2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II） 数学（文科）试卷 （必修+选修I） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分考试时间120分钟。

2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。 5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=PA．+PB． 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=PA．·PB． 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

Pn（k）=CknPk（1－P）n－k

一、选择题 1．cos330° =

A．21 B．－21 C． 23 D．－23 2．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则CU（A∪B）= A．{2} B．{3} C． {1，2，4} D．{1，4}

球的表面积公式 S=42R 其中R表示球的半径， 球的体积公式

V=334R， 其中R表示球的半径 3．函数f（x）=|sinx|的一个单调递增区间是 A．（－4，4） B．（4，43） C．（π，23） D．（23，2π） 4．以下四个数中的最大者是 A．（ln2）2 B．ln（ln2） C．ln2 D．ln2 5．不等式x-2x+3>0的解集是 A．（－3，2） B．（2，+） C．（－，－3）∪（2，+） D．（－，－2）∪（3，+）

6．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CBCA31，则λ=

A．32 B．31 C．－31 D．－32 7．已知正三棱锥的侧棱长与底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于

A．36 B．34 C．22 D．32

8．已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 A．1 B． 2 C．3 D．4 9．把函数y=ex的图象按向量a=（2，0）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）= A．ex+2 B．ex－2 C．ex－2 D．ex+2 10．5位同学报名参加两上课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 A．10种 B． 20种 C．25种 D．32种 11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为

A．13 B．33 C．12 D．32

12．设F1，F2分别是双曲线x2－y29=1的左右焦点，若点P在双曲线上，且12PFPF=0，则12||PFPF = A．10 B．210 C． 5 D．25

第II卷（非选择题） 本卷共10题，共90分。 二、填空题 13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某 个个体被抽到的概率为 。 14．已知数列的通项an=－5n+2，则其前n项和为Sn= 。 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2。

16．（1+2x2）（1+1x）8的展开式中常数项为 。（用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） 设等比数列 {an}的公比q<1，前n项和为Sn。已知a3=2，S4=5S2，求{an}的通项公式。

18．（本小题满分12分） 在 ∆ABC中，已知内角A=3，边 BC=23，设内角B=x，周长为y。 （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域； （2）求y的最大值。

19．（本小题满分12分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96。

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p； （2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）。

20．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。

A B C D

P

E F （1）求证：EF∥ 平面SAD； （2）设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小。

21．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x－3y=4相切。 （1）求圆O的方程； （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PBPA的取值范围。

22．已知函数f（x）=13x3－bx2+（2－b）x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0（1）证明a>0； （2）若z=a+2b，求z的取值范围。 2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II） 数学（文科）试卷

参考答案 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B

二、填空题 13．120

14．252nn 15．242 三、解答题 17．解：由题设知11(1)01nnaqaSq，，

则2121412(1)5(1)11aqaqaqqq，． ② 由②得4215(1)qq，22(4)(1)0qq，(2)(2)(1)(1)0qqqq， 因为q<1，解得q=-1或q=-2。 当q=-1时，代入①得a1=2，通项公式12(1)nna；

当q=-2时，代入①得112a，通项公式11(2)2nna。

18．解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由A，B>0，C>0得20B。 应用正弦定理，知 23sinsin4sinsinsinBCACBxxA



，

2sin4sinsinBCABCxA





。

因为y=AB+BC+AC， 所以224sin4sin2303yxxx，

（2）因为14sincossin232yxxx 543sin23xx





，

所以，当x，即x时，y取得最大值63。 19．（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”。 则A0，互斥，且A= A0+ A1，故 P（A）=P（A0+ A1） = P（A0）+P（A1）

212(1)C(1)ppp

=1-p2 于是0.96=1-p2。

解得120.20.2pp，（舍去）。 （2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则0BB。

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故28002100C316()C495PB。 00316179()()1()1495495PBPBPB 20．解法一： （1）作FGDC∥交SD于点G，则G为SD的中点。

连结12AGFGCD ∥，，又CD ∥AB，

故FG ∥AE，AEFG为平行四边形。 EFAG∥，又AG平面SADEF，平面SAD。

所以EF∥平面SAD。 （2）不妨设CD=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等 腰直角三角形。 取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG。 又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而ABAGA， 所以DH⊥面AEF。 取EF中点M，连结MH，则MH⊥EF。 连结DM，则DM⊥EF。 故DMH为二面角A—EF—D的平面角

2tan21DHDMHHM。

所以二面角A—EF—D的大小为arctan2。 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D—xyz。 设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0）

00222aabEaF，，，，，，

02bEFa，，。

取SD的中点002bG，，，则02bAGa，，。 EFAGEFAGAG，∥，平面SADEF，平面SAD，

所以EF∥平面SAD。

A A E B

C

F S D G M y

z

x

A E B

C

F S D H G M