山东省师大附中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (word版含答案)
山东省邹平双语学校(一二区)2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
邹平双语学校2016—2017第二学期期中考试( 一二 区) 高二 年级 数学（理科）试题（时间：120分钟，分值：150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确答案，将其正确选项填入答卷页的表格中）. 1．已知复数z=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数f （x ）=x 2﹣lnx ，在（1，）处的切线斜率为（ ） A ．1B ．2C ．0D ．3．对任意的x ，有f′（x ）=4x 3，f （1）=﹣1，则此函数解析式（ ） A ．f （x ）=x 3 B ．f （x ）=x 4﹣2 C ．f （x ）=x 3+1 D ．f （x ）=x 4﹣14．sinxdx=（ ）A ．﹣2B ．0C ．2D ．15．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1=1，a n =（a n ﹣1+），由此归纳出{a n }的通项公式 6．利用数学归纳法证明+++…+＜1（n ∈N *，且n ≥2）时，第二步由k 到k +1时不等式左端的变化是（ ） A ．增加了这一项 B ．增加了和两项C ．增加了和两项，同时减少了这一项D ．以上都不对班级：____________ 姓名：_____________ 考号：________________________7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数9．函数y=f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y=f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y=f（x）的递减区间C．函数y=f（x）在x=0处取得极大值D．函数y=f（x）在x=5处取得极小值10．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=2x3﹣3x2+，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．100 B．99 C．50 D．011．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A．1：6：4 B．：12：16 C．：1： D．：6：412．设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），若g（x）的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a≤2时，，在x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（﹣1，2）上结论正确的是（）A．既有极大值，也有极小值B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值D．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答卷页的横线上.）13．由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积是．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．若，则n=．16．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）三、解答题（本题共6个小题，共70分，请将答案写在答卷页的答题处.）17．（10分）已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．18．（12分）已知z为复数，i是虚数单位，z+3+4i和均为实数．（1）求复数z；（2）若复数（z﹣mi）2在复平面上对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．19．（12分）快毕业了，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（每题都要用数字作答）（1）两名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．20．（12分）已知函数f（x）=2x3﹣6x2+1．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）在上的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间上的最大值为26，求a的值．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想a n的表达式；（2）并用数学归纳法证明你的猜想．邹平双语学校2016—2017第二学期期中考试( 一二区) 高二年级数学（理科）试题答案一．选择题（共12小题）1．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论．【解答】解：z===，∴对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算将复数进行化简是解决本题的关键，比较基础．2．函数f（x）=x2﹣lnx，在（1，）处的切线斜率为（）A．1 B．2 C．0 D．【分析】求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值，先求导函数，然后将点的横坐标代入即可求得结果．【解答】解：∵f（x）=x2﹣lnx∴f′（x）=x﹣，令x=1，即可得斜率为：k=0．故选C．【点评】本题考查了导数的几何意义，它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体，属于基础题．3．对任意的x，有f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则此函数解析式（）A．f（x）=x3B．f（x）=x4﹣2 C．f（x）=x3+1 D．f（x）=x4﹣1【分析】根据导数的运算法则，求出导数的原函数为f（x）=x4+c（c为常数），代入值计算即可得到c的值．【解答】解：∵f′（x）=4x3，∴f（x）=x4+c（c为常数），∵f（1）=﹣1，∴1+c=﹣1，∴c=﹣2，∴f（x）=x4﹣2，故选：B．【点评】本题考查了导数的基本公式，关键是求出掌握公式，属于基础题．4．sinxdx=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1【分析】由（﹣cosx）′=sinx，再利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：∵（﹣cosx）′=sinx，∴==1+1=2．故选C．【点评】正确理解微积分基本定理是解题的关键．5．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+），由此归纳出{a n}的通项公式【分析】推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．【解答】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理．故选C．【点评】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．6．利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端=+++…+，那么当n=k+1时左端=++…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选：C．【点评】本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．8．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．【点评】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．9．函数y=f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y=f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y=f（x）的递减区间C．函数y=f（x）在x=0处取得极大值2﹣（m+4）i﹣1，3﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，3﹣1，3﹣4，4﹣4，4﹣4，4﹣4，4hslx3y3h上的最大值，所以，即．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．22．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想a n的表达式；（2）并用数学归纳法证明你的猜想．【分析】（1）由题意可得S n=n2+a n．分别令n=1，2，3，即可求出a1，a2，a3的值，并猜想a n的表达式，（2）用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可【解答】解（1）：因为点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上，故=n+，∴S n=n2+a n．令n=1，得a1=1+a1，∴a1=2；令n=2，得a1+a2=4+a2，∴a2=4；令n=3，得a1+a2+a3=9+a3，∴a3=6；由此猜想：a n=2n．（2）证明：①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即：a k=2k成立，则当n=k+1时，注意到S n=n2+a n，故S k=（k+1）2+a k+1，S k=k2+a k，+1=2k+1+a k+1﹣a k，两式相减，得a k+1=4k+2﹣a k，∴a k+1由归纳假设得，a k=2k，=4k+2﹣2k=2（k+1）．故a k+1这说明n=k+1时，猜想也成立．由①②知，对一切n∈N*，a n=2n成立．【点评】本题考查了数学归纳法，通过猜想再证明的方法求数列的通项，属于中档题．。
2016-2017学年北京市师大附中高二下学期期中考试数学(理)试题 解析版
北京师大附中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数所对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】复数所对应的点在复平面的第二象限.2. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆即为圆化成直角坐标方程为，所以圆心的直角坐标为，极坐标是.3. 定积分的值为（）A. 0B.C. 2D. 4【答案】C【解析】试题分析：由题意根据定积分的性质故选C.4. 设曲线在点（0，0）处的切线方程为，则a＝（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】由题意由切线方程为可得解得点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．5. 若函数在R上可导，，则＝（）A. 1B. －1C.D.【答案】C【解析】求导得：，把代入得解得6. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据导数的几何意义，若具有T性质，则存在使或且处切线与x轴垂直.A项，，，有具有T性质，故A项正确；B项，，，切线斜率存在，不满足，不具有T性质，故B项错误；C项，，不具有T性质，故C项错误；D项，，，不具有T性质，故D项错误.7. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中曲线是原函数，直线是导函数；B中递增的为原函数，递减的为导函数；C中上面的为导函数，下面的为原函数；D中无论原函数是哪一个，导函数值都要有正有负考点：1．函数图像；2．导数与函数单调性8. 设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，则，因为对任意的，有，所以当时，，当时，，即在上递减，在上递增，因此是极小值也是最小值，即，所以，所以当时，，在中令，则有，即，所以对任意，有．故选A．考点：导数的应用，分类讨论思想．二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分.9. 若，则＝_______________.【答案】【解析】由，则＝ .点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.10. 参数方程（为参数），化为普通方程为________________.【答案】【解析】由题可得，消去参数可得.11. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为____________.【答案】4【解析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为，曲线与直线在第一象限所围成饿图形的面积是，即围成的封闭图形的面积为．考点：利用定积分求解曲边形的面积.12. 函数的单调增区间为_______________.【答案】【解析】由题函数的定义域为，又，可解得13. 已知函数的图象在点处的切线与直线＝0垂直，且函数在区间上是单调递增，则b的最大值等于___________.【答案】【解析】函数的导数为在点处的切线斜率为,由切线与直线＝0垂直,可得,即,由函数在区间上是单调递增可得在区间上恒成立,即有的最小值,由可得的最小值为.即有,由,可得.则b的最大值为.14. 对于函数，若存在区间，使得，则称函数具有性质P，给出下列3个函数：①；②；③；其中具有性质P的函数是____________（填入所有满足条件函数的序号）.【答案】②【解析】①对于函数,若正弦函数存在等值区间, 则在区间上有, 由正弦函数的值域知道, 但在区间上仅有, 所以函数不具有性质P;②对于函数,当时, ,所以函数的增区间是,,减区间是取 ,此时, ,所以函数在上的值域也为, 则具有性质P;③对于,若存在“稳定区间”,由于函数是定义域内的增函数,故有,即方程有两个解,这与y=和y=x的图象相切相矛盾.故③不具有性质P.故答案为:②.三、解答题：本大题共6道题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （1）（2）设复数z满足（i是虚数单位），求z.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)根据复数的运算性质化简即可;(2)分离出z,根据复数的运算性质计算即可.试题解析：（1）;（2）由题意可得：.16. 在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数），直线和圆C交于A，B 两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.（1）求圆心的极坐标；（2）求△P AB面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）将圆C的极坐标方程化为普通方程，即得圆心的坐标.根据极坐标的转换方法即得圆心的极坐标.（2）由直线的参数方程化为普通方程，即得圆心到直线的距离，由此可得弦长，由点P 到直线AB距离的最大值即可求出△P AB面积的最大值.试题解析：（1）圆C的普通方程为，即.所以圆心坐标为，圆心极坐标为；（2）直线的普通方程：，圆心到直线的距离，所以，点P直线AB距离的最大值为，.17. 已知函数，（其中常数）（1）当时，求的极大值；（2）试讨论在区间上的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)求得，可以得到函数的单调性，从而得到函数的极值;(2)求导数,再分，，三类情况,利用导数的正负,确定函数的单调性.试题解析：（1）当时，当时，；当时，在和上单调递减，在单调递减故（2）①当时，则，故时，；时，，此时在上单调递减，在单调递增；②当时，则，故，有恒成立，此时在（0，1）上单调递减；③当时，则，故时，；时，此时在上单调递减，在单调递增.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．18. 若函数，当时，有极小值－9.（1）求的解析式；（2）若函数，，当时，对于任意和的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)（0，2）.【解析】试题分析：(1)先求出函数的导数,得到方程组,求出a,b,从而求出函数表达式;(2)求出的表达式,利用二次函数的图象和性质,分别对函数和的值进行讨论,建立条件关系即可得到结论;试题解析：（1）由，因为函数在时有极小值－9，所以，从而得，所以.（2）由，故，当时，若，则，满足条件；若，则，满足条件；若，，所以恒成立，恒成立，因为，当且仅当取等号，所以，即m的取值范围是（0，2）.19. 已知函数，其中e为自然对数的底数，函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数的值域为R，求实数m的取值范围.【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.(2).【解析】试题分析：(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m的范围得到函数的值域,从而确定m的具体范围即可.试题解析：（1）.由得，由得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）.当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增.1°当时，在上单调递减，值域为，在上单调递减，值域为，因为的值域为R，所以，即.（*）由（1）可知当时，，故（*）不成立.因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，恒成立，因此.2°当时，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的值域为，即.在（m，＋）上单调递减，值域为.因为的值域为R，所以，即.综合1°，2°可知，实数m的取值范围是.20. 已知函数，其图象与x轴交于两点，且.（1）证明：；（2）证明：；（其中为的导函数）（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等边三角形，记，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).(2)计算,根据函数单调性判断的符号即可;(3)用表示出P点坐标,根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系,再计算的值.试题解析：（1）∵，若，则，则函数在R上单调递增，这与题设矛盾.，易知在上单调递减，在上单调递增，.（2）∵，∴两式相减得.记，则，设则是单调减函数，则有，而.（3）由得，设，在等边三角形ABC中，易知，由等边三角形性质知，即，，∵，，，又∵，.点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。
2016-2017学年山东省高密市高二下学期期中考试数学(文)试题
2016-2017学年山东省高密市高二下学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知复数131iz i+=-，则共轭复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、已知函数()()322f x x x f '=+，则()2f '的值为 A ．-4 B ．4 C ．-3 D ．33、已知函数()sin cos f x x x =-，则()3f π'=A ．12-B ．12-+C ．12D ．12 4若是不全相等的正数，给出下列判断： ① 222()()()0a b b c c a -+-+-≠； ②a b >与a b <及a b =中至少一个成立； ③,,a b b c a c ≠≠≠不能同时成立. 其中判断正确的命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 5、设函数()1(0)f x x b x b b=++->，则函数()f x 能取得 A ．最小值为2, B ．最大值为2 C ．最小值为-2 D ．最大值为-2 6、在极坐标系中，点(4,)3π到直线sin()23πρθ-=的距离是A ．2B ．3C ．17、若函数()33f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为,p q ，则p q -的值为A ．20B ．18C ．4D ．28、与圆的有关性质类比，可以推出球的有关性质，给出以下类比：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直弦类比得到球心与界面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面；② 与圆心距离相等的两条弦长相等类比与球心距离相等额两个截面圆的面积相等；③圆的周长C d π=类比球的表面积2S d π=；④圆的面积2S r π=类比球的体积3V r π= 其中类比正确的是A ．①②④B ．②③C ．①②③D ．②③④9、如图所示()y f x =是的导数()f x '图象，则正确的判断是： ①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④10、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为15cm ，要使其体积最大，则其高应为 A． B． C． D． 11、设,,(,0)x y z ∈-∞，则111,,x y z z x y+++ A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2- 12、设函数()32224(1)32f x kx k x k =+---在区间(0,2)上是减函数，则k 的取值范围是A ．25k <B ．25k ≤C ．205k <≤D ．205k ≤≤第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、设i 是虚数单位，复数11aii-+为纯虚数，则i 实数为 14、已知两曲线的参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩和12(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）则它们的交点坐标为15、已知()x xf x e=，定义()()()()()()()()121321,,,n n f x f x f x f x f x f x f x f x +''''====，经计算()()()123123,,,x x x x x xf x f x f x e e e---=== ，则()n f x =16、已知函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分）已知函数()32(x f x xe e =+为自然对数的底） （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 的极值.18、（本小题满分12分）下表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品能耗是多少吨标准煤？（参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑ ）19、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos (2sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），直线l 的方程为90x -=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）射线:6OA πθ=与圆C 的交点是,O M ，与直线l 的交点为N ，求线段MN 的长.20、（本小题满分12分）某项体育比赛对前期不同年龄段参赛选手的完成情况进行统计，得到如下22⨯的列联表，已知从3040岁你那里段中随机选出一人，其恰好完成的概率为59.（1）完成22⨯的列联表；（2）有多大点把握认为完成比赛与年龄是否有关？附：下面的临界值表及公式供参考：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=21、（本小题满分12分） 设函数()f x x m =-.（1）当3m =时，解不等式()51f x x ≥--； （2）若()1f x ≤的解集为11{|02},(0,0)32x x m a b a b≤≤+=>>，求证：324a b +≥.22、（本小题满分12分）设函数()()22ln (0),3a f x a x a g x x x=+≠=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当1a =时，设()()()F x f x g x =-，求证：对于定义域内的任意一个，都有()0F x ≥. （3）讨论函数()f x 的单调性.高二数学（文） 参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. CADBA BACBD CB二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 114. 41(,)33 15. (1)()n xx n e -- 16. 1(0,)2 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 解：（Ⅰ）()32x f x xe =+，∴ ()3()x x f x e xe '=+, ………………2分令()0f x '>， 即0x xe xe +>，解得1x >-, ………………4分 同理，当()0f x '<时，解得1x <-. ………………5分故函数()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)-∞-． ………6分 （Ⅱ）∵函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减,在区间(1,)-+∞上单调递增. ∴函数在1x =-处取极小值， ………………8分即最小值3(1)2f e-=- ． …………………10分 18．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）由题意，得51i ii x y =∑＝2×5＋4×6＋6×5＋8×9+1010236⨯=，…………1分x =2468105++++＝6, y =5659105++++＝7，………………3分521ii x=∑＝4+16+36+64+100＝220，………………4分则ˆb=236567220536-⨯⨯-⨯=0.65，………………6分ˆa=ˆy b -， x =7－0.65×6=3.1，………………8分 故线性回归方程为ˆy=0.65x ＋3.1．………………9分 （Ⅱ）根据线性回归方程的预测，现在生产当x =20吨时，产品消耗的标准煤的数量ˆy为： ˆy=0.65×20＋3.1＝16.1，………………11分 答：预测生产20吨甲产品的生产能耗16.1吨标准煤．………………12分19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵ 22sin cos 1ϕϕ+=，C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）可化为普通方程22(2)4x y -+=，……………2分化为极坐标方程24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.……………4分 直线l的方程为90x -=，化为极坐标方程cos )9ρθθ+= 即 9sin()62πρθ+=.……………6分 （注：直线l极坐标方程写成cos )9ρθθ+=也正确）（Ⅱ）设11(,)ρθ为点M 的极坐标，则1114cos 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得116ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…8分 设22(,)ρθ为点N的极坐标，则2222cos )96ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得226ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………10分∵12θθ=，∴12MN ρρ=-=……………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由30～40岁年龄段中随机选取一人，其恰好闯关成功的概率为59， 30～40岁年龄段的总人数为550909÷=，……2分 即可完成22⨯列联表：……6分（Ⅱ）222112212211212()150(20405040)70806090n n n n n n n n n χ++++-⨯-⨯==⨯⨯⨯，……8分507.14 6.6357=≈>，……10分 ∴有99%的把握认为闯关成功与年龄有关．……12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当3m =时，不等式()51f x x ≥--即为351x x -≥--，…………1分 ①当1x ≤时，原不等式可化为351x x -≥+-，化简得12x ≤-，故12x ≤-； ②当13x <<时，原不等式可化为351x x -≥-+，化简得34≥，解集为∅； ③当3x ≥时，原不等式可化为351x x -≥-+，化简得92x ≥，故92x ≥， …………5分综合①②③，原不等式的解集为19(,][,)22-∞-+∞.…………6分 （Ⅱ）证明：由()1f x ≤得1x m -≤，从而11m x m -+≤≤+，∴ 1012m m -+=⎧⎨+=⎩，解得1m =，∴11132m a b +==，…………8分 又0,0a b >>，∴112332(32)()23232b aa b a b a b a b+=++=++ 24≥+=， 当且仅当2332b a a b=，即32a b =时等号成立，…………11分 联立方程组3223132a b b a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故324a b +≥.…………12分22．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, ………………1分当1a =时，212()f x x x'=-，(1)1f '=-， …………2分 又知(1)2f =，所以所求的切线方程为21(1)y x -=--，即30x y +-=．………………3分 （Ⅱ）当1a =时，2()()()ln 3F x f x g x x x x=-=++-， 则2222122(1)(2)()1(0)x x x x F x x x x x x +--+'=-+==>. …………4分 当x 变化时，()F x '，()F x 的变化情况如下表：1x =.可见()(1)0F x F ==最小值， ………………6分 所以()0F x ≥，所以对于定义域内的每一个x ，都有()0F x ≥.……………7分（Ⅱ）2222(2)()a a a x a f x x x x -'=-=.（1）当0a <时，因为0x >，所以20x a ->，(2)0a x a -<，所以()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ………………9分 （2）当0a >时，若02x a <<，则(2)0a x a -<，()0f x '<，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减； 若2x a >，则(2)0a x a ->，()0f x '>，函数()f x 在(2,)a +∞上单调递增. 11分综上所述，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增. ………………12分。
山东省曲阜师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2016~2017学年度第二学期期末考试高二数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，集合，所以，故选B. 2. 用反证法证明“，，如果能被2017整除，那么，中至少有一个能被2017整除”时，假设的内容是（）A. 不能被2017整除B. 不能被2017整除C. ，都不能被2017整除D. ，中至多有一个能被2017整除【答案】C【解析】命题的否定只否结论，即“中至少有一个能被2017整除”的否定为都不能被2017整除，故选C.3. 设复数满足，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，故选A.4. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为5，则输出的值为（）A. 2B. 4C. 7D. 11【答案】D【解析】模拟执行程序框图，可得，满足条件；满足条件；满足条件；满足条件，满足条件，此时不满足条件，推出循环，输出的值，故选D.5. 设是定义在上的奇函数，且，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】由题意得，函数是定义在上的奇函数，且，设，则，则因为，所以，所以，所以，所以，故选B.6. 已知函数，则的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，则，因为是增函数，也是增函数，所以导函数也是增函数，故选D.7. 已知函数为奇函数，，则函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数为奇函数，可得，，所以，由零点的判定定理可知，，可知函数的零点在之间，故选C.8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，若在区间递增，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以在上是增函数，故，所以，故选B.9. 通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：其中则下列结论正确的是（）A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”【答案】A【解析】由题意得，，又因为,所以犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A.10. 数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.11. 已知定义在实数集上的函数满足，且导函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设,则,所以是上的单调递减函数,又,因此可化为,即,故由单调性可知,即，故应选D.考点：导数和函数性质的综合运用．【易错点晴】导数解决函数问题的重要工具,解答本题时通过借助题设提供的有效信息,巧妙地构造函数,然后运用导数这一重要工具对这个函数求导,凭借题设条件得知函数是上的单调递减函数,为下面不等式的求解创造了条件.求解不等式时,以为变量建立不等式,最终通过单调性的定义得到了不等式,使得本题巧妙获解.12. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，又，当时，，当时，函数为减函数，作出的图象如图所示，所以当时，有3个不同的实数根，故选A.点睛：本题主要考查了函数与方程思想的应用，其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性，以及利用导数求解函数的极值等知识点，着重考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，其中根据导数研究函数的单调性及极值，作出函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生，由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为，数据列表是：则其中的数据__________．【答案】163【解析】由，根据回归直线经过样本中心，即，得，由，得，故答案为.14. 根据下列不等式：，，，……归纳猜想第个不等式为__________．【答案】（）【解析】试题分析：观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为.考点：归纳推理．15. 已知复数（为虚数单位），若复数，在复平面内对应的点关于直线对称，则__________．【答案】【解析】由题意得，复数在复平面内对应的点为，又复数在复平面内对应的点关于直线对称，所以在复平面内对应的点的坐标为，所以复数.16. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有且当时，，则__________．【答案】【解析】若对于时，都有，则，即当时，函数是以为周期的周期函数，因为是定义在上的偶函数，所以，又，，所以三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（）.（1）若为偶函数，求实数的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）函数是定义在上的偶函数，所以，化简即可求解实数的值；（2）由得，分离参数，换元配方求解最小值，即可得到答案.试题解析：（1）函数是定义在上的偶函数，所以即化简得所以（2）由得，即又，所以当即时，取最小值故实数的取值范围是.18. 设，，为的三边长，求证：.【答案】见解析【解析】试题分析：本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.试题解析：要证明：需证明：a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b) 5分需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需证明a+2ab+b+abc>c 10分∵a,b,c 是的三边∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0∴a+2ab+b+abc>c∴成立。
北京市北京师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
北京师大附中2016-2017 学年放学期高二年级期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 道小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 会合，那么A∩B＝（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】求解一元二次不等式可得，联合交集的定义可得此题选择 A 选项 .2. 设复数z 知足，则＝（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由题意可得：.此题选择 C 选项 .3. 已知非零实数a， b 知足，则以下不等式中必定成立的是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】项错，如取，，，项错，，，正负没法判断，故与大小没法判断，项错，，没法判断正负，项对，恒为正．应选．4. 设，则p 是q 成立的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】试题剖析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充足条件，而当时，可得，此时不必定有，所以的不用要条件，综上所述，的充足而不用要条件，所以正确选项为 A.考点：充足条件与必需条件.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】取，则：，选项 A 错误；，选项 C 错误；，选项 D 错误；对于选项 C：在为减函数，又∴，选项B正确.此题选择 B 选项 .6.以下四个命题：①，使；②命题“”的否认是“”；③假如，且，那么；④“若，则”的逆否命题为真命题，此中正确的命题是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】 D【分析】中故不存在，使，①错；命题“”的否认是“”，故②错；假如，且，那么，故③错；“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④对.此题选择 D 选项 .7. 某四棱锥的三视图以下图，该四棱锥的表面积是（）A. B. C. 26 D.【答案】 A【分析】几何体如图，表面积为，选 A.点睛 : 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，要点是剖析三视图确立几何体中各元素之间的地点关系及数目．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意连接部分的办理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面睁开图的应用．8. 函数在的图像大概为（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】故函数为偶函数，当时，，故清除A,B;当时，，，由函数零点存在定理可知在上有解，故函数在不是单一的，故清除 C.此题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面下手：(1) 从函数的定义域，判断图象的左右地点；从函数的值域，判断图象的上下地点．(2)从函数的单一性，判断图象的变化趋向．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的特点点，清除不合要求的图象．利用上述方法清除、挑选选项．二、填空题：本大题共 6 道小题，每题 5 分，共 30 分.9. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是____________ .【答案】【分析】试题剖析：．故答案应填：【考点】双曲线性质【名师点睛】此题要点考察双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息有关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的要点，点在 x 轴，实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线方程为揭露焦，离心率为．10. 复数z 知足，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标为_____________，复数z 的模＝__________.【答案】(1). （－ 1，－ 3）(2).【分析】由,得，∴复数 z 对应的点的坐标为(-1,-3) ，.11. 若知足则的最大值为_________.【答案】 4【分析】由拘束条件作出可行域如图，由图可知A(2,0).化目标函数z=2x- y 为 y=2x- z，由图可知，当直线y=2x- z过 A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为.点睛：求线性目标函数 z＝ ax＋ by(ab≠0)的最值，当 b＞ 0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b＜ 0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z值最大 .12. 已知函数 f （ x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当时，，则＝ __________.【答案】－2【分析】试题剖析：由于函数是定义在R 上的周期为 2 的奇函数，所以，所以，即，，所以.【考点】函数的奇偶性和周期性【名师点睛】此题考察函数的奇偶性、周期性，属于基础题，在求值时，只需把利用奇偶性与周期性化为自变量在上的函数值即可．而的求解还需用到奇函数的性质. 13. 已知函数在R上单一递减，且对于x 的方程恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是___________.【答案】【分析】试题剖析：由函数在 R 上单一递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，所以的取值范围是.【考点】函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接依据题设条件建立对于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围；（2）分别参数法：先将参数分别，转变为求函数值域的问题加以解决；（3）数形联合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，而后数形联合求解．14.如图，某机器人的运动轨道是边长为1 米的正三角形 ABC，开机后它从 A 点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6 米改变一次运动方向（假定按此方式无穷运动下去），运动过程中随时记录逆时针运动的总行程s1温顺时针运动的总行程s2， x 为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时x＝ s1，顺时针运动时x＝ -s2，机器人到 A 点的距离 d 与x 知足函数关系d＝ f（x），现有以下结论：①f（ x）的值域为［ 0， 1］；②f （ x）是以 3 为周期的函数；③f （ x）是定义在R 上的奇函数；④f （ x）在区间［－ 3，－ 2］上单一递加.此中正确的有 _________（写出全部正确结论的编号）.【答案】①②④【分析】∵ x∈ [0,3] 时，点 P 作逆时针运动，分段以下：(1)当 x∈ [0,1], 点 P 在 AB 上 ,f(x)= x；(2)当 x∈ (1,2], 点 P 在 BC 上 ,在△ABP 中运用余弦定理可得：，即；(3) 当 x∈ (2,3] 时,点 P 在 CA 上 ,f(x)=3- x，又∵ x∈ [-3,0) 时，点 P 作顺时针运动，函数时求解方法同上，(1) 当 x∈ [-1,0), 点 P 在 AC 上 ,f(x)=- x；(3)当 x∈ [-3,-2) 时 ,点 P 在 BA 上,f(x)=3- x，依据以上剖析 ,画出函数 f(x)的图象如图，明显：①正确；②正确；③错误，该函数为偶函数；④正确.故填：①②④ .点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数目关系；第二步：建模——将文字语言转变成数学语言，用数学知识成立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，获得数学结论；第四步：复原——将用数学方法获得的结论复原为实质问题的意义；第五步：反省回首——对于数学模型获得的数学结果，一定考证这个数学解对实质问题的合理性．三、解答题：本大题共 6 道题，共 80 分.写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 .15.求以下函数的值域：（Ⅰ ）（Ⅱ ）【答案】（Ⅰ ）；（Ⅱ）.【分析】试题剖析：(Ⅰ )对函数的分析式进行恒等变形：，据此可得函数的值域为；(Ⅱ )联合函数的定义域和均值不等式的结论可得函数的值域为.试题分析：(Ⅰ )整理函数的分析式有：；(Ⅱ )函数的定义域为，，当且仅当时等号成立.故函数的值域为.16. 已知函数.（Ⅰ）判断函数的奇偶性并求函数的零点；（Ⅱ）写出的单一区间；（只需写出结果）（Ⅲ）试议论方程的根的状况 .【答案】 ( Ⅰ) 答案看法析； ( Ⅱ) 单一递加区间为；单一递减区间为（－1， 1）； ( Ⅲ ) 答案看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ ）第一确立函数的定义域，而后联合可得为奇函数 .令，可得函数的零点为－2，0， 2.（Ⅱ）函数的单一递加区间为；单一递减区间为（－1，1）.（Ⅲ ）联合函数的分析式绘制函数图象，察看图象可得：当或时，方程有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程有三个根 .试题分析：（Ⅰ ）函数的定义域为 R，对于坐标原点对称，由于，所以为奇函数 .令，即，解得：，所以函数的零点为－ 2， 0， 2.（Ⅱ）函数的单一递加区间为；单一递减区间为（－1，1）.（Ⅲ ）由函数的分析式可得：，绘制函数图象以下图，察看函数图象可得：当或时，方程有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程有三个根.17.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD ⊥平面ABEF ， AF ∥ BE， AB⊥ BE， AB＝ BE＝ 2，AF ＝1.（Ⅰ）求证： AC⊥平面 BDE ；（Ⅱ）求证： AC∥平面 DEF ；（Ⅲ）求三棱锥A— DEF 的体积 .【答案】 ( Ⅰ) 证明看法析； ( Ⅱ) 证明看法析； ( Ⅲ).【分析】试题剖析：（Ⅰ）由面面垂直的性质可得 BE ⊥平面 ABCD ， BE⊥ AC，且 AC ⊥BD.联合线面垂直的判判定理有 AC ⊥平面 BDE .（Ⅱ）设 AC ∩BD ＝ O，很明显 O 为 BD 中点，设 G 为 DE 的中点，连接OG ， FG ，联合几何关系可证得四边形AOGF 为平行四边形，故AC∥FG ，由线面平行的判判定理可得AC∥平面 DEF .（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面 ABCD ，则 AF ⊥AD .又 AB⊥ AD，故 AD ⊥平面 ABEF ，转变极点有：.试题分析：（Ⅰ）由于平面ABCD ⊥平面 ABEF ，平面 ABCD ∩平面 ABEF ＝AB，且 AB⊥ BE，所以 BE⊥平面 ABCD ，由于平面 ABCD ，所以 BE⊥ AC，又由于四边形ABCD 为正方形，所以AC⊥ BD. 由于 BD∩BE ＝B，所以 AC⊥平面 BDE .（Ⅱ）设 AC ∩BD ＝ O，由于四边形ABCD 为正方形，所以 O为BD中点，设 G 为 DE 的中点，连接OG，FG，则 OG∥ BE，且，由已知 AF∥ BE，且，则 AF∥OG，且 AF＝OG.所以四边形AOGF 为平行四边形，所以 AO∥ FG，即 AC∥ FG ，由于平面 DEF ，平面DEF，所以 AC∥平面 DEF .（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面 ABCD ，由于 AF∥ BE，所以 AF ⊥平面 ABCD ，所以 AF⊥ AB， AF⊥ AD.又由于四边形ABCD 为正方形，所以AB⊥ AD，所以 AD⊥平面 ABEF ，由于 AB＝ AD ＝ 2AF＝ 2，所以，故三棱锥的体积为.18. 如图，椭圆E：经过点A（0，－1），且离心率为.（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）经过点（ 1， 1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不一样两点P， Q（均异于点A），证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ)证明看法析.【分析】试题剖析：（Ⅰ）利用待定系数法联合题意可求得，，椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线PQ 的方程为，与椭圆方程联立可得，设联合韦达定理可得.试题分析：（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为，代入，得，由已知，设则，进而直线 AP 与 AQ 的斜率之和.19. 已知函数与函数的图象在点（0， 0）处有同样的切线 .（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值 .【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】试题剖析：（Ⅰ ）由函数的分析式可得，，联合题意可知，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则. 分类议论可得：当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为.试题分析：（Ⅰ）由于，所以，由于，所以，由于与的图象在（ 0， 0）处有同样的切线，所以，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，则.（1 ）当时，，所以在上是增函数，故的最小值为；（2）当时，由得，，①若，即，则，所以在上是增函数，故的最小值为.②若，即，则，，所以在上是减函数，在上是增函数，故的最小值为；③若，即，则，所以在上是减函数，故的最小值为.综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为.20. 已知椭圆C：的长轴长为4，焦距为.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过动点M（ 0， m）（ m>0 ）的直线交 x 轴与点 N，交C 于点 A， P（ P 在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点Q，延伸线 QM 交 C 于点 B. （i）设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、，证明为定值 .（i i ）求直线 AB 的斜率的最小值 .【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ)(i)证明看法析；(ii).【分析】试题剖析：（Ⅰ）由题意可得，椭圆C的方程为.（Ⅱ ）（ i）设，由题意可得，联合斜率公式可得PM的斜率， QM 的斜率，故为定值－ 3.（ii ）设，直线 PA 的方程为，与椭圆方程联立可得.则，，同理，故.联合均值不等式的结论可得当且仅当时，直线 AB 的斜率有最小值为.试题分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆 C 的方程为.（Ⅱ ）（ i）设，由，可得，所以直线 PM 的斜率，直线 QM 的斜率，此时，所以为定值－ 3.（ii ）设，直线 PA 的方程为，直线 QB 的方程为，联立，整理得.由可得，所以，同理，所以，，所以.由所以，可知，，等号当且仅当时获得，此时，即，切合题意，所以直线 AB 的斜率的最小值为.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意察看应用题设中的每一个条件，明确确立直线、椭圆的条件；(2)加强有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．(3)。
华师大二附中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下)期中数学试卷一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为．2．复数z=（m2﹣m﹣4)+（m2﹣5m﹣6）i(m∈R），如果z是纯虚数，那么m= ．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．5．若复数|z﹣3i｜=5,求｜z+2｜的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．8．已知集合A={z｜z=i+i2+i3+…+i n,n∈N＊}，B={z|z=z1•z2,z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为．二、选择题（4&＃215；4=16）11．下列命题中,错误的是（）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是( )A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1,z2满足｜z1﹣|=|1﹣z1z2｜｜，则有（) A．|z1|＜0且|z2|＜1 B．｜z1|＜1或｜z2|＜1 C．|z1|=1且｜z2｜=1 D．｜z1｜=1或｜z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( ）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜｜z1｜,求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2,E为PD的中点．(1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小;(2)求二面角E﹣AC﹣D的大小，(结果用反三角函数值表示）17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中,AB=,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小;（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若（b，c)在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1)2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c)是线段s上一点（非端点）,则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由;(3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12016-2017学年上海市华师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为3﹣2i ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3,2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2)，则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i2．复数z=（m2﹣m﹣4）+(m2﹣5m﹣6）i（m∈R）,如果z是纯虚数，那么m= ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=,故答案为：3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解:∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α,β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= 2 ．【考点】MI:直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β,AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．5．若复数｜z﹣3i|=5，求｜z+2|的最大值和最小值．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解:如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0,3）为圆心,5为半径的圆．｜z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0)的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴｜AC｜==．∴|z+2|max=5+，|z+2｜min=5﹣．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有 2 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a,b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P,此时∠APB=50°,过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°,过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是30．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=,∴AB==30．故答案为：30．8．已知集合A=｛z|z=i+i2+i3+…+i n，n∈N＊}，B=｛z｜z=z1•z2，z1∈A，z2∈A｝，则集合B中的元素共有7 个．【考点】15:集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得:集合A=｛1，1+i，i，0｝,进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0｝．【解答】解:由题意可得：集合A=｛z｜z=1+i+i2+…+i n，n∈N＊}=｛1,1+i，i,0｝，所以B=｛z｜z=z1•z2，z1、z2∈A｝=｛1，1+i，i,2i,﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2．利用是实数,可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数,∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0,取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32 =0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．10．（理科)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解:由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为二、选择题（4×；4=16）11．下列命题中，错误的是（)A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线,则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确;D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．12．下列命题中，错误的是（)A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦,∴当另一半为底面直径时截面最大,故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ,则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角,则当θ=时,过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分,截面为圆，故D正确．故选C．13．已知复数z1，z2满足｜z1﹣｜=｜1﹣z1z2|｜，则有（) A．｜z1｜＜0且|z2｜＜1 B．|z1｜＜1或|z2|＜1 C．｜z1|=1且｜z2｜=1 D．|z1|=1或|z2｜=1【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1,z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣｜=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1｜=1或｜z2|=1．故选：D．14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（)A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形,逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM,∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥,故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示,显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角,即为AD和AE成的角,即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角,故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．三、解答题(8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i,其中i为虚数单位，a∈R,若＜｜z1｜，求a的取值范围．【考点】A2:复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1,然后代入＜|z1｜，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i,于是=|4﹣a+2i｜=，|z1｜=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．16．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1,BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．(2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解:（1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1,2，0），D(0，2，0），P(0，0，1），E（0，1，）,=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=(0，0,1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=(0，1，），=（1，2,0)，设平面AEC的法向量=（x，y,z）,则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2）,平面ACD的法向量=（0,0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=｜|==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．17．如图,在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．(1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM:异面直线及其所成的角．【分析】(1)作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；(2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：(1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB,则OB==2,设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角,∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若(b，c）在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1）2+y2=1上;（2）给定圆C:（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0）,则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点(非端点)，则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表(表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b,c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1:(x﹣1）2+y2=1上;（2）①求出虚根，虚根在定圆C:(x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R,r＞0）,推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②(b,c)是线段s上一点（非端点）,实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．(3）由（2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：(1）由题意可得2b+c=0,解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立,∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上(2）当△＜0，即b2＜c时，解得,∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2,∵△=4(b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2,∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2,b∈［﹣m﹣r，﹣m+r]若(b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0,b∈(﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上(3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=52017年6月18日。
2016-2017年山东省临沂一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年山东省临沂一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（）①因为指数函数y＝a x（a＞1 ）是增函数；②所以y＝2x是增函数；③而y＝2x是指数函数．A．①B．②C．①②D．③2．（5分）已知函数f（x）＝（e是对自然对数的底数），则其导函数f'（x）＝（）A．B．C．1+x D．1﹣x3．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数5．（5分）已知复数z＝（m2+m﹣2）+（m2+4m﹣5）i是纯虚数，则m＝（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．﹣56．（5分）函数f（x）在R上可导，且f（x）＝x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）＝f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f （1）D．不确定7．（5分）在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（）A．﹣110B．﹣220C．220D．1108．（5分）下列函数中x＝0是极值点的函数是（）A．f（x）＝﹣x3B．f（x）＝﹣cos xC．f（x）＝sin x﹣x D．f（x）＝9．（5分）已知z1与z2是共轭虚数，有4个命题①z12＜|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1+z2∈R；④∈R，一定正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③10．（5分）下列类比推理中，得到的结论正确的是（）A．把log a（x+y）与a（b+c）类比，则有log a（x+y）＝log a x+log b yB．向量，的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|＝|a|•|b|类比，则有|•|＝||||C．把（a+b）n与（ab）n类比，则有（a+b）n＝a n+b nD．把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和11．（5分）某五国领导人A，B，C，D，E参加国际会议，除E与B，E与D不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（）A．48种B．36种C．24种D．8种12．（5分）已知函数y＝e ax+3x有平行于x轴的切线且切点在y轴右侧，则a的范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，3）C．（3，+∞）D．（﹣3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）＝ax3﹣3x在区间（﹣1，1）上为单调减函数，则a的取值范围是．14．（5分）若n是正整数，则除以9的余数是．15．（5分）已知f（a）＝dx，求f（a）的最大值．16．（5分）动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为（用数字作答）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）依次计算a1＝2×（1﹣），a2＝2×（1﹣）（1﹣），a3＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣），a4＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣），猜想a n＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）结果并用数学归纳法证明你的结论．18．（12分）已知z＝1+i；（1）如果，求w的值；（2）如果，求实数a，b的值．19．（12分）7人站成一排．（写出必要的过程，结果用数字作答）（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？（3）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三人至多两人不相邻的排法有多少种？20．（12分）已知的展开式中x4的系数是﹣35，（1）求a1+a2+…+a7的值；（2）求a1+a3+a5+a7的值．21．（12分）设k∈R，函数f（x）＝lnx﹣kx．（1）若k＝2，求曲线y＝f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若方程f（x）＝0无根，求实数k的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．2016-2017学年山东省临沂一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（）①因为指数函数y＝a x（a＞1 ）是增函数；②所以y＝2x是增函数；③而y＝2x是指数函数．A．①B．②C．①②D．③【解答】解：三段话写成三段论是：大前提：因为指数函数y＝a x（a＞1）是增函数，小前提：而y＝2x是指数函数，结论：所以y＝2x是增函数．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）＝（e是对自然对数的底数），则其导函数f'（x）＝（）A．B．C．1+x D．1﹣x【解答】解：函数f（x）＝（e是对自然对数的底数），则其导函数f'（x）＝＝，故选：B．3．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y＝f′（x）的图象可得当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，此时y＝f（x）为增函数；当x∈（a，b）时，f′（x）＜0，此时y＝f（x）为减函数；四个图象中中有D图象满足条件故选：D．4．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5．（5分）已知复数z＝（m2+m﹣2）+（m2+4m﹣5）i是纯虚数，则m＝（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．﹣5【解答】解：由，解得m＝﹣2．∴复数z＝（m2+m﹣2）+（m2+4m﹣5）i是纯虚数的m的值为﹣2．故选：A．6．（5分）函数f（x）在R上可导，且f（x）＝x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）＝f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不确定【解答】解：f′（2）是常数，∴f′（x）＝2xf′（2）﹣3⇒f′（2）＝2×2f′（2）﹣3⇒f′（2）＝1，∴f（x）＝x2﹣3x，故f（1）＝1﹣3＝﹣2，f（﹣1）＝1+3＝4．故选：B．7．（5分）在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（）A．﹣110B．﹣220C．220D．110【解答】解：在的展开式中，所有项的二项式系数之和为2n＝4096，则n＝12；所以的展开式中，通项公式为T r+1＝••＝（﹣1）r••，令4﹣r＝0，解得r＝3，所以其常数项为（﹣1）3•＝﹣220．故选：B．8．（5分）下列函数中x＝0是极值点的函数是（）A．f（x）＝﹣x3B．f（x）＝﹣cos xC．f（x）＝sin x﹣x D．f（x）＝【解答】解：A、y′＝﹣3x2≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点B、y′＝sin x，当﹣π＜x＜0时函数单调递增；当0＜x＜π时函数单调递减且y′|x＝0＝0，故B符合C、y′＝cos x﹣1≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点D、y＝在（﹣∞，0）与（0，+∞）上递减，无极值点故选：B．9．（5分）已知z1与z2是共轭虚数，有4个命题①z12＜|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1+z2∈R；④∈R，一定正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③【解答】解：z1与z2是共轭虚数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R）．命题①z12＜|z2|2；＝a2﹣b2+2abi，复数不能比较大小，因此不正确；②z1z2＝|z1z2|＝a2+b2，正确；③z1+z2＝2a∈R，正确；④＝＝＝+i不一定是实数，因此不一定正确．故选：B．10．（5分）下列类比推理中，得到的结论正确的是（）A．把log a（x+y）与a（b+c）类比，则有log a（x+y）＝log a x+log b yB．向量，的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|＝|a|•|b|类比，则有|•|＝||||C．把（a+b）n与（ab）n类比，则有（a+b）n＝a n+b nD．把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和【解答】解：根据对数运算法则，可得A不正确；利用向量的数量积运算，可得B不正确；利用乘方运算，可得C不正确；把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和，可知D 正确．故选：D．11．（5分）某五国领导人A，B，C，D，E参加国际会议，除E与B，E与D不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（）A．48种B．36种C．24种D．8种【解答】解：根据题意，要求安排领导人单独会晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8种情况，现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行．因为能同时会晤的共有（AB，CD），（AC，BD），（AD，CE），（AE，BC）和（AB，CE）、（AC，BD），（AD，BC），（AE、CD）两种情况，故不同的安排方法共有2×A44＝48；故选：A．12．（5分）已知函数y＝e ax+3x有平行于x轴的切线且切点在y轴右侧，则a的范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，3）C．（3，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：由函数y＝e ax+3x，得y′＝ae ax+3，函数y＝e ax+3x有平行于x轴的切线且切点在y轴右侧，则y′＝ae ax+3＝0（x＞0）有解，即＞0，a＜0．即有0＜﹣＜1，解得a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数f（x）＝ax3﹣3x在区间（﹣1，1）上为单调减函数，则a的取值范围是a≤1．【解答】解：若函数y＝ax3﹣3x在（﹣1，1）上是单调减函数，则y′≤0在（﹣1，1）上恒成立，即3ax2﹣3≤0在（﹣1，1）上恒成立，即ax2≤1，若a≤0，满足条件．若a＞0，则只要当x＝1或x＝﹣1时，满足条件即可，此时a≤1，即0＜a≤1，综上a≤1，故答案为：a≤1．14．（5分）若n是正整数，则除以9的余数是0或7．【解答】解：＝（7+1）n﹣1＝8n﹣1＝（9﹣1）n﹣1＝）+…+①n是正偶数，则原式＝（9﹣1）n﹣1＝）+…+91（﹣1）n﹣1每项都是9的倍数．∴这整个式子都可以被9整除，此时余数为0．②若n是正奇数，则原式＝）+…+．＝）+…+．∵﹣2不能整除9∴余数就应该是7．综上，余数应该是0或7．故答案为：0或7．15．（5分）已知f（a）＝dx，求f（a）的最大值．【解答】解：f（a）＝∫01（2ax2﹣a2x）dx＝（ax3﹣a2x）|01＝﹣＝，当a＝时，f（a）的有最大值，最大值为16．（5分）动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为18（用数字作答）．【解答】解：从A点出发有3种方法，（A1，B，D），假如选择了A1，则有2种选法（B1，D1）到C1，再从C1出发，若选择了（B1，或D1），则只有一种方法到A，若选择了C，则有2种方法到A，故“最佳路线”的条数为C31C21（1+2）＝18种，故答案为：18三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）依次计算a1＝2×（1﹣），a2＝2×（1﹣）（1﹣），a3＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣），a4＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣），猜想a n＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）结果并用数学归纳法证明你的结论．【解答】解：a1＝2×（1﹣）＝，a2＝2×（1﹣）（1﹣）＝，a3＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，a4＝2×（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，猜想：a n＝证明：（1）当n＝1时，显然成立；（2）假设当n＝k（k∈N+）命题成立，即a k＝则当n＝k+1时，a k+1＝a k•[1﹣]＝∴命题成立由（1）（2）可知，a n＝对n∈N+成立．18．（12分）已知z＝1+i；（1）如果，求w的值；（2）如果，求实数a，b的值．【解答】解：（1）∵z＝1+i，∴＝（1+i）2+3（1﹣i）﹣4＝1+2i+i2+3﹣3i﹣4＝﹣1﹣i（2）∵z＝1+i，∴＝＝＝＝（2+a）﹣（a+b）i＝1﹣i∴，解得19．（12分）7人站成一排．（写出必要的过程，结果用数字作答）（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？（3）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三人至多两人不相邻的排法有多少种？【解答】解：（1）（捆绑法）将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法，甲、乙两人可交换位置，有A22种排法，故共有（种）排法．（2）方法一（间接法）7人任意排列，有种排法，甲、乙两人相邻的排法有种，故甲、乙不相邻的排法有（种）．方法二（插空法）将其余5人全排列，有种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法，故共有（种）排法．（3）（插空法）将其余4人排好，有种排法，将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有（种）排法．（4）（间接法）7人任意排列有种排法，甲乙丙都相邻的排法有种，故有种排法第12页（共14页）20．（12分）已知的展开式中x4的系数是﹣35，（1）求a1+a2+…+a7的值；（2）求a1+a3+a5+a7的值．【解答】解：∵，∴，∴m＝1．（1）令x＝1时，，①令x＝0时，．∴a1+a2+…+a7＝1．（2）令x＝﹣1时，．②①﹣②得．21．（12分）设k∈R，函数f（x）＝lnx﹣kx．（1）若k＝2，求曲线y＝f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若方程f（x）＝0无根，求实数k的取值范围．【解答】解：（1），当k＝2时，f'（1）＝﹣1，由点斜式写出切线方程，即：x+y+1＝0；（2）当k＜0时，f′（x）＝﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而f（1）f（）＜0，函数有零点，不合题意；当k＝0时，函数f（x）＝lnx唯一零点x＝1，不符合题意；当k＞0时，令，得，x，f′（x），f（x）的变化如下：∴为极大值点且为最大值点．∴．∴．22．（12分）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x ）＝﹣a ＝，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝取得最大值，最大值为f （）＝﹣lna+a﹣1，∵f （）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）＝lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．第14页（共14页）。
山西省山西大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试理科数学试卷Word版含解析
2016-2017学年山西省山西大学附属中学高二下学期期中考试理科数学一、选择题：共12题1．已知复数，若是纯虚数，则实数等于A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查纯虚数.由题意可得,则a=1.2．用三段论推理：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以”，你认为这个推理A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的【答案】A【解析】本题主要考查三段论,考查了逻辑推理能力.三段论形式正确,但是,大前提错误,因为任何实数的平方大于3．函数在区间上的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了利用导数求函数最值的方法.,当时,, 当时,,所以x=1是函数的极小值点,也是函数的最小值点,则x=1时,函数取得最小值为04．曲线与直线围成的封闭图形的面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查定积分,考查了曲多边形面积的求法. 曲线与直线的两个交点坐标分别为(,),(,),则封闭图形的面积为5．用反证法证明命题：“已知、是自然数，若，则、中至少有一个不小于2”提出的假设应该是A.、至少有两个不小于2B.、至少有一个不小于2C.、都小于2D.、至少有一个小于2【答案】C【解析】本题主要考查反证法,考查了反证法的基本证明方法与过程.根据对立事件的思想考虑可得,假设应该是:、都小于2.【备注】反证法的结论与假设可看作是两个对立事件6．若函数有极值，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数,函数的性质与极值,考查了转化思想与逻辑推理能力.,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得7．二维空间中圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)，观察发现；三维空间球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)，观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度A. B. C. D.【解析】本题主要考查类比推理,考查了逻辑推理能力.由题意可知, 四维测度的导数,则8．已知函数=，若存在使得，则实数的取值范围是A. B.( C. D.【答案】C【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了转化思想与逻辑推理能力.令,则存在使得,即,令,则,则函数在上是增函数,所以函数的最大值是,则.9．用数学归纳法证明不等式则与相比,不等式左边增加的项数是A. B. C. D.【解析】本题主要考查数学归纳法,考查了逻辑推理能力.因为当时,左边为,共有项;当时,左边为,共有项,因此增加的项数为,故答案为D.10．设函数的导数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数,三角函数的图象与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.,因为导数的最大值为3,所以=3,则,令,则,令k=0可得,故答案为A.11．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种A.24B.60C.72D.120【答案】B【解析】本题主要考查排列与组合,考查了分析问题与解决问题的能力.由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不的排法.12．已知函数=，其中为自然对数的底数，若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数,函数的性质与零点,考查了转化思想与数形结合思想,逻辑推理能力.由可得,则=,=,令=,则,因为函数在区间内有两个零点，所以函数的图象在区间内有两个不同的交点,如图所示,当,即时,两个函数的图象最多只有1个交点,不符合题意;当,即,故答案为A.二、填空题：共4题13．设复数满足,则__________.【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算与共轭复数.因为,所以, 则.14．有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有________种.【答案】81【解析】本题主要考查分步乘法计数原理,考查逻辑推理能力.因为每一封信均有3种投法,所以不的投法有15．已知为偶函数，当时，，则曲线在点(1,-3)处的切线方程是_______________.【答案】【解析】本题主要考查导数与性质的几何意义,函数的解析式与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意, 当时，则，,则,所以曲线在点(1,-3)处的切线的斜率,则切线方程为16．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】本题主要考查函数的构造,导数与函数的性质,考查了逻辑推理能力.令,在上,由，则有，故函数在上是减函数,则由不等式可得,即,即不等式的解集为三、解答题：共4题17．某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器(如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米)，按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关(圆柱底部不计)，已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为4千元，设该容器的建造费用为千元.(1)求关于的函数关系，并求其定义域；(2)求建造费用最小时的.【答案】(1) 由容积为立方米，得,解得. 又圆柱的侧面积为，半球的表面积为，所以建造费用，定义域为.(2)，又，所以，所以建造费用在定义域上单调递减，所以当时建造费用最小.【解析】本题主要考查导数,函数的解析式与性质,考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 由容积为立方米，得,求出r的取值范围,再根据圆柱与球的表面各积公式,易得，定义域为;(2)求导并判断函数的单调性,则结论易得.18．已知=,其中.(1)若在处取得极值，求实数的值.(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)由可得；经检验，满足题意.(2)函数在单调递增.在上恒成立.即在上恒成立.即=，.检验，时，=，仅在处取得.所以满足题意..【解析】本题主要考查导数,函数的性质与极点,三角函数的性质考查了恒成立问题,逻辑推理能力与计算能力.(1),由,求出a的值,再验证结论即可;(2)由题意可得在上恒成立,即,利用三角函数的性质求出在上的最小值即可.19．已知是定义在上的函数，=，且曲线在处的切线与直线平行.(1)求的值.(2)若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)因为曲线在处的切线与直线平行，所以，所以.(2)由得令得.当时，；当时，；当时，在，单调递增，在单调递减.又若函数在区间上有三个零点，等价于函数在上的图象与有三个公共点.结合函数在区间上大致图象可知，实数的取值范围是.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义,函数的性质,极值与零点,考查了数形结合思想与逻辑推理能力.(1)求导,由易得可得, 求解可得结果;(2),判断函数的单调性,并求出函数的极值与区间端点的函数值,结合函数的大致图象,则易得结论.20．设函数,其中.(1)讨论的单调性；(2)若在区间内恒成立，求的取值范围.【答案】(1)①当时，，，在上单调递减.②当时，=当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增.(2)原不等式等价于在上恒成立.一方面，令=，只需在上恒大于0即可.又∵，故在处必大于等于0.令，，可得.另一方面，当时，∵故，又，故在时恒大于0.∴当时，在单调递增.∴，故也在单调递增.∴，即在上恒大于0.综上，.【解析】本题主要考查导数,函数的性质,考查了恒成立问题与分类讨论思想,逻辑推理能力与计算能力.(1),分,两种情况讨论的符号,则可得函数的单调性;(2)根据题意, 令=, 只需在上恒大于0即可.易知,由，则有在处必大于等于0, 可得.令,求导并判断函数的单调性,则结论易得.。
山东师大附中高一20162017学年学分认定考试数学试卷附参考答案
A . f (x)= x 2 -1 x -1B . f (x)二 x 2 T,g(x) = x T山东师大附中2016级第一次学分认定考试数学试卷本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，共6页，满分为120分，考试用时120分钟。
注意事项： 1 •答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2 •第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。
b5E2RGbCAP3•第n 卷必须用 0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需 改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。
p1EanqFDPw第I 卷(客观题)一、选择题(本题共 10小题，每小题 5分，共50分。
在每小题给出的 A 、B 、C 、D 四个选择中，只有一 项是符合题目要求的。
)DXDiTa9E3d1.设集合 A 二｛x|—1Ex ^2｝ , B 二｛x|0 Ex E4｝，则 A_ B =A • :0,2:B . : 1,2:C . :0,4:D . : 1,4:2 •集合g,b,c 』的非空真子集个数为B .■-a c. - ■-a D .-，-a 2a4.下列各组函数f(X )与g(x)是相同函数的是B • 6 (3.a)3 (4a 4)得C . 73.C.f(t)-D.1 f (x) =1,g(x) =xx5.函数2f (x)二lg(4 - x )的定义域为A . [-2,2]B . -2,2 C. 1.0,2 1 D. 0,26. f (x) = x2 bx c，且f (-1) = f (3)，则A. f(1) C f (-1)B. f(1) ：：C ：：f(-1)C. C f (一1) f (1)D. C ：： f (一1) ：： f(1)7. 已知y二f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0,=)上单调递增，则满足f(m) ：：：f (1)的实数m的范围是A. 一1 ：：m ： 0B. 0 ：：m ：1C. 「1 ：： m ：： 1D.-仁28. 己知函数y二x的值域是[1,4]，则其定义域不可能是3A . [1,2] B.[-肿2C . [-2,-1]D . [-2,-1] {1}9. 若函数y=a x，b-1(a 0且a = 1)的图象经过一、三、四象限，则下列结论中正确的是A . a 1 且b ：1B . 0 a :: 1 且b 0C . 0 a ：1 且b 0D . a 1 且b 010 .阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号1.x 1表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，x 1就是x ；当x不是整数时，〔X】是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯 (Gauss ) 函数.女口丨-2丨- -2 ,丨-1.51- -2 , 1.2.5 - 2 .求1 1 1[log2 ] [log2 ] [log2 ] [log2 1] [log22] [log2 3] [log 24]的值为RTCrpUDGiTB . -2C . -1绝密★启用前试卷类型A5PC Z VD7H X A山东师大附中2016级第一次学分认定考试数学试卷命题人：孙腾飞审核人：宁卫兵第II卷(主观题)二、填空题(本题共5个小题，每小题5分，共25分。
数学---山东省曲阜师范大学附属中学2016-2017学年高二上学期期中考试试题
曲阜师范大学附中2016-2017学年高二上学期期中考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．”“1=x 是”“0)2)(1(=--x x 的（ ） A ．必要但不充分条件B ．充分但不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件{}中，等差数列n a .2，，116497==+a a a =12a 则（ ）A ．15B ．30C ．31D ．643．在ABC ∆中，已知,75,60,800===C B a 则b 等于（ ） A ．64B ．5C ．34D ．3224．命题“存在,∈x Z 使022≤++m x x ”的否定是（ ） A ．存在,∈x Z 使022>++m x xB ．不存在,∈x Z 使022>++m x xC ．对任意,∈x Z 使022≤++m x xD ．对任意,∈x Z 使022>++m x x5．如果b a >，给出下列不等式：（1）ba 11<；（2）33b a >；（3）1122+>+b a ；（4）b a 22>．其中成立的不等式有（ ） A ．(3)(4)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(3)6．数列{}n a 是等差数列，若11011-<a a ，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取的最小正值时，n =（ ） A ．11B ．17C ．19D ．217．在ABC ∆中，若B a c cos 2=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形8．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．xx y 4+=B ．2)3(222++=x x yC ．4sin (0)sin =<<πy x +x xD ．e 4e -=+x x y9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥,13,1x y x y 所表示的平面区域的面积为( )A ．2B ．23C ．223 D ．2 10．某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为612海里，灯塔C 在A 的北偏西30°，距离为38海里，游轮由A 向正北方向航行到D 处时再看灯塔B 在南偏东60°，则C 与D 的距离为（ ） A ．20海里B ．38海里C ．223海里D ．24海里11.设())3340(334).32(21<<-=<<-+=x x x N a a a M ，则N M ,的大小关系为（ ）A ．N M >B ．N M <C ．N M ≥D ．N M ≤12.已知⎪⎩⎪⎨⎧-=为正偶数，为正奇数，n n n n n f ,,)(22，且),1()(++=n f n f a n 则201421a a a +++ 的值为（ ）A ．0B ．2014C ．﹣2014D ．2014×2015二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分, 考生需用黑色签字笔将答案直接填写在数学答题纸指定的位置）13．函数)12lg(2x x y -+=的定义域是 ． 14．设0,0>>b a ，若3是b a 33与的等比中项，则ba 11+的最小值是 ． 15．设sin 2sin αα=-，π(,π)2∈α，则tan 2α的值是 .16．在三角形ABC 中，已知P BC AC AB ,6,3,4===为BC 中点，则三角形ABP 的周长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤）17.（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin2+sin 22cos 1.33（）（），=+-+-∈f x x x x x R （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x ．19．（本小题满分12分）已知命题:p 方程012=++mx x 有两个不相等的实根，命题:q 关于x 的不等式0)1()1(22>+++-m m x m x 对任意的实数x 恒成立，若“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分12分）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角,A B C ,,的对边，且ca bC B -=2cos cos ． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若7=b ，且∆ABC 的面积为233，求c a +的值．21. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S （Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足*121211,2+++=-∈n n n b b b n a a a N ，求{}n b 的前n 项和n T .22. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n *+=--∈N 且2514,,a a a 构成等比数列． (Ⅰ)证明：2a = (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．参考答案一、选择题1-6 BAADCC 7-12 BDBBAB 二、填空题13. {}43<<-x x 14. 416. 2147+ 三、解答题17.解：（Ⅰ）ππππ()sin 2cos cos2sin sin 2cos cos2sin cos23333=++-+f x x x x x x=πsin 2cos2)4+=+x x x .所以，)(x f 的最小正周期2ππ2==T . （Ⅱ）因为在区间ππ[,]48-上是增函数，在区间ππ[,]84上是减函数，又πππ()1,()()1,484-=-==f f f 故函数)(x f 在区间ππ[,]44-上的最大值为，最小值为-1. 另解：,44ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，32,444ππ⎡⎤∴+∈-π⎢⎥⎣⎦x ，sin(2)4⎡⎤π∴+∈⎢⎥⎣⎦x，)4π⎡+∈-⎣x故函数)(x f 在区间ππ[,]44-上的最大值为，最小值为-1. 18.解：原不等式可化为：0)1)((>-+-a x a x ， 对应方程的根为a x a x -==1,21（1）当21<a 时，有a a -<1，解可得a x a x -><1,或； （2）当21=a 时，a a -=1得21≠∈x R x 且；（3）当21>a 时，a a ->1，解可得a x a x >-<或,1；综上得： （1）当21<a 时，原不等式的解集为()()+∞-⋃∞-,1,a a ； )(x f 22（2）当21=a 时，原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2121,；（3）当21>a 时，原不等式的解集为()()+∞⋃-∞-,1,a a ． 19.解：命题:p 方程012=++mx x 有两个不相等的实根， ∴240=->Δm ，解得2,2-<>m m 或．命题:q 关于x 的不等式0)1()1(22>+++-m m x m x 对任意的实数x 恒成立， ∴24(1)4(1)0=+-+<Δm m m ，解得1-<m ． 若“q p ∨”为真，“q p ∧”为假， 则p 与q 必然一真一假， ∴⎩⎨⎧-<≤≤-⎩⎨⎧-≥-<>1,22,1,2,2m m m m m 或或 解得12,2-<≤->m m 或．∴实数m 的取值范围是12,2-<≤->m m 或．20.解：（Ⅰ）由正弦定理可得，CA BC B sin sin 2sin cos cos -=，可得)sin(sin cos 2C B A B +=， ∵++=πA B C ， ∴A A B sin sin cos 2=2， ∴21cos =B ，∵B 为三角形的内角， ∴3π=B（Ⅱ）3π==b B ，由面积公式可得：1sin 23π=ac ，即6=ac ，① 由余弦定理，可得：222cos73π+-=a c ac ，即722=-+ac c a ②， 由②变形可得：73)(2+=+ac c a ，③将①代入③可得25)(2=+c a ，故解得：5=+c a 21.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由12,4224+==n n a a S S 得()()⎩⎨⎧+-+=-++=+112212,48641111d n a d n a d a d a解得2,11==d a ，因此*21,=-∈n a n n N（Ⅱ）由已知*121211,2++⋅⋅⋅+=-∈n n n b b b n a a a N , 当1=n 时，,2111=a b当2≥n 时，n n n n n a b 212112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-，所以*1,2=∈n n n b n a N ，由（Ⅰ）知*21,=-∈n a n n N ，所以*21,2-=∈n nn b n N ， 又n n n T 21225232132-+⋅⋅⋅+++=， 143221223225232121+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T ， 两式相减得1432212222222222121+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++++=n n n n T ， 112122123+----=n n n ， 所以nn n T 2323+-=. 22.解：（Ⅰ）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，因为0n a >，所以2a （Ⅱ）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--，()2221442n n n n a a a a +=++=+，因为0n a >，所以12n n a a +=+，当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.因为2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a =⋅，()()2222624a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-=，又因为21312a a -=-=，则{}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（Ⅲ）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111111[(1)()()()](1).23355721212212n n n =-+-+-++-=-<-++。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山师大附中2015级第七次学业水平考试 数学试题（理科）
说明: （1）考试时间120分钟，满分150分 （2）将答案填写在答题卡上
第I卷（60分） 一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分） 1.26252423CCCC=( ) (A) 31 (B) 32 (C) 33 (D) 34 2.i为虚数单位，211izi，则z=（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 22 3.5106104959AAAA ( ) (A) 154 (B) 157 (C) 103 (D) 203 4．91xx的展开式中3x的系数为（ ） (A) -36 (B) 36 (C) -84 (D) 84 5. 某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（ ） (A) 14 (B) 8 (C)6 (D)4 6.“1a”是“复数2(1)2(1)zaai（aR）为纯虚数”的（ ）
(A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 7.设00,yxP是32sin3xxf图象上任一点，xfy图象在P点处的切线的斜率不可能是（ ） (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8.函数()cosxfxex在点(0,(0))f处的切线斜率为（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22 9.六名同学安排到 3 个社区 A，B，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A社区，乙和丙同学均不能到 C 社区，则不同的安排方法种数为 ( )
(A) 12 (B) 9 (C) 6 (D) 5 10.曲线33yxx和直线yx所围成图形的面积是（ ）
(A) 4 (B) 8 (C) 9 (D) 10 11.对于R上可导的函数)(xf,若满足)1(x)('xf0,则必有（ ）
(A))1(2)2()0(fff (B))1(2)2()0(fff (C))2(1)0(fff (D))1(2)2()0(fff 12.两位男生和三位女生共五位同学站成一排，若男生甲不站两端，三位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) (A) 60 (B) 48 (C) 42 (D) 36 第II卷（90分） 二、填空题（每题5分，满分20分） 13.从下列等式中归纳出一个一般性的结论． 24cos2
228cos2；
22216cos2；
. 14.设等差数列na的前n项和为nS，则4841281612,,,SSSSSSS成等差数列．类比以上结论有：
设等比数列nb的前n项积为nT，则4T，________，________，1612TT成等比数列． 15.如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为 .
16.设2'',3'2sinfxfxfxfxxf的导函数，则是 . 三、解答题（满分70分） 17（本题满分10分） （I）设复数z和它的共轭复数z满足4233zzi，求复数z. （Ⅱ）设复数z满足|2||2|8zz,求复数z对应的点的轨迹方程.
18（本题满分12分） （I）求10221xx的展开式中的常数项；
（Ⅱ）设101022101032xaxaxaax， 求103210103210aaaaaaaaaa.
19（本小题满分12分） 观察以下5个等式： 11 132 1353 13574 135795 …… 按以上式子规律．．．．．．．： （I）写出第6个等式，并猜想第n个等式（nN）；
（Ⅱ）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立（nN）.
20（本题满分12分） 已知函数31fxxaxaR （I）讨论函数xf的单调性； （Ⅱ）若函数xf在区间1,1上单调递减,求实数a的取值范围.
21（本题满分12分） 设函数221lnxxxaxf （I）2a，求函数fx的极值； （Ⅱ）讨论函数fx的单调性.
22（本题满分14分） 设函数1xxeax， （I）当1a时，求函数x的最小值； （Ⅱ）若函数x在0+，上有零点，求实数a的范围； （III）证明不等式311+6xexxxR.
山师大附中2015级第七次学业水平考试 数学答案（理科） 一、选择题（下列各题A、B、C、D四个答案有且只有一个正确，每题5分，满分60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D C A A D C B B A B
二、填空题（每题5分，满分20分） 13. 【答案】
12cos22222nn
层
14.．【答案】81248,TTTT 15.【答案】56 16.【答案】1 三、解答题（满分70分） 17.(本题满分10分)
解：（I）设yixzzyixz2624,则 ----------2分
iZZ3324可得iyix3326所以21,23yx
iz2123 ------------------5分
（II）设复数yixz，由8|2||2|ZZ得 8222222yxyx其轨迹是椭圆--------------------8分
方程为1121622yx ---------------------------------------------10分 18（本题满分12分） 【解】（I）通项rrrrrrxCxxCT252010r1021012121----------------------3分
令802510rr，常数项256451291025612181089CT------------6分 （II）10101032103232,1aaaaax令------------8分 10
10321032,1aaaaax令 ----------------------------------10分
13432321010101031010210aaaaaaaa
-----------------------12分 19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）第6个等式为13579116 ………………（2分） 第n个等式为13571211nnnn……（4分） （Ⅱ）下面用数学归纳法给予证明：13571211nnnn （1）当1n时，由已知得原式成立； ……………………………………（5分） （2）假设当nk时，原式成立， 即13571211kkkk…………………（6分） 那么，当1nk时，左边11357121121kkkk 111112112111kkkkkkkkk。
故1nk时，原式也成立。…………………（11分） 由（1）（2）知，13571211nnnn成立。………（12分） 20题（本题满分12分） 解：（I）2'3fxxa---------------------1分 若20,'30,afxxafx在R上单调递增---------4分
若0,'0,,,'0,,3333aaaaafxxfxx， 函数fx的递减区间为,33aa，递增区间为,,,33aa-------8分 （II）由（1）知，函数fx在区间1,1上单调递减, 1,1,13333aaaa
---------------------------------12分
21题（本题满分12分） 解：2'1aaxxfxxxx 2分
（I）2a，2212'=xxxxfxxx 当0,1,'0,1,,'0,xfxfxxfxfx递增；递减 3=12fxf极大,无极小值 5分
（II）设2,14gxaxxa 若1,0,0,'0,0,4agxfxfx在-------7分
若14a，121141140,0,22aagxxx