专题09 不等式(原卷版)
专题09导数与不等式的解题技巧
专题09导数与不等式的解题技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII专题导数与不等式的解题技巧一．知识点基本初等函数的导数公式()常用函数的导数①()′＝(为常数); ②()′＝；③()′＝；④′＝；⑤()′＝．()初等函数的导数公式①()′＝；②( )′＝；③( )′＝；④()′＝；⑤()′＝；⑥( )′＝；⑦()′＝．．导数的运算法则()[()±()]′＝；()[()·()]′＝；()′＝．．复合函数的导数()对于两个函数＝()和＝()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数(函数＝()和＝())的复合函数为＝(())．()复合函数＝(())的导数和函数＝()，＝()的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．二．题型分析（一）函数单调性与不等式例．【一轮复习】已知函数()＝＋，∈(－，)，则满足(－)＋(－)>的的取值范围是( )．(，) ．(，) ．(，) ．(，)【答案】【分析】在区间（﹣，）上，由（﹣）＝﹣（），且′（）＞可知函数（）是奇函数且单调递增，由此可求出的取值范围．【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．练习．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）．．．．【答案】【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.【解读】构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，则，即，即，即，又，即，即，故错误的是．故选：．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.（二）函数最值与不等式例．【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）．．．．【答案】【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可.（四）不等式中存在任意问题例．【安徽省皖南八校届高三第二次（月)联考数学】已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是．．．．【答案】【解读】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得.【详解】对于，，使得,等价于，因为是增函数，由复合函数增减性可知在上是增函数，所以当时，，令，则，若时，，，所以只需，解得.若时，，，所以只需，解得.当时，成立.综上，故选.练习.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）．．．．【答案】【解读】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试卷.练习．函数，，若对，，，则实数的最小值是．【答案】【解读】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数（），（）的最值，将问题转为求（）≥（）即可．【详解】，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需（）≥（）即，故答案为：.练习．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是．【答案】【解读】存在，使得对任意的，恒成立，即，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由，可求得的范围；【详解】的定义域为，，当时，，，为增函数，所以；若存在，使得对任意的，恒成立，即，，当时，为减函数，，∴，，∴故答案为：.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
微专题09 导数解答题之恒成立问题(原卷版)
微专题09 导数解答题之恒成立问题 秒杀总结 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）xD，minmfxmfx； （2）xD，maxmfxmfx； （3）xD，maxmfxmfx； （4）xD，minmfxmfx.
3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数yfx，,xab，ygx，,xcd.
（1）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则maxminfxgx； （2）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则maxmaxfxgx； （3）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则minmaxfxgx； （4）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则fx的值域是gx的值域的子集. 例1．（江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考数学（理）试题）已知函数2()esin,()31xfxxxgxaxx．
(1)求
fx在x＝0处的切线方程；
(2)当0x时，
()()fxgx
恒成立，求a取值范围．
例2．（苏教版（2019）选修第一册突围者第5章第三节课时3最大值与最小值）已知函数sincosxfxexx，sincosxgxexx．
专题9 分式方程实际应用的三种考法(原卷版)(人教版)
专题09 分式方程实际应用的三种考法类型一、销售利润问题例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的54倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元．(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的32；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同．(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同．(1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，且购进电冰箱不多于40台，请确定获利最大的方案以及最大利润．（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调(0100)k k <<元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a 元(6080)a <<出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？类型二、方案问题例．某商店决定购进A 、B 两种纪念品．已知每件A 种纪念品的价格比每件B 种纪念品的价格多5元，用800元购进A 种纪念品的数量与用400元购进B 种纪念品的数量相同．（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？（3）已知商家出售一件A 种纪念品可获利m 元，出售一件B 种纪念品可获利（6﹣m ）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价1000元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年这种产品每件售价多少元？（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为3500元；产品乙每件进价为3000元，售价3600元，公司预计用不多于5万元且不少于4.9万元的资金购进这两种产品共15件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．类型三、工程问题例．为稳步推进5G网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与5G基站建设工程．（1）已知乙队的工作效率是甲队的1.5倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用20天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工20天完成5G基站建设工程的13时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前25天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成．（1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？（2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的56时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的13施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了15．设乙工程队平均每天施工a米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a和施工的天数．【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a b）．现在有两种施工改造方案：方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务．问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米．（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时．（2）列出方程，完成本题解答．祝福语祝你考试成功!。
专题09 圆心角、圆周角压轴题八种模型全攻略(原卷版)
专题09圆心角、圆周角压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】 (1)【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】 (2)【考点三圆周角定理】 (3)【考点四同弧或等弧所对的圆周角相等】 (4)【考点五半圆(直径)所对的圆周角是直角】 (5)【考点六90度的圆周角所对的弦是直径】 (6)【考点七已知圆内接四边形求角度】 (7)【考点八求四边形外接圆的直径】 (8)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，70AC AD AOD =∠=︒，，则BCO ∠的度数是（）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．55︒【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A ，B ，C 在O 上，40BAC ∠︒=，则BOC ∠的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．50︒D ．100︒2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知O 的半径OA ，OB ，C 在AB 上，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ，且CD CE =，求证： AC BC=．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．【考点三圆周角定理】【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，与线段OB相交于点2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点 于点D，连接OA，则交O【考点四同弧或等弧所对的圆周角相等】例题：（2022秋·浙江嘉兴的度数为【变式训练】2．（2023春·江西上饶的延长线与CB的延长线交于点【考点五半圆(直径)所对的圆周角是直角】【变式训练】1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果30ACD ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数．(2)若2AD =，求DB 的长．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上的点，且∥OD BC ，AC 分别与BD ，OD 相交于点E ，F ．(1)求证：点D 为弧AC 的中点；(2)若4DF =，16AC =，求O 的直径．【考点六90度的圆周角所对的弦是直径】【变式训练】1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在动点，连接CD ，过点B 作BE 2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形接AF ，过点B 作BE ⊥【考点七已知圆内接四边形求角度】【变式训练】1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）的度数是．2．（2023·江苏·九年级假期作业）∠的度数为．则DAB【考点八求四边形外接圆的直径】A ．3【变式训练】1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，O 为正方形ABCD 的外接圆，若2BC =，则O 的面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．8π2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD 内接于O ，:2:1,2ABC ADC AB ∠∠==，点C 为 BD的中点，延长AB 、DC 交于点E ，且60E ∠=o ，则O 的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【过关检测】一、单选题1．（21·22上·肇庆·期末）如图，点B ，C ，D 在O 上，若35BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是（）A ．75︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒2．（17·18上·南通·期中）如图，四边形ABCD 内接O ，AC 平分BAD ∠，则下列结论正确的是（）A ．AB AD =B ．BC CD =C ． AB AD =D ．BCA DCA∠=∠3．（23·24上·广州·期中）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，59ABD ∠=︒，则C ∠等于（）A ．36︒B ．31︒C ．59︒D ．62︒4．（23·24上·大同·阶段练习）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点，若8AC =，OD BC ⊥于点D ．则OD 长为（）A ．AC 平分BAD∠C ．若60BAD ∠=︒，则二、填空题6．（23·24上·滨海新·期中）如图，7．（23·24上·西城·期中）如图，四边形︒．8．（23·24上·盐城·阶段练习）如图，四边形分DBE ∠，若4cm AE =9．（22·23下·襄阳·模拟预测）半径长为三、解答题11．（23·24上·南京·阶段练习）如图，在O 中，弦AC ，BD 相交于点E ， AB BC CD==．(1)求证AC BD =；(2)连接CD ，若30BDC ∠=︒，则BEC ∠的度数为________°．12．（23·24上·温州·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 为BC 中点，以AD 为直径作O ，分别交AB BC ，于点E ，F ．(1)求证：AE BE =；(2)若8AB =，6AC =，求DF 的长．13．（23·24上·南京·阶段练习）如图，在O 的内接四边形ABCD 中，DB DC =，DAE ∠是四边形ABCD 的一个外角．(1)若75DAE ∠=︒，则DAC ∠=______︒；(2)过点D 作DE AB ⊥于E ，判断AB 、AE 、AC 之间的数量关系并证明．14．（23·24上·扬州·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：(1)如图1，点A 、B 、C 在O 上，点D 在O 外，线段AD 、CD 与O 交于点E 、F ，试猜想B D ∠+∠______180︒（请填“>”、“<”或“=”），(2)如图2，点A 、B 、C 在O 上，点D 在O 内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；(3)如图3，凸四边形ABCD 中，对角线BD 长为8，30A ∠=︒，150C ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值是______.(1)如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形．求美角BAD ∠(2)在（1）的条件下，若O 的半径为4．①求BD 的长；②连接CA ，若CA 平分BCD ∠，如图2，请判断BC 、(1)如图1，点E 在线段CD 上，AD AE =，求证：ACE BCD △∽△；(2)如图2，AB 是O 的直径，点C 在O 上，射线CD 交O 于点F ．若(3)如图3，若点,,A C D 在O 上，CB 交O 于点G ．若,AB kAC ACB =∠的式子表示）。
专题09导数与不等式的解题技巧
专题导数与不等式的解题技巧一．知识点基本初等函数的导数公式()常用函数的导数①()′＝(为常数); ②()′＝；③()′＝；④′＝；⑤()′＝．()初等函数的导数公式①()′＝；②( )′＝；③( )′＝；④()′＝；⑤()′＝；⑥( )′＝；⑦()′＝．．导数的运算法则()[()±()]′＝；()[()·()]′＝；()′＝．．复合函数的导数()对于两个函数＝()和＝()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数(函数＝()和＝())的复合函数为＝(())．()复合函数＝(())的导数和函数＝()，＝()的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．二．题型分析（一）函数单调性与不等式例．【一轮复习】已知函数()＝＋，∈(－，)，则满足(－)＋(－)>的的取值范围是( )．(，) ．(，) ．(，) ．(，)【答案】【分析】在区间（﹣，）上，由（﹣）＝﹣（），且′（）＞可知函数（）是奇函数且单调递增，由此可求出的取值范围．【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．练习．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）．．．．【答案】【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.【解读】构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，则，即，即，即，又，即，即，故错误的是．故选：．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.（二）函数最值与不等式例．【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）．．．．【答案】【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可.（四）不等式中存在任意问题例．【安徽省皖南八校届高三第二次（月)联考数学】已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是．．．．【答案】【解读】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得.【详解】对于，，使得,等价于，因为是增函数，由复合函数增减性可知在上是增函数，所以当时，，令，则，若时，，，所以只需，解得.若时，，，所以只需，解得.当时，成立.综上，故选.练习.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）．．．．【答案】【解读】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试卷.练习．函数，，若对，，，则实数的最小值是．【答案】【解读】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数（），（）的最值，将问题转为求（）≥（）即可．【详解】，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需（）≥（）即，故答案为：.练习．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是．【答案】【解读】存在，使得对任意的，恒成立，即，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由，可求得的范围；【详解】的定义域为，，当时，，，为增函数，所以；若存在，使得对任意的，恒成立，即，，当时，为减函数，，∴，，∴故答案为：.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
专题09含参数的二元一次方程组(四大题型)(原卷版)
专题09 含参数的二元一次方程组（四大题型）【题型1 已知方程组的解，求相关字母的值】【题型2遮挡问题】【题型3 相同的解】【题型4 错解】【题型1 已知方程组的解，求相关字母的值】【典例1】已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（）A．1B．2C．﹣1D．0【变式11】已知是方程2x+m+y＝0的一个解，那么m的值是（）A．3B．1C．﹣3D．﹣1【变式12】已知是二元一次方程ax+y＝5的一个解，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5【变式13】已知是方程ax﹣y＝5的一个解，那么a的值为（）A．﹣2B．2C．3D．6【变式14】已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【变式15】若是二元一次方程组的解，则x+2y的算术平方根为（）A．9B．±3C．D．3【典例2】如果将二元一次方程组，的第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？【变式21】芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙，则⊗与⊙表示的数分别是（）A．B．C．D．【变式22】方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（）A．1、2B．1、5C．5、1D．2、4【变式23】小莉给小明出了一道数学题：“如果将解为的二元一次方程组的第一个方程中y的系数遮住，再将第二个方程中x的系数遮住，那么你能求出原来的方程组吗？”请你帮小明完成该题．【变式24】小颖解出了方程组的解为，由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●、▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？【典例3】已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2的值．【变式31】方程组与有相同的解，求a、b及方程组的解．【变式32】若方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．【变式33】已知方程组和有相同的解，求a、b的值．【变式34】已知关于x、y的方程组和的解相同．（1）求这个相同的解；（2）求a﹣b的值．【题型4 错解】【典例4】甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求a、b、c、d．【变式41】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．（1）甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．【变式42】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．（1）求a、b的值；（2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？【变式43】在解方程组时，哥哥正确地解得，弟弟因把c写错而解得．求：（1）a+b+c的值．（2）哥正确地解得，弟弟因把c写错而解得，【变式44】辨析探究题已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能求出a，b的值吗？。
专题09 难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题五种模型全攻略(原卷版)
专题09难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】 (1)【考点二数轴上的动点中求定值问题】 (3)【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】 (5)【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】 (7)【考点五数轴上的动点规律探究问题】 (9)【典型例题】【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】例题：（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图数轴上有两个点A B 、，分别表示的数是2 ，4．请回答以下问题：(1)A 与B 之间距离为___________；(2)若点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度向右作匀速运动，点Q 从B 出发，以每秒3个单位长度的速度向右作匀速运动，P Q ，同时运动，设运动的时间为t 秒；①当点P 运动多少秒时，点P 和点Q 重合？②当点P 运动多少秒时，P Q ，之间的距离为3个单位长度？【变式训练】1．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）已知如图，数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运(1)数轴上点A表示的数为，点t=秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？(1)当4(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．【考点二数轴上的动点中求定值问题】(1)如图，求线段AB的长；【变式训练】1．阅读下面的材料：（＞），则线段AB的长（点A到点B的距离）如图①，若线段AB在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b b a=-．可表示为AB b a(1)点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：【变式训练】1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．，为数轴上的两个点，点A表示的数是60-，点B表示的数是20．2．如图，已知A B(1)直接写出线段AB的中点C对应的数；BD=，直接写出点D对应的数；(2)若点D在数轴上，且30(3)若熊大从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点B出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点E处相遇，求点E对应的数；(4)若熊大从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点B出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点F对应的数．-，3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是90点B表示的数是30．(1)直接写出线段AB的中点C对应的数；BD=，直接写出点D对应的数；(2)若点D在数轴上，且50(3)若李明从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时王聪从点B出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点E处相遇，求点E对应的数；(4)若李明从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时王聪从点B出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求李明所在位置点F对应的数．【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】填空：因为12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和，而当点【变式训练】【考点五数轴上的动点规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k0处，第一步从k0向左跳一个单位到k1，第二步从k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2处向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位k4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k0表示的数是（）A．0B．100C．50D．﹣50【变式训练】3．（2022秋·七年级课时练习）如图，数轴上O、。
2024–2025学年初升高数学(全国通用)专题09 预备知识九：函数的概念(原卷版)
专题09预备知识九：函数的概念1、学会运用集合语言表示函数，理解函数的定义及构成要素，会求解简单函数的定义域和值域2、掌握函数相等与判定的方法知识点一：函数的概念1、初中学习的函数的传统定义设在一个变化的过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就有唯一确定的一个y 值与之对应，那么我们就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.2、函数的近代定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作()y f x =，x A ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集.函数的四个特征：①非空性：A ，B 必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.知识点二：函数的三要素1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．2、对应关系：对应关系f 是函数的核心，它是对自变量x 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域(range).知识点三：函数相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.知识点四：区间的概念1区间的概念设a ，b 是实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的全体，叫做闭区间，记作[,]a b ，即，[,]{|}a b x a x b =≤≤。
专题09平面直角坐标系与函数基础(原卷版)
主题三函数专题09 平面直角坐标系与函数基础目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一不等式的性质►考向二不等式的解集►考向三在数轴上表示不等式的解集►考向四解一元一次不等式►考向五一元一次不等式的整数解►考向六一元一次不等式的应用►考向七解一元一次不等式组►考向八一元一次不等式组的整数解►考向九一元一次不等式组的应用最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标；2. 在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；3. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；4. 结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例；5. 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；6. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值；7. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系；8. 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．该版块内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2024年各地中考还将出现，在选填题中出现的可能性较大.►考向一点的坐标解题技巧/易错易混/特别提醒1.有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．2.确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．1．（2023•丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A．（a，b）B．（﹣a，b）C．（﹣a，﹣b）D．（a，﹣b）3．（2023•衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为．►考向二规律型：点的坐标4．（2023•日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A i（x i，y i），其中i＝1，2，3，⋯，n，⋯，且x i，y i是整数．记a n＝x n+y n，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，⋯，以此类推．则下列结论正确的是（）A．a2023＝40 B．a2024＝43C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣45．（2023•泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是．►考向三坐标与图形性质解题技巧/易错易混/特别提醒1．象限角平分线上的点的坐标特征：（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．6．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）7．（2023•台湾）如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（）A．a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3►考向四函数关系式（2022•益阳）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）8．x…﹣1 0 1 2 …y…﹣2 0 2 4 …9．（2022•大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x （单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（）A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30C．y＝D．y＝﹣0.1x2+30x10．（2020•台湾）如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为x元，后来的结账金额为y元，则x与y的关系式不可能为下列何者？（）A．y＝x B．y＝x+5 C．y＝x+10 D．y＝x+15►考向五函数自变量的取值范围11．（2023•牡丹江）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞112．（2023•西藏）函数中自变量x的取值范围是．13．（2023•广安）函数y＝的自变量x的取值范围是．►考向六函数的图象14．（2023•自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（）A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米C．报亭到小亮家的距离是400米D．小亮打羽毛球的时间是37分钟15．（2023•绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．16．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个►考向七动点问题的函数图象解题技巧/易错易混/特别提醒1．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．2．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．17．（2023•齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．18．（2023•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（）A．（5，5）B．（6，）C．（，）D．（，5）19．（2023•河北）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y 与x关系的图象大致是（）A．B．C．D．►考向八函数的表示方法（2020•威海）下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为．20．x…﹣1 0 1 3 …y…0 3 4 0 …21．（2022•阿坝州）在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg 按1kg计）需增加托运费0.5元．则托运x kg（x为大于1的整数）物品的费用为0.5x+1.5 元．22．（2021•永州）已知函数y＝，若y＝2，则x＝．1．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A．（3，1）B．（1，3）C．（4，1）D．（3，2）2．（2023•黄石）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞13．（2022•枣庄）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣14．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米5．（2023•滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（）A．B．C．D．6．（2023•南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A．54 B．52 C．50 D．487．（2023•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．8．（2023•辽宁）如图，∠MAN＝60°，在射线AM，AN上分别截取AC＝AB＝6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH ⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG 与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．9．（2023•绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．（2023•东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是．11．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，⋯，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是．12．（2023•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为．13．（2023•贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是．时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B （5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为．15．（2023•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．16．（2023•哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是．17．（2023•临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+的性质，得到如下结论：①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；④当x＞1时，x越大，函数值越大．其中正确的是（只填写序号）．18．（2022•上海）已知f（x）＝3x，则f（1）＝．19．（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：时间t（单位：分钟）1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升）7 12 17 22 27 … （1）探究：根据上表中的数据，请判断和y ＝kt +b （k ，b 为常数）哪一个能正确反映总水量y 与时间t 的函数关系？并求出y 关于t 的表达式；（2）应用：①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．20．（2021•浙江）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y （m /s ）与路程x （m ）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y 是关于x 的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．21．（2021•大连）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，AF ＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为．22．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x 相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m 与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．（1）点A的坐标是，△COA的面积是．（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．。
专题09 一次函数和反比例函数中的综合问题(原卷版)
专题9：一次函数和反比例函数中的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】比较大小（取值范围）问题【题型二】求三角形面积问题【题型三】与动点和三角形面积问题【题型四】与线段关系问题【题型五】与最值问题【题型六】与特殊四边形问题二、最新模考题组练【题型一】【典例分析】1．已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝2x+k（k是常数），它们的图象有一个交点A，点A的横坐标是﹣2．（1）求k的值．（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围．【提分秘籍】1．如图，正比例函数y1＝﹣3x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）点C的坐标为 ；（3）根据图象，当﹣3x＞时，写出x的取值范围．2．一次函数y1＝ax+3与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知A点坐标为（1，2）．（1）确定这两个函数的表达式；（2）若y1＞y2，求x的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1＝（k≠0）与一次函数y2＝ax+4（a≠0）的图象只有一个公共点A（2，2），直线y3＝mx（m≠0）也过点A．（1）求k、a及m的值；（2）结合图象，写出y1＞y2＞y3时x的取值范围．【题型二】【典例分析】1.如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）连接PD，求△CPD的面积；（3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．【提分秘籍】【变式演练】1.如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，A（﹣2，0），C（1，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）当y1≥y2时，求x的取值范围；（3）连结DO、CO，求△COD的面积．2．如图，正比例函数y＝k1x图象与反比例函数图象交于点A（4，3），将直线OA向下平移个单位交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，连接AC，AB．（1）求正比例函数，反比例函数的解析式；（2）求三角形ABC的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数在第一象限的图象交于点C，点D，其中点C的坐标为（1，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OD，求△AOD的面积．【题型三】【典例分析】1.如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象交于点和B（﹣2，m﹣18）．（1）根据函数图象可知，当y1≤y2时，x的取值范围是 ；（2）求反比例函数和一次函数的解析式；（3）点P是x轴上一点，且△APB的面积为15，求点P的坐标．【提分秘籍】1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数y2＝（m≠0）图象交于A（4，1），B（4﹣2a，1﹣a）（a＞0）两点，与y轴交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；（3）若点D是y轴上一点，且S＝6，求点D坐标．△ABD2．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点M 在x 轴上，且△AMB 的面积为8，求点M 的坐标．3．如图，一次函数y ＝x +b 与反比例函数y ＝（x ＜0）的图象交于点A （﹣6，a ），B （﹣2，3），AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ．（1）填空：a ＝ ，b ＝ ，k ＝ ；（2）观察图象，直接写出在第二象限内，反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围；（3）点E 在线段AB 上，连接CE ，DE ，若S △ACE ＝S △BDE ，求点E 的坐标．【题型四】【典例分析】1.已知一次函数y ＝kx +b （k ，b 为常数，且k ＞0）的图象与反比例函数的图象相交于点P （2，4），与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ．（1）若x＞0，求m的值并直接写出一次函数y＝kx+b的值小于反比例函数的值时x的取值范围；（2）若PA＝2AB，求k的值．【提分秘籍】等量关系一般解题思路：利用反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征得到两个点的坐标并用含同一字母的代数式表示，再利用线段等量关系得到关于该字母的方程，然后解方程即可得到这两个点坐标．其他补充：①根据全等求线段等量关系；②根据特殊角（30°，45°，60°）求线段等量关系；③根据相似求线段等量关系；④根据三角函数求线段等量关系；【变式演练】1.如图，一次函数y＝mx+2与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C（1，c）．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线AB和双曲线y＝交于点P、Q，且PQ ＝2QD，求点D的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴交于A（2，0），B（0，﹣8）两点，且与反比例函数y＝图象的其中一个交点为P．（1）求一次函数的解析式；（2）若PB＝3AP，求m的值．3．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．（1）求直线AB的表达式；（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．【题型五】【典例分析】1．如图，一次函数y＝x+4的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点A（n，1）、点B（﹣1，m）两点．（1）求点A、点B两点的坐标和反比例函数的表达式；（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【提分秘籍】1．如图，直线AB与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC，BC交于点C（2，3），且AC交y轴于点D，连接BD．（1）当时，求此时点A，B的坐标；（2）当k为何值时，△ABD的面积最大，最大面积是多少？2．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，AB＝5，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）结合图象，直接写出不等式kx+b＜（x＞0）的解集；（3）若点E（a，6）是反比例函数y＝的图象上的点，点P是x轴上的一个动点，直接写出当PC+PE的值最小时点P的坐标．3．如图所示，直线y＝px+q与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的坐标为（﹣6，1），△AOB 的面积为8．（1）求反比例函数的关系式和直线AB的函数关系式；（2）动点P在x轴上运动，当线段PB与PA之差最大时，求点P的坐标．【题型六】【典例分析】1.如图，在▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，1）．AD∥x轴，一次函数y＝x﹣1与反比例函数的图象都经过B（﹣1，a）、D两点．（1）求k的值；（2）求平行四边形ABCD的面积．2.如图，反比例函数y＝的图象与过原点的直线y＝kx（k≠0）相交于点A、B，点A的横坐标是﹣4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）求k的值和点B的坐标；（2）若点P的坐标是（1，4），而且以点P、A、B、C为顶点的四边形为矩形时，写出点C的坐标以及此时的矩形面积；（3）设点Q是动点P关于x轴的对称点，直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，试用数学方法判断四边形PMQN 是怎样的特殊四边形．【提分秘籍】1．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．2．如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象的两个交点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．(1)求点B的坐标．(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点4．已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上．（1）求此反比例函数的解析式；=与线段AB相交，求m的取值范围．（2）若直线y mx(1)求反比例函数ky x=与一次函数(2)若点(),0P t 是x 轴负半轴上一点，过点52COQP S =四边形时，求点P (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求OPQ △面积的最大值．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．P p n在该反比例函数图象上，且它到(2)若点(),y=9．如图，已知反比例函数1(1)求n和k的值．(1)求反比例函数的表达式；(2)在x 轴上找一点P ，使PA(1)求m 、n 的值；(2)求证：CPD AEO ∽△△；(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式2kx x -＞的解集；(3)点P 为反比例函数ky x=图像的任意一点，若14．如图，一次函数()110y k x b k =+¹的图象与反比例函数(1)求一次函数和反比例函数的表达式；。
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9. 不等式
一、选择题：一共16道题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】
已知变量x, y满足约束条件13230xxyxy，则yxz2的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
2.若,0,xy，且123yx，则yx的最大值是（ ）
A. 34 B. 94 C. 98 D. 916
3.,xy满足约束条件10,1,1,xyyx则22(2)xy的最小值为（ ）
（A）322 （B）5 （C）92 （D）5
4. 设实数x，y满足约束条件,001121yxyxx则yxz3的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
5. 若实数x，y满足约束条件3403400xyxyxy，则z=3x+2y的最大值是（ ）
A．1 B．1 C．10 D．12
6．已知,xy满足约束条件020xyxyy≥≤≥，若zaxy的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
7．已知函数()(1||)fxxax．设关于x的不等式()()fxafx 的解集为A， 若11,22A， 则实数
a的取值范围是（ ）
A．15,02 B．13,02
C．15,02130,2 D．52,1
8．设()lnfxx，0ab，若()pfab，()2abqf，
1
(()())2rfafb
，则下列关系式中正确的是（ ）
A．qrp B．qrp C．prq D．prq
9．若122yx，则yx的取值范围是（ ）
A．]2,0[ B．]0,2[ C．),2[ D．]2,(
10．设正实数,,xyz满足22340xxyyz．则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．94 D．3
11．若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．222abab B．2abab C．112abab D．2baab
12．若变量,xy满足约束条件8,24,0,0,xyyxxy且5zyx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是
A．48 B．30 C．24 D．16
二.填空题：
13．已知实数x，y满足240220330xyxyxy ，则22xy的取值范围是 ．
14.已知函数()4(0,0)afxxxax在3x时取得最小值，则a__．
15.【2019天津理13】设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为 .
16.设a + b = 2， b>0， 则当a = 时， 1||2||aab取得最小值.
三.解答题
17. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】
已知函数()|2||24|fxxx
（1）解不等式()34fxx；
（2）若函数()fx最小值为a，且2(0,0)mnamn，求21+1mn的最小值.
18．【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
已知函数121fxxx．
（1）求不等式4fx≥的解集；
（2）若函数yfx图象的最低点坐标为,pq，正数a，b满足2paqb，求41ab的最小值．
19.【陕西师大附中2019-2020学年度第一学年高2020届期中考试高三年级（理科）】
函数2fxxax.
（Ⅰ）当1a 时，求不等式4fx的解集；
（Ⅱ）若对xR，1fx成立，求a的取值范围．
20．设函数2221()(2)2(2)3fxxxkxxk，其中2k，
（1）求函数()fx的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数()fx在D上的单调性；
（3）若6k，求D上满足条件()(1)fxf的x的集合（用区间表示）．
21．已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx，
（Ⅰ）求证：()0fx≤；
（Ⅱ）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
22．某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的
蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位
的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54
个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，
并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?