北京北师特学校2013年高考考前演练理科数学模试卷-含答案
2013年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
题．
5．（5分）（2013•北京）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所
得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ）
A． ex+1
B． ex﹣1
C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
考 函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有 点：
专 函数的性质及应用． 题：
分 析：
考 点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．菁优网版权所有 点： 专 直线与圆． 题： 分 先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程， 析： 然后用点到直线的距离来解． 解 解：在极坐标系中，点 答：
化为直角坐标为（
，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2， （
，1），到y=2的距离1，即为点
8．（5分）（2013•北京）设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考 简单线性规划．菁优网版权所有 点：
专 不等式的解法及应用． 题：
分 先根据约束条件 析：
画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包 含直线y=
7．（5分）（2013•北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂
直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A．
B． 2
C．
D．
北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考 理科数学(1)
北师特学校2012—2013年度第一学期第四次月考理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ） A 、)}1,1(),1,1{(- B 、}1{ C 、]1,0[ D 、]2,0[2、已知复数i zz=-+11，则z 的虚部为（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i -3、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等（ ） A.43π B.2π C.83π D.103π4、方程2x xy x +=的曲线是 （ ） A ．一个点 B ．一条直线 C ．两条直线 D ．一个点和一条直线5、已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）46、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（A（B（C（D7、△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2O A A B A C ++=0 ， ||||OA AB =，则CA CB ⋅ 等于（A ）32（B （C ）3 （D ）8、定义在R 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)2(1)2(21)(x x x x f ，则)(x f 的图像与直线1=y 的交点为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x 且321x x x <<，则下列说法错误的是（ ）A 、14232221=++x x x B 、0132=-+x x C 、431=+x x D 、2312x x x >+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)-理科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=().A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案:B2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.C.D.答案:C5.(2013北京,理5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y轴对称,则f(x)=().A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1答案:D6.(2013北京,理6)若双曲线=1的离心率为,则其渐近线方程为().A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案:B7.(2013北京,理7)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于().A. B.2 C. D.答案:C-8.(2013北京,理8)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求-得m的取值范围是().A.-B.-C.--D.--第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013北京,理9)在极坐标系中,点到直线ρsinθ=2的距离等于.答案:110.(2013北京,理10)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案:22n+1-211.(2013北京,理11)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=,AB=.答案: 412.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案:9613.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=.答案:414.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P 到直线CC1的距离的最小值为.答案:三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤.15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在△ABC中,a=3,b=2∠B=2∠A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1).cos A=.(2) c==5.316.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P (A i )=,且A i ∩A j =⌀(i ≠j ).(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A 5∪A 8. 所以P (B )=P (A 5∪A 8)=P (A 5)+P (A 8)= . (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P (X=1)=P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11)=P (A 3)+P (A 6)+P (A 7)+P (A 11)=, P (X=2)=P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 12)+P (A 13)= , P (X=0)=1-P (X=1)-P (X=2)=. 所以X 的分布列为:故X 的期望EX=0×+1×+2×. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5, (1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求的值. 解:(1)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),-则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B1BC1的法向量为m=(3,4,0).所以cos<n,m>=.由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.(3)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且=λ,所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.所以=(4λ,3-3λ,4λ).由·=0,即9-25λ=0,解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解:(1)设f(x)=,则f'(x)=-.所以f'(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=-.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解:(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±.所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-=k·+m=.所以AC的中点为M-.因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.因为k·-≠-1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.20.(2013北京,理20)(本小题共13分)已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n,d n=A n-B n.(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,a n+4=a n),写出d1,d2,d3,d4的值;(2)设d是非负整数,证明:d n=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列;(3)证明:若a1=2,d n=1(n=1,2,3,…),则{a n}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.解:(1)d1=d2=1,d3=d4=3.(2)(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列,且d≥0,所以a1≤a2≤…≤a n≤….因此A n=a n,B n=a n+1,d n=a n-a n+1=-d(n=1,2,3,…).(必要性)因为d n=-d≤0(n=1,2,3,…),所以A n=B n+d n≤B n.又因为a n≤A n,a n+1≥B n,所以a n≤a n+1.于是,A n=a n,B n=a n+1,因此a n+1-a n=B n-A n=-d n=d,即{a n}是公差为d的等差数列.(3)因为a1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.故对任意n≥1,a n≥B1=1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项.设m为满足a m>2的最小正整数,则m≥2,并且对任意1≤k<m,a k≤2.又因为a1=2,所以A m-1=2,且A m=a m>2.于是,B m=A m-d m>2-1=1,B m-1=min{a m,B m}≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n≥1,有a n≤2,即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,a n≤2=a1,所以A n=2.故B n=A n-d n=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a m=1,即数列{a n}有无穷多项为1.5。
北京北师特学校2013届高三第二次月考 理科数学
北师特学校2012～2013年度第一学期第二次月考理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．6 2、函数21y x =-的定义域是(,1)[2,5)-∞，则其值域是 （ ） A 、1(,0)(,2]2-∞ B 、(,2]-∞ C 、1(,)[2,)2-∞+∞ D 、(0,)+∞ 3、设函数1()7,02()0x x f x x ⎧-<⎪=≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(,3)-∞-B 、(1,)+∞C 、(3,1)-D 、(,3)(1,)-∞-+∞4、已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（）A B C D5、把函数sin y x =的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向左平移4π个单位，这时对应于这个图像的解析式是 （ ）A 、cos 2y x =B 、sin 2y x =-C 、sin(2)4y x π=- D 、sin(2)4y x π=+6、函数21sin 22y x x =+-的最小正周期等于 （ ）A 、πB 、2πC 、4πD 、4π7、若2αβπ+=，则函数cos 6sin y βα=-的最大值和最小值为 （ ） A 、最大值为2，最小值为12； B 、最大值为2，最小值为0；C 、最大值为2，最小值不存在；D 、最大值不存在，最小值为0； 8、若,*,(1)(2)(1)nx x R n N E x x x x n ∈∈=+++-定义，例如44(4)(3)(2)(1)24E -=-⋅-⋅-⋅-=则52()x f x x E -=⋅的奇偶性为 （ ）A ．偶函数不是奇函数；B ．奇函数不是偶函数；C ．既是奇函数又是偶函数；D ．非奇非偶函数；二、填空题：本大题共6小题，每小題5分，共30分.9．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题为________________10、若锐角,αβ满足(1)(1)4αβ=，则αβ+=_______________11、已知α为第二象限角，则cos sin =____________ 12、已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =_______________13、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是_______________14、 把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6π个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断：①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π+=； ②该函数图象关于点)0,3(π对称； ③该函数在]6,0[π上是增函数；④函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a ．其中，正确判断的序号是________________________三、解答题：本大题共6小題，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；16. (本小题共13分)(I)求()f x 的最小正周期； (I I )求()f x 在区间[0,]4π上的取值范围.17、(本小题共13分)在ABC ∆所在平面上有一点P ,使得AB PC PB PA =++,试判断P 点的位置.18、(本小题共13分)已知函数sin cos sin cos y x x x x =++，求[0,]3x π∈时函数y 的最值。
2013年北京市高考数学试卷(理科)
2013 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5分）已知会合A={ ﹣1，0，1} ，B={ x| ﹣ 1≤ x＜1} ，则 A∩ B=（）A．{ 0} B．{ ﹣1，0}C．{ 0，1} D．{ ﹣1，0，1}2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i ）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“φ =是π”“曲线 y=sin（ 2x+φ）过坐标原点”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．5．（5 分）函数 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线y=e x对于y 轴对称，则 f（ x） =（）A．e x 1B．e x 1C．e x 1 D．e x 1+﹣﹣ +﹣﹣6．（5 分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．7．（5 分）直线 l 过抛物线 C： x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．8．（5 分）设对于 x， y 的不等式组表示的平面地区内存在点P（ x0，y0），知足 x0﹣2y0=2，求得 m 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ sin θ的=2距离等于．．（分）若等比数列n}知足a2+a4， 3+a5，则公比q=；前n10 5{ a=20 a=40项和 S n=．11．（ 5分）如图， AB 为圆 O 的直径， PA为圆 O 的切线， PB 与圆 O 订交于D，若 PA=3，PD： DB=9：16，则 PD=，AB=．12．（ 5 分）将序号分别为1， 2，3，4，5 的 5 张观光券所有分给 4 人，每人至少 1 张，假如分给同一人的 2 张观光券连号，那么不一样的分法种数是．13．（ 5 分）向量，，在正方形网格中的地点以下图，若（λ，μ∈R），则=．14．（ 5 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， E 为 BC的中点，点P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为．三、解答题共 6 小题，共 50 分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（ 13 分）在△ ABC中， a=3，b=2，∠ B=2∠A．（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 c 的值．16．（13 分）如图是展望到的某地5 月1 日至14 日的空气质量指数趋向图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优秀，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天抵达该市，并逗留 2 天（Ⅰ）求这人抵达当天空气质量优秀的概率；（Ⅱ）设 X 是这人逗留时期空气质量优秀的天数，求X 的散布列与数学希望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（ 14 分）如图，在三棱柱ABC﹣ A1B1C1中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形．平面 ABC⊥平面 AA1C1C， AB=3， BC=5．（Ⅰ）求证： AA1⊥平面 ABC；（Ⅱ）求证二面角 A ﹣ BC﹣ B 的余弦值；111（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求的值．第3页（共 21页）18．（ 13 分） l 曲 C：y=在点（1，0）的切．（Ⅰ）求 l 的方程；（Ⅱ）明：除切点（ 1，0）以外，曲 C 在直 l 的下方．19．（ 14 分）已知 A，B，C 是 W：上的三个点，O是坐原点．（Ⅰ）当点 B 是 W 的右点，且四形OABC菱形，求此菱形的面；（Ⅱ）当点 B 不是 W 的点，判断四形OABC能否可能菱形，并明理由．20．（ 13 分）已知 { a n} 是由非整数成的无数列，数列前n 的最大A n，第 n 以后各 a n+1，a n+2⋯的最小 B n， d n =A n B n．（Ⅰ）若 { a n} 2，1，4，3，2，1，4，3⋯，是一个周期 4 的数列（即随意 n∈N*，a n+4=a n），写出 d1，d2，d3， d4的；（Ⅱ） d 是非整数，明： d n = d（n=1，2，3⋯）的充足必需条件 { a n} 是公差 d 的等差数列；（Ⅲ）明：若 a1=2， d n=1（n=1， 2， 3，⋯）， { a n} 的只好是 1 或许 2，且有无多 1．第4页（共 21页）2013 年北京市高考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）已知会合 A={ ﹣1，0，1} ，B={ x| ﹣ 1≤ x＜1} ，则 A∩ B=（）A．{ 0} B．{ ﹣1，0}C．{ 0，1} D．{ ﹣1，0，1}【剖析】找出 A 与 B 的公共元素，即可确立出两会合的交集．【解答】解：∵ A={ ﹣1，0， 1} ，B={ x| ﹣1≤x＜1} ，∴A∩B={ ﹣1，0} ．应选： B．【评论】本题考察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解本题的重点．2．（5 分）在复平面内，复数（ 2﹣i ）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【剖析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（ 2﹣i）2=4﹣ 4i+i2=3﹣ 4i，所以在复平面内，复数（2﹣ i）2对应的点位于第四象限．【评论】本题考察复数的代数形式的混淆运算，复数的几何意义，考察计算能力．3．（5 分）“φ =是π”“曲线 y=sin（ 2x+φ）过坐标原点”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，② φ=π时，曲线 y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线 y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．可是，曲线 y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（ 0，0）代入分析式整理即得sin φ=0，φ=kπ，k∈Z，不必定有φ=π．故“φ =π”是“曲线 y=sin（ 2x+φ）过坐标原点”的充足而不用要条件．应选： A．【评论】本题考察充要条件的判断，用到的知识是三角函数的图象特点．是基础题．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．【剖析】从框图赋值下手，先履行一次运算，而后判断运算后的i 的值与 2 的大小，知足判断框中的条件，则跳出循环，不然持续履行循环，直到条件知足为止．【解答】解：框图第一给变量i 和 S 赋值 0 和 1．履行，i=0+1=1；判断 1≥2 不行立，履行，i=1+1=2；判断 2≥2 成立，算法结束，跳出循环，输出S 的值为．应选： C．【评论】本题考察了程序框图，考察了直到型构造，直到型循环是先履行后判断，不知足条件履行循环，直到条件知足结束循环，是基础题．5．（5 分）函数 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线y=e x对于y 轴对称，则 f（ x） =（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【剖析】第一求出与函数y=e x的图象对于 y 轴对称的图象的函数分析式，而后换x 为 x+1 即可获得要求的答案．【解答】解：函数 y=e x的图象对于 y 轴对称的图象的函数分析式为y=e﹣x，而函数 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象对于 y 轴对称，﹣（x+1）﹣x﹣1﹣x﹣1所以函数 f（ x）的分析式为 y=e=e．即f（x）=e．【评论】本题考察了函数分析式的求解与常用方法，考察了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移依照“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．6．（5 分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．【剖析】经过双曲线的离心率，推出a、 b 关系，而后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，又 a2+b2=c2，所以 b= a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．应选： B．【评论】本题考察双曲线的基天性质，渐近线方程的求法，考察计算能力．7．（5 分）直线 l 过抛物线 C： x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于（）A．B．2C．D．【剖析】先确立直线的方程，再求出积分区间，确立被积函数，由此利用定积分可求直线 l 与抛物线围成的关闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y 的焦点坐标为（0，1），∵直线 l 过抛物线 C： x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，∴直线 l 的方程为 y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2， 2．∴直线 l 与抛物线围成的关闭图形面积为（= x﹣）|=．应选： C．【评论】本题考察关闭图形的面积，考察直线方程，解题的重点是确立直线的方程，求出积分区间，确立被积函数．8．（5 分）设对于 x， y 的不等式组表示的平面地区内存在点P（ x0，y0），知足 x0﹣2y0，求得m 的取值范围是（）=2A．B．C．D．【剖析】先依据拘束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣ 2m+1，要求可行域包括直线 y=x﹣1 上的点，只需界限点（﹣ m，1﹣ 2m）在直线 y= x﹣ 1 的上方，且（﹣ m，m）在直线 y=x﹣ 1 的下方，从而成立对于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先依据拘束条件画出可行域，要使可行域存在，必有 m＜﹣ 2m+1，要求可行域包括直线 y= x﹣1 上的点，只需界限点（﹣ m， 1﹣2m）在直线 y= x﹣ 1 的上方，且（﹣ m，m）在直线 y= x﹣1 的下方，故得不等式组，解之得： m＜﹣．应选： C．【评论】平面地区的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，重点是正确地画出平面地区，剖析表达式的几何意义，而后联合数形联合的思想，剖析图形，找出知足条件的点的坐标，即可求出答案．二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ sin θ的=2距离等于1 ．【剖析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，而后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρ sin θ化=2为直角坐标方程为y=2，（，1），到 y=2 的距离 1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1，故答案为： 1．【评论】本题重点是直角坐标和极坐标的互化，表现等价转变数学思想．10．（ 5 分）若等比数列 { a n} 知足 a2+a4=20，a3+a5=40，则公比 q= 2；前n项和 S n= 2n+1﹣2 ．【剖析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可获得 a1及 q，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q，∵a2+a4=a2（1+q2） =20①a3+a5=a3（1+q2）=40②∴①②两个式子相除，可获得= =2即等比数列的公比q=2，将 q=2 带入①中可求出a2=4则 a1= = =2∴数列 { a n} 时首项为 2，公比为 2 的等比数列．∴数列 { a n} 的前 n 项和为： S n ===2n+1﹣2．故答案为： 2，2n+1﹣2．【评论】娴熟掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式是解题的重点．11．（ 5 分）如图， AB 为圆 O 的直径， PA为圆 O 的切线， PB 与圆 O 订交于 D，若 PA=3，PD： DB=9：16，则 PD=，AB=4．【剖析】由 PD：DB=9：16，可设 PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD?PB，即可求出 x，从而获得 PD，PB．AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线，利用切线的性质可得 AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出 AB．【解答】解：由 PD： DB=9： 16，可设 PD=9x，DB=16x．∵PA为圆 O 的切线，∴ PA2=PD?PB，∴ 32=9x?（ 9x+16x），化为，∴．∴PD=9x= ，PB=25x=5．∵ AB为圆 O 的直径， PA为圆 O 的切线，∴ AB⊥PA．∴==4．故答案分别为， 4．【评论】娴熟掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的重点．12．（ 5 分）将序号分别为1， 2，3，4，5 的 5 张观光券所有分给 4 人，每人至少 1 张，假如分给同一人的 2 张观光券连号，那么不一样的分法种数是96．【剖析】求出 5 张观光券所有分给 4 人，每人起码 1 张，假如分给同一人的2张观光券连号的组数，而后分给 4 人摆列即可．【解答】解： 5 张观光券所有分给 4 人，分给同一人的 2 张观光券连号，方法数为： 1 和 2， 2 和 3，3 和 4， 4 和 5，四种连号，其余号码各为一组，分给 4 人，共有 4×=96 种．故答案为： 96．【评论】本题考察摆列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的重点，考察剖析问题解决问题的能力．13．（ 5 分）向量，，在正方形网格中的地点以下图，若（λ，μ∈R），则= 4．【剖析】以向量、的公共点为坐标原点，成立如图直角坐标系，获得向量、、的坐标，联合题中向量等式成立对于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可获得的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，成立如图直角坐标系可得=（﹣ 1，1）， =（6，2）， =（﹣ 1，﹣ 3）∵∴，解之得λ=﹣2 且μ=﹣所以，==4故答案为： 4【评论】本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，侧重考察了平面向量的坐标运算法例和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．14．（ 5 分）如图，在棱长为2的正方体 1 1 11 中，E为BC的中点，点ABCD﹣A B C DP 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为．【剖析】以下图，取 B1C1的中点 F，连结 EF，ED1，利用线面平行的判断即可获得 C1C∥平面 D1EF，从而获得异面直线D1E 与 C1C 的距离．【解答】解：以下图，取B1C1的中点 F，连结 EF， ED1，∴CC1∥ EF，又 EF? 平面 D1EF，CC1?平面 D1EF，∴ CC1∥平面 D1 EF．∴直线 C1C 上任一点到平面 D1EF的距离是两条异面直线 D1E 与 CC1的距离．过点 C1作 C1M⊥D1F，∵平面 D1EF⊥平面 A1 B1C1D1．∴C1M ⊥平面 D1EF．过点 M 作 MP∥EF交 D1E 于点 P，则 MP∥C1C．取 C1N=MP，连结 PN，则四边形 MPNC1是矩形．可得 NP⊥平面 D1EF，在 Rt△D中，，得=．1C1F C1M?D1F=D1C1?C1 F∴点 P 到直线 CC1的距离的最小值为．故答案为【评论】娴熟掌握经过线面平行的性质即可获得异面直线的距离是解题的重点．三、解答题共 6 小题，共 50 分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（ 13 分）在△ ABC中， a=3，b=2，∠ B=2∠A．（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 c 的值．【剖析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得 c 的值，再进行查验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ ABC中， a=3，，∠ B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得 cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2 =b2+c2﹣2bc?cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣ 8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当 c=3 时，此时 a=c=3，依据∠ B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°，△ ABC是等腰直角三角形，但此时不知足 a2+c2=b2，故舍去．当 c=5 时，求得 cosB==，cosA==，2∴ cos2A=2cosA﹣1==cosB，∴ B=2A，知足条件．综上， c=5．【评论】本题主要考察正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c=3 舍去，这是解题的易错点，属于中档题．16．（13 分）如图是展望到的某地5 月1 日至14 日的空气质量指数趋向图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优秀，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天抵达该市，并逗留 2 天（Ⅰ）求这人抵达当天空气量良的概率；（Ⅱ） X 是这人逗留期空气量良的天数，求X 的散布列与数学希望（Ⅲ）由判断从哪天开始三天的空气量指数方差最大？（不要求明）【剖析】（Ⅰ）由出 13 天内空气量指数小于 100 的天数，直接利用古典概型概率算公式获得答案；（Ⅱ）由意可知 X 所有可能取 0，1，2，得出 P（X=0），P（X=1），p（x=2）及散布列与数学希望；（Ⅲ）因方差越大，明三天的空气量指数越不定，由直接看出答案．【解答】解： A i表示事件“这人于 5 月 i 日抵达地”（ i=1， 2，⋯，13）依照意 P（A i）=，A i∩A j=?（i≠j）（Ⅰ） B 表示事件“这人抵达当天空气量良”，P（B）=⋯（3分）（Ⅱ） X 的所有可能取0，1，2P（X=0） =，P（X=1） =，P（X=2） =⋯（6 分）∴ X 的散布列X 012P⋯（8 分）∴ X 的数学希望 E（ X） =⋯（11 分）（Ⅲ）从 5 月 5 日开始三天的空气量指数方差最大．⋯（13 分）【点】本考了正确理解意及的能力、古典概型的概率算、随机量的散布列及数学希望与方差，考了数形合的思想方法及与算的能力．17．（ 14 分）如，在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1C1C 是 4 的正方形．平面 ABC⊥平面 AA1C1C， AB=3， BC=5．（Ⅰ）求： AA1⊥平面 ABC；（Ⅱ）求二面角 A1 BC1 B1的余弦；（Ⅲ）证明：在线段 BC1上存在点 D，使得 AD⊥A1，并求的值．B【剖析】（I）利用 AA1C1C 是正方形，可得 AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得 AB⊥AC．经过成立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可获得二面角；（III）设点 D 的竖坐标为 t，（0＜t ＜4），在平面 BCC1B1中作 DE⊥ BC于 E，可得D，利用向量垂直于数目积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵ AA1C1C 是正方形，∴ AA1⊥AC．又∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C，平面 ABC∩平面 AA1 C1C=AC，∴AA1⊥平面 ABC．（II）解：由 AC=4，BC=5，AB=3．222∴ AC+AB =BC，∴ AB⊥AC．成立以下图的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面 A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2， z2）．则，令 y1=4，解得 x1=0， z1 =3，∴．，令 x2，解得2，2，∴．=3y =4 z =0===．∴二面角 A1﹣BC1﹣ B1的余弦值为．（ III）设点 D 的竖坐标为 t，（0＜t ＜4），在平面 BCC1B1中作 DE⊥ BC于 E，可得D，∴=，=（0，3，﹣ 4），∵，∴，∴，解得 t=．∴．【评论】本题综合考察了线面垂直的判断与性质定理、面面垂直的性质定理、经过成立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数目积得关系等基础知识与基本方法，考察了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（ 13 分）设 l 为曲线 C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求 l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点（ 1，0）以外，曲线 C 在直线 l 的下方．【剖析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，能够求解；（Ⅱ）利用导数剖析函数的单一性，从而剖析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l 的斜率 k=y′|x=1=1∴l 的方程为 y=x﹣1证明：（Ⅱ）令 f （x） =x（x﹣1）﹣ lnx，（x＞ 0）曲线 C 在直线 l 的下方，即 f（ x） =x（x﹣1）﹣ lnx＞0，则 f ′（x） =2x﹣1﹣ =∴ f（x）在（ 0， 1）上单一递减，在（ 1，+∞）上单一递加，又f（ 1） =0∴ x∈（ 0， 1）时， f（x）＞ 0，即＜x﹣1x∈（ 1，+∞）时， f （x）＞ 0，即＜x﹣1即除切点（ 1，0）以外，曲线 C 在直线 l 的下方【评论】本题考察的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单一性，是导数的综合应用，难度中档．19．（ 14 分）已知 A，B，C 是椭圆 W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点 B 是 W 的右极点，且四边形 OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点 B 不是 W 的极点时，判断四边形 OABC能否可能为菱形，并说明原因．【剖析】（I）依据 B 的坐标为（ 2， 0）且 AC 是 OB 的垂直均分线，联合椭圆方程算出 A、 C 两点的坐标，从而获得线段 AC 的长等于．再联合 OB 的长为 2 并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形 OABC的面积；（II）若四边形 OABC为菱形，依据 | OA| =| OC| 与椭圆的方程联解，算出 A、C 的横坐标知足=r2﹣1，从而获得 A、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种状况加以议论，即可获得当点 B 不是 W 的极点时，四边形 OABC不行能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形 OABC为菱形， B 是椭圆的右极点（ 2，0）∴直线 AC是 BO 的垂直均分线，可得 AC方程为 x=1设 A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴ A 的坐标为（ 1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）第 18 页（共 21 页）所以， | AC| =，可得菱形OABC的面S= | AC| ?| BO| =；（II）∵四形 OABC菱形，∴ | OA| =| OC| ，| OA| =| OC| =r（r ＞1），得 A、 C 两点是 x2+y2 =r2与的公共点，解之得=r21A、C 两点横坐分x1、x2，可得 A、 C 两点的横坐足x1=x2=?，或x1=?且x2=?，①当 x1=x2=?，可得若四形OABC菱形， B 点必然是右点（2，0）；②若 x1=?且x2=?，x1+x2=0，可得 AC的中点必然是原点O，所以 A、O、C 共，可得不存在足条件的菱形OABC上所述，可适当点 B 不是 W 的点，四形OABC不行能菱形．【点】本出方程，探了以坐原点 O 一个点，其余三个点在上的菱形，侧重考了菱形的性、的准方程与几何性等知，属于中档．20．（ 13 分）已知 { a n} 是由非整数成的无数列，数列前n 的最大A n，第 n 以后各 a n+1，a n+2⋯的最小n，d n nB n．B=A（Ⅰ）若 { a n} 2，1，4，3，2，1，4，3⋯，是一个周期 4 的数列（即随意 n∈N*，a n=a n），写出 d1，d2，d3， d4的；+4（Ⅱ） d 是非整数，明： d n = d（n=1，2，3⋯）的充足必需条件 { a n} 是公差 d 的等差数列；（Ⅲ）明：若a1=2， d n=1（n=1， 2， 3，⋯）， { a n} 的只好是 1 或许 2，且有无多 1．【剖析】（Ⅰ）依据条件以及 d n =A n B n的定，直接求得 d1，d2，d3，d4的．（Ⅱ） d 是非整数，若 { a n} 是公差 d 的等差数列， a n=a1+（ n 1） d，从而得 d n=A n B n= d，（n=1，2，3，4⋯）．若 d n=A n B n= d，（ n=1，2，3，4⋯）．可得 { a n} 是一个不减的数列，求得 d n=A n B n = d，即 a n+1 a n =d，即 { a n} 是公差 d 的等差数列，命得．（Ⅲ）若 a1=2，d n=1（n=1， 2， 3，⋯）， { a n } 的不可以等于零，再用反法得到 { a n} 的不可以超 2，从而得命．【解答】解：（Ⅰ）若 { a n }2，1，4，3， 2，1， 4， 3⋯，是一个周期 4 的数列，∴ d1=A1B1 =2 1=1，d2=A2B2 =2 1=1， d3=A3B3=4 1=3，d4=A4B4=4 1=3．（Ⅱ）充足性： d 是非整数，若 { a n} 是公差 d 的等差数列，a n=a1+（n 1） d，∴A n=a n=a1+（n 1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴ d n=A n B n = d，（n=1， 2， 3， 4⋯）．必需性：若d n =A n B n= d，（ n=1，2， 3，4⋯）．假 a k是第一个使 a k a k﹣1＜0的，d k=A k B k=a k﹣1 B k≥ a k﹣1 a k＞ 0，与 d n= d≤0 相矛盾，故 { a n} 是一个不减的数列．∴d n=A n B n=a n a n+1= d，即 a n+1 a n=d，故 { a n} 是公差 d 的等差数列．（Ⅲ）明：若 a1=2，d n=1（n=1， 2， 3，⋯），第一， { a n} 的不可以等于零，否d1=2 0=2，矛盾．并且能获得 { a n} 的不可以超 2，用反法明以下：假 { a n} 的中，有超 2 的， a m是第一个大于 2 的，因为 { a n} 的中必定有 1，否与d1=1 矛盾．当 n≥m ， a n≥2，否与 d m=1 矛盾．所以，存在最大的 i 在 2 到 m 1 之，使 a i=1，此，d i =A i B i=2 B i≤2 2=0，第 20 页（共 21 页）矛盾．综上， { a n} 的项不可以超出 2，故 { a n} 的项只好是 1 或许 2．下边用反证法证明 { a n } 的项中，有无量多项为1．若 a k是最后一个 1，则 a k是后边的各项的最小值都等于2，故 d k=A k﹣ B k=2﹣2=0，矛盾，故 { a n} 的项中，有无量多项为1．综上可得， { a n} 的项只好是 1 或许 2，且有无量多项为1．【评论】本题主要考察充足条件、必需条件的判断和证明，等差关系确实定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．第 21 页（共 21 页）。
2013年全国高考理科数学试题及答案-北京卷
2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.1B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y= C.12y x =±D.2y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83D.38.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB=.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC1的距离的最小值为.三、解答题共6小题，共80分。
2013年高考试题及解析：理科数学(北京卷)_中小学教育网
2013北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}【答案】B【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】.【难度】容易【点评】本题考察简易逻辑关系，.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，例题中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合、简易逻辑相关知识的总结讲解.4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.1B.23C.1321D.610987【答案】C 【解析】【难度】中等【点评】本题算法初步。
在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。
5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= ( ) A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --【答案】D 【解析】【难度】中等【点评】本题考查分段函数值域求解。
2013年北京市高考数学试卷(理科)附送答案
2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣16．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C． D．7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．8．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n项和S n=．11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=．12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．19．（14分）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．20．（13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4=a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．2013年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B2．（5分）（2013•北京）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选D．3．（5分）（2013•北京）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选A．4．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．5．（5分）（2013•北京）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y 轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．6．（5分）（2013•北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．C． D．【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．7．（5分）（2013•北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A．B．2 C．D．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（x﹣）|=．故选：C．8．（5分）（2013•北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于1．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1，故答案为：1．10．（5分）（2013•北京）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= 2；前n项和S n=2n+1﹣2．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴，解得．∴==2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．11．（5分）（2013•北京）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=4．【分析】由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．【解答】解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB，∴32=9x•（9x+16x），化为，∴．∴PD=9x=，PB=25x=5．∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．∴==4．故答案分别为，4．12．（5分）（2013•北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．13．（5分）（2013•北京）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=4．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：414．（5分）（2013•北京）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，∴CC1∥EF，又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．可得NP⊥平面D1EF，在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得=．∴点P到直线CC1的距离的最小值为．故答案为三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．16．（13分）（2013•北京）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2， (13)依据题意P（A i）=，A i∩A j=∅（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=…（3分）（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=…（6分）∴X的分布列为X012P…（8分）∴X的数学期望为E（X）=…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）17．（14分）（2013•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．18．（13分）（2013•北京）设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l的斜率k=y′|x=1=1∴l的方程为y=x﹣1证明：（Ⅱ）令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，则f′（x）=2x﹣1﹣=∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即＜x﹣1x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即＜x﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方19．（14分）（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|BO|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．20．（13分）（2013•北京）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4=a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【分析】（Ⅰ）根据条件以及d n=A n﹣B n 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．（Ⅱ）设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，从而证得d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{a n}是一个不减的数列，求得d n=A n﹣B n=﹣d，即a n+1﹣a n=d，即{a n}是公差为d的等差数列，命题得证．（Ⅲ）若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项不能等于零，再用反证法得到{a n}的项不能超过2，从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n ﹣1）d，∴A n=a n=a1+（n﹣1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．必要性：若d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项，则d k=A k﹣B k=a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0，这与d n=﹣d≤0相矛盾，故{a n}是一个不减的数列．∴d n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣d，即a n+1﹣a n=d，故{a n}是公差为d的等差数列．（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），首先，{a n}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n}的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n}的项中，有超过2的，设a m是第一个大于2的项，由于{a n}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．当n≥m时，a n≥2，否则与d m=1矛盾．因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使a i=1，此时，d i=A i﹣B i=2﹣B i≤2﹣2=0，矛盾．综上，{a n}的项不能超过2，故{a n}的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n}的项中，有无穷多项为1．若a k是最后一个1，则a k是后边的各项的最小值都等于2，故d k=A k﹣B k=2﹣2=0，矛盾，故{a n}的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．。
2013年北京高考数学试卷(文、理)及答案
绝密★启封前 机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B = 【 】 A ．{}0 B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，， （2）在复平面内，复数()22i -对应的点位于【 】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的【 】A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为【 】A ．1B ．23C ．1321 D ．610987（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =【 】A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --（6）若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为【 】A ．2y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．22y x =±（7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于【 】否是结束输出S i ≥2i =i +1S =S 2+12S +1i =0, S =1开始A ．43B ．2C ．83D ．1623（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是【 】A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ．（11）如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = ．（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ． （14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤（15）本小题共（13分）BAPD OabcEP D CB AC 1B 1A 1D 1在ABC △中，3a =，26b =，2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．（16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．空气质量指数日期14日13日12日11日10日9日8日7日6日5日4日3日2日1日03779861581211602174016022014357258650100150200250（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值.（18）（本小题共13分） 设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．C 1B 1A 1ABC（19）（本小题共14分）已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.（20）（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++ 的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=），写出1234,,,d d d d 的值;（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-= 的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列;（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n == ，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线112y x=-上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线112y x=-上方，且(-m，m)在直线112y x=-下方，解不等式组1211212112m mm mm m⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m＜23-绝密★启封前 机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
新领航教育特供：北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考 理科数学
则 A B 0 ， | OA || AB | ， C C
3 2
（B） 3
（C） 3
（D） 2 3
OB OC CO ， 即 O 时 BC 的 中 点 ， 所 以 BC 为 外 接 圆 的 直 径 , BC 2 。 则 A ， 所 以 ABO 为 正 三 角 形 ， 所 以 B BAC 90 ， 因 为 O A
A B O 0 , A CB 0 ， 6 3
C A Cc
且
AC 3
，
所
以
B o
3 s C 2
3，选 C.0 A C
( x 2) ( x 2)
2B
3
3
1 8、定义在 R 上的函数 f ( x) x 2 1
2
1 5 ， 2
/wxxlhjy -2-
QQ:157171090
小升初
中高考
高二会考
艺考生文化课
一对一辅导 （教师版）
选 D. 7、 ABC 外接圆的半径为 1， △ 圆心为 O ， 2O B C 且 A A A 等于 （A） 【答案】C 【 解 析 】 由 2OA AB AC 0 得 OA AB OA AC OB OC 0 ， 所 以
{an 2 } 是等差数列，且以 a12 1 为首项，公差
d a22 a12 4 1 3 ， 所 以 数 列 的 通 项 公 式 为 an2 1 3(n 1) 3n 2 ， 所 以 a62 3 6 2=16 ，即 a6 4 。选 D.
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北师特学校2013年高考模拟演练
理科数学试卷 2013.5
一、选择题：
1. 已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A
B =R ，那么m 的值可以是
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 2. 在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =
（A ）
116
（B ）
18 （C ）14
（D ）
1
2
3. 在极坐标系中，过点3(2,
)2
π
且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ=
4. 已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a
（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）4 5. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
6. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是
（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48
7.
设不等式组表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点.则此点到坐标原点
的距离小于2的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
2
n n =
31n n =+
开始 n =5，k =0 n 为偶数
n =1
输出k
结束 k =k +1
是 否
是
否
8．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ） （A ）25 （B ）26 （C ）27 （D ）42
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9. 复数
2i
1i
a +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . 10. 过双曲线
22
1916
x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 11. 若1tan 2α=
，则cos(2)απ
2
+= . 12．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒
∠=，3AC =，
4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则
BD = ；CD =______．
13．已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的
取值范围是_______
14． 在△ABC 中，2BC =，7AC =，3
B π
=
，则AB =______；△ABC 的面积是______． 15. （本小题满分13分）
已知函数21
()3sin cos cos 2222
x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别
为,,a b c .
（I ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()1,f B C +=3,1a b ==，求角C 的大小. 16．（本小题满分13分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
5
3
，
乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率． 17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，
12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值. 18．已知函数2
()(2)e x
a
f x x ax =-，其中a 为常数.
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点())0(,0f 处的切线方程; （II ）求函数()f x 的单调区间.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点2(1,)2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 20．（本小题共13分）
数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
北师特学校2013年高考模拟演练
理科数学答题纸
一．选择题: (本大题共8小题，每小题5分，共40分。
）
题号： 1 2 3 4 5 6 7 8
答案：______；______；______；______；______；______；______；______ 二．填空题:(本大题共6小题，每小题5分，共30分。
）
9，_______________；10，________________；11，___________________
12，______________；13，_____________；14，_____________，_____________。
三，解答题
15.（本题13分）
16.（本题14分)
19.（本题14分）
20.(本题13分)。