e -=-的极大值的函数，利用导数求得其范围，从而得到k 的范围，求出整数k 的最小值. 【详解】因为()()()2212212xx x x f x x ee e x e --'=--=--，令()21xh x x e =--，()2120xh x e '=--<，因为当x ∈R ，()2120xh x e'=--<，所以()h x 在R 上为减函数，因为()00h =，又因为()h x 在R 上为减函数.当(),0x ∈-∞，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在(),0-?为增函数，当()0,x ∈+∞，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在(),0-?为减函数，所以()f x 的极大值点为0. （2）()322xx g x xee k -=-+， 由题意函数()g x 有两个零点，可转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-的图像有两个交点， 令()322xx xex e ϕ-=-，则()()233212222x x x x x e e e x e x ϕ--⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'，第 21 页 共 21 页 令()23222x x m x e =--，则()2230x x e m =--<'， 即()m x 在R 上为减函数，因为()1002m =>，()23102m e =-<， ()00,1x ∃∈，使得()00m x =，即02032202x x e --=，当()0,x x ∈-∞，()0m x >，即()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,x -∞为增函数， 当()0,x x ∈+∞，()0m x <，即()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,x +∞为减函数， ()()00002000332222x x x x x x e e e x e x ϕϕ--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=极大值， 由02032202x x e --=得0203222x x e -=，所以0x e =， 代入得()()00042x x e x ϕ-=-= 事实上131022m e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13042m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即010,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令t =2t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，201x t =-， 带入()()00042x x e x ϕ-=-=()12n t t t ⎫==-⎪⎭， 又因为()n t在区间,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，所以()()1n t ∈-，即()()01x ϕ∈-，所以k -<，即k >所以整数k 的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的综合应用、构造函数法判断函数的单调性和极值，函数的零点问题，考查学生的分析转化能力，属于难题.。
江西省南昌县莲塘第三中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
本题主要考查分式不等式的解法及穿针引线法在解不等式中的应用，同时考查分类讨论的思想，属于中档题.
22．）（1） ；（2）
【分析】
（1）由 是 与 的等比中项，可得 ， ，两式相减，把已知条件转化为 ，从而求出数列 的通项公式.
（2）由（1）代入 ，利用错位相减法求数列的和.
【详解】
（1）由题意可得 ，
当 时， ，解得
当 时， ，
两式相减，整理可得 ，
由于数列 是正项数列， ，
又 ，所以数列 是首项 ，公差 的等差数列，
.
（2） ，
，①
，②
① ②可得
，
根据不等式 的解集为 ， ，列出不等式求出解集即可.
【详解】
∵不等式 的解集为 ，
∴ ，即 ，即 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，解题时常用判别式来解答，是基础题目.
16．-3
【分析】
先由递推公式归纳出周期性，再计算一个周期内的积，最后求 .
【详解】
∵ ， ( )，
6．C
【分析】
利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
由 可得 ，故①错误
，当且仅当 ，即 时等号成立，故②正确
当 时， ，当且仅当 时等号成立，故③错误
，当且仅当 ，即 时等号成立，故④正确
故选：C
7．A
【分析】
先算出集合 ，再根据 ，列出不等式组即可获解.
【详解】
或 ,
且
解得
的取值范围是
故选：A
8．B
所以数列 的公差
所以第十一项为 ，
故选：B
5．A
【分析】
2019年12月江西省南昌县莲塘第一中学高2020届高2017级高二12月月考理科数学试题及参考答案解析
2019～2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考理科数学试题试题一、单选题 1.给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈,都有sin 1x ≤,则非0:P x R ∃∈,使得0sin 1x > ②在ABC ∆中,若sin 2sin 2A B =,则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =则3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是( ) A.①②③B.①②C.①③D.②③【试题参考答案】C【试题解析】①根据命题的否定的形式可知其正确；②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种结果,所以错误；③根据原命题和逆否命题等价可知其正确； 从而得到答案.①根据命题的否定的形式可知,命题:P x R ∀∈,都有sin 1x ≤,则非0:P x R ∃∈,使得0sin 1x >,所以是正确的；②在ABC ∆中,若sin 2sin 2A B =,则有2A =2B 或2A +2B =π,所以角A 与角B 相等或互余,所以错误；③因为命题：“若tan x =则3x π=”是假命题,所以其逆否命题是假命题,所以正确；所以正确命题的序号是①③, 故选C .该题考查的是有关命题真假的判断问题,涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定,三角函数公式,原命题和逆否命题等价,属于简单题目.2.已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >,则22a b >,下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.p q ∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝【试题参考答案】B【试题解析】解：命题p ：∀x ＞0,ln(x+1)＞0,则命题p 为真命题,则￢p 为假命题； 取a=﹣1,b=﹣2,a ＞b,但a 2＜b 2,则命题q 是假命题,则￢q 是真命题. ∴p ∧q 是假命题,p ∧￢q 是真命题,￢p ∧q 是假命题,￢p ∧￢q 是假命题. 故选B.3.设抛物线2y 4x =上一点P 到y 轴的距离是2,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.1B.2C.3D.4【试题参考答案】C【试题解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-。